上海中学2019-2020学年高一上学期期末数学试卷 (有解析)

上海中学2019-2020学年高一上学期期末数学试卷

一、选择题（本大题共4小题，共12.0分）

1. 下列函数中，既是奇函数又在(0,+∞)上单调递增的是( )

A. f(x)=−1x

B. f(x)=3x

C. f(x)=x 2+1

D. f(x)=sinx

2. 已知f(x)是偶函数，且在(−∞,0]上是增函数．若f(lnx)

A. (e,+∞)

B. (1e ,e)

C. (e,+∞)∪(0,1e )

D. (1e ,e)∪(e,+∞) 3. 若定义在R 上的函数f(x)，其图象是连续不断的，且存在常数λ(λ∈R)使得f(x +λ)+λf(x)=0对任意的实数x 都成立，则称f(x)是一个“λ−特征函数”.下列结论中正确的个数为( ) ①f(x)=0是常数函数中唯一的“λ−特征函数”； ②f(x)=2x +1不是“λ−特征函数”； ③“13−特征函数”至少有一个零点； ④f(x)=e x 是一个“λ−特征函数”． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

4. 已知函数f(x)=x|x|−mx +1有三个零点，则实数m 的取值范围是( )

A. (0,2)

B. (2,+∞)

C. (−∞,−2)

D. [2,+∞)

二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）

5. 函数y =√3x −1+lg (1−x )的定义域是__________．

6. 若函数f(x)=x 2+(a+1)x+a x 为奇函数，则实数a =______．

7. 函数f(x)=log a (2x −3)+1(a >0且a ≠1)的图像过定点________________

8. 已知3a =4,3b =5则3a+b 的值为__________.

9. 已知定义在R 上的函数f(x)满足：

对于任意的实数x ，y ，都有f(x −y)=f(x)+y(y −2x +1)，且f(−1)=3，则函数f(x)的解析式为________．

10. 若幂函数f (x )=(m 2−4m +4)·x m 2−6m+8在(0,+∞)上为增函数，则m 的值为________．

11. 已知函数f(x)={−x 2,x ≥02−x −1,x <0，则f −1[f −1(−9)]=______

12. 已知函数f(x)=log 12

(x 2−6x +5)在(a,+∞)上是减函数，则函数a 的取值范围是________ ．

13. 已知函数f(x)=log 2(−x 2+ax +3)在(2,4)上是单调递减的，则a 的取值范围是_____________．

14. 已知函数f (x )={−x,x ≤0,x 2−2x,x >0,

则满足f(x)<1的x 的取值范围是________ 15. 已知函数f(x)=log 1

2(x +1)+log 2(x −1)，对任意x ∈[3,5]，f(x)≥m −2x 恒成立，则实数m 取值范围是__________．

16. 已知函数

，有如下结论：①，有；②，有；③，有；④

，有

.其中正确结论的序号是__________.(写出所有

正确结论的序号)

三、解答题（本大题共5小题，共60.0分） 17. 求下列函数的反函数：

(1)y =1+log 2(x −1)

(2)y =x 2−1(−1≤x ≤0)

18. 已知函数f(x)=a x −1

a x +1(a >1)．

(1)根据定义证明：函数f(x)在(−∞,+∞)上是增函数；

(2)根据定义证明：函数f(x)是奇函数．

19.为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源消耗，可在建筑物的外墙加装不超过10厘米厚的隔热

层．某幢建筑物要加装可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层的加装成本为6万元，该建筑

(0≤物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：厘米)满足关系：C(x)=k

3x+5 x≤10).若不加装隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f(x)为隔

热层加装费用与20年的能源消耗费用之和．

(Ⅰ)求k的值及f(x)的表达式；

(Ⅱ)隔热层加装厚度为多少厘米时，总费用f(x)最小？并求出最小总费用．

20.已知函数f(x)=√x2−1+p．

(1)求函数f(x)的定义域；

(2)若存在区间，当x∈[m,n]时以f(x)的值域为[m2,n2]，求实数p的取值范围．

21. 已知函数f(x)={2x −1,x ≥0ax 2+bx,x <0

，且f(−1)=f(1)、f(−2)=f(0)， (1)求函数f(x)的解析式；

(2)若函数g(x)=f(x)−m 有3个零点，求m 的取值范围．

-------- 答案与解析 --------

1.答案：A

解析：

本题考查函数的奇偶性和单调性判断，属于基础题．

逐项判断即可．

是奇函数，且在(0,+∞)上单调递增，∴该选项正确；

解：A.f(x)=−1

x

B.f(x)=3x是非奇非偶函数，∴该选项错误；

C.f(x)=x2+1是偶函数，不是奇函数，∴该选项错误；

D.f(x)=sinx在(0,+∞)上没有单调性，∴该选项错误．

故选：A．

2.答案：C

解析：解：∵f(x)是偶函数，且在(−∞,0]上是增函数，

∴f(lnx)

即|lnx|>1，得lnx>1或lnx<−1，解得x>e或0

，

e

故选C

根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论．

本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性和单调性之间的关系将不等式进行等价转化是解决本题的关键．

3.答案：C

解析：

本题考查函数的概念及构成要素，考查函数的零点，正确理解λ−特征函数的概念是关键，属于中档题．

利用新定义“λ−特征函数”，对A、B、C、D四个选项逐个判断即可得到答案．