一起学奥数--行程问题中的流水行船(四年级)
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利用和差模型，船的速度为： （28+18）÷2=23千米/小时 水流速度为： （28-18）÷2=5千米/小时
例2、轮船在静水中的速度是每小时21千米，轮船自甲港逆水航行8小 时，达到相距144千米的乙港，再从乙港返回甲港需要多少小时？
V水 乙港
V船
V船 甲港
【分析】轮船从甲港逆水航行144千米，8小时到达乙港。可以得到船逆水航行速度，而静水船航行速 度已知，所以，水流速度为：
分析：船在顺水中的速度比在逆水中的速度恰好多了两个水流的速度。即：3*2=6千米。 因为轮船在 顺水中航行80千米所需的时间和逆水航行60千米所需的时间相同， 所以，在同一时间内，顺水多行 的80-60=20千米就是在这段时间内，2倍的水流的速度行的。 因此，船行的时间是：20/6=10/3 因此， 船在静水中的速度是：80÷10/3-3=21千米
例6、一艘轮船往返于相距240千米的甲乙两港之间，逆水速度是每小 时18千米，顺水的速度是每小时26千米。一艘汽艇的速度是每小时20 千米，这艘汽艇往返于两港之间共需多少小时？
【分析】轮船的逆水速度与顺水速度是“和差模型”，所以水流速度为： （26-18）÷2=4千米/小时
在不说明是顺水速度还是逆水速度的情况下，一般指的是船在静水中的速度。所以有汽艇的往返时 间为：
行船问题
风子编辑
教育目标
掌握流水行船的基本概念 能够准确应用流水行船中的相遇和追及问题
搭建流水行船的数学模型
教育重点
理解水流速度，船速，顺水速度，逆水速度的概念
教育难点
掌握水流速度，船速，顺水速度，逆水速度之间的数量关系
知识点讲解
什么是流水行船问题 船在江河里航行时，除了本身的前进速度外，还受到流
水的推送或顶逆，流水行船问题就是研究在这种情况下计算 船只的航行速度、时间和所行的路程。
两个基本公式： （1）顺水速度=船速+水速 （2）逆水速度=船速-水速
备注：船速是指船本身的速度，也就是在静水中单位时间里所走过的路程
第一课 基础部分
例1、甲乙两港间的水路长252千米，一只船从甲港开往乙港，顺水9 小时达到，从乙港返回甲港，逆水14小时达到，求船在静水中的速度 和水流速度？
例4、一艘轮船顺流航行140千米，逆流航行80千米，共用了15小时；后 来顺流航行60千米，逆流航行120千米，也用了15小时。求水流的速度。
V水
【分析】用线段图来演示下船航行的过程，
例5、甲乙两个码头相距112千米，一只船从乙码头逆水而上，行了8 小时达到甲码头。已知船速是水速的15倍，这只船从甲码头返回乙码 头需要几小时？
21-144÷8=3千米/小时
轮船从乙港顺流而下的速度是船静水速度与水流速度之和，所以乙港返回甲港所需时间为：
144÷（21+3）=6小时
可以采用“结果导向思维”方式，来分析解题思路
例3、一艘轮船从甲港开往乙港，顺水而行每小时行28千米，返回甲 港时逆水而行用了6小时。已知水速是每小时4千米，甲乙两港相距多 少千米？
甲港
V水
V船
乙港
【分析】要知道甲码头返回乙码头的时间，在知道距离的情况下，只要找出顺水速度即可，顺水速度为 船速+水速。
由船从乙码头逆水而上的航行过程可知，船的逆水速度为：112÷8=14千米/ 小时
船速与水速符合“差倍模型”，所以水速为：14÷（15-1）=1千米/小时
则，船从甲码头顺水返回乙码头的时间为：112÷[1×（15+1）]=7小时
2÷（1/3+1/6）=4千米/小时
与平路速度一致，所以整个行程为：4×（7-1）=24千米 方法二：设下山用了t小时，因为下山比上山快1倍，所以上山时间为2t，则平路的时 间为6-3t。所以，整个行程为：
6×t+2t×3+4×（6-3t）=24千米
这题在条件不足的情况下能计算的原因是上下山的平均速度与平路的相同。
V船
V水
甲港
乙港
【分析】船在水中行驶，与车在马路上开的区别，在于水的流动影响船的速度，而空气的流动对车的速 度是忽略不计的。
船在水中顺水而下，是船静水中的速度与水流速度的和；而逆流而上时，是两者的差值。所以，知道 顺流速度和逆流速度，就可以采用“和差模型”来解得两个速度因素。
根据题目给定条件，可以得到，顺水速度为：252÷9=28千米/小时 逆水速度为：252÷14=18千米/小时
a港
b港
A
B
C
【分析】按小船行驶过程，画出如上示意图。A点救生圈落水，B点发现，C点找到。 由演示过程可以发现，B点与b港间是相遇过程，救生圈从A点到B点是变相的追及过程 在整个问题的分析过程，我们发现已知条件只有时间。因此可以设a港到b港为1（意思为1个单位行 程）。所以，顺流速度为1/6，逆流速度为1/8。根据“和差模型”，则水流速度为（1/6-1/8）/2=1/48。
例：（五年级）游船顺流而下，每小时前进7公里，逆流而上，每小时前进5公 里．两条游船同时从同一个地方出发，一条顺水而下，然后返回；一条逆流而上， 然后返回．结果，1小时以后它们同时回到出发点，忽略船头掉头时间．在这1小 时内有（）分钟这两条船的前进方向相同？
【分析】通过画图分析可知，顺流而下和逆流而上的行程相同，且两条船的行程也相同。在行程一定的条 件下，速度与时间成反比。
【分析】不仔细分析，这个题目有点麻烦，但我们通过分步考虑，可以一步步的接近目标。下面我们采用 “目标倒推法”来演示分析的过程。（标红为已知条件）
乙船顺水全程时间为：行程÷顺水速度
根据目标倒推分析，再从下往上解题如下：
乙船顺水速度=静水速度+水速 乙船静水速度=逆水速度+水速
解：甲船逆水航行的速度是： 180÷18=10（千米/小时）
乙船顺水行全程要用的时间是： 180÷20=9（小时）
来自百度文库识点小结
流水行船问题的关键是船航行的速度受到水速的影响，相互 关系如下：
顺水速度=船速+水速 逆水速度=船速-水速 水速=（顺水速度-逆水速度）÷2
讲解的最后，我们采用了以目标为导向，一步步倒推的分析 思路。这种倒推式的分析方法，可以帮助我们找到解决问题的方 向。需要通过多多练习。
设船的顺流时间为x分钟，则逆流时间为（60-x）分钟，所以： x:(60-x)=5:7
可解得x=25分钟，即顺流为25分钟，逆流为35分钟。 分析两船行驶过程可知，当顺流而下的船返回逆行时，另一条船还在逆行向上，所 以两条船相同的前进方向是逆行向上，且为35-25=10分钟
例： A、B两个码头相距180千米。甲船逆水行全程用18小时，乙船逆水行全程用 15小时。甲船顺水行全程用10小时。乙船顺水行全程用几小时？（适于高年级）
例：（五年级）学校组织春游，同学们下午一点出发，走了一段平路，爬了一座山， 然后按原路返回，下午七点回到学校，已知他们步行速度，平路为4千米/ 小时，上 山为3千米/小时，下山为6千米/ 小时，问他们一共走了多少路？
出发 1：00 返回 7：00
4千米/小时
【分析】整个行程分为四段，两段平路速度一样，上山与下山速度不一致，分别在示意图上作好标示 方法一：计算上山与下山的平均速度。设上下山的行程为1个单位行程，则有上下山的平均速度：
甲港
V水
V船
乙港
V船
【分析】根据行程=时间×速度，所以要知道甲乙两港的距离，在知道乙港返回甲港的时间条件下，找 到船的逆行速度即可。而题目给定了水速，所以要找到船的静水速度。
由轮船从甲港开往乙港的顺水速度，可知船的静水航行速度：28-4=24千米/ 小时
所以，甲乙两港相距为： （28-4-4）×6=120千米
甲船顺水航行的速度是： 180÷10=18（千米/小时）
乙船逆水速度=行程÷逆水时间 水速=（甲船顺水速度-逆水速度）÷2
甲船顺水速度=行程÷顺水时间 甲船逆水速度=行程÷逆水时间
水流速度：（18-10）÷2=4（千米/小时）
乙船逆水航行的速度是： 180÷15=12（千米/小时）
乙船顺水航行的速度是： 12+4×2=20（千米/小时）
240÷（20+4）+240÷（20-4）=25小时
第二讲 提高篇
例：（五年级）一条船从a港到b港顺流航行需要6小时，由b港到a港逆流航行需要8 小时，一天，小船从早晨6点由a港出发顺流到b港时，发现一救生圈在途中掉落水 中，立即返回，1小时后找到救生圈，求小船按水流速度由a港漂流到b港需要多少 小时？救生圈时何时掉入水中的？
小船按水流速度由a港到b港的时间为： 1÷1/48=48小时 B点到b港的距离为相遇行程，也为追及行程： （1/8+1/48）×1=7/48 救生圈的追及时间为： 7/48÷（1/6-1/48）=1 小时
所以，救生圈是在发现掉进水中时的1小时前，即早上11点钟掉入水中的。
例：（五年级）甲河是乙河的支流，甲河水流速度为每小时3千米，乙河水流速度 为每小时2千米，一首船沿乙河逆水航行6小时，行了84千米到达甲河，在甲河还要 顺水航行133千米，这首船一共航行多少小时？
例2、轮船在静水中的速度是每小时21千米，轮船自甲港逆水航行8小 时，达到相距144千米的乙港，再从乙港返回甲港需要多少小时？
V水 乙港
V船
V船 甲港
【分析】轮船从甲港逆水航行144千米，8小时到达乙港。可以得到船逆水航行速度，而静水船航行速 度已知，所以，水流速度为：
分析：船在顺水中的速度比在逆水中的速度恰好多了两个水流的速度。即：3*2=6千米。 因为轮船在 顺水中航行80千米所需的时间和逆水航行60千米所需的时间相同， 所以，在同一时间内，顺水多行 的80-60=20千米就是在这段时间内，2倍的水流的速度行的。 因此，船行的时间是：20/6=10/3 因此， 船在静水中的速度是：80÷10/3-3=21千米
例6、一艘轮船往返于相距240千米的甲乙两港之间，逆水速度是每小 时18千米，顺水的速度是每小时26千米。一艘汽艇的速度是每小时20 千米，这艘汽艇往返于两港之间共需多少小时？
【分析】轮船的逆水速度与顺水速度是“和差模型”，所以水流速度为： （26-18）÷2=4千米/小时
在不说明是顺水速度还是逆水速度的情况下，一般指的是船在静水中的速度。所以有汽艇的往返时 间为：
行船问题
风子编辑
教育目标
掌握流水行船的基本概念 能够准确应用流水行船中的相遇和追及问题
搭建流水行船的数学模型
教育重点
理解水流速度，船速，顺水速度，逆水速度的概念
教育难点
掌握水流速度，船速，顺水速度，逆水速度之间的数量关系
知识点讲解
什么是流水行船问题 船在江河里航行时，除了本身的前进速度外，还受到流
水的推送或顶逆，流水行船问题就是研究在这种情况下计算 船只的航行速度、时间和所行的路程。
两个基本公式： （1）顺水速度=船速+水速 （2）逆水速度=船速-水速
备注：船速是指船本身的速度，也就是在静水中单位时间里所走过的路程
第一课 基础部分
例1、甲乙两港间的水路长252千米，一只船从甲港开往乙港，顺水9 小时达到，从乙港返回甲港，逆水14小时达到，求船在静水中的速度 和水流速度？
例4、一艘轮船顺流航行140千米，逆流航行80千米，共用了15小时；后 来顺流航行60千米，逆流航行120千米，也用了15小时。求水流的速度。
V水
【分析】用线段图来演示下船航行的过程，
例5、甲乙两个码头相距112千米，一只船从乙码头逆水而上，行了8 小时达到甲码头。已知船速是水速的15倍，这只船从甲码头返回乙码 头需要几小时？
21-144÷8=3千米/小时
轮船从乙港顺流而下的速度是船静水速度与水流速度之和，所以乙港返回甲港所需时间为：
144÷（21+3）=6小时
可以采用“结果导向思维”方式，来分析解题思路
例3、一艘轮船从甲港开往乙港，顺水而行每小时行28千米，返回甲 港时逆水而行用了6小时。已知水速是每小时4千米，甲乙两港相距多 少千米？
甲港
V水
V船
乙港
【分析】要知道甲码头返回乙码头的时间，在知道距离的情况下，只要找出顺水速度即可，顺水速度为 船速+水速。
由船从乙码头逆水而上的航行过程可知，船的逆水速度为：112÷8=14千米/ 小时
船速与水速符合“差倍模型”，所以水速为：14÷（15-1）=1千米/小时
则，船从甲码头顺水返回乙码头的时间为：112÷[1×（15+1）]=7小时
2÷（1/3+1/6）=4千米/小时
与平路速度一致，所以整个行程为：4×（7-1）=24千米 方法二：设下山用了t小时，因为下山比上山快1倍，所以上山时间为2t，则平路的时 间为6-3t。所以，整个行程为：
6×t+2t×3+4×（6-3t）=24千米
这题在条件不足的情况下能计算的原因是上下山的平均速度与平路的相同。
V船
V水
甲港
乙港
【分析】船在水中行驶，与车在马路上开的区别，在于水的流动影响船的速度，而空气的流动对车的速 度是忽略不计的。
船在水中顺水而下，是船静水中的速度与水流速度的和；而逆流而上时，是两者的差值。所以，知道 顺流速度和逆流速度，就可以采用“和差模型”来解得两个速度因素。
根据题目给定条件，可以得到，顺水速度为：252÷9=28千米/小时 逆水速度为：252÷14=18千米/小时
a港
b港
A
B
C
【分析】按小船行驶过程，画出如上示意图。A点救生圈落水，B点发现，C点找到。 由演示过程可以发现，B点与b港间是相遇过程，救生圈从A点到B点是变相的追及过程 在整个问题的分析过程，我们发现已知条件只有时间。因此可以设a港到b港为1（意思为1个单位行 程）。所以，顺流速度为1/6，逆流速度为1/8。根据“和差模型”，则水流速度为（1/6-1/8）/2=1/48。
例：（五年级）游船顺流而下，每小时前进7公里，逆流而上，每小时前进5公 里．两条游船同时从同一个地方出发，一条顺水而下，然后返回；一条逆流而上， 然后返回．结果，1小时以后它们同时回到出发点，忽略船头掉头时间．在这1小 时内有（）分钟这两条船的前进方向相同？
【分析】通过画图分析可知，顺流而下和逆流而上的行程相同，且两条船的行程也相同。在行程一定的条 件下，速度与时间成反比。
【分析】不仔细分析，这个题目有点麻烦，但我们通过分步考虑，可以一步步的接近目标。下面我们采用 “目标倒推法”来演示分析的过程。（标红为已知条件）
乙船顺水全程时间为：行程÷顺水速度
根据目标倒推分析，再从下往上解题如下：
乙船顺水速度=静水速度+水速 乙船静水速度=逆水速度+水速
解：甲船逆水航行的速度是： 180÷18=10（千米/小时）
乙船顺水行全程要用的时间是： 180÷20=9（小时）
来自百度文库识点小结
流水行船问题的关键是船航行的速度受到水速的影响，相互 关系如下：
顺水速度=船速+水速 逆水速度=船速-水速 水速=（顺水速度-逆水速度）÷2
讲解的最后，我们采用了以目标为导向，一步步倒推的分析 思路。这种倒推式的分析方法，可以帮助我们找到解决问题的方 向。需要通过多多练习。
设船的顺流时间为x分钟，则逆流时间为（60-x）分钟，所以： x:(60-x)=5:7
可解得x=25分钟，即顺流为25分钟，逆流为35分钟。 分析两船行驶过程可知，当顺流而下的船返回逆行时，另一条船还在逆行向上，所 以两条船相同的前进方向是逆行向上，且为35-25=10分钟
例： A、B两个码头相距180千米。甲船逆水行全程用18小时，乙船逆水行全程用 15小时。甲船顺水行全程用10小时。乙船顺水行全程用几小时？（适于高年级）
例：（五年级）学校组织春游，同学们下午一点出发，走了一段平路，爬了一座山， 然后按原路返回，下午七点回到学校，已知他们步行速度，平路为4千米/ 小时，上 山为3千米/小时，下山为6千米/ 小时，问他们一共走了多少路？
出发 1：00 返回 7：00
4千米/小时
【分析】整个行程分为四段，两段平路速度一样，上山与下山速度不一致，分别在示意图上作好标示 方法一：计算上山与下山的平均速度。设上下山的行程为1个单位行程，则有上下山的平均速度：
甲港
V水
V船
乙港
V船
【分析】根据行程=时间×速度，所以要知道甲乙两港的距离，在知道乙港返回甲港的时间条件下，找 到船的逆行速度即可。而题目给定了水速，所以要找到船的静水速度。
由轮船从甲港开往乙港的顺水速度，可知船的静水航行速度：28-4=24千米/ 小时
所以，甲乙两港相距为： （28-4-4）×6=120千米
甲船顺水航行的速度是： 180÷10=18（千米/小时）
乙船逆水速度=行程÷逆水时间 水速=（甲船顺水速度-逆水速度）÷2
甲船顺水速度=行程÷顺水时间 甲船逆水速度=行程÷逆水时间
水流速度：（18-10）÷2=4（千米/小时）
乙船逆水航行的速度是： 180÷15=12（千米/小时）
乙船顺水航行的速度是： 12+4×2=20（千米/小时）
240÷（20+4）+240÷（20-4）=25小时
第二讲 提高篇
例：（五年级）一条船从a港到b港顺流航行需要6小时，由b港到a港逆流航行需要8 小时，一天，小船从早晨6点由a港出发顺流到b港时，发现一救生圈在途中掉落水 中，立即返回，1小时后找到救生圈，求小船按水流速度由a港漂流到b港需要多少 小时？救生圈时何时掉入水中的？
小船按水流速度由a港到b港的时间为： 1÷1/48=48小时 B点到b港的距离为相遇行程，也为追及行程： （1/8+1/48）×1=7/48 救生圈的追及时间为： 7/48÷（1/6-1/48）=1 小时
所以，救生圈是在发现掉进水中时的1小时前，即早上11点钟掉入水中的。
例：（五年级）甲河是乙河的支流，甲河水流速度为每小时3千米，乙河水流速度 为每小时2千米，一首船沿乙河逆水航行6小时，行了84千米到达甲河，在甲河还要 顺水航行133千米，这首船一共航行多少小时？