控制工程基础-控制系统的数学模型(2)(控制工程基础)
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一旦求得的结果不满足要求，便无法从解中找出改进方案（如何调整 系统的结构和参数）。因此这种方法不便于对系统进行分析和设计。
2020/11/1
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3
拉普拉斯变换
工程技术上常用傅立叶方法分析线性系 统，因为任何周期函数都可展开为含有 许多正弦分量的傅氏级数，而任何非周 期函数可表示为傅氏积分，从而可将一 个时间域的函数变换为频率域的函数－ 傅立叶变换。
控制工程基础
第三讲 控制系统的数学模型（2）
2020/11/1
清华大学机械工程系 朱志明 教授
.
1
控制系统的数学模型－内容
物理系统的动态描述－数学模型 建立系统数学模型的一般步骤 非线性数学模型的线性化 拉普拉斯变换 控制系统的传递函数 系统方块图及其变换 系统信号流图
2020/11/1
斜率为A的斜坡函数的拉氏变换为：
F(s)L A(tf)A tsd te tA
0
s2
2020/11/1
.
9
常用函数的拉普拉斯变换（4）
指数函数：
f (t) eat
指数函数的拉氏变换：
F ( s ) L e a t e a e tsd t t e (s a ) td t1
一个函数f（t）可以进行拉氏变换的充分条件（狄里赫利条件）是：
在t<0时，f（t）＝0；
在t 0的任一有限区间内，f（t）是分段连续的；
积分
f
tetd。t即f（t）为指数级的。
0
Biblioteka Baidu
在工程实际中，上述条件通常是满足的。F（s）称为象函数，f（t）
称为原函数。
2020/11/1
.
6
常用函数的拉普拉斯变换（1）
0
s
2020/11/1
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7
常用函数的拉普拉斯变换（2）
单位脉冲函数：（幅值1/t0与作用时间t0的乘积等于1）
0
(t)tl0i m0t10
0t和t t0 0t t0
单位脉冲函数的拉氏变换：
δ(t) 1/t0
0 t0
t
F (s ) L(t) tl0 i 00 tm 0t1 0e sd t tt l0 i 0 t1 m 0• e s s tt 0 0 tl0 i 0 t1 0 m s1 e s0 t tl0 i 0d d m 0 d d 1 0 t s te 0 st0 t s s 1
2020/11/1
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14
拉普拉斯变换的性质（4）-比例定理
F (s a)
2020/11/1
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13
拉普拉斯变换的性质（3）-延迟定理
若g（t）＝f（t－a）， 则G（s）＝e－asF（s）。 即一个函数是另一个函数延时a后再现，则它的象函 数是另一个函数象函数的e－as倍。
Lf (t a)
f (t a)estdt
0
t a f ()es(a)d( a) easF(s) 0
即函数的A（实数）倍的拉氏变换等于函数拉氏变换的A倍。
2020/11/1
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12
拉普拉斯变换的性质（2）-衰减定理
若g（t）＝f（t）e－at， 则 G（s）＝F（s＋a）。a为实数
L e at f (t ) e at f (t ) e st dt
0
f (t ) e ( s a )t dt 0
.
2
微分方程的求解与不足
微分方程是在时间域里描述控制系统动态性能的数学模型。
在给定外作用及初始条件下，求解微分方程可以得到系统的输出特性； 这种方法比较直观，特别是借助于计算机，可迅速准确地求得结果。 然而不用计算机，则求解微分方程，特别是高阶微分方程的计算工作 相当复杂。
在时间域里直接求解微分方程，难于找出微分方程的系数（由组成系 统的元件的参数决定）对方程解（一般为系统的被控制量—输出量） 影响的一般规律。
0
0
s a
2020/11/1
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10
常用函数的拉普拉斯变换（5）
正弦函数： f(t)si nt
正弦函数的拉氏变换：
ejt costjsint ejt costjsint
F(s)Lsint sintesd t t 1 e(sj)td t 1 e(sj)tdt
0
2j 0
2j 0
21js1js1js2 2
余弦函数的拉氏变换：
F (s) L co t s co t e s sd t t s
0
s22
2020/11/1
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11
拉普拉斯变换的性质（1）-线性定理
若g（t）＝f1（t）＋f2（t）， 则 G（s）＝F1（s）＋F2（s）
即函数之和的拉氏变换等于各函数拉氏变换之和。
若g（t）＝Af（t）， 则 G（s）＝AF（s）
单位阶跃函数：
u(t) 10,,
t 0 t 0
u(t) 1
单位阶跃函数的拉氏变换：
0 t
F (s) L u (t)0 u (t)e sd t t0 e sd t t e s s t0 1 s
幅度为A的阶跃函数的拉氏变换为：
F (s)L A(tu ) A(tu )e sd t tA
工程实践中，常用的一些函数，如阶跃 函数，它们往往不能满足傅氏变换的条 件，如果对这种函数稍加处理，一般都 能进行傅氏变换，因而也就引入了拉普 拉斯变换。
拉普拉斯变换是求解线性微分方程的简 捷工具，同时也是建立系统传递函数的 数学基础。
拉普拉斯变换的定义 常用函数的拉普拉斯变换 拉普拉斯变换的性质 常见函数拉普拉斯变换表 拉普拉斯反变换 利用拉氏变换解微分方程
2020/11/1
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4
傅立叶变换与反变换
傅立叶变换：
F F ft ft•ejtdt
傅立叶反变换：
ftF 1F 2 1 F ejtd
2020/11/1
.
5
拉普拉斯变换的定义
以时间t为自变量、定义域为t0的函数f（t）的拉氏变换定义为：
LftFs0 ftesd t t
式中：s为复变量，s＝＋j；
当冲击函数的幅值为A/t0，与作用时间的乘积等于A时：
F (s) L A • (t) A
2020/11/1
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8
常用函数的拉普拉斯变换（3）
单位斜坡函数：
0, t 0 f (t) t, t 0
f(t) 1
单位斜坡函数的拉氏变换：
0
1
t
F ( s ) L f( t ) 0 t s e d t 0 t t s d s t e t s s e |0 t 1 s 0 e s d t s 1 2 t
2020/11/1
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3
拉普拉斯变换
工程技术上常用傅立叶方法分析线性系 统，因为任何周期函数都可展开为含有 许多正弦分量的傅氏级数，而任何非周 期函数可表示为傅氏积分，从而可将一 个时间域的函数变换为频率域的函数－ 傅立叶变换。
控制工程基础
第三讲 控制系统的数学模型（2）
2020/11/1
清华大学机械工程系 朱志明 教授
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控制系统的数学模型－内容
物理系统的动态描述－数学模型 建立系统数学模型的一般步骤 非线性数学模型的线性化 拉普拉斯变换 控制系统的传递函数 系统方块图及其变换 系统信号流图
2020/11/1
斜率为A的斜坡函数的拉氏变换为：
F(s)L A(tf)A tsd te tA
0
s2
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常用函数的拉普拉斯变换（4）
指数函数：
f (t) eat
指数函数的拉氏变换：
F ( s ) L e a t e a e tsd t t e (s a ) td t1
一个函数f（t）可以进行拉氏变换的充分条件（狄里赫利条件）是：
在t<0时，f（t）＝0；
在t 0的任一有限区间内，f（t）是分段连续的；
积分
f
tetd。t即f（t）为指数级的。
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Biblioteka Baidu
在工程实际中，上述条件通常是满足的。F（s）称为象函数，f（t）
称为原函数。
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常用函数的拉普拉斯变换（1）
0
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常用函数的拉普拉斯变换（2）
单位脉冲函数：（幅值1/t0与作用时间t0的乘积等于1）
0
(t)tl0i m0t10
0t和t t0 0t t0
单位脉冲函数的拉氏变换：
δ(t) 1/t0
0 t0
t
F (s ) L(t) tl0 i 00 tm 0t1 0e sd t tt l0 i 0 t1 m 0• e s s tt 0 0 tl0 i 0 t1 0 m s1 e s0 t tl0 i 0d d m 0 d d 1 0 t s te 0 st0 t s s 1
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拉普拉斯变换的性质（4）-比例定理
F (s a)
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13
拉普拉斯变换的性质（3）-延迟定理
若g（t）＝f（t－a）， 则G（s）＝e－asF（s）。 即一个函数是另一个函数延时a后再现，则它的象函 数是另一个函数象函数的e－as倍。
Lf (t a)
f (t a)estdt
0
t a f ()es(a)d( a) easF(s) 0
即函数的A（实数）倍的拉氏变换等于函数拉氏变换的A倍。
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拉普拉斯变换的性质（2）-衰减定理
若g（t）＝f（t）e－at， 则 G（s）＝F（s＋a）。a为实数
L e at f (t ) e at f (t ) e st dt
0
f (t ) e ( s a )t dt 0
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微分方程的求解与不足
微分方程是在时间域里描述控制系统动态性能的数学模型。
在给定外作用及初始条件下，求解微分方程可以得到系统的输出特性； 这种方法比较直观，特别是借助于计算机，可迅速准确地求得结果。 然而不用计算机，则求解微分方程，特别是高阶微分方程的计算工作 相当复杂。
在时间域里直接求解微分方程，难于找出微分方程的系数（由组成系 统的元件的参数决定）对方程解（一般为系统的被控制量—输出量） 影响的一般规律。
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s a
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常用函数的拉普拉斯变换（5）
正弦函数： f(t)si nt
正弦函数的拉氏变换：
ejt costjsint ejt costjsint
F(s)Lsint sintesd t t 1 e(sj)td t 1 e(sj)tdt
0
2j 0
2j 0
21js1js1js2 2
余弦函数的拉氏变换：
F (s) L co t s co t e s sd t t s
0
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拉普拉斯变换的性质（1）-线性定理
若g（t）＝f1（t）＋f2（t）， 则 G（s）＝F1（s）＋F2（s）
即函数之和的拉氏变换等于各函数拉氏变换之和。
若g（t）＝Af（t）， 则 G（s）＝AF（s）
单位阶跃函数：
u(t) 10,,
t 0 t 0
u(t) 1
单位阶跃函数的拉氏变换：
0 t
F (s) L u (t)0 u (t)e sd t t0 e sd t t e s s t0 1 s
幅度为A的阶跃函数的拉氏变换为：
F (s)L A(tu ) A(tu )e sd t tA
工程实践中，常用的一些函数，如阶跃 函数，它们往往不能满足傅氏变换的条 件，如果对这种函数稍加处理，一般都 能进行傅氏变换，因而也就引入了拉普 拉斯变换。
拉普拉斯变换是求解线性微分方程的简 捷工具，同时也是建立系统传递函数的 数学基础。
拉普拉斯变换的定义 常用函数的拉普拉斯变换 拉普拉斯变换的性质 常见函数拉普拉斯变换表 拉普拉斯反变换 利用拉氏变换解微分方程
2020/11/1
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傅立叶变换与反变换
傅立叶变换：
F F ft ft•ejtdt
傅立叶反变换：
ftF 1F 2 1 F ejtd
2020/11/1
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5
拉普拉斯变换的定义
以时间t为自变量、定义域为t0的函数f（t）的拉氏变换定义为：
LftFs0 ftesd t t
式中：s为复变量，s＝＋j；
当冲击函数的幅值为A/t0，与作用时间的乘积等于A时：
F (s) L A • (t) A
2020/11/1
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常用函数的拉普拉斯变换（3）
单位斜坡函数：
0, t 0 f (t) t, t 0
f(t) 1
单位斜坡函数的拉氏变换：
0
1
t
F ( s ) L f( t ) 0 t s e d t 0 t t s d s t e t s s e |0 t 1 s 0 e s d t s 1 2 t