上海中学2019-2020学年高一上学期期末数学试卷 (有解析)

上海中学2019-2020学年高一上学期期末数学试卷
一、选择题（本大题共4小题，共12.0分）
1. 下列函数中，既是奇函数又在(0,+∞)上单调递增的是( )
A. f(x)=−1x
B. f(x)=3x
C. f(x)=x 2+1
D. f(x)=sinx
2. 已知f(x)是偶函数，且在(−∞,0]上是增函数．若f(lnx)<f(1)，则x 的取值范围是( )
A. (e,+∞)
B. (1e ,e)
C. (e,+∞)∪(0,1e )
D. (1e ,e)∪(e,+∞) 3. 若定义在R 上的函数f(x)，其图象是连续不断的，且存在常数λ(λ∈R)使得f(x +λ)+λf(x)=0对任意的实数x 都成立，则称f(x)是一个“λ−特征函数”.下列结论中正确的个数为( ) ①f(x)=0是常数函数中唯一的“λ−特征函数”； ②f(x)=2x +1不是“λ−特征函数”； ③“13−特征函数”至少有一个零点； ④f(x)=e x 是一个“λ−特征函数”． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
4. 已知函数f(x)=x|x|−mx +1有三个零点，则实数m 的取值范围是( )
A. (0,2)
B. (2,+∞)
C. (−∞,−2)
D. [2,+∞)
二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）
5. 函数y =√3x −1+lg (1−x )的定义域是__________．
6. 若函数f(x)=x 2+(a+1)x+a x 为奇函数，则实数a =______．
7. 函数f(x)=log a (2x −3)+1(a >0且a ≠1)的图像过定点________________
8. 已知3a =4,3b =5则3a+b 的值为__________.
9. 已知定义在R 上的函数f(x)满足：
对于任意的实数x ，y ，都有f(x −y)=f(x)+y(y −2x +1)，且f(−1)=3，则函数f(x)的解析式为________．
10. 若幂函数f (x )=(m 2−4m +4)·x m 2−6m+8在(0,+∞)上为增函数，则m 的值为________．
11. 已知函数f(x)={−x 2,x ≥02−x −1,x <0，则f −1[f −1(−9)]=______
12. 已知函数f(x)=log 12
(x 2−6x +5)在(a,+∞)上是减函数，则函数a 的取值范围是________ ．
13. 已知函数f(x)=log 2(−x 2+ax +3)在(2,4)上是单调递减的，则a 的取值范围是_____________．
14. 已知函数f (x )={−x,x ≤0,x 2−2x,x >0,
则满足f(x)<1的x 的取值范围是________ 15. 已知函数f(x)=log 1
2(x +1)+log 2(x −1)，对任意x ∈[3,5]，f(x)≥m −2x 恒成立，则实数m 取值范围是__________．
16. 已知函数
，有如下结论：①，有；②，有；③，有；④
，有
.其中正确结论的序号是__________.(写出所有
正确结论的序号)
三、解答题（本大题共5小题，共60.0分） 17. 求下列函数的反函数：
(1)y =1+log 2(x −1)
(2)y =x 2−1(−1≤x ≤0)
18. 已知函数f(x)=a x −1
a x +1(a >1)．
(1)根据定义证明：函数f(x)在(−∞,+∞)上是增函数；
(2)根据定义证明：函数f(x)是奇函数．
19.为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源消耗，可在建筑物的外墙加装不超过10厘米厚的隔热
层．某幢建筑物要加装可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层的加装成本为6万元，该建筑
(0≤物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：厘米)满足关系：C(x)=k
3x+5 x≤10).若不加装隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f(x)为隔
热层加装费用与20年的能源消耗费用之和．
(Ⅰ)求k的值及f(x)的表达式；
(Ⅱ)隔热层加装厚度为多少厘米时，总费用f(x)最小？并求出最小总费用．
20.已知函数f(x)=√x2−1+p．
(1)求函数f(x)的定义域；
(2)若存在区间，当x∈[m,n]时以f(x)的值域为[m2,n2]，求实数p的取值范围．
21. 已知函数f(x)={2x −1,x ≥0ax 2+bx,x <0
，且f(−1)=f(1)、f(−2)=f(0)， (1)求函数f(x)的解析式；
(2)若函数g(x)=f(x)−m 有3个零点，求m 的取值范围．
-------- 答案与解析 --------
1.答案：A
解析：
本题考查函数的奇偶性和单调性判断，属于基础题．
逐项判断即可．
是奇函数，且在(0,+∞)上单调递增，∴该选项正确；
解：A.f(x)=−1
x
B.f(x)=3x是非奇非偶函数，∴该选项错误；
C.f(x)=x2+1是偶函数，不是奇函数，∴该选项错误；
D.f(x)=sinx在(0,+∞)上没有单调性，∴该选项错误．
故选：A．
2.答案：C
解析：解：∵f(x)是偶函数，且在(−∞,0]上是增函数，
∴f(lnx)<f(1)，等价为f(|lnx|)<f(1)，
即|lnx|>1，得lnx>1或lnx<−1，解得x>e或0<x<1
，
e
故选C
根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论．
本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性和单调性之间的关系将不等式进行等价转化是解决本题的关键．
3.答案：C
解析：
本题考查函数的概念及构成要素，考查函数的零点，正确理解λ−特征函数的概念是关键，属于中档题．
利用新定义“λ−特征函数”，对A、B、C、D四个选项逐个判断即可得到答案．
解：对于①设f(x)=C是一个“λ−特征函数”，则(1+λ)C=0，当时，可以取实数集，因此f(x)=0不是唯一一个常数“λ−特征函数”，故①错误；
对于②，∵f(x)=2x+1，∴f(x+λ)+λf(x)=2(x+λ)+1+λ(2x+1)=0，即
，
∴当时，；λ≠−1时，f(x+λ)+λf(x)=0有唯一解，
∴不存在常数λ(λ∈R)使得f(x+λ)+λf(x)=0对任意实数x都成立，
∴f(x)=2x+1不是“λ−特征函数”，故②正确；
对于③，令x=0得f(1
3)+1
3
f(0)=0，所以，
若f(0)=0，显然f(x)=0有实数根；若f(x)≠0，．
又∵f(x)的函数图象是连续不断的，∴f(x)在(0,1
3
)上必有实数根，
因此任意的“λ−特征函数”必有根，即任意“1
3
−特征函数”至少有一个零点，故③正确；
对于④，假设f(x)=e x是一个“λ−特征函数”，则e x+λ+λe x=0对任意实数x成立，则有e x+λ= 0，而此式有解，
所以f(x)=e x是“λ−特征函数”，故④正确．
综上所述，结论正确的是②③④，共3个．
故选C．
4.答案：B
解析：
本题主要考查函数与方程的应用，考查利用参数分离法以
及数形结合思想，属于中档题．
f(x)=x|x|−mx+1得x|x|+1=mx，利用参数分离法得
m=|x|+1
x ，构造函数g(x)=|x|+1
x
，转化为两个函数的
交点个数问题进行求解即可．
解：由f(x)=x|x|−mx+1得x|x|+1=mx，
当x =0时，方程不成立，
即x ≠0，
则方程等价为m =|x|+1x ，设g(x)=|x|+1x ，
当x <0时，g(x)=−x +1x 为减函数，
当x >0时，g(x)=x +1x ，
则g(x)在(0,1)上为减函数，则(1,+∞)上为增函数，
即当x =1时，函数取得最小值g(1)=1+1=2，
作出函数g(x)的图象如图：
要使f(x)=x|x|−mx +1有三个零点，
则等价为m =|x|+1x 有三个不同的根，
即y =m 与g(x)有三个不同的交点，则由图象知m >2，
故实数m 的取值范围是(2,+∞)，
故选：B ． 5.答案：[13,1)
解析：
本题考查函数的定义域，根据题意可得{3x −1≥01−x >0
，解不等式组即可求得结果． 解：根据题意可得{3x −1≥01−x >0
， 解得13≤x <1，
因此函数的定义域为[13,1)．
故答案为[13,1)． 6.答案：−1
解析：
利用奇函数的性质即可得出．
本题考查了函数的奇偶性，属于基础题．
解：∵函数f(x)=x2+(a+1)x+a
x
为奇函数，
∴f(−x)+f(x)=x2−(a+1)x+a
−x +x2+(a+1)x+a
x
=0，
化为(a+1)x=0，
∴a+1=0，
解得a=−1．
故答案为：−1．
7.答案：(2,1)
解析：
本题考查对数函数恒过定点问题，属于基础题．
熟练掌握是解决此类问题的关键．
解：∵当2x−3=1即x=2时，此时y=1，
∴函数f(x)=log a(2x−3)+1(a>0且a≠1)的图象恒过定点(2,1)．故答案为(2,1)．
8.答案：20
解析：
本题考查指数的运算.由同底数幂的运算法则进行计算即可．
解：∵3a=4,3b=5，
∴3a+b=3a×3b=20．
故答案为20．
9.答案：f(x)=x2−x+1
解析：
本题考查抽象函数解析式的求解，属于中档题目．
解：令x=0，y=−x，得f(x)=f(0)+x2−x．
把x=−1代入上式，得f(0)=f(−1)−2=1，
从而有f(x)=x 2−x +1．
故答案为f(x)=x 2−x +1．
10.答案：1
解析：
本题考查了幂函数的定义与性质，由函数f(x)为幂函数可知m 2−4m +4=1，解出m 的值，再根据函数在(0,+∞)上为增函数判断出满足条件的m 值．
解：函数f(x)为幂函数，
所以m 2−4m +4=1，解得m =1或m =3，
又因为f (x )=(m 2−4m +4)·x m 2−6m+8在(0,+∞)上为增函数，
所以m 2−6m +8>0，解得m >4或m <2，
综上可知m =1，
故答案为1．
11.答案：−2
解析：解：∵函数f(x)={−x 2,x ≥02−x −1,x <0
， ∴x ≥0时，y =−x 2，x =√−y ，x ，y 互换，得f −1(x)=√−x ，x ≤0，
x <0时，y =2−x −1，x =−log 2(y +1)，x ，y 互换得f −1(x)=−log 2(x +1)，x >0，
∴f −1(x)={√−x,x ≤0−log 2(x +1),x >0
， ∴f −1(−9)=3，f −1[f −1(−9)]=f −1(3)=−2．
故答案为：−2．
推导出f −1(x)={√−x,x ≤0−log 2(x +1),x >0
，从而f −1(−9)=3，进而f −1[f −1(−9)]=f −1(3)，由此能求出结果．
本题考查函数值的求法，考查函数性质、反函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
12.答案：[5,+∞)
解析：
本昰考查对数函数的单调区间的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意对数函数性质的灵活运用．设t=x2−6x+5，由x2−6x+5>0，解得x<1或x>5.在(5,+∞)t=x2−6x+5是递增的，
y=log1
2x也是递减的，所以f(x)=log 1
2
(x2−6x+5)在(5,+∞)上是单调递减的，由此求得a≥5．
解：设t=x2−6x+5x2−6x+5>0，解得x<1或x>5.在(−∞,1)上t=x2−6x+5是递减的，
y=log 1
2x也是递减的，所以f(x)=log 1
2
(x2−6x+5)在(−∞,1)上是单调递增的，在(5,+∞)t=
x2−6x+5是递增的，
y=log 1
2x也是递减的，所以f(x)=log1
2
(x2−6x+5)在(5,+∞)上是单调递减的，所以a≥5．
故答案为[5,+∞)．
13.答案：[13
4
,4]
解析：
本题考查了复合函数的单调性及对数函数的性质，是基础题．
由复合函数的单调性可知内函数在(2,4)上为减函数，则需要其对称轴小于等于2且当函数在x=4时的函数值大于等于0，由此联立不等式组得答案．
解：令t=−x2+ax+3，则原函数化为y=log2t，
为增函数，
∴t=−x2+ax+3在(2,4)是单调递减，对称轴为x=a
2
，
∴a
2
⩽2且−42+4a+3⩾0，
解得：13
4
⩽a⩽4，
∴a的范围是[13
4
,4]．
故答案为[13
4
,4]．
14.答案：
解析：
本题考查了一元二次不等式的解法，考查了分类讨论的数学思想方法，属中档题．
解：因为函数f (x )={−x,x ≤0,x 2−2x,x >0,
则f(x)<1等价于{x ≤0−x <1①或{x >0x 2−2x <1
②． 解得①得−1<x ≤0，解②得0<x <1+√2√2．
所以f(x)<1的x 的取值范围是(−1,1+√2).
故答案为．
15.答案：(−∞,7]
解析：函数f(x)的定义域是(1,+∞)，f(x)=log 12(x +1)+log 2(x −1)=log 2x−1x+1=log 2(1−2
x+1)，因为y =1−2
x+1在(1,+∞)上递增，所以函数f(x)在(1,+∞)上递增，f(x)≥m −2x ，即m ≤f(x)+2x ，
知y =f(x)+2x 在[3,5]上递增，所以m ≤7． 16.答案：②③④
解析：因为：，所以
，所以①不正确，②正确；因为y =
ln(1+x)在(−1,1)递增，y =ln(1−x)在(−1,1)递减，所以函数在 上为增函数，所以③正确；又因为，所以在是增函数且函数图象上升的越来越快，呈下凸状态，所以
，有，所以④正确．所以答案应填：
②③④． 17.答案：解：(1)由y =1+log 2(x −1)，化为：x −1=2y−1，即x =1+2y−1，把x 与y 互换可得反函数：y =1+2x−1，(y >1)．
(2)y =x 2−1，−1≤x ≤0，可得y ∈[−1,0]，解得x =−√y +1.把x 与y 互换可得反函数为：y =−√x +1，x ∈[−1,0]，
解析：(1)(2)利用方程的解法，用y 表示x ，求出其范围，再把x 与y 互换即可得出．
本题考查了反函数的求法、函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
18.答案：证明：(1)f(x)=1−2
a x+1
，令m<n，
则f(m)−f(n)
=1−
2
a m+1
−1+
2
a n+1
=2(a m−a n)
(a n+1)(a m+1)
，
∵a>1，m<n，则a m<a n，(a n+1)(a m+1)>0，
故2(a m−a n)
(a n+1)(a m+1)
<0，
故f(m)−f(n)<0，
故f(x)在R递增；
(2)由题意函数的定义域是R，关于原点对称，
又f(−x)=a −x−1
a−x+1=−a x−1
a x+1
=−f(x)，
故f(x)是奇函数．
解析：(1)根据函数的单调性的定义证明函数的单调性即可；
(2)根据函数的奇偶性的定义证明函数的奇偶性即可．
本题考查了函数的单调性和函数的奇偶性问题，考查定义的应用，是一道基础题．
19.答案：解：(Ⅰ)由已知，当x=0时，C(x)=8，即k
5
=8，∴k=40．
则C(x)=40
3x+5
，又加装隔热层的费用为：D(x)=6x，
∴f(x)=20C(x)+D(x)=20×40
3x+5+6x=800
3x+5
+6x，x∈[0,10]；
(Ⅱ)∵0≤x≤10，∴3x+5>0，
f(x)=800
3x+5+6x=800
3x+5
+(6x+10)−10≥2√800
3x+5
⋅(6x+10)−10=80−10=70．
当且仅当800
3x+5
=6x+10，即x=5取等号．
∴当隔热层加装厚度为5厘米时，总费用f(x)最小，最小总费用为70万元．
解析：(Ⅰ)由C(0)=8求得k ，得到C(x)=403x+5，又加装隔热层的费用为：D(x)=6x ，可得f(x)的解析式；
(Ⅱ)直接利用基本不等式求最值得答案．
本题考查简单的数学建模思想方法，训练了利用基本不等式求最值，是中档题． 20.答案：解：(1)依题意，x 2−1≥0，解得x ≤−1或x ≥1，
故函数f(x)的定义域为(−∞,−1]∪[1,+∞)．
(2)任取x 1,x 2∈[1,+∞)且x 1<x 2，
则f (x 1)−f (x 2)=√x 12−1−√x 22−1=1212√x 1−1+√x 2−1<0，即f (x 1)<f (x 2
)， ∴f(x)在[1,+∞)上单调递增．
若存在区间[m,n]⊆[1,+∞),
当x ∈[m,n ]时，f(x)的值域为[m 2,n 2]，可转化为f (m )=m 2，f (n )=n 2，
∴g (x )=x 2，即√x 2−1+p =x 2在[1,+∞)上至少有两个不相等的实数根．
令√x 2−1=u ，u ≥0，方程可化为u 2+1=u +p ，
即u 2−u +1−p =0在[0,+∞)上至少有两个不相等的实数根．
记ℎ(u )=u 2−u +1−p ，ℎ(u )的对称轴为直线u =1
2，
∴{Δ=1−4(1−p )>0ℎ(0)≥0
，解得34<p ≤1， 即P 的范围为(34,1]．
解析：本题主要考查定义域和值域，属于中档题．
(1)根据被开方数非负可得x 2−1≥0，进而得出定义域即可；
(2)根据题意可得f (m )=m 2，f (n )=n 2，即√x 2−1+p =x 2在[1,+∞)上至少有两个不相等的实数根，令√x 2−1=u ，u ≥0，方程可化为u 2+1=u +p ，进而得出u 2−u +1−p =0在[0,+∞)上
至少有两个不相等的实数根，进而得出不等式组{Δ=1−4(1−p )>0ℎ(0)≥0
，解出a 即可．
21.答案：解：(1)由题意，
{f(−1)=a −b =f(1)=1f(−2)=4a −2b =f(0)=0
, 解得，a =−1，b =−2；
故f(x)={2x −1,x ≥0−x 2−2x,x <0
； (2)函数g(x)=f(x)−m 有3个零点可化为y =f(x)与y =m 有3个不同的交点，
作f(x)的图象如下，
则由图象可知，
0<m <1．
解析：本题考查了函数解析式的求法及函数图象的作法及应用，属于中档题．
(1)由题意，{f(−1)=a −b =f(1)=1f(−2)=4a −2b =f(0)=0
，从而解出a ，b ； (2)函数g(x)=f(x)−m 有3个零点可化为y =f(x)与y =m 有3个不同的交点，作出f(x)的图象，从而由图象可得．。