第1章作业参考答案

第 一 章
（本章计算概率的习题除3~6以外， 其余均需写出事件假设及概率公式， 不能只有算式） 1. 写出下列随机试验的样本空间。

（1）同时抛三颗色子，记录三颗色子的点数之和；
（2）将一枚硬币抛三次，(i)观察各次正反面出现的结果；(ii)观察正面总共出现的次数； （3）对一目标进行射击，直到命中5次为止，记录射击次数； （4）将一单位长的线段分成3段，观察各段的长度；
（5）袋中装有4个白球和5个红球，不放回地依次从袋中每次取一球，直到首次取到红球为止，记录取球情况。

解：{}18,...,4,3)
1(=Ω
{}{}3,2,1,0)(,,,,,,,,)()2(==ΩΩii HHH HHT HTH HTT THH THT TTH TTT i {},.....6,5)3(=Ω
(){}R z y x z y x z y x z y x ∈>=++=,,,0,,,1,,)4(Ω =Ω)5(｛红，白红，白白红，白白白红，白白白白红｝
2. 设A ，B ，C 为随机试验的三个随机事件，试将下列各事件用A ，B ，C 表示出来。

（1）仅仅A 发生； （2）三个事件都发生； （3）A 与B 均发生，C 不发生； （4）至少有一个事件发生； （5）至少有两个事件发生； （6）恰有一个事件发生； （7）恰有两个事件发生； （8）没有一个事件发生； （9）不多于两个事件发生。

解：
3. 辆公共汽车出发前载有5名乘客，每位乘客独立在7个站中的任意一站离开，求下列事件的概率：
（1）第7站恰有两位乘客离去；
（2）没有两位及两位以上乘客在同一站离去。

解：
4. 一公司有16名员工，若每个员工随机地在一个月的22天工作日中挑选一天值班，问：不会出现有两个及以上的员工挑选同一天值班的概率是多少？
解： 16
162222!16⋅C
5. 一元件盒中有50个元件，其中25件一等品，15件二等品，10件次品，从中任取10件，求：
（1）恰有两件一等品，两件二等品的概率； （2）恰有两件一等品的概率； （3）没有次品的概率。

解：1050610215225**)1C C C C 10
50825225*)2C C C 1050
1040
)3C C
6. 一种福利彩票，它从1，2，…，35中开出7个基本号码（全不相同），再从1,2, …，10中开出一个特殊号码，计算出下列奖项的中奖概率。

（不需算出结果） （1） 特等奖（7个基本号码及特殊号码全中）；
（2） 一等奖（7个基本号码全中或中6个基本号码及特殊号码）； （3） 二等奖（中6个基本号码）；
解：（1） 110
7351
C C （2） 1107351286719C C C C C + （3） 1
107351
912867C C C C C
7. 将3个球随机地放入4个盒子中去，求盒子中球的最大个数分别为1，2，3的概率。

解：设i A ＝｛盒子中球的最大个数为i ｝i =1,2,3
83
4!3)(3141=⋅=C A P ， （盒中球数为1,1,1,0的情况）
169
4)(3
1323142=⋅=C C C A P ， （盒中球数为1,2,0,0的情况） 16
1
4)(3143==C A P ， （盒中球数为3,0,0,0的情况）
8. 设A ，B 是试验E 的两个事件，且P(A)=1/3, P(B)=1/2．在以下各种情况下计算(A B P （1）B A ⊂； （2）A 与B 互不相容； （3）P(AB)=1/8 解：
9. 设P (A ) > 0， P (B ) > 0 ，将下列四个数：
P (A ) 、P (AB ) 、P (A ∪B ) 、P (A ) + P (B
)
用“≤”连接它们，并指出在什么情况下等号成立.
解：P (AB) ≤P (A) ≤P (A∪B) ≤P (A) + P (B)
当AB＝A时，第一个等号成立；
当A∪B＝A时，第二个等号成立；
当A，B互不相容时，第三个等号成立；
10. 现有两种报警系统A与B，每种系统单独使用时，系统A有效的概率是0.92,系统B为0.93。

两种系统装置在一起后，至少有一个系统有效的概率是0.988，求
（1）两个系统均有效的概率；
（2）两个系统中仅有一个有效的概率。

解：由题知
(1)
(2)
11. 已知A1和A2同时发生，则A必发生，证明：P(A)≥P(A1)+ P(A2)-1
解：
12. 已知P(A)=P(B)=P(C)=1/4，P(AB)=0, P(AC)=P(BC)=1/16，计算A, B, C全不发生的概率。

13. 将两颗色子同时抛一次，已知两颗色子点数之和为奇数，求它们点数之和小于8的概率。

解：
14. 10件产品中有6件正品，4件次品，对它们逐一进行检查，求下列事件的概率 （1） 第4次才发现第一个次品；
（2） 第1、3、5次抽到正品，2、4次抽到次品。

解：设A i ＝｛第i 次抽到正品｝i=1,2,3,4,5
(1)
105
4
748495106 )
|()|()|()()(32142131214321=
⋅⋅⋅==A A A A P A A A P A A P A P A A A A P
(2)
21
1
64738594106 )
|()|()|()|()()(43215321421312154321=
⋅⋅⋅⋅==A A A A A P A A A A P A A A P A A P A P A A A A A P
注意：此题用古典概率做对也算对
15. 某人忘记电话号码的最后一个数字，他仅记得最后一位是偶数。

现在他试着拨最后一个号码， 求他拨号不超过三次而接通电话的概率。

解：
16. 某型号的显像管主要由三个厂家供货，甲、乙、丙三个厂家的产品概率分别占总数的25%, 50%, 25%. 甲、乙、丙三个厂家的产品在规定时间内能正常工作的概率分别是0.1, 0.2, 0.4. 求一个随机选取的显像管能在规定时间内正常工作的概率。

解：
17. 某超市销售一批照相机共10台，其中有3台次品，7台正品。

某顾客去选购时，超市已售出2台，该顾客从剩下的8台中任选一台，求该顾客购买到正品的概率
.
解：设A={该顾客买到正品}；B i ={已售出的2台相机中有i 台次品},i=0,1,2
3021
878685)()()(210232101
713210272
=⋅+⋅+⋅==∑=C C C C C C C B A P B P A P k k k
18. 已知一批产品中96%是合格品，用某种检验方法辨认出合格品为合格品的概率为0.98,
而误认废品是合格品的概率为0.05, 求检查合格的一件产品确系合格的概率。

解：
＝0.9979
19. 某保险公司把汽车保险客户分为＂易发＂和＂偶发＂两类．该公司的统计资料表明＂易
发＂客户占30%，一年内索赔的概率为50%，＂偶发＂客户占70%，一年内索赔的概率为10%．假设现有一客户向保险公司索赔，求该客户属于＂易发＂客户的概率． 解：设A={客户索赔}；B={客户为 ＂易发＂客户}
682.022
15
1.07.05.03.05.03.0)()()
()()
()()(≈=×+××=
=
B A P B P B A P B P B A P B P A B P ＋
20. 设甲、乙、丙三导弹向同一敌机射击，甲、乙、丙击中敌机的概率分别为0.4, 0.5, 0.7. 如
果只有一弹击中，飞机坠毁的概率为0.2；如两弹击中，飞机坠毁的概率为0.6；如三弹击中，飞机坠毁的概率为0.9。

（1）求飞机坠毁的概率；（2）若飞机已经坠毁，问飞机最有可能是被几颗导弹击中的？
解 设 A ={飞机坠毁}，B j ={恰有j 枚导弹击中飞机}，k =0,1,2,3，构成完备事件组。

C k ={第k 枚导弹击中飞机}，假定三发导弹击中飞机是相互独立的，有
09.0)7.01)(5.01)(4.01()()(3210=−−−==C C C P B P
36
.07.0)5.01)(4.01()7.01(5.0)4.01()7.01)(5.01(4.0 )
()(3213213211=×−−+−××−+−−×==C C C C C C C C C P B P ∪∪
41
.07.0)5.01(4.07
.05.0)4.01()7.01(5.04.0)(2=×−×+××−+−××=B P
14.07.05.04.0)(3=××=B P
（1）根据全概率公式
)()()(3
k k k B A P B P A P ∑== 444
.014.09.041.06.036.02.009.00=×+×+×+×=
（2）由贝叶斯公式
)
()()(22A P AB P A B P =
554.0444.06.041.0)()()(22≈×==A P B A P B P
同理，可算出=)(1A B P 0.164 , =)(3A B P 0.284, 可见，飞机最由可能是被2颗导弹击中的。

21. 设袋中装有4个球：1白，1红， 1黄，还有1个涂了红、白、黄三种颜色。

现从袋中
任取一球，设A={该球涂有白色}，B={该球涂有红色}，C={该球涂有黄色}，试讨论事件A, B, C 的独立性。

22. 设事件A ，B ，C 相互独立，且P(A)=1/4, P(B)=1/3, P(C)=1/2. 试求： （1） 三个事件都不发生的概率；
（2） 三个事件至少有一个发生的概率； （3） 三个事件恰好有一个发生的概率； （4） 至多有两个事件发生的概率。

解：
23. 不断抛掷两颗色子，设A={两颗色子点数之和为5}，B={两颗色子点数之和为7}，求A 在B 之前发生的概率。

解：设C={A 在B 之前发生},
∪∞
==1
n n C C
或：用全概率公式
设C={A 在B
之前发生}，
}5{1第一次点数之和为=D ，}7{2第一次点数之和为=D ， }75{3或第一次点数之和不是=D
5
2
)()(1813061191)()()(3
1=⇒×+×+×=
=∑=C P C P D C P D P C P k k k 24. 两个事件的互不相容与相互独立的概念有什么区别和联系？举例说明．
解：A 与B 互不相容：A 与B 满足φ=B A ∩，指A 与B 不可能同时发生。

A 与
B 相互独立：A 与B 满足)()()(B P A P AB P =或)()|(A P B A P =. 若0)(,0)(>>B P A P ，则A 与B 相互独立与A 与B 互不相容不能同时成立。

因为A 与B 互不相容,0)()(==⇒φP AB P
A 与
B 相互独立,0)()()(>=⇒B P A P AB P 两式矛盾。

上述结果从直观上是容易理解的，A 与B 相互独立，表示其中一个事件发生与否同另一个事件发生的概率无关，它并不表示A 与B 不能同时发生。

相反，若A 与B 互不相容，则另一个事件发生必然导致另一个事件不发生，它们之间有联系，自然不能相互独立。

25. 设有事件n A A ,,1 ，在下列各种条件下怎样求n A A ,,1 至少有一个发生的概率。

（1）n A A ,,1 互不相容；（2）n A A ,,1 相互独立；（3）一般情形。

解：(1) 由概率的有限可加性可得
p = P (A 1)+ P (A 2)+ …+ P (A n )
(2)
(3)用加法定理公式得。