水力学第2章 水静力学

Fpz 为作用在O`BC 面上的静水压力；
Fpn 为作用在DBC面 上的静水压力；
四面体体积：
V 1 xyz 6
总质量力在三个坐标 方向的投影为：
Fx
1 6
xyzf x
Fy
1 6
xyzf y
Fz
1 6
xyzf z
按照平衡条件，所有作用于微小四面体上的外力 在各坐标轴上投影的代数和应分别为零。
这就是物理学中著名的帕斯卡定律。
2－3 等压面
等压面：静水压强值相等的点连接成的面
（可能是平面也可能是曲面）。
等压面性质：
1．在平衡液体中等压面即是等势面。 2．等压面与质量力正交。
等压面性质：
1．在平衡液体中等压面即是等势面。
等压面上 P=Const，故 dp=0，亦即ρdU=0。 对不可压缩均质液体，ρ为常数，由此dU=0，即
2－2 液体的平衡微分方程式及其积分
液体平衡微分方程式:是表征液体处于平衡状
态下，作用于液体上表面力和质量力之间的关系式。 取平行六面体如图：
一、微分方程
1．表面力
X方向：静水压力各为 ( p p dx)dydz 及 ( p p dx)dydz 。
2．质量力
x 2
x 2
X方向： f xdxdydz 。
p p0 g(z0 z) p0 gh
式中 h = z0- z ：表示该点在自由面以下的淹没深度。
p0
：自由面上的气体压强。
静止液体内任意点的静水压强有两部分组成：一部
分是自由面上的气体压强P0，另一部分相当于单位面积 上高度为h的水柱重量。
(a)
(b)
(c)
淹没深度相同的各点静水压强相等，只适用于质
3.平衡条件
则X方向： ( p
p x
dx )dydz 2
(p
p x
dx )dydz 2
f x dxdydz
0
以
dxdydz
除上式各项并化简后为：
p x
f x
同理，对于Y、Z方向可推出类似结果，从而得到欧拉平 衡微分方程组：
p x
f x
p y
f y
(Derivedby Eulerin 1775 )(1 6)
yx
将公式（1- 3）两端分别除以Ax，Ay，Az并令x, y, z 0
则有：
Fpx Ax
Fpn An
1 3
xf x
0
lim ( Fpx V 0 Ax
Fpn An
1 3
xfx )
0
px
pn
Fpy Ay
Fpn An
1 3
yf y
0
lim ( Fpy V 0 Ay
Fpn An
1 3
yf y )
0
py
度ρ为816kg/m3，问槽底板上压强为多少？
解：槽底板为水平面,因此为 等压面，底板上各处压强相等。 底板在液面下的淹没深度 h=Lsin30°=6×1/2 =3m。
底板绝对压强：
p' pa gh 98 0.816 9.8 3 122 kN / m2
底板相对压强：
p p' pa gh 0.816 9.8 3 24kN / m2
因为底板外侧也同样受到大气压强的作用， 故底板上的实际荷载只有相对压强部分。
例：如图，一开口水箱，自由表面上的当地大气压强为 98kN/m2，在水箱右下侧连接一根封闭的测压管，今用抽气机 将管中气体抽净（即为绝对真空），求测压管水面比水箱水面
高出的h值为多少？
解：因水箱和测压管内是互相连通
的同种液体，故和水箱自由表面同高
和总压力，压力体图）
2－1 静水压强及其特性
2.1.1 静水压力与静水压强
如图所示：拉动闸门需要克服很大的净水压力 所致的壁面摩擦力.
静水压力：静止（或处于相对平衡状态）液体
作用在与之接触的表面上的水压力 称为静水压力，常以字母Fp表示。
静水压强：取微小面积ΔΑ ，令作用于 ΔΑ 的
静水压力为ΔFp ，则ΔΑ 面上单位
A点的相对压强为
pA gL sin
当被测点压强很大时：所Leabharlann Baidu测压管很长，这时可以 改用U形水银测压计。
2.6.2 U形水银测压计
在U形管内，水银面N-N为等压面，因而1点和2点压强相等。
对测压计右支 p2 pa m gh
对测压计左支
p1
p' A
gb
A点的绝对压强
p
A
pa
m gh
gb
A点的相对压强
量力只有重力的同一种连续介质。对不连续液体或一
个水平面穿过了两种不同介质，位于同一水平面上的
各点压强并不相等。
2－5 绝对压强与相对压强
2.5.1 绝对压强
假设没有大气存在的绝对真空状态作为零点计量的压强， 称为绝对压强。总是正的。
2.5.2 相对压强 把当地大气压作为零点计量的压强，称为相对压强。相
2.6.1 测压管
若欲测容器中 A 点的液体压强，可 在容器上设置一开口细管。则A、B 点位于同一等压面，两点压强相等。
pA
gh
h
pA
g
式中h 称为测压管高度或压强高度。
当A点压强较小时： 1. 增大测压管标尺读数，
提高测量精度。 2. 在测压管中放入轻质
液体（如油）。 3. 把测压管倾斜放置（见图）。
p
' A
p0
gh1
25
9.8 5
74 k Pa
pB' p0 gh2 25 9.8 2 44.6kPa
故A点静水压强比B点大。 实际上本题不必计算也可得出此结论（因淹没深度大的点， 其压强必大）。
例:如图，有一底部水平侧壁倾斜之油槽，侧壁角为300，被
油淹没部分壁长L为6m，自由面上的压强 pa =98kPa，油的密
pn
Fpz Apz
Fpn An
1 3
zf z
0
lim ( Fpz V 0 Apz
Fpn An
1 3
zf
z
)
0
pz
pn
故有：
px py pz pn
（1- 4）
因此，静水压强的第二个特性表明：平衡液体内任意一点的静水压强
仅是空间坐标的函数而与受压面的方向无关,即 :
p p(x,y,z)
(1- 5)
力势函数全微分等于单位质量力在空间移动距离ds上所作的功：
U U U dU x dx y dy z dz fxdx f ydy fzdz f ds
上式表明：作用在液体上的质量力必是有势力液体才能保持平衡
故有:
dp ( U dx U dy U dz) dU
x
y
dz
二、积分方程
因等压面上 dU=0 ，所以W=F·ds=0。也即质量力 必须与等压面正交。
注意: (1) 静止液体质量力仅为重力时，等压面必定是水 平面，也即等压面应是处处和地心引力成正交 的曲面;
(2) 平衡液体与大气相接触的自由表面为等压面； (3) 不同流体的交界面也是等压面。
2－4 重力作用下静水压强的 基本公式
面积所受的平均静水压力为：
p Fp
(1.1)
A
点的静水压强
p lim Fp A0 A
(1.2)
静水压力 Fp 的单位：牛顿（N）； 静水压强 p 的单位：牛顿／米2（N／m2），
又称为“帕斯卡”（Pa）
2.1.2 静水压强的特性 静水压强的两个重要特性：
1．静水压强的方向与垂直并指向受压面。
2．静水压强的大小和作用面的方位无关，或者说作 用于同一点上各方向的静水压强大小相等。
(a)
(b)
理论证明静水压力具有各向同性
证明：如图若能证明微小四面体无限缩小到O’点时， 四个面上的静水压强大小都相等即可。四面体所 受外力（除质量力）外如下：
Fpx 为作用在O`DB面 上的静水压力；
Fpy 为作用在O`DC 面上的静水压力；
pA m gh gb
(1.38)
式中，ρ 与ρm 分别为水和水银的密度。
2.6.3 差压计
差压计是直接测量两点压强差的装置。若左、右两容器内各盛
一种介质，其密度分别为ρA 和 ρB 。
因c-c面是等压面，于是
pA A ghA pB B ghB m gh
Fpx
Fpn
cos(n, x)
1 6
xyzf x
0
Fpy
Fpn
cos(n, x)
1 6
xyzf y
0
Fpz
Fpn
cos(n, x)
1 6
xyzf z
0
(1-3)
而四面体三个坐标面的面积为：
Ax
An
cos(n,
x)
1 2
yz，Ay
An
cos(n,
y)
1 2
xz
Az
An
cos(n,
z)
1 2
对压强可正、可负。
以 p' 表示绝对压强，p表示相对压强， pa 则表示当地的
大气压强。则有：
p p' pa gh (1.34)
地球表面大气所产生的压强为大气压强。海拔高程不同， 大气压强也有差异。我国法定计量单位中，把98223.4 Pa （=98kPa）称为一个标准大气压。
水利工程中，自由面上的气体压强等于当地大气压强，故 静止液体内任意点的相对压强为
第二章 水静力学/Hydrostatics
水静力学的任务：是研究液体平衡的规律及其实
际应用。
液体的平衡状态有两种：一种是静止状态；
另一种是相对平衡状态(相对于容器或液体 质点之间有没有相对运动）。
研究目的：分析液体对边界的作用力（ 水压力）
注意：液体在平衡状态下没有内摩擦力，此时理想液 体和实际液体一样。
对 dp dU 进行积分可得 p U C
如果已知平衡液体边界上（或液体内）某点的压强
为 p0 、力势函数为U0，则
积分常数 C＝ p0 - ρ U0
得 p p0 (U U0 )
(1 -15)
结论：平衡液体中，边界上的压强将等值地传递到液体内的
所有点上；即当 p0 增大或减小时，液体内任意点的 压强也相应地增大或减小同样数值。
程的测压管内N点，应与自由表面位于
同一等压面上，其压强应等于自由表
面上的大气压强，即
p
' N
pa
。
从测压管来考虑 pN' pa p0 gh gh
因（ p0 0 ）
故
pa
gh h
pa
g
98 9.8
10m
2－6 压强的测量
测量液体（或气体）压强的仪器很多，这里只是介 绍一些利用水静力学原理设计的液体测压计。
p ( pa gh) pa gh (1.34)
2.5.3 真空及真空度
绝对压强总是正值，相对压强可能为正也可能为负。 相对压强为负值时，则称该点存在真空。 真空度是指该点绝对压强小于当地大气压强的数值。
pk pa p'
(1.35)
绝对压强、相对压强、真空度之间的关系
例：一封闭水箱（见图），自由面上气体压强为85kN/m2， 求液面下淹没深度h为1m处点C的绝对静水压强、相对静水 压强和真空度。
p z
f z
该式的物理意义为：平衡液体中，静水压强沿某一方向的变
化率与该方向单位体积上的质量力相等，即静水压强的变化是由
作用于液体质点上的质量力引起的。
将欧拉平衡微分方程式各式分别乘以dx，dy，dz 然后相加得：
p x
dx
p y
dy
p x
dz
dp
( fxdx
f ydy
f zdz)
上式是不可压缩均质液体平衡微分方程式的另一种表达形式
解：相对静水压强：
p p' pa p0 gh pa
代入已知值后可算得
h ( p P0 pa )
g
(9.8 85 98) / 9.8 2.33m
例：如图，一封闭水箱，其自由面上气体压强为25kN/m2，试 问水箱中 A、B两点的静水压强何处为大？已知h1为5m，h2为2m。
解：A、B两点的绝对静水 压强分别为：
1. 静水压强及其特性；
2. 等压面的概念；
3. 正确判断等压面；
4. 重力作用下静水压强计算；
本 章 重
5. 绝对压强、相对压强与真空度； 6. 压强测量方法；
点 7. 等压面概念的具体应用；
8. 平面上的静水总压力（绘压力图求总压力，
解析法计算任意平面所受总压力）
9. 曲面上的静水总压力（水平分力，垂直分力
实际工程中，作用于 平衡液体上的质量力 常常只有重力，即所 谓静止液体。如取右 图所示的直角坐标系
重力作用下 fx＝0， fy＝0，fz＝－g ，代入平衡
微分方程式 dp ( fxdx f ydy fzdz) gdz
积分得：
z p C
g
而自由面上
z
z
0
,
p
g
p0
g
得出静止液体中任意点的 静水压强计算公式：
解：C点绝对静水压强为
p' p0 gh 85 9.81 94.8kPa
C点的相对静水压强为
p p' pa 94.8 98 3.2kPa
相对压强为负值，说明C点存在真空。 真空度为:
pk pa p' 98 94.8 3.2kPa
例：情况同上例，试问当C点相对压强p为9.8kN/m2时，C点在 自由面下的淹没深度h为多少？
U=Const
等压面性质：
2．等压面与质量力正交。
证明：在平衡液体中任取 一等压面，质点M质量为 dm，在质量力F作用下沿 等压面移动。
F ( fxi f y j fzk)dm ds (dxi dyj dzk)
力 F 沿 ds 移动所做的功可写作矢量F与ds的数性积：
W F ds ( fxdx f ydy fzdz)dm W dUdm