结构力学-第7章-位移法习题答案

EA=∞ E
EA=∞ F
EI
2EI EI
A
B
C
6m
6m
解：（1）确定基本未知量 一个线位移未知量，各种 M 图如下
7- 34
（2）位移法典型方程
r11Z1 R1p 0
（3）确定系数并解方程
r11

4 243
EI , R1p

Fp
4 243
EIZ1

Fp

0
Z1

243 4EI
（4）画 M 图
(d)
E
F
EA
EA
A
B
FP aa
C EI1=∞
2a
D
FP a
解：（1）确定基本未知量 一个线位移未知量，各种 M 图如下
2a
7- 35
（2）位移法典型方程
r11Z1 R1p 0
（3）确定系数并解方程
r11

2 5
EA / a, R1p


6 5
Fp
2 5
EA a
Z1

6 5
Fp

0
Z1

3a EA
（4）求最终弯矩图
7- 41
(d)
l
E q
GB
D
ql F
EI=常数
A
C
l 2
l
l
l
解：（1）确定基本未知量 两个位移未知量，各种 M 图如下
7- 42
（2）位移法典型方程
r11Z1 r12Z2 R1 p 0 r21Z1 r22Z2 R2 p 0
（3）确定系数并解方程
r11
10kN/m
6m
A 6m
C
E
EI=常数
B
D
6m
F 6m
解：（1）确定基本未知量 两个角位移未知量，各种 M 图如下
7- 38
（2）位移法典型方程
r11Z1 r12Z2 R1 p 0 r21Z1 r22Z2 R2 p 0
（3）确定系数并解方程
r11

2EI , r12

r21
同济大学朱慈勉 结构力学 第 7 章 位移法习题答案
7-1 试确定图示结构的位移法基本未知量数目，并绘出基本结构。
(a)
(b)
(c)
1 个角位移 (d)
3 个角位移，1 个线位移 (e)
4 个角位移，3 个线位移 (f)
3 个角位移，1 个线位移
(g)
2 个线位移
(h)
3 个角位移，2 个线位移
(i)

225 EI
（3）求最终弯矩图
3m
(b) A
C
EI
EI
20kN
EI
B
4m
4m
解：（1）利用对称性，可得：
（2）由图可知，各系数分别为：
r11

EI 4

4 5
EI

21 EI 20
R1p 20KN m
21 20
EIZ1

20

0
7- 51
解得：
Z1Biblioteka 400 21EI（3）求最终弯矩图如下


EI 4
Z2

3 128
EIZ3
10

0

EI 4
Z1

9EI 10
Z2

27 160
EIZ3

0

3 128
EIZ1

27 160
Z2

0.055EIZ3

6.25

0

ZZ12 Z3

17.9 58.5 / 285.6
/ EI EI / EI
a
(c) FP
10kN
EI=常数 A
8m
解：C
点绕
D
点转动，由
Cy=1
知， Cx

3 4
, CCD

5 4
知
r11

EI , r12
r21

EI 4
, r31

r13

9EI 128

3EI 32
3EI 128
r22

4EI 10

4EI 8

9 10
EI
,
r23
r32
3 EI 32

3 EI 40
A 2EI B
10kN EI D
4m
EI
C
4m
4m
解：（1）确定基本未知量 1 个角位移未知量，各弯矩图如下
7- 33
（2）位移法典型方程
r11Z1 R1p 0
（3）确定系数并解方程
r11

5 2
EI , R1p

35
5 2
EIZ1

35

0
Z1

14 EI
（4）画 M 图
9m
(c)
FP D

1 3
EI
r22

11 6
EI
R1p 30, R2 p 0
代入，解得
Z1 15.47, Z2 2.81
（4）画最终弯矩图
(b)
6m
A
B
10kN/m EI=常数
C
D
E
6m
6m
解：（1）确定基本未知量 两个位移未知量，各种 M 图如下
7- 39
（2）位移法典型方程
r11Z1 r12Z2 R1 p 0 r21Z1 r22Z2 R2 p 0
（4）画 M 图
l
(e)
D EA
C FP
EA EA
B A
l
解：（1）确定基本未知量 两个线位移未知量，各种 M 图如下
7- 36
（2）位移法典型方程
r11Z1 r12Z2 R1 p 0 r21Z1 r22Z2 R2 p 0
（3）确定系数并解方程
r11

EA l
1


13EI l
, r12

r21

3EI l2
r22

18EI l2
R1 p

1 16
ql 2 , R2 p

ql
代入，解得
Z1


66 3600

ql3 EI
,
Z2

211 3600

ql 4 EI
（4）求最终弯矩图
(e)
50kN·m
80kN·m 10kN·m 20kN
A 2EI B EI C
EI
2 4
, r12

r21

r22

EA l
1

2
4

R1p Fp , R2 p 0
2EA 4l
代入，解得
7- 37
Z1

1 2 2 1
2 2

l EA

Fp
Z2

2
1 1
2

l EA

Fp
（4）画 M 图
7-6 试用位移法计算图示结构，并绘出 M 图。 (a)
a
qa F
qa D
q
C
G
q
B
E
EI=常数 A
a
a
a
7- 49
解：（1）画出 M1, M 2 , M p 图
由图可知，得到各系数：
r11 7i, r12 r21 i, r22 8i
R1 p


5 8
qa2 , R2 p

13 8
qa 2
求解得：
Z1

53 440
,Z2

12 55
（2）求解最终弯矩图
7-11 试利用对称性计算图示刚架，并绘出 M 图。
(a) 20kN/m
AB
F 6m
CD
EI=常数 G
6m 6m
E 6m
解：（1）利用对称性得：
7- 50
6m
（2）由图可知：
r11

4 3
EI , R1p

300KN
m

4 3
EIZ1

300

0
可得：
Z1
300
3 4EI
EI1=∞
B′
EI
50kN EI
A
A′
3m
3m
解：（1）利用对称性，取左半结构
3m
4m 3m
7- 53
（2）由图可知：
r11

8 3
EI , r21

r12

4 9
EI , r22

20 27
EI
R1p 0, R2 p 25KN
解得：
Z1

25 4EI
,Z2


75 3EI
（3）求得最终弯矩图
C
B
EI1=∞
EI
EI
D
A
aa 22
a
解：（1）作出各 M 图
M0

0
r11
a

9EI a3

9 2 18 EI
r11
a3
2a

18EI a3

a
7- 47
M0

0

P
a 2

R1 p
a

0
R1 p


P 2
（2）列出位移法方程
r11Z1 R1 p 0
解得：
Z1 29
Pa3 2 18
EI
（3）最终 M 图
(d)
q
EI1=∞
A
B
k
=
4EI l3
C
EI
D
l
l
2
2
l
解：基本结构选取如图所示。
作出 M1 及 M p 图如下。
7- 48
r11


10 l
EI
2

8EI l2

l


10 l
EI
2

9EI 2l 2

l
/2

29EI l3
R1 p
r11
12EI l3
x2 12 5
EI l3
132EI 5l 3
, R1p

4 Pl 5
可得：
Z1


Pl 3 33
（3）求最终弯矩图
7- 52
(d) 10kN
C
D
B EI EI B′ D′
EI
EI
2EI
2EI
A
A′
4m
4m
4m
4m
3m
(e)
C EI D EI C′
EI EI
EI
B
E EI1=∞
D
8m
4m 4m 4m 4m
解：（1）确定基本未知量 两个角位移未知量，各种 M 图如下
7- 43
（2）位移法典型方程
r11Z1 r12Z2 R1 p 0 r21Z1 r22Z2 R2 p 0
（3）确定系数并解方程
r11

5 4
EI , r12

r21

1 4
EI
r22

7 8
（2）位移法典型方程
r11Z1 r12Z2 R1 p 0 r21Z1 r22Z2 R2 p 0
（3）确定系数并解方程
r11
11i, r12

r21


3i 2
r22

6i 4
R1p 0, R2 p 30KN
代入，解得
Z1

6.316 EI
, Z2

46.316 EI
(a) q
A
iD
iC
l
i
B
l
l
解：（1）确定基本未知量和基本结构 有一个角位移未知量，基本结构见图。
7- 32
（2）位移法典型方程
r11Z1 R1p 0
（3）确定系数并解方程
r11

8i,
R1 p


1 3
ql 2
8iZ1

1 3
ql 2

0
Z1

ql 2 24i
（4）画 M 图
(b) 2.5kN/m
(b)
B
3EI
C
EI
EI
A
D
Δ l
l
解：（1）求 M1, M 2 , M 3, M p 图。
（2）由图可知：
r11
16i, r12

r21

6i, r23

r32


6i l
, r22
16i, r33

24i l
R1 p

0, R2 p

8i, R3 p

18i l
(f) A
10kN
B
C
2m
2m
10kN D
E
EI=常数
F
2m
2m
解：由于Ⅱ不产生弯矩，故不予考虑。只需考虑（Ⅰ）所示情况。对（Ⅰ）又可采用半结构来计算。如 下图所示。
7- 54
7-12 试计算图示结构在支座位移作用下的弯矩，并绘出 M 图。 (a)
A EI B EI C
D
EI

l
l
l
7- 55
4m l
(c)
FP
A
B
EI
EA
A=
12I l2
EI
EI
C
D
E
l
l
l
解：（1）在 D 下面加一支座，向上作用 1 个单位位移，由于 BD 杆会在压力作用下缩短，所以先分析 上半部分，如下图。
D
点向上作用
1
个单位，设
B
向上移动
x
个单位，则
3EI l3
x

12EI l3
1
x
，得
x

4 5
个单位。
（2）同理可求出 Mp 图。
EI
7- 45
R1p 20 KN R2 p 0
（2）列方程及解方程组
112

81
EIZ1

4 3
EIZ 2

20
0
4 3
EIZ1
14 9
EIZ 2

0
解得：
Z1

83.38 1 EI
,
Z2

71.47
1 EI
（3）最终弯矩图
(b) D
6m
B
C
4m 4m
10kN
27 EI 160
R1p 10KN m, R2 p 0, R3 p 6.25KN