最小二乘拟合_直线
最小二乘法拟合回归直线的注意事项
最小二乘法是一种常用的回归分析方法，用于拟合一条直线以描述自变量和因变量之间的关系。
在实际应用中，最小二乘法可以帮助我们找到最符合观测数据的线性模型，从而进行预测和分析。
然而，最小二乘法也存在一些注意事项，需要我们在使用时特别留意。
下面将详细介绍最小二乘法拟合回归直线的注意事项。
一、数据的准备在使用最小二乘法拟合回归直线之前，首先需要准备好观测数据。
数据的准备包括收集样本数据、对数据进行清洗和处理，确保数据的准确性和完整性。
还需要对数据进行可视化分析，探索自变量和因变量之间的关系。
只有在数据准备充分的情况下，才能保证最小二乘法的拟合结果具有可靠性和有效性。
二、线性关系的验证在使用最小二乘法进行回归分析时，需要验证自变量和因变量之间是否存上线性关系。
线性关系的验证可以通过散点图、相关系数等统计手段进行分析。
如果自变量和因变量之间呈现非线性关系，那么使用最小二乘法拟合回归直线可能会导致模型拟合不佳，影响数据分析的准确性。
三、异常值的处理在进行最小二乘法拟合回归直线时，需要注意异常值的存在。
异常值可能会对拟合结果产生较大影响，导致模型失真。
需要对异常值进行识别和处理，可以采用箱线图、3σ原则等方法进行异常值的识别，并对异常值进行必要的调整或剔除。
四、多重共线性的检测在多元最小二乘法中，需要特别注意自变量之间是否存在多重共线性。
多重共线性会导致自变量之间存在高度相关性，从而使得最小二乘法的拟合结果不稳定，模型的解释性降低。
需要通过方差膨胀因子（VIF）等方法进行多重共线性的检测，并在必要时进行变量的调整或剔除。
五、残差的验证在进行最小二乘法拟合回归直线后，需要对模型的残差进行验证。
残差是预测值与观测值之间的差异，通过对残差的分析可以检验模型的拟合程度和预测效果。
可以使用残差图、残差分布等方法进行残差的验证，确保模型的残差符合正态分布和独立同分布的假设。
六、模型的解释和评价在使用最小二乘法拟合回归直线后，需要对模型进行解释和评价。
matlab最小二乘法确定拟合直线
matlab最小二乘法确定拟合直线最小二乘法是一种常用的数学工具，可以用于确定一组数据点的拟合直线。
在MATLAB中，使用最小二乘法进行拟合直线的步骤包括以下几个：
1. 读入数据
首先需要读入需要拟合的数据。
通常的做法是使用MATLAB中的load 函数来读入数据。
2. 绘制散点图
在进行数据拟合前，需要先绘制散点图来观察数据的分布情况。
使用MATLAB中的plot函数可以绘制出散点图。
3. 构造拟合直线
使用最小二乘法可以得到一条拟合直线的方程，这条直线可以被表示为y = mx + b，其中m表示斜率，b表示截距。
使用MATLAB中的polyfit函数可以进行多项式拟合，根据拟合的结果可以确定斜率和截距。
4. 绘制拟合直线
在得到拟合直线的方程后，可以使用MATLAB中的plot函数来绘制拟合直线。
5. 显示拟合结果
最后，需要显示出拟合结果，包括拟合直线的方程和误差等信息。
可以使用MATLAB中的disp函数来显示出这些信息。
以上是在MATLAB中使用最小二乘法确定拟合直线的基本步骤。
使用这些步骤可以轻松地进行一次数据拟合，并得出准确的拟合结果。
需要注意的是，在进行拟合时应当注意选择合适的拟合函数和拟合参数，以确保得到的拟合结果具有较高的精度和稳定性。
另外，在数据处理时也应当注意去除掉异常值，以避免对拟合结果产生干扰。
python直线拟合方法
python直线拟合方法在Python中，有多种方法可以进行直线拟合。
在这里，我将介绍两种常用的方法：最小二乘法和多项式拟合。
1. 最小二乘法（Ordinary Least Squares Method）:最小二乘法是一种常用的直线拟合方法，它通过最小化实际观测值与拟合直线之间的残差平方和来找到最佳拟合直线。
首先，我们需要导入必要的库和模块：```import numpy as npfrom numpy.linalg import inv```然后，我们定义输入的观测值的x和y向量，并通过numpy库的vstack函数将它们组合起来：```x = np.array([1, 2, 3, 4, 5])y = np.array([2, 3, 4, 5, 6])data = np.vstack([x, np.ones(len(x))]).T```接下来，通过最小二乘法计算斜率m和截距c：```m, c = np.linalg.lstsq(data, y, rcond=None)[0]```最后，可以画出拟合的直线：```import matplotlib.pyplot as pltplt.plot(x, y, 'o', label='Original data', markersize=10)plt.plot(x, m*x + c, 'r', label='Fitted line')plt.legendplt.show```运行上述代码，将会得到一条通过原始数据点的拟合直线。
2. 多项式拟合（Polynomial Fitting）:多项式拟合是一种在非线性数据集上进行拟合的方法，它通过在数据点之间绘制一条平滑的曲线来逼近数据。
在Python中，我们使用numpy.polyfit函数来进行多项式拟合。
首先，导入必要的库和模块：```import numpy as npimport matplotlib.pyplot as plt```然后，定义输入的观测值的x和y向量：```x = np.array([1, 2, 3, 4, 5])y = np.array([2, 3, 4, 5, 6])```接下来，调用numpy.polyfit函数进行多项式拟合：```coeffs = np.polyfit(x, y, deg=1)```这里deg参数指定了拟合曲线的最高次数。
直线拟合原理
直线拟合原理
直线拟合是一种数学方法，主要用于估计一组数据点的线性趋势。
其原理是寻找一条直线，使得所有数据点到该直线的距离之和最小。
直线拟合的目标是找到一条具有最小误差的直线，以最佳地描述数据点之间的关系。
这里的误差可以使用不同的度量标准，常见的包括最小二乘法和最大似然估计。
在最小二乘法中，通过最小化数据点到拟合直线的垂直距离的平方和来确定最佳拟合直线。
这可以通过求解一个简单的最小化问题来实现。
通过最小二乘法得出的拟合直线可以用线性方程 y = mx + b 来表示，其中 m 是斜率，b 是 y 轴的截距。
拟合直线的斜率代
表了数据点之间的变化率，截距表示直线与 y 轴的交点。
一旦拟合直线被确定，就可以利用它来预测新的数据点。
通过将新的 x 值代入方程 y = mx + b，可以得到对应的预测值 y。
直线拟合是一种简单但有效的数据分析方法，广泛应用于各个领域，例如经济学、物理学和工程学等。
它可以用来探究数据之间的关系、预测未来的趋势，并提供有关数据集的定量描述。
回归方程拟合直线
回归方程拟合直线回归方程是数学中常用的一种拟合方法，它用于描述两个或多个变量之间的关系。
在统计学中，回归分析常用于预测和解释因变量与自变量之间的关系。
在本文中，我们将介绍回归方程拟合直线的相关知识，并探讨它在实际问题中的应用。
回归方程是通过最小二乘法来拟合直线的一个数学模型。
最小二乘法是一种常见的数学优化方法，通过最小化残差平方和来寻找最佳拟合直线。
残差是观测值与拟合值之间的差异，残差平方和越小，拟合直线越好。
拟合直线的回归方程可以表示为：y = mx + b，其中y是因变量，x 是自变量，m是斜率，b是截距。
斜率表示直线的倾斜程度，截距表示直线与y轴的交点。
在实际问题中，回归方程拟合直线可以应用于许多领域。
例如，在经济学中，可以使用回归分析来预测销售额与广告投入之间的关系。
在医学研究中，可以使用回归分析来探究因素对疾病发生率的影响。
在环境科学中，可以使用回归分析来研究污染物排放与空气质量之间的关系。
回归方程拟合直线的过程需要进行数据收集和分析。
首先，需要收集自变量和因变量的数据。
然后，使用统计软件进行回归分析，计算出最佳拟合直线的斜率和截距。
最后，可以使用回归方程来进行预测和解释。
回归方程拟合直线的优点之一是简单易懂。
通过观察直线的斜率和截距，可以直观地了解自变量和因变量之间的关系。
此外，回归方程还可以提供预测能力，当给定自变量的值时，可以通过回归方程计算出相应的因变量值。
然而，回归方程拟合直线也存在一些限制。
首先，回归分析假设自变量和因变量之间存在线性关系，但在实际问题中，很多关系并非线性。
此外，回归分析还需要满足一些统计假设，如数据的独立性和正态性。
如果这些假设不满足，回归分析的结果可能不可靠。
在实际应用中，我们还需要注意回归方程拟合直线的解释和预测的准确性。
解释回归方程时，应该注意自变量与因变量之间的因果关系，避免因果推断的错误。
预测回归方程时，应该注意自变量的取值范围和数据的可靠性，避免过度解释和误导。
matlab最小二乘法拟合直线
matlab最小二乘法拟合直线【导言】直线拟合是数据分析和数学建模中常用的方法之一，而最小二乘法则是在直线拟合中最常用的方法之一。
在本文中，将介绍使用Matlab进行最小二乘法拟合直线的步骤和原理，并就此主题进行深入的探讨。
【正文】一、最小二乘法简介最小二乘法是一种数学优化方法，它通过最小化误差的平方和来寻找函数与观测数据之间的最佳拟合。
在直线拟合中，最小二乘法的目标是找到一条直线，使得所有观测数据点到直线的距离之和最小。
1. 确定拟合的模型在直线拟合中，我们的模型可以表示为：Y = a*X + b，其中a和b为待求参数，X为自变量，Y为因变量。
2. 计算误差对于每一个观测数据点(x_i, y_i)，计算其到直线的垂直距离d_i，即误差。
误差可以表示为：d_i = y_i - (a*x_i + b)。
3. 求解最小二乘法问题最小二乘法的目标是最小化所有观测数据点到直线的距离之和，即最小化误差的平方和：min Σ(d_i^2) = min Σ(y_i - (a*x_i + b))^2。
通过求解该最小化问题，可以得到最佳拟合的直线斜率a和截距b的值。
二、Matlab实现最小二乘法拟合直线的步骤下面将介绍使用Matlab进行最小二乘法拟合直线的基本步骤。
1. 导入数据需要将实验数据导入Matlab。
可以使用matlab自带的readtable函数从文件中读取数据，也可以使用xlsread函数直接从Excel文件中读取数据。
2. 数据预处理在进行最小二乘法拟合直线之前，先对数据进行预处理。
一般情况下，可以对数据进行去除异常值、归一化等操作，以确保数据的准确性和可靠性。
3. 拟合直线使用Matlab的polyfit函数可以实现直线拟合。
polyfit函数可以拟合输入数据的曲线或平面，并返回拟合参数。
在拟合直线时，需要指定拟合的阶数，对于直线拟合，阶数为1。
4. 绘制拟合直线使用Matlab的plot函数可以将拟合的直线绘制出来，以便于观察拟合效果。
matlab 最小二乘拟合直线并输出直线方程
在Matlab中，最小二乘法是一种常见的数学拟合技术，可以用来拟合直线，曲线甚至更复杂的函数。
通过最小二乘法，可以找到最适合数据点的直线方程，从而能够更好地分析和预测数据之间的关系。
在本文中，我将详细介绍如何在Matlab中使用最小二乘法来拟合直线，并输出直线方程。
我们需要准备一组数据点。
假设我们有一组横坐标和纵坐标的数据点，分别用变量x和y表示。
接下来，我们可以使用Matlab中的polyfit函数来进行最小二乘拟合。
该函数的语法如下：```matlabp = polyfit(x, y, 1);```其中，x和y分别代表数据点的横坐标和纵坐标，而1代表要拟合的直线的次数，即一次函数。
执行该语句后，变量p将会存储拟合出的直线的系数，即直线方程y = ax + b中的a和b。
在接下来的内容中，我将详细讨论如何通过最小二乘法拟合直线，并输出直线方程。
具体而言，我们将从如何准备数据、使用polyfit函数进行拟合、得到直线方程以及如何应用和解释直线拟合结果等方面进行全面分析。
一、数据准备在使用最小二乘法拟合直线之前，首先要准备一组数据点。
这些数据点应该是具有一定规律性的，从而能够通过直线拟合来揭示数据之间的关系。
在这一部分，我将详细介绍如何准备数据，并重点关注数据的合理性和可靠性。
1.1 数据收集要拟合直线，首先需要收集一组数据点。
这些数据点可以来源于实验观测、实际测量或者模拟计算等方式。
在收集数据时，需要保证数据的准确性和完整性。
还需要考虑数据的分布范围和密度，以便更好地反映数据之间的关系。
1.2 数据预处理在拟合直线之前，通常需要对数据进行一定的预处理。
这可能包括去除异常值、处理缺失数据，甚至进行数据变换等操作。
在这一步中，我将介绍如何进行数据预处理，并强调预处理对最终拟合结果的影响。
二、最小二乘拟合当数据准备工作完成后，就可以使用polyfit函数进行最小二乘拟合了。
在这一部分，我将详细介绍polyfit函数的使用方法，并解释其背后的数学原理。
java最小二乘法直线拟合
java最小二乘法直线拟合
Java最小二乘法直线拟合是一种常见的数学算法，用于拟合一组二维数据点的线性关系。
该算法通过最小化数据点与拟合直线之间的垂直距离的平方和来确定最佳拟合直线的斜率和截距。
在 Java 编程中，可以使用 Math 库中的函数和二维数组来实现最小二乘法直线拟合。
首先，需要将数据点存储在一个二维数组中，并计算数据点的平均值。
然后，可以使用公式计算斜率和截距。
最后，可以将拟合直线的方程式输出到控制台或图形界面上，以便于进一步处理和分析数据。
- 1 -。
python最小二乘法拟合直线
python最小二乘法拟合直线
最小二乘法是一种常用的拟合方法，可用于拟合直线。
在Python 中，可以使用SciPy库中的polyfit函数来实现最小二乘法拟合直线。
首先，我们需要导入所需的库：
```python
import numpy as np
from scipy.stats import linregress
```
接下来，我们定义一组x和y的数据，用于拟合直线：
```python
x = np.array([1, 2, 3, 4, 5])
y = np.array([2, 3, 4, 5, 6])
```
然后，我们使用polyfit函数拟合直线，并得到拟合的参数：
```python
slope, intercept, r_value, p_value, std_err = linregress(x, y) ```
其中，slope是直线的斜率，intercept是直线的截距。
最后，我们可以打印出拟合的结果：
```python
print("拟合直线的斜率为：", slope)
print("拟合直线的截距为：", intercept)
```
以上就是使用最小二乘法拟合直线的Python代码。
希望能对您
有所帮助！。
c语言最小二乘法拟合直线
c语言最小二乘法拟合直线最小二乘法是一种拟合直线或曲线的方法，适用于给定一组实验数据的情况。
在C语言中，可以使用以下步骤实现最小二乘法拟合直线：1. 定义并初始化数据变量。
例如：double x[10] = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}; double y[10] = {2.5,3.7,4.1, 4.8,5.5,6.3,7.2,8.4, 8.5,9.1};2. 求出数据变量的平均值。
例如：double sumx = 0, sumy = 0, avgx, avgy; for(int i=0; i<10; i++) { sumx += x[i]; sumy +=y[i]; } avgx = sumx / 10; avgy = sumy / 10;3. 求出数据变量的协方差和方差。
例如：double s_xx = 0,s_xy = 0, s_yy = 0; for(int i=0; i<10; i++) { s_xx += (x[i] - avgx) * (x[i] - avgx); s_xy += (x[i] - avgx) * (y[i] - avgy); s_yy += (y[i] - avgy) * (y[i] - avgy); }4. 求出拟合直线的斜率和截距。
例如：double slope = s_xy / s_xx; double intercept = avgy - slope * avgx;5. 输出结果。
例如：printf("拟合直线方程为 y = %.2fx+ %.2f", slope, intercept);通过以上步骤，就可以使用最小二乘法拟合给定数据的直线。
最小二乘拟合法公式
最小二乘拟合法公式最小二乘拟合法是一种常用的数学方法，用于找到一条直线或曲线来近似拟合给定的数据点集。
该方法通过最小化数据点到拟合线的距离的平方和，来确定最佳拟合线的参数。
最小二乘拟合法的公式可以表示为：y = a + bx其中，y是因变量，x是自变量，a和b是拟合线的参数。
最小二乘拟合法的目标是找到最佳的参数a和b，使得拟合线与数据点的距离的平方和最小。
为了求解最小二乘拟合法的参数，需要先计算数据点的均值。
然后，通过计算协方差和方差来得到参数a和b的估计值。
在计算过程中，需要使用以下公式：b = Σ((xi - x_mean) * (yi - y_mean)) / Σ((xi - x_mean)^2)a = y_mean -b * x_mean其中，xi和yi是数据点的坐标，x_mean和y_mean是数据点的均值。
最小二乘拟合法的步骤如下：1. 输入数据点集，包括自变量x和因变量y。
2. 计算x和y的均值。
3. 根据公式计算b的值。
4. 根据公式计算a的值。
5. 得到拟合线的参数a和b。
6. 可以使用拟合线的参数来预测新的数据点。
最小二乘拟合法是一种广泛应用于各个领域的数学方法。
它可以用于拟合直线、曲线和多项式等形式的函数。
在实际应用中，最小二乘拟合法可以用于解决各种问题。
例如，在经济学中，可以使用最小二乘拟合法来拟合经济模型和预测经济趋势。
在物理学中，可以使用最小二乘拟合法来拟合实验数据和研究物理现象。
在工程学中，可以使用最小二乘拟合法来拟合曲线和评估工程设计。
最小二乘拟合法在实际应用中具有很高的准确性和可靠性。
通过最小化数据点到拟合线的距离的平方和，可以得到最佳的拟合结果。
然而，需要注意的是，最小二乘拟合法只能得到最佳拟合结果，而不能保证拟合线与所有数据点完全吻合。
最小二乘拟合法是一种常用的数学方法，用于找到一条直线或曲线来近似拟合给定的数据点集。
通过最小化数据点到拟合线的距离的平方和，可以确定最佳的拟合线的参数。
最小二乘法求拟合直线公式
最小二乘法求拟合直线公式假设有一组实际数据点{(x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn)}，我们要找到最佳的直线函数y = mx + c，使得该直线与数据点之间的误差最小。
首先，定义误差（ei）为每一个数据点与直线函数之间的垂直距离，可以表示为：ei = yi - (mx + c)其次，定义误差的平方和（S）为所有数据点与直线函数之间误差的平方和，可以表示为：S = Σ(ei^2) = Σ(yi - (mx + c))^2首先，我们对S关于m求导，并令导数等于零，求得m的解析解。
对S关于m求导：dS/dm = -2Σ(yi - (mx + c))x = 0整理得：Σyi - mΣx - n·c = 0其中，n是数据点的个数。
进一步整理得出m的解析解：m = (nΣxiyi - ΣxiΣyi) / (nΣxi^2 - (Σxi)^2)接下来，我们对S关于c求导，并令导数等于零，求得c的解析解。
对S关于c求导：dS/dc = -2Σ(yi - (mx + c)) = 0整理得：Σyi - mΣx - nc = 0进一步整理得出c的解析解：c = (Σyi - mΣx) / n综上所述，对于给定的数据点，通过最小二乘法可以得到拟合直线函数：y = mx + c其中m和c的解析解可以通过上述公式计算得出。
需要注意的是，当数据点之间存在线性关系时，最小二乘法可以找到最佳的直线拟合函数。
然而，当数据点之间存在非线性关系时，最小二乘法可能不适用，需要考虑其他方法进行数据拟合。
最小二乘法求拟合直线是一种常用且有效的方法，可以在多个领域中得到应用。
它不仅可以用来分析实际数据，也可用于计算机视觉、图像处理、机器学习等领域中的问题。
通过最小二乘法求得的直线拟合函数可以作为数据的预测模型，用于预测未知数据点的值，并进行相关的分析和决策。
最小二乘法的应用也不仅局限于直线拟合，它可以用于拟合多项式函数、指数函数、对数函数等，只需要在拟合过程中选择适当的函数形式即可。
matlab 最小二乘拟合直线
一、概述Matlab是一种功能强大的计算机软件，广泛应用于工程、科学和数学领域。
其中，最小二乘法是一种常用的数学拟合方法，能够通过最小化数据点到拟合曲线的垂直距离来找到最佳拟合直线。
二、最小二乘拟合直线原理1. 最小二乘法是一种数学优化技术，用于拟合和分析数据。
在拟合直线的问题中，最小二乘法能够找到一条直线，使得该直线到各个数据点的垂直距离之和最小。
2. 拟合直线一般用线性方程表示：y = mx + b，其中m为直线的斜率，b为直线的截距。
通过最小二乘法，可以通过数据点的坐标来求解出最佳的斜率m和截距b。
三、Matlab实现最小二乘拟合直线1. 在Matlab中，可以使用polyfit函数来进行最小二乘拟合直线的计算。
该函数的语法为：p = polyfit(x, y, n)，其中x和y为输入的数据点坐标，n为拟合的多项式阶数。
在拟合直线的情况下，n取1即可。
2. polyfit函数会返回拟合直线的斜率和截距，分别对应于p(1)和p(2)。
通过这两个参数，就可以得到最佳拟合直线的方程形式。
四、示例代码以下是一个简单的示例代码，演示了如何使用Matlab进行最小二乘拟合直线：``` matlab输入数据点坐标x = [1, 2, 3, 4, 5];y = [2, 3, 3.5, 4, 5];使用polyfit函数进行拟合p = polyfit(x, y, 1);获取拟合直线的斜率和截距m = p(1);b = p(2);打印拟合直线方程fprintf('拟合直线方程为：y = .2fx + .2f\n', m, b);```五、总结通过最小二乘法拟合直线，可以更好地理解数据点的分布趋势，并且可以为后续的数据分析和预测提供参考。
Matlab作为一款强大的计算工具，能够快速、准确地进行最小二乘拟合直线的计算，并为科研工作者和工程师们提供了便利的数据分析工具。
希望读者通过本文的介绍，能够更加深入地理解最小二乘拟合直线的原理和在Matlab中的实现方法。
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最小二乘拟合在物理实验中经常要观测两个有函数关系的物理量。
根据两个量的许多组观测数据来确定它们的函数曲线，这就是实验数据处理中的曲线拟合问题。
这类问题通常有两种情况：一种是两个观测量x 与y 之间的函数形式已知，但一些参数未知，需要确定未知参数的最佳估计值；另一种是x 与y 之间的函数形式还不知道，需要找出它们之间的经验公式。
后一种情况常假设x 与y 之间的关系是一个待定的多项式，多项式系数就是待定的未知参数，从而可采用类似于前一种情况的处理方法。
一、最小二乘法原理在两个观测量中，往往总有一个量精度比另一个高得多，为简单起见把精度较高的观测量看作没有误差，并把这个观测量选作x ，而把所有的误差只认为是y 的误差。
设x 和y 的函数关系由理论公式y ＝f （x ；c 1，c 2，……c m ） （0-0-1）给出，其中c 1，c 2，……c m 是m 个要通过实验确定的参数。
对于每组观测数据（x i ，y i ）i ＝1，2，……，N 。
都对应于xy 平面上一个点。
若不存在测量误差，则这些数据点都准确落在理论曲线上。
只要选取m 组测量值代入式（0-0-1），便得到方程组y i ＝f （x ；c 1，c 2，……c m ） （0-0-2） 式中i ＝1，2，……，m.求m 个方程的联立解即得m 个参数的数值。
显然N<m 时，参数不能确定。
在N>m 的情况下，式（0-0-2）成为矛盾方程组，不能直接用解方程的方法求得m 个参数值，只能用曲线拟合的方法来处理。
设测量中不存在着系统误差，或者说已经修正，则y 的观测值y i 围绕着期望值 <f （x ；c 1，c 2，……c m ）> 摆动，其分布为正态分布，则y i 的概率密度为()()[]⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧--=22212,......,,;exp 21i mi i i i c c c x f y y p σσπ,式中i σ是分布的标准误差。
为简便起见，下面用C 代表（c 1，c 2，……c m ）。
考虑各次测量是相互独立的，故观测值（y 1，y 2，……c N ）的似然函数()()[]⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧--=∑=N i i i N N C x f y L 12221;21ex p (21)σσσσπ.取似然函数L 最大来估计参数C ，应使()[]min ;1122=-∑=Ni i i i C x f y σ （0-0-3）取最小值：对于y 的分布不限于正态分布来说，式（0-0-3）称为最小二乘法准则。
若为正态分布的情况，则最大似然法与最小二乘法是一致的。
因权重因子2/1i i σω=，故式（0-0-3）表明，用最小二乘法来估计参数，要求各测量值y i 的偏差的加权平方和为最小。
根据式（0-0-3）的要求，应有()[]()m k C x f yc cc Ni i iik,...,2,10;1ˆ122==-∂∂==∑σ从而得到方程组()[]()()m k CC x f C x f y cc Ni ki i i,...,2,10;;1ˆ12==∂∂-==∑σ （0-0-4）解方程组（0-0-4），即得m 个参数的估计值m c c c ˆ,...,ˆ,ˆ21，从而得到拟合的曲线方程()m c c c x f ˆ,...,ˆ,ˆ;21。
然而，对拟合的结果还应给予合理的评价。
若y i 服从正态分布，可引入拟合的x 2量，()[]∑=-=Ni i i iC x f y x 1222;1σ （0-0-5）把参数估计()m c c c c ˆ,...,ˆ,ˆˆ21=代入上式并比较式（0-0-3），便得到最小的x 2值()[]∑=-=Ni i i ic x f y x1222minˆ;1σ （0-0-6）可以证明，2m in x 服从自由度v ＝N-m 的x 2分布，由此可对拟合结果作x 2检验。
由x 2分布得知，随机变量2m in x 的期望值为N-m 。
如果由式（0-0-6）计算出2m in x 接近N-m（例如m N x -≤2min ），则认为拟合结果是可接受的；如果22min >--m N x ，则认为拟合结果与观测值有显著的矛盾。
二、直线的最小二乘拟合曲线拟合中最基本和最常用的是直线拟合。
设x 和y 之间的函数关系由直线方程y ＝a 0+a 1x (0-0-7)给出。
式中有两个待定参数，a 0代表截距，a 1代表斜率。
对于等精度测量所得到的N 组数据（x i ，y i ），i ＝1，2……，N ，x i 值被认为是准确的，所有的误差只联系着y i 。
下面利用最小二乘法把观测数据拟合为直线。
1．直线参数的估计前面指出，用最小二乘法估计参数时，要求观测值y i 的偏差的加权平方和为最小。
对于等精度观测值的直线拟合来说，由式（0-0-3）可使()[]aa Ni i ix a ay ˆ1210==∑+- （0-0-8）最小即对参数a （代表a 0，a 1）最佳估计，要求观测值y i 的偏差的平方和为最小。
根据式（0-0-8）的要求，应有()[](),0ˆˆ2110ˆ12100=---=+-∂∂∑∑===Ni i i aa Ni i ix a ay x a ay a ()[]().0ˆˆ2110ˆ12101=---=+-∂∂∑∑===Ni i i aa Ni i ix a ay x a ay a整理后得到正规方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+∑∑∑∑∑.ˆˆ,ˆˆ21010i i i i i i y x x a x a y x a N a解正规方程组便可求得直线参数a 0和a 1的最佳估计值0ˆa 和1ˆa 。
即()()()()()()2220ˆ∑∑∑∑∑∑--=iiii iiix x N y x x y x a（0-0-10） ()()()()()221ˆ∑∑∑∑∑--=iiiiii x x N y x y x N a（0-0-11）2．拟合结果的偏差由于直线参数的估计值0ˆa和1ˆa是根据有误差的观测数据点计算出来的，它们不可避免地存在着偏差。
同时，各个观测数据点不是都准确地落地拟合线上面的，观测值y i 与对应于拟合直线上的i y ˆ这之间也就有偏差。
首先讨论测量值y i 的标准差S 。
考虑式（0-0-6），因等精度测量值y i 所有的i σ都相同，可用y i 的标准偏差S 来估计，故该式在等精度测量值的直线拟合中应表示为()[].ˆˆ1121022min∑=+-=Ni ix aay Sx（0-0-12）已知测量值服从正态分布时，2m in x 服从自由度v ＝N-2的x 2分布，其期望值()[].2ˆˆ1121022min-=+-=∑=N x aay SxNi i i由此可得y i 的标准偏差()[].ˆˆ212110∑=+--=Ni i i x a a y N S （0-0-13）这个表示式不难理解，它与贝塞尔公式是一致的，只不过这里计算S 时受到两参数0ˆa和1ˆa估计式的约束，故自由度变为N-2罢了。
式（0-0-13）所表示的S 值又称为拟合直线的标准偏差，它是检验拟合结果是否有效的重要标志。
如果xy 平面上作两条与拟合直线平行的直线,ˆˆ,ˆˆ1010S x a a y S x a ay ++=''-+='如图0-0-1所示，则全部观测数据点（x i ，y i ）的分布，约有68.3%的点落在这两条直线之间的范围内。
图0-0-1 拟合直线两侧数据点的分布下面讨论拟合参数偏差，由式（0-0-10）和（0-0-11）可见，直线拟合的两个参数估计值0ˆa和1ˆa是y i 的函数。
因为假定x I 是精确的，所有测量误差只有y i 有关，故两个估计参数的标准偏差可利用不确定度传递公式求得，即.ˆ;ˆ21121010∑∑==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=Ni ia Ni i a S y aS S y aS把式（0-0-10）与（0-0-11）分别代入上两式，便可计算得()();2220∑∑∑-=iiia x x Nx SS （0-0-14）()().221∑∑-=i ia x x N NSS （0-0-15）三、相关系数及其显著性检验当我们把观测数据点（x i ，y i ）作直线拟合时，还不大了解x 与y 之间线性关系的密切程度。
为此要用相关系数ρ（x ，y ）来判断。
其定义已由式（0-0-12）给出，现改写为另一种形式，并改用r 表示相关系数，得()()()()2/122⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⋅---=∑∑∑i i i i ii iy x x x y y x xr （0-0-16）式中x 和y 分别为x 和y 的算术平均值。
r 值范围介于-1与+1之间，即-1≤r ≤1。
当r>0时直线的斜率为正，称正相关；当r<0时直线的斜率为负，称负相关。
当|r|＝1时全部数据点（x i ，y i ）都落在拟合直线上。
若r ＝0则x 与y 之间完全不相关。
r 值愈接近±1则它们之间的线性关系愈密切。