中考数学23题专题练习
中考数学复习专题23三角形初步试题(B卷,含解析)
三角形初步一、选择题1.（甘肃省武威市、白银市、定西市、平凉市、酒泉市、临夏州、张掖市等9市，6，3分）如图，AB∥CD，DE⊥CE，∠1=34º，则∠DCE的度数为（）A．34º B．54º C．66º D．56º1B E第6题图【答案】D【逐步提示】本题考查了平行线的性质，解题的关键是将线的位置关系转化为角的数量关系，应用平行线的性质：两直线平行线内错角相等得出∠EDC的度数，再利用直角三角形两锐角互余得出∠DCE的度数．【详细解答】解：∵AB∥CD，∴∠EDC＝∠1＝34°．∵DE⊥CE∴∠DEC＝90°，∴∠EDC＋∠DCE＝90°．∴∠DCE ＝90°－34°=56º，故选择D．【解后反思】本题考查了平行线的性质即两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补.【关键词】平行线的性质；垂直的定义；直角三角形的性质；2.（贵州省毕节市，8，3分）如图，直线a//b，∠1＝85°，∠2＝35°，则∠3＝（）（第8题图）A. 85°B. 60°C. 50°D. 35°【答案】C【逐步提示】本题考查平行线的性质，三角形外角和定理，解题的关键是能从图中发现∠3与∠1、∠2的联系．【详细解答】解：如图，∵a//b，∴∠4＝∠3．又∵∠1＝∠2＋∠4，∴∠4＝∠1－∠2＝85°－35°＝50°，∴∠3＝50°，故选择C.【解后反思】此类问题容易出错的地方是找不到图形中角与角之间的数量关系．【关键词】平行线的性质；三角形外角和定理3.（湖南省衡阳市，3，3分）如图，直线AB∥CD，∠B=50゜，∠C=40゜，则∠E等于（）A. 70°B.80°C.90°D.100°【答案】C【逐步提示】本题考查了平行线和直角三角形的性质，解题的关键是寻找两角之间的联系．如图，由于AB∥CD，可得∠1＝∠B或∠2＝∠B或∠3＋∠BEF＝180°，进而由∠1或∠2或∠3的度数，利用三角形内角和定理或外角性质可求得∠E的度数．【详细解答】解：方法一：如图，∵AB∥CD，∴∠B＝∠1＝50°；又∵∠C＝40°，∴∠E＝180°－50°－40°＝90°；方法二：如图，∵AB∥CD，∴∠B+∠3＝180°，∴∠3＝130°；又∵∠C＝40°，∴∠E＝130°－40°＝90°；方法三：如图，∵AB∥CD，∴∠B＝∠2＝50°，∴∠2＝∠1＝50°；又∵∠C＝40°，∴∠E＝180°－50°－40°＝90°．故选择C.【解后反思】利用平行线性质求角的大小，方法有两种：①先根据平行线的性质求得与已知角互补或相等的角，再利用互补或相等关系得到答案；②先求得与已知角互补或相等的角，再利用平行线的性质求得所求角的大小．【关键词】平行线；平行线的性质4. (湖南省岳阳市，6，3)下列长度的三根小木棒能构成三角形的是 ( )A. 2cm，3cm，5cmB. 7cm，4cm，2cmC. 3cm，4cm，8cmD. 3cm，3cm，4cm【答案】D【逐步提示】检验是否能组成三角形只要检验两条较短边之和是否大于最长边，若满足，则说明能组成三角形；反之则不成立．【详细解答】对于选项A，2+3=5，不符合三角形三边关系；对于选项B，2+4＜7，不符合三角形三边关系；对于选项C，3+4＜8，不符合三角形三边关系；对于选项D，3+3＞4，符合三角形三边关系．故选择D．【解后反思】在判断已知三条线段是否能够组成三角形，关键是灵活而巧妙运用三角形三边关系，能够组成三角形，必须满足下列两个条件之一：（1）如果选最长边作第三边，则需判断其余两边之和大于第三边，（2）如果选最短边作第三边，则需判断其余两边之差小于第三边．【关键词】三角形的三边关系5.（江苏省南京市，4，2分）下列长度的三条线段能组成钝角三角形的是（）A．3，4，4 B．3，4，5 C．3，4，6 D．3，4，7【答案】C【逐步提示】本题考查了三角形三边不等关系与勾股定理，解题的关键是运用三角形三边不等关系和勾股定理排除．三角形三边不等关系是：任意两边之和大于第三遍，任意两边之差小于第三边，但是快捷的方法是把两条较短边之和与最长边比较即可，大于则存在，不大于就不存在；勾股定理是指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方．【详细解答】解：先运用三角形三边不等关系：任意两边之和大于第三遍，任意两边之差小于第三边判定各选项的三边是否可以组成三角形．首先排除选项D，因为3+4=7，不能构成三角形；然后再用勾股定理判断，先排除B选项，因为3和4的平方和等于5的平方，这是直角三角形；再观察A选项，最长边4小于5，肯定是锐角三角形；而选项C中，最长边为6大于5，一定是钝角三角形，故选择C．【解后反思】对于三角形的形状判定，除了用三角形中是最大角判定方法外，还可用边的方法．锐角三角形的两条较短边的平方和大于最长边的平方，直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方，钝角三角形的两条较短边的平方和等小于最长边的平方．【关键词】三角形；与三角形有关的线段、角；三角形三边的关系；勾股定理；勾股定理逆定理6.（江苏盐城，8，3分）若a、b、c为△ABC的三边长，且满足|a－4|＋b－2＝0，则c的值可以为（）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】A【逐步提示】本题考查了非负数的性质及三角形三边关系，解题的关键是由|a－4|和b－2.均是非负数，再由它们的和是0，可得a－4＝0， b－2＝0，求出a、b的值，再由三角形三边关系逐一进行判断．【详细解答】解：由|a－4|＋b－2＝0，可得a－4＝0， b－2＝0，∴a＝4， b＝2；∵a、b、c为三角形的三边，∴a－b＜c＜a＋b．∴4－2＜c＜4＋2，即2＜c＜6，故选择A．【解后反思】绝对值、偶次方与算术平方根是初中阶段三种常见的非负数，三者常常借助其非负特征综合进行应用．若三角形的三边长分别为a，b，c，由三角形的三边关系可得|a－b|＜c＜a＋b.若判断三条线段a，b，c能否组成三角形，常用的方法是将两条较短线段的和与最长线段作比较，若两条较短线段之和大于最长线段时，则断定能组成三角形．【关键词】绝对值；算术平方根；三角形三边的关系三、解答题1.（江苏省南京市，21，8分）用两种方法证明“三角形的外角和等于360°”．如图，∠BAE、∠CBF、∠ACD 是△ABC 的三个外角．求证∠BAE＋∠CBF＋∠ACD＝360°．证法1：∵▲ ，∴∠BAE＋∠1＋∠CBF＋∠2＋∠ACD＋∠3＝180°×3＝540°．∴∠BAE＋∠CBF＋∠ACD＝540°－(∠1＋∠2＋∠3)．∵▲，∴∠BAE＋∠CBF＋∠ACD＝540°－180°＝360°．请把证法1 补充完整，并用不同的方法完成证法2．【逐步提示】本题考查了三角形的外角和定理的证明，解题的关键是运用平角的性质和平行线的性质进行角度是转化．原来的证法是用三角形的三个内角所在的三个平角之和减去三角形的内角和；而新的证明方法是要通过平行线把三个外角集中到一个顶点围成一个周角进行证明．【详细解答】∠BAE＋∠1＝∠CBF＋∠2＝∠ACD＋∠3＝180°．∠1＋∠2＋∠3＝180°．证法2：如图，过点A 作射线AP，使AP∥BD．∵AP∥BD，∴∠CBF＝∠PAB，∠ACD＝∠EAP．∵∠BAE＋∠PAB＋∠EAP＝360°，∴∠BAE＋∠CBF＋∠ACD＝360°．【解后反思】证明三角形的外角和是360°，方法很多．解题的突破口是如何通过转化得到360°，可以运用平角或者互补的两个角，也可以运用周角，还可以运用三角形的外角性质（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）和三角形的内角和证明．【关键词】三角形；与三角形有关的线段、角；三角形的内角和；三角形的外角和；化归思想。
[数学]-专项23 二元一次方程组的实际应用最新期中考题20道(原版)
![[数学]-专项23 二元一次方程组的实际应用最新期中考题20道(原版)](https://img.taocdn.com/s3/m/2bb12d447dd184254b35eefdc8d376eeaeaa17a1.png)
专题23 二元一次方程组的实际应用最新期中考题20道1．电脑中有一种游戏——蜘蛛纸牌，开始游戏前有500分的基本分，游戏规则如下：①操作一次减x分；②每完成一列加y分．有一次小明在玩这种“蜘蛛纸牌”游戏时，随手用表格记录了两个时段的电脑显示：(1)求x，y的值；(2)如果小明最终完成此游戏（即完成10列），分数是1182，问他一共操作了多少次？2．某商场销售A，B两种品牌的教学设备，这两种教学设备的进价和售价如表所示：该商场计划购进两种教学设备若干套，共需66万元，全部销售后可获毛利润9万元．[毛利润＝（售价﹣进价）×销售量](1)该商场计划购进A，B两种品牌的教学设备各多少套？(2)现商场决定再用30万同时购进A，B两种设备，共有哪几种进货方案？3．在某体育用品商店，购买30根跳绳和60个毽子共用720元，购买10根跳绳和50个毽子共用360元．(1)跳绳、毽子的单价各是多少元；(2)该店在五四青年节期间开展促销活动，所有商品一律九折销售，则节日期间购买100根跳绳和100个毽子实际共需花费多少？4．已知实数a ，b ||0a b +=，且以关于x ，y 的方程组21ax by m ax by m +=⎧⎨-=+⎩的解为横、纵坐标的点(),P x y 在第二、四象限的角平分线上，求m 的值．5．列方程解决实际问题：初一年级风筝节刚落下帷幕，学校购置了大、小两种风筝若干，已知大风筝的单价比小风筝单价的两倍多4元，且购买2个大风筝与购买5个小风筝的费用相同，求两种风筝的单价各是多少元？6．对于平面直角坐标系xOy 中的点P (a ，b )，若点P ′的坐标为(a +nb ，na +b )（其中n 为常数，且n ≠0），则称点P '为点P 的“n 属派生点”．例如：P (1，4)的“2属派生点”为P '(1+2×4，2×1+4)，即P '(9，6)．(1)点P (﹣3，5)的“2属派生点”P '的坐标为_______；(2)若点P 的“3属派生点”P '的坐标为(6，2)，则a +b 的值为_______；(3)若点P 在x 轴上，点P 的“n 属派生点”为P '点，且线段PP '的长度为线段OP 长度的13倍，求n 的值．7．如图，长青化工厂与A ，B 两地有公路，铁路相连．这家工厂从A 地购买一批每吨2000元的原料运回工厂，制成每吨5000元的产品运到B 地，已知公路运价为2元/（吨·千米），铁路运价为1.5元/（吨·千米），且这两次运输共支出公路运输费14000元，铁路运输费87000元．求：(1)该工厂从A 地购买了多少吨原料？制成运往B 地的产品多少吨？(2)不计其他因素，这批产品的利润为多少元（利润＝销售款－原料费－运输费）？8．某运输公司有A、B两种货车，3辆A货车与2辆B货车一次可以运货90吨，5辆A货车与4辆B货车一次可以运货160吨．(1)请问1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货多少吨？(2)目前有190吨货物需要运输，该运输公司计划安排A、B两种货车将全部货物一次运完（A、B 两种货车均满载），其中每辆A货车一次运货花费500元，每辆B货车一次运货花费400元，请你列出所有的运输方案，并指出哪种运输方案费用最少，最少费用为多少元．9．某商场第1次用39万元购进A、B两种商品，销售完后获得利润6万元，它们的进价和售价如下表：（总利润=单件利润×销售量）(1)该商场第1次购进A、B两种商品各多少件？(2)商场第2次以原价购进A、B两种商品，购进B商品的件数不变，而购进A商品的件数是第1次的2倍，A商品按原价销售，而B商品打折销售，若两种商品销售完毕，要使得第2次经营活动获得利润等于72000元，则B种商品是打几折销售的？10．已知：用2辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货11吨．某公司有31吨货物，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且每辆车都装满货物．根据以上信息解答下列问题：(1)一辆A型车和一辆B型车装满货物一次各运多少吨？(2)请你帮公司设计租车方案．(3)若A型车每辆租金100元，B型车每辆租金120元，哪种方案租金最少？11．重庆某超市有A，B两种产品进行销售，购买50件A产品，30件B产品，一共花费1450元，如果购买60件A产品，10件B产品，则一共花费1350元．(1)请问A、B两种产品的单价为多少元？(2)五一即将来临，超市分别针对A、B商品进行打折销售．购买A种商品数量超过20的每件商品打八折销售；购买B种品数超过30的每件商品打六折销售．小红去超市购买A，B两种产品54件，一共花费了640元，请问小红分别购买A、B两种产品多少件？12．“保护好环境，拒绝冒黑烟”，某市公交公司将淘汰某一条线路上冒黑烟较严重的公交车，计划购买A型和B型两种环保节能公交车，若购买A型公交车1辆，B型公交车2辆，共需550万元；若购买A型公交车2辆，B型公交车1辆，共需500万元．(1)求购买A型和B型公交车每辆各需多少万元？(2)预计在该线路上A型和B型公交车每辆年均载客量分别为10万人次和15万人次，若该公司同时购买A型和B型的公交车，且完全投入使用，要使得全部投入使用的公交车在该线路上的年均载客量总和为120万人次，则该公司有哪几种购车方案？(3)在（2）的条件下，请问那种购车方案总费用最少？最少费用是多少？13．某一天，蔬菜经营户老李用了145元从蔬菜批发市场批发一些黄瓜和茄子，到菜市场去卖，黄瓜和茄子当天的批发价与零售价如下表所示：(1)当天他卖完这些黄瓜和茄子共赚了90元，这天他批发的黄瓜和茄子分别是多少千克？(2)当天他卖完这些黄瓜和茄子后，又花了50元去批发了m千克黄瓜和n千克茄子（m、n为整、的值．数），求m n14．目前，新型冠状病毒在我国虽可控可防，但不可松懈．为防范疫情，重庆实验外国语学校欲购置规格分别为300ml和500ml的甲、乙两种免洗手消毒液若干瓶，已知购买3瓶甲和1瓶乙免洗手消毒液需要84元，购买2瓶甲和3瓶乙免洗手消毒液需要126元．(1)求甲、乙两种免洗手消毒液的价格为多少元/每瓶？(2)若初一年级师生共2000人，平均每人每天都需使用10ml的免洗手消毒液，若初一年级采购甲、乙两种免洗手消毒液共花费7200元，则这批消毒液可使用多少天？15．某超市第一次用3800元购进了甲、乙两种商品，其中甲种商品40件，乙种商品160件．已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价贵5元．甲种商品售价为20元/件，乙种商品售价为25元/件．(1)甲、乙两种商品每件进价各多少元？(2)该超市第二次又购进同样数量的甲、乙两种商品．其中甲种商品每件的进价不变，乙种商品进价每件少3元；甲种商品按原售价提价a%销售，乙种商品按原售价降价a%销售，如果第二次两种商品都销售完以后获得的总利润比第一次售完获得的总利润多160元，那么a的值是多少？16．草场收割队每小时需要割草54亩，现决定向某大型机械租赁公司租用甲、乙两种型弓的割草机来完成这项工作（两种都要租），已知该公司一台甲型割草机与一台乙型割草机每小时共割草14亩，5台甲型收割机与3台乙型收割机恰好能完成每小时的收割量．(1)求每台甲型收割机与每台乙型收割机每小时各割草多少亩？(2)该收割队恰好完成每小时的割草量，请设计该收割队的租用方案．17．正值春夏换季的时节，某商场用12000元分别以每件120元和60元的价格购进了某品牌衬衫和短袖共140件．(1)商场本次购进了衬衫和短袖各多少件？(2)若该商场以每件180元的价格销售了衬衫总进货量的25%，将短袖在成本的基础上提价20%销售．在销售过程中，有5件衬衫因损坏无法销售，为了减少库存积压，该商场准备将剩下的衬衫在原售价的基础上降价销售，每件衬衫降价多少元，该商场销售完这批衬衫和短袖正好达到益利25.5%的预期目标．18．某商场十月以每件500元的进价购进一批羽绒服，当月以标价销售，售出20件．十一月搞促销活动，每件降价50元，售出的数量是十月的1.5倍，这样销售额比十月增加了5500元．(1)求每件羽绒服的标价是多少元？(2)十二月商场决定把剩余的羽绒服按十月标价的八折销售，如果全部售完这批羽绒服总获利12700元，求这批羽绒服共购进多少件？19．疫情期间，某人要将一批抗疫物资运往西安，准备租用汽车运输公司的甲乙两种货车、已知过去两次租用这两种货车（均装满货物）的情况如下表：(1)甲、乙两种货车每辆分别能装货多少吨？(2)若有45吨的物资需要运往西安，准备同时租用这两种货车，每辆全部均装满货物，问有哪几种租车方案？请全部设计出来．20．某校开展校园艺术节系列活动，校学生会代表小亮到文体超市购买文具作为奖品．（1）小亮第一次购买若干个文具袋作为奖品，这种文具袋标价每个10元，请认真阅读结账时老板与小亮的对话图片，求小亮原计划购买文具袋多少个？（2）小亮第二次购买钢笔和签字笔共50支作为补充奖品，其中钢笔标价每支8元，签字笔标价每支6元．经过沟通，这次老板给予8折优惠，钢笔和签字笔合计288元，问小亮购买了钢笔和签字笔各多少支？。
专题23 圆的有关性质(共30道)(原卷版)-2023年中考数学真题分项汇编(全国通用)
专题23圆的有关性质（30道）一、单选题1．（2023·辽宁鞍山·统考中考真题）如图，,AC BC 为O 的两条弦，D ，G 分别为,AC BC 的中点，O 的半径为2．若45C ∠=︒，则DG 的长为（）A ．2B ．3C ．32D ．22．（2023·辽宁阜新·统考中考真题）如图，A ，B ，C 是O 上的三点，若9025AOC ACB ∠=︒∠=︒，，则BOC ∠的度数是（）A ．20︒B ．25︒C ．40︒D ．50︒3．（2023·黑龙江哈尔滨·统考中考真题）如图，AB 是O 的切线，A 为切点，连接OA ﹐点C 在O 上，OC OA ⊥，连接BC 并延长，交O 于点D ，连接OD ．若65B ∠=︒，则DOC ∠的度数为（）A ．45︒B ．50︒C ．65︒D ．75︒4．（2023·陕西·统考中考真题）陕西饮食文化源远流长，“老碗面”是陕西地方特色美食之一．图②是从正面看到的一个“老碗”（图①）的形状示意图． AB 是O 的一部分，D 是 AB 的中点，连接OD ，与弦AB 交于点C ，连接OA ，OB ．已知24AB =cm ，碗深8cm CD =，则O 的半径OA 为（）A．13cm B．16cm C 5．（2023·辽宁锦州·统考中考真题）如图，点A 半径为3，则扇形AOC（阴影部分）的面积为（A．23πB．πC6．（2023·湖南娄底·统考中考真题）如图，正六边形线1l、2l的夹角为60︒，则图中的阴影部分的面积为（A．433π-B．4332π-C7．（2023·辽宁沈阳·统考中考真题）如图，四边形的长是（）A ．πB ．23πC ．2πD ．4π8．（2023·四川雅安·统考中考真题）如图，某小区要绿化一扇形OAB 空地，准备在小扇形OCD 内种花在其余区域内（阴影部分）种草，测得120AOB ∠=︒，15m OA =，10m OC =，则种草区域的面积为（）A ．225πm 3B ．2125πm 3C ．2250πm 3D ．2125m 39．（2023·山东泰安·统考中考真题）如图，O 是ABC 的外接圆，半径为4，连接OB ，OC ，OA ，若40CAO ∠=︒，70ACB ∠=︒，则阴影部分的面积是（）A ．4π3B ．8π3C ．16π3D ．32π310．（2023·山东泰安·统考中考真题）如图，AB 是O 的直径，D ，C 是O 上的点，115ADC ∠=︒，则BAC ∠的度数是（）A ．25︒B ．30︒C ．35︒D ．40︒11．（2023·黑龙江牡丹江·统考中考真题）如图，A ，B ，C 为O 上的三个点，4AOB BOC ∠=∠，若60ACB ∠=︒，则BAC ∠的度数是（）A．2πB．4 3π13．（2023·辽宁营口·统考中考真题）如图所示，30BAD∠=︒，则ACB∠的度数是（A．50︒B．40︒14．（2023·湖北鄂州·统考中考真题）如图，在的中点，以O为圆心，OB长为半径作半圆，交A．3533π-B．53-15．（2023·甘肃兰州·统考中考真题）我国古代天文学确定方向的方法中蕴藏了平行线的作图法．如《淮南子天文训》中记载：“正朝夕：先树一表东方；操一表却去前表十步，以参望日始出北廉．日直入，又树一表于东方，因西方之表，以参望日方入北康．则定东方两表之中与西方之表，则东西也．言叙述作图方法：已知直线a和直线外一定点径作圆，交直线a于点M，N；（取其中点C，过O，C两点确定直线A ．35︒B ．30︒C ．25︒D ．20︒16．（2023·内蒙古赤峰·统考中考真题）如图，圆内接四边形ABCD 中，105BCD ∠=︒，连接OB ，OC ，OD ，BD ，2BOC COD ∠=∠．则CBD ∠的度数是（）A ．25︒B ．30︒C ．35︒D ．40︒17．（2023·内蒙古·统考中考真题）如图，O 是锐角三角形ABC 的外接圆，,,OD AB OE BC OF AC ⊥⊥⊥，垂足分别为,,D E F ，连接,,DE EF FD ．若 6.5,DE DF ABC +=△的周长为21，则EF 的长为（）A ．8B ．4C ．3.5D ．318．（2023·湖南·统考中考真题）如图，圆锥底面圆的半径为4，则这个圆锥的侧面展开图中 AA '的长为（）A ．4πB ．6πC ．8πD ．16π19．（2023·吉林·统考中考真题）如图，AB ，AC 是O 的弦，OB ，OC 是O 的半径，点P 为OB 上任意A ．70︒20．（2023·内蒙古通辽点C 是半径OB 上一动点，若A ．26π+B 二、填空题21．（2023·江苏·统考中考真题）如图，4AC =，则O 的直径22．（2023·江苏南通·统考中考真题）如图，则ACD ∠=度．23．（2023·山东济南·统考中考真题）则阴影部分的面积为（结果保留π）．24．（2023·宁夏·统考中考真题）如图，四边形ABCD 内接于O ，延长AD 至点E ，已知140AOC ∠=︒，那么CDE ∠=︒．25．（2023·湖南·统考中考真题）如图，点A ，B ，C 在半径为2的O 上，60ACB ∠=︒，OD AB ⊥，垂足为E ，交O 于点D ，连接OA ，则OE 的长度为．26．（2023·江苏徐州·统考中考真题）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥母线l =6，扇形的圆心角120θ=°，则该圆锥的底面圆的半径r 长为．27．（2023·山东东营·统考中考真题）“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问：径几何？”．用现在的几何语言表达即：如图，CD 为O 的直径，弦AB CD ⊥，垂足为点E ，1CE =寸，10AB =寸，则直径CD 的长度是寸．29．（2023·吉林·统考中考真题）如图是圆心，半径r 为15m 留π）30．（2023·广东深圳·统考中考真题）如图，交于点D ，若20ADC ∠=︒，则BAD ∠=。
天津中考数学23专题训练2
.此文档可编辑打印，页脚下载后可删除！1．如图:学校旗杆附近有一斜坡．小明准备测量学校旗杆AB 的高度，他发现当斜坡正对着太阳时，旗杆AB 的影子恰好落在水平地面和斜坡的坡面上，此时小明测得水平地面上的影长BC =20米，斜坡坡面上的影长CD =8米，太阳光线AD 与水平地面成角，斜坡CD 与水平地面BC 成的角，求旗杆AB 的高度． (注：，，结果精确到0.1)2.某市一中学九年级学生开展数学实践活动，测量该市电视塔AB 的高度.由于该塔还没有完成内外装修，其周围障碍物密集,于是在开阔地带的C 处测得电视塔顶点A 的仰角为45°，然后沿CB 向电视塔的方向前进90m 到达D 处，在D 处测得顶点A 的仰角为60°，如下图.求电视塔的高度〔精确到，414.12≈，732.13≈〕3.如图，塔CD 的高为36米，近处有一大楼AB ，测绘人员在楼底A 处测得塔顶D 处的仰角为60°，在楼顶B 处测得塔顶D 处的仰角为45°．其中A C 、两点分别位于B D 、两点正下方，且A C 、两点在同一水平线上，求大楼AB 的高度〔参考数据：3 1.732≈，结果精确到0.1米〕．4.如图：某幢大楼顶部有一块广告牌CD ，甲、乙两人分别在地面上相距12米的A 、B 两处测得点D 和点C 的仰角为045和060，且A 、B 、E 三点在一条直线上，假设m BE 25=，求这块广告牌的高度。
〔取73.13≈，计算结果精确到1.0〕5.如图, 海上有一灯塔P, 在它周围3海里处有暗礁. 一艘客轮以9海里/时的速度由西向东航行, 行至A 点处测得P 在它的北偏东600的方向, 继续行驶20分钟后, 到达B 处又测得灯塔P 在它的北偏东45方向. 问客轮不改变方向继续前进有无触礁的危险?6. 如图某幢大楼顶部有广告牌CD ．张老师目高MA 为，他站立在离大楼45米的A 处测得大楼顶端点D 的仰角为30；接着他向大楼前进14米站在点B 处，测得广告牌顶端点C 的仰角为45．(计算结果保存一位小数)(1)求这幢大楼的高DH ；(2)求这块广告牌CD 的高度．第（23）题45°60°.此文档可编辑打印，页脚下载后可删除！7.九年级〔3〕班在完成测量校内旗杆高度的数学活动后，小明填写了如下?数学活动报告?中的附件 〔运算表〕的一局部。
中考数学23题专题练习
中考数学23题专题练习1. 如图，在矩形ABCD中，E、F分别是AB、CD上的点，AE=CF，连接EF、BF，EF与对角线AC交于点O，且BE=BF，∠BEF=2∠BAC。
（1）求证：OE=OF（2）若BC=23，求AB的长。
2、如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，E为AD中点，连接BE，CE（1）求证：BE=CE；（2）若∠BEC=90°，过点B作BF⊥CD，垂足为点F，交CE于点G，连接DG，求证：BG=DG+CD．3、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，E为AB延长线上一点，连接ED，与BC交于点H．过E作CD的垂线，垂足为CD上的一点F，并与BC交于点G．已知G为CH的中点，且∠BEH=∠HEG．（1）若HE=HG，求证：△EBH≌△GFC；（2）若CD=4，BH=1，求AD的长．4、如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=BC，∠DAB=60°，E是对角线AC延长线上一点，F是AD延长线上的一点，且EB⊥AB，EF⊥AF．（1）当CE=1时，求△BCE的面积；（2）求证：BD=EF+CE．5、如图．在平行四边形ABCD中，O为对角线的交点，点E为线段BC延长线上的一点，且．过点E作EF∥CA，交CD于点F，连接OF．（1）求证：OF∥BC；（2）如果梯形OBEF是等腰梯形，判断四边形ABCD的形状，并给出证明．6、如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，∠D=45°．（1）若AB=6cm，，求梯形ABCD的面积；（2）若E、F、G、H分别是梯形ABCD的边AB、BC、CD、DA上一点，且满足EF=GH，∠EFH=∠FHG，求证：HD=BE+BF．7、如图，已知正方形ABCD，点E是BC上一点，点F是CD延长线上一点，连接EF，若BE=DF，点P是EF的中点．（1）求证：DP平分∠ADC；（2）若∠AEB=75°，AB=2，求△DFP的面积．。
中考数学解答重难专题专题一 第23题圆的综合题
专题一第23题圆的综合题(2010～2019.23)【专题解读】圆的综合题近10年每年必考，分值均为8分．涉及三角形：①相似三角形(6次)；②锐角三角函数(2次)；③全等三角形(1次，2012年19题考查相似三角形，故23题考查全等三角形)．设问形式：①证明角相等或线段相等；②线段平行；③线段垂直；④切线的判定；⑤计算线段长、线段比例关系；⑥求正切值等．1.如图，在△ABC中，以AC为直径的⊙O与边AB交于点D，BC是⊙O的切线，点E为⊙O上一点，连接CE并延长交AB于点F，连接ED.(1)求证：∠B＋∠FED＝90°；(2)若FC＝6，DE＝3，FD＝2.求⊙O的直径．第1题图2.如图，AB是⊙O的直径，AC切⊙O于点A，连接BC交⊙O于点D，点E是弧BD的中点，连接AE交BC于点F.(1)求证：AC＝CF；(2)若AB＝4，AC＝3，求∠BAE的正切值．第2题图3.如图，P A，PB是⊙O的切线，A、B为切点，连接AO并延长，交PB的延长线于点C，连接PO，交⊙O于点D.(1)求证：PO平分∠APC；(2)连接DB，若∠C＝30°，求证：DB∥AC.第3题图4.如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，CD切⊙O于点C，AD交⊙O于点E，AC平分∠BAD，(2)若sinP＝，BH＝3，求BD的长．连接BE.(1)求证：AD⊥CD;(2)若CD＝4，AE＝2，求⊙O的半径．第4题图5.(2019西工大附中模拟)如图，P为⊙O直径AB延长线上的一点，PC切⊙O于点C，过点B作CP的垂线BH交⊙O于点D，交CP于点H，连接AC、CD.(1)求证：∠PBH＝2∠HDC；34第5题图6.(2019陕西定心卷)如图，在△Rt ABC中，∠C＝90°，点D、E分别在边AC、BC上，DE∥△AB，DCE 的外接圆⊙O与AB相切于点F.(1)求证：CD·C B＝CA·C E；(2)若BE＝5，⊙O的半径为4，求CD的长．第6题图7.如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC与⊙O交于点D，点E在⊙O上，且DE＝DA，AE 与BC相交于点F.求证：(1)∠CAD＝∠B；(2)FD＝CD.(2)若BC＝8，tanB＝，求⊙O的半径．(2)若3AE＝4DE，求的值．第7题图8.如图，AB为⊙O的直径，CD切⊙O于点D，AC⊥CD于点C，交⊙O于点E，连接AD、BD、ED.(1)求证：BD＝ED；(2)若CE＝3，CD＝4，求AB的长．第8题图9.如图，在△Rt ABC中，∠ACB＝90°，CE为△ABC外接圆的切线，过点A作AE⊥CE于点E.(1)求证：∠ACE＝∠B；(2)若AE＝2，AB＝8，求CE的长．第9题图10.如图，在△Rt ABC中，点O在斜边AB上，以O为圆心，OB为半径作⊙O，分别与BC，AB相交于点D、E，连接AD.已知∠CAD＝∠B.(1)求证：AD是⊙O的切线；12第10题图11.如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，以CD为直径的⊙O分别交CA、CB于点E、F，点G是AD的中点，连接ED、EG.(1)求证：GE是⊙O的切线；EGOD(2)若EB＝10，CD＝9，tan∠ABE＝，求⊙O的半径．第11题图12.(2019西工大附中模拟)如图，已知四边形ABCD的外接圆为⊙O，AD是⊙O的直径，过点B作⊙O 的切线与DA的延长线交于点E，连接BD，且∠E＝∠DBC.(1)求证：DB平分∠ADC；12第12题图∴DE DF32＝，即＝，参考答案1.(1)证明：∵∠A＋∠DEC＝180°，∠FED＋∠DEC＝180°，∴∠FED＝∠A，∵BC是⊙O的切线，AC为⊙O的直径，∴∠BCA＝90°，∴∠B＋∠A＝90°，∴∠B＋∠FED＝90°；(2)解：∵∠CFA＝∠DFE，∠FED＝∠A，∴△FED∽△FAC，AC CF AC6解得AC＝9，即⊙O的直径为9.2.(1)证明：如解图，连接BE,∵CA是⊙O的切线，AB是⊙O的直径，∴∠CAB＝90°，∠AEB＝90°，∴∠CAF＋∠BAE＝90°，∠FBE＋∠EFB＝90°，∵E是弧BD的中点，︵︵∴DE＝BE，∴∠BAE＝∠FBE，∴∠CAF＝∠EFB＝∠AFC，∴AC＝CF；第2题解图(2)解：如解图，连接AD，在△Rt ABC中，AB＝4，AC＝3,∴BC＝AB2＋AC2＝5.∵CF＝AC＝3，∴BF＝BC－CF＝2.∵AB是⊙O的直径，∵cos∠ABC＝＝＝，∴BD＝，∴AD＝AB2－BD2＝，DF＝BD－BF＝.∴tan∠BAE＝tan∠DAE＝＝.∴∠OPC＝∠APC＝×60°＝30°，∴∠ADB＝90°，BD AB4AB BC516512565DF1AD23.证明：(1)如解图，连接OB，∵PA，PB是⊙O的切线，OA、OB为⊙O的半径，∴OA⊥AP，OB⊥BP，又∵OA＝OB，∴PO平分∠APC；第3题解图(2)∵OA⊥AP，OB⊥BP，∴∠CAP＝∠OBP＝90°，∵∠C＝30°，∴∠APC＝90°－∠C＝90°－30°＝60°，∵PO平分∠APC，1122∴∠POB＝90°－∠OPB＝90°－30°＝60°，又∵OD＝OB，∴△ODB是等边三角形，∴∠OBD＝60°，∴∠DBP＝∠OBP－∠OBD＝90°－60°＝30°，∴∠DBP＝∠C，∴DB∥AC.4.(1)证明：如解图，连接OC，交BE于点F，∴DC是⊙O的切线，∴OC⊥DC，又∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∵AC平分∠BAD，∴∠DAC＝∠OAC.∴∠OCA＝∠DAC，∴OC∥AD，∴∠D＝∠OCD＝90°，即AD⊥CD；第4题解图(2)解：∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，∵∠D＝90°，∴∠AEB＝∠D，∴BE∥CD，∵OC⊥CD，∴OC⊥BE，∵OC∥AD，OA＝BO，∴EF＝BF，∵OC∥ED，∴四边形EFCD是矩形，∴EF＝CD＝4，∴BE＝8，∴AB＝AE2＋BE2＝22＋82＝217，∴⊙O的半径为17.5.(1)证明：如解图，连接OC,∵PC切⊙O于点C，∴OC⊥PC，又∵DH⊥PC，∴DH∥OC，∴∠PBH＝∠BOC，∵∠BOC＝2∠HDC，∴∠PBH＝2∠HDC；OC PO∵sinP ＝ ＝ ，BH ＝3, ∴BH r 4＋r∴CD CE ＝，第 5 题解图(2)解：如解图，过点 O 作 OM ⊥DH 于点 M ，则 DM ＝BM ，设⊙O 的半径为 r,∵∠OCH ＝∠OMH ＝∠CHM ＝90°，∴四边形 OMHC 为矩形， BH 3 BP 4∴BP ＝4，∵OC ∥DH ，∴△PHB ∽△PCO ，PB ＝ ， 3 4 ∴ ＝ ，解得 r ＝12,∴MH ＝OC ＝12，∴MB ＝MH －BH ＝12－3＝9，∴BD ＝2MB ＝18. 6.(1)证明：∵DE ∥AB ，∴∠CED ＝∠B.又∵∠C ＝∠C ，∴△CDE ∽△CAB ，CA CB∴CD · C B ＝CA · C E ；(2)解：如解图，连接 OF ，过点 E 作 EG ⊥AB 于点 G ，∵AB 为⊙O 的切线，切点为点 F ，∴OF ⊥AB ，∴∠OFG ＝∠EGF ＝90°，∵DE ∥AB ，∴∠FOE ＝180°－∠OFG ＝90°，又∵OE ＝OF ，∴四边形 OEGF 为正方形，∴EG ＝OF ＝4，DE ＝2OE ＝8， ∵∠CED ＝∠B ，∠C ＝∠EGB ，∴CD DE CD8＝，即＝，∴CD＝.∴△CDE∽△GEB，GE BE45325第6题解图7.证明：(1)∵AC是⊙O的切线，AB是⊙O的直径，∴BA⊥AC，∠ADB＝90°，∴∠CAD＋∠BAD＝90°，∠B＋∠BAD＝90°，∴∠CAD＝∠B；(2)∵DA＝DE,∴∠EAD＝∠E,而∠B＝∠E，∴∠B＝∠EAD，由(1)知，∠CAD＝∠B，∴∠EAD＝∠CAD，在△ADF和△ADC中，⎧⎪∠ADF＝∠ADC＝90°⎨AD＝AD，⎪⎩∠F AD＝∠CAD∴△ADF≌△ADC，∴FD＝CD.8.(1)证明：如解图，连接OD、OE.∵CD切⊙O于点D，∴OD⊥CD.∵AC⊥CD，∴OD∥AC.∴∠EAO＝∠DOB，∠AEO＝∠EOD.∵∠EAO＝∠AEO，∴∠EOD＝∠DOB.∵OE＝OD＝OB，∴△OED≌△ODB，∴BD＝ED；∴CE DE35＝，即＝，∴AB＝.第8题解图(2)解：∵CE＝3，CD＝4，AC⊥CD，∴ED＝5.∵BD＝ED，∴BD＝5.∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠ACD＝∠ADB.∵四边形ABDE内接于⊙O，∴∠CED＝∠B，∴△CDE∽△DAB.DB AB5AB2539.(1)证明：如解图，取AB的中点O，连接OC,∵∠ACB＝90°，∴AB为直径，点O为△ABC外接圆的圆心，∴OC＝OB，∴∠OCB＝∠B，∵CE为△ABC外接圆的切线，∴∠OCE＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠OCE－∠ACO＝∠ACB－∠ACO，即∠ACE＝∠OCB，∴∠ACE＝∠B；第9题解图(2)解：∵AE⊥CE,∴∠AEC＝∠ACB＝90°，∴AE AC＝，在△Rt ACD中，tan∠1＝tanB＝，解得r＝.∵∠ACE＝∠B，∴△ACE∽△ABC，AC AB∴AC＝AE·A B＝4,在△Rt ACE中，CE＝AC2－AE2＝23.10.(1)证明：如解图，连接OD，∵OB＝OD，∴∠3＝∠B，∵∠B＝∠1，∴∠1＝∠3，在△Rt ACD中，∠1＋∠2＝90°，∴∠4＝180°－(∠2＋∠3)＝90°，∴OD⊥AD，∵OD是⊙O的半径，∴AD是⊙O的切线；第10题解图(2)解：设⊙O的半径为r，在△Rt ABC中，AC＝BC·tan B＝4，根据勾股定理得AB＝42＋82＝45，∴OA＝45－r，12∴CD＝AC·tan∠1＝2，根据勾股定理得AD2＝AC2＋CD2＝16＋4＝20，在△Rt ADO中，OA2＝OD2＋AD2，即(45－r)2＝r2＋20，35211.(1)证明：如解图，连接OE，∵CD是⊙O的直径，∴∠AED＝∠CED＝90°，∵G是AD的中点，∴EG＝AD＝DG，∴GE AGOE OD DE∴AE4＝，∴GE GE4＝＝.12∴∠GED＝∠GDE，∵OE＝OD，∴∠OED＝∠ODE，∵CD是AB边上的高，∴∠ODE＋∠GDE＝90°，∴∠GED＋∠OED＝90°，即OE⊥EG，又∵OE是⊙O的半径，∴GE是⊙O的切线；第11题解图(2)解：由(1)得∠ODE＋∠GDE＝90°，∵∠A＋∠GDE＝90°，∴∠A＝∠ODE，∵AG＝GE，OD＝OE，∴∠A＝∠ODE＝∠AEG＝∠OED，∴△AGE∽△DOE，AE＝＝，∵3AE＝4DE，DE3又∵OD＝OE，OD OE312.(1)证明：如解图，连接OB，延长EB至点F.∵AD是⊙O的直径，∴∠ABD＝90°.∵EB是⊙O的切线，∴OB⊥EF，∴∠4＋∠5＝∠5＋∠DBF＝90°，∴∠DBF＝∠4＝∠3.又∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠1＝∠ABE ，即 tan ∠1＝tan ∠ABE ＝ ＝ . ∴ CD BC 9 x ＝ ，即＝，∴⊙O 的半径为 .∴∠BCD ＝180°－∠3.∵∠EBD ＝180°－∠DBF ，∴∠BCD ＝∠EBD.又∵∠E ＝∠DBC ，∴△DBE ∽△DCB ，∴∠1＝∠2，即 DB 平分∠ADC ；第 12 题解图(2)解：∵BE 为⊙O 的切线，AD 为⊙O 的直径，OB ＝OD ，∴∠ABE ＋∠4＝∠4＋∠5＝∠1＋∠4＝90°， AB 1 AD 2设 AB ＝x ，则 BD ＝2x.∵∠1＝∠2，∴BC ＝AB ＝x.∵△DBE ∽△DCB ，BD EB 2x 10解得 x ＝3 5(负值已舍)，即 AB ＝3 5，∴BD ＝6 5，在 △Rt ABD 中，由勾股定理得AD ＝ AB 2＋BD 2＝15， 15 2。
中考数学 专题23《特殊四边形》练习题
《特殊四边形》练习题一．选择题1.如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE. AC，BE相交于点F，则∠BFC为( )A．45° B．55° C．60° D．75°2．下列关于矩形的说法中正确的是（）A．对角线相等的四边形是矩形B．矩形的对角线相等且互相平分C．对角线互相平分的四边形是矩形D．矩形的对角线互相垂直且平分3.下列命题中，真命题是( )A．对角线相等的四边形是矩形B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．对角线互相平分的四边形是平行四边形D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形4．如图，对折矩形纸片ABCD，使AB与DC重合得到折痕EF，将纸片展平；再一次折叠，使点D落到EF上点G处，并使折痕经过点A，展平纸片后∠DAG的大小为（）A．30°B．45°C．60°D．75°5．（2016·四川泸州）如图，矩形ABCD的边长AD=3，AB=2，E为AB的中点，F在边BC上，且BF=2FC，AF分别与DE、DB相交于点M，N，则MN的长为（）A．B．C．D．6．如图，在矩形ABCD中（AD＞AB），点E是BC上一点，且DE=DA，AF⊥DE，垂足为点F，在下列结论中，不一定正确的是（）A．△AFD≌△DCE B．AF=AD C．AB=AF D．BE=AD﹣DF二．填空题7. （2016·内蒙古包头）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，若∠EAC=2∠CAD，则∠BAE=度．8. 如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=2，点P是这个菱形内部或边上的一点，若以点P、B、C为顶点的三角形是等腰三角形，则P、D（P、D两点不重合）两点间的最短距离为．9. 如图，在菱形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为（8，2），点D的坐标为（0，2），则点C的坐标为．10. 如图，矩形ABCD中，AD=5，AB=7. 点E为DC上一个动点，把△ADE沿AE折叠，当点D 的对应点D'落在∠ABC的角平分线上时，DE的长为 .11. 如图，正方形ABCD的边长为a，在AB、BC、CD、DA边上分别取点A1、B1、C1、D1，使AA1=BB1=CC1=DD1=13a，在边A1B1、B1C1、C1D1、D1A1上分别取点A2、B2、C2、D2，使A1A2=B1B2=C1C2=D1D2=13A1B2，…．依次规律继续下去，则正方形A n B n C n D n的面积为．三．解答题12.已知：如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上，AQ⊥BE于点Q，DP⊥AQ于点P．（1）求证：AP=BQ；（2）在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中四对线段，使每对中较长线段与较短线段长度的差等于PQ的长．13．已知四边形ABCD是菱形，AB=4，∠ABC=60°，∠EAF的两边分别与射线CB，DC相交于点E，F，且∠EAF=60°．（1）如图1，当点E是线段CB的中点时，直接写出线段AE，EF，AF之间的数量关系；（2）如图2，当点E是线段CB上任意一点时（点E不与B、C重合），求证：BE=CF；（3）如图3，当点E在线段CB的延长线上，且∠EAB=15°时，求点F到BC的距离．14．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点M是AC的中点，以AB为直径作⊙O分别交AC，BM于点D，E．（1）求证：MD=ME；（2）填空：①若AB=6，当AD=2DM时，DE= ；②连接OD，OE，当∠A的度数为时，四边形ODME是菱形．15．（2016·陕西）问题提出（1）如图①，已知△ABC，请画出△ABC关于直线AC对称的三角形．问题探究（2）如图②，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，AE=4，AF=2，是否在边BC、CD上分别存在点G、H，使得四边形EFGH的周长最小？若存在，求出它周长的最小值；若不存在，请说明理由．问题解决（3）如图③，有一矩形板材ABCD，AB=3米，AD=6米，现想从此板材中裁出一个面积尽可能大的四边形EFGH部件，使∠EFG=90°，EF=FG=米，∠EHG=45°，经研究，只有当点E、F、G分别在边AD、AB、BC上，且AF＜BF，并满足点H在矩形ABCD内部或边上时，才有可能裁出符合要求的部件，试问能否裁得符合要求的面积尽可能大的四边形EFGH部件？若能，求出裁得的四边形EFGH部件的面积；若不能，请说明理由．答案：1.C2.B3.C4.C5.B6.B7. 22.5°8. 2﹣2 9. （4，4）10. 52或53.11. 25()9n a12. 解：（1）∵正方形ABCD∴AD=B A，∠BAD=90°，即∠BAQ+∠DAP=90°∵DP⊥AQ∴∠ADP+∠DAP=90°∴∠BAQ=∠ADP∵AQ⊥BE于点Q，DP⊥AQ于点P∴∠AQB=∠DPA=90°∴△AQB≌△DPA（AAS）∴AP=BQ（2）①AQ﹣AP=PQ②AQ﹣BQ=PQ③DP﹣AP=PQ④DP﹣BQ=PQ13. （1）解：结论AE=EF=AF．理由：如图1中，连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∠B=60°，∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠D=60°，∴△ABC，△ADC是等边三角形，∴∠BAC=∠DAC=60°∵BE=EC，∴∠BAE=∠CAE=30°，AE⊥BC，∵∠EAF=60°，∴∠CAF=∠DAF=30°，∴AF⊥CD，∴AE=AF（菱形的高相等），∴△AEF是等边三角形，∴AE=EF=AF．（2）证明：如图2中，∵∠BAC=∠EAF=60°，∴∠BAE=∠CAE，在△BAE和△CAF中，，∴△BAE≌△CAF，∴BE=CF．（3）解：过点A作AG⊥BC于点G，过点F作FH⊥EC于点H，∵∠EAB=15°，∠ABC=60°，∴∠AEB=45°，在RT△AGB中，∵∠ABC=60°AB=4，∴BG=2，AG=2，在RT△AEG中，∵∠AEG=∠EAG=45°，∴AG=GE=2，14. （1）证明：∵∠ABC=90°，AM=MC，∴BM=AM=MC，∴∠A=∠ABM，∵四边形ABED是圆内接四边形，∴∠ADE+∠ABE=180°，又∠ADE+∠MDE=180°，∴∠MDE=∠MBA，同理证明：∠MED=∠A，∴∠MDE=∠MED，∴MD=ME．（2）①由（1）可知，∠A=∠MDE，∴DE∥AB，∴=，∵A D=2DM，∴DM：MA=1：3，∴DE=AB=×6=2．故答案为2．②当∠A=60°时，四边形ODME是菱形．理由：连接OD、OE，∵OA=OD，∠A=60°，∴△AOD是等边三角形，∴∠AOD=60°，∵DE∥AB，∴∠ODE=∠AOD=60°，∠MDE=∠MED=∠A=60°，∴△ODE，△DEM都是等边三角形，∴OD=OE=EM=DM，∴四边形OEMD是菱形．故答案为60°．15. 解：（1）如图1，△ADC即为所求；（2）存在，理由：作E关于CD的对称点E′，作F关于BC的对称点F′，连接E′F′，交BC于G，交CD于H，连接FG，EH，则F′G=FG，E′H=EH，则此时四边形EFGH的周长最小，由题意得：BF′=BF=AF=2，DE′=DE=2，∠A=90°，∴AF′=6，AE′=8，∴E′F′=10，EF=2，∴四边形EFGH的周长的最小值=EF+FG+GH+HE=EF+E′F′=2+10，∴在边BC、CD上分别存在点G、H，使得四边形EFGH的周长最小，最小值为2+10；（3）能裁得，理由：∵EF=FG=，∠A=∠B=90°，∠1+∠AFE=∠2+AFE=90°，∴∠1=∠2，在△AEF与△BGF中，，∴△AEF≌△BGF，∴AF=BG，AE=BF，设AF=x，则AE=BF=3﹣x，∴x2+（3﹣x）2=（）2，解得：x=1，x=2（不合题意，舍去），∴AF=BG=1，BF=AE=2，∴DE=4，CG=5，连接EG，作△EFG关于EG的对称△EOG，则四边形EFGO是正方形，∠EOG=90°，以O为圆心，以EG为半径作⊙O，则∠EHG=45°的点在⊙O上，连接FO，并延长交⊙O于H′，则H′在EG的垂直平分线上，连接EH′GH′，则∠EH′G=45°，此时，四边形EFGH′是要想裁得符合要求的面积最大的，∴C在线段EG的垂直平分线设，∴点F，O，H′，C在一条直线上，∵EG=，。
2023中考数学23题
2023中考数学23题题目描述：某班级有60名学生，其中男生占全班的3/5，女生占全班的2/5。
男生中1/4会打篮球，女生中1/3会打篮球。
已知班级中既会打篮球又会踢足球的学生有10名，既不会打篮球又不会踢足球的学生有5名。
求该班级中会踢足球的学生有多少名？解析：设男生有3x名，女生有2x名，男生会打篮球的人数为3x/4，女生会打篮球的人数为2x/3。
班级中会打篮球的学生总数为3x/4 + 2x/3，由于已知班级中既会打篮球又会踢足球的学生有10名，因此有等式：3x/4 + 2x/3 = 10化简等式得：9x/12 + 8x/12 = 1017x/12 = 10解得x ≈ 7.059班级中男生的人数为3x ≈ 3 * 7.059 ≈ 21.177，取整为21人。
班级中女生的人数为2x ≈ 2 * 7.059 ≈ 14.118，取整为14人。
班级中会踢足球的学生总数为10 + 5 = 15人。
班级中既会打篮球又会踢足球的学生人数为15 - 5 = 10人。
根据题意，班级中会踢足球的学生总数为男生会踢足球的人数加上女生会踢足球的人数。
设男生会踢足球的人数为y，女生会踢足球的人数为z，由于男生会打篮球的人数为3x/4，女生会打篮球的人数为2x/3，因此有等式：3x/4 - 10 = y2x/3 - 10 = z化简等式得：3x - 40 = 4y2x - 30 = 3z代入x ≈ 7.059得：3 * 7.059 - 40 = 4y2 * 7.059 - 30 = 3z化简等式得：21.177 - 40 = 4y14.118 - 30 = 3z-18.823 = 4y-15.882 = 3z解得y ≈ -4.706，z ≈ -5.294由于学生人数不能为负数，所以班级中会踢足球的学生人数为0。
因此，该班级中会踢足球的学生有0名。
2023年中考数学必刷真题考点专题23圆的有关性质(共38题)【解析版】
专题23圆的有关性质（共38题）一．选择题（共17小题）1．（2022•包头）如图，AB，CD是⊙O的两条直径，E是劣弧的中点，连接BC，DE．若∠ABC＝22°，则∠CDE的度数为（）A．22°B．32°C．34°D．44°2．（2022•宜昌）如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接OB，OD，BD，若∠C＝110°，则∠OBD＝（）A．15°B．20°C．25°D．30°3．（2022•鄂州）工人师傅为检测该厂生产的一种铁球的大小是否符合要求，设计了一个如图（1）所示的工件槽，其两个底角均为90°，将形状规则的铁球放入槽内时，若同时具有图（1）所示的A、B、E三个接触点，该球的大小就符合要求．图（2）是过球心及A、B、E三点的截面示意图，已知⊙O的直径就是铁球的直径，AB是⊙O的弦，CD切⊙O于点E，AC⊥CD、BD⊥CD，若CD＝16cm，AC＝BD＝4cm，则这种铁球的直径为（）A．10cm B．15cm C．20cm D．24cm4．（2022•台湾）如图，AB为圆O的一弦，且C点在AB上．若AC＝6，BC＝2，AB的弦心距为3，则OC 的长度为何？（）A．3B．4C．D．5．（2022•山西）如图，△ABC内接于⊙O，AD是⊙O的直径，若∠B＝20°，则∠CAD的度数是（）A．60°B．65°C．70°D．75°6．（2022•广元）如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，若∠CAB＝65°，则∠ADC的度数为（）A．25°B．35°C．45°D．65°7．（2022•嘉兴）如图，在⊙O中，∠BOC＝130°，点A在上，则∠BAC的度数为（）A．55°B．65°C．75°D．130°8．（2022•陕西）如图，△ABC内接于⊙O，∠C＝46°，连接OA，则∠OAB＝（）A．44°B．45°C．54°D．67°9．（2022•株洲）如图所示，等边△ABC的顶点A在⊙O上，边AB、AC与⊙O分别交于点D、E，点F是劣弧上一点，且与D、E不重合，连接DF、EF，则∠DFE的度数为（）A．115°B．118°C．120°D．125°10．（2022•泰安）如图，AB是⊙O的直径，∠ACD＝∠CAB，AD＝2，AC＝4，则⊙O的半径为（）A．2B．3C．2D．11．（2022•温州）如图，AB，AC是⊙O的两条弦，OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，连结OB，OC．若∠DOE＝130°，则∠BOC的度数为（）A．95°B．100°C．105°D．130°12．（2022•滨州）如图，在⊙O中，弦AB、CD相交于点P．若∠A＝48°，∠APD＝80°，则∠B的大小为（）A．32°B．42°C．52°D．62°13．（2022•泸州）如图，AB是⊙O的直径，OD垂直于弦AC于点D，DO的延长线交⊙O于点E．若AC ＝4，DE＝4，则BC的长是（）A．1B．C．2D．414．（2022•安徽）已知⊙O的半径为7，AB是⊙O的弦，点P在弦AB上．若P A＝4，PB＝6，则OP＝（）A．B．4C．D．515．（2022•自贡）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠ABD＝20°，则∠BCD的度数是（）A．90°B．100°C．110°D．120°16．（2022•南充）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OF⊥BC于点F，∠BOF＝65°，则∠AOD 为（）A．70°B．65°C．50°D．45°17．（2022•云南）如图，已知AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为E．若AB＝26，CD＝24，则∠OCE的余弦值为（A．B．C．D．二．填空题（共14小题）18．（2022•内江）如图，在⊙O中，∠ABC＝50°，则∠AOC等于．19．（2022•吉林）如图，在半径为1的⊙O上顺次取点A，B，C，D，E，连接AB，AE，OB，OC，OD，OE．若∠BAE＝65°，∠COD＝70°，则与的长度之和为（结果保留π）．20．（2022•雅安）如图，∠DCE是⊙O内接四边形ABCD的一个外角，若∠DCE＝72°，那么∠BOD的度数为．21．（2022•长沙）如图，A、B、C是⊙O上的点，OC⊥AB，垂足为点D，且D为OC的中点，若OA＝7，则BC的长为．22．（2022•永州）如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠ADC＝30°，则∠BOC＝度．23．（2022•随州）如图，点A，B，C在⊙O上，若∠ABC＝60°，则∠AOC的度数为．24．（2022•苏州）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，连接AC，AD．若∠BAC＝28°，则∠D ＝°．25．（2022•荆州）如图，将一个球放置在圆柱形玻璃瓶上，测得瓶高AB＝20cm，底面直径BC＝12cm，球的最高点到瓶底面的距离为32cm，则球的半径为cm（玻璃瓶厚度忽略不计）．26．（2022•武威）如图，⊙O是四边形ABCD的外接圆，若∠ABC＝110°，则∠ADC＝°．27．（2022•湖州）如图，已知AB是⊙O的弦，∠AOB＝120°，OC⊥AB，垂足为C，OC的延长线交⊙O 于点D．若∠APD是所对的圆周角，则∠APD的度数是．28．（2022•黑龙江）如图，在⊙O中，弦AB垂直平分半径OC，垂足为D，若⊙O的半径为2，则弦AB的长为．29．（2022•自贡）一块圆形玻璃镜面碎成了几块，其中一块如图所示，测得弦AB长20厘米，弓形高CD 为2厘米，则镜面半径为厘米．30．（2021•宁夏）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠ADC＝150°，弦AC＝2，则⊙O的半径等于．31．（2022•遵义）数学小组研究如下问题：遵义市某地的纬度约为北纬28°，求北纬28°纬线的长度．小组成员查阅相关资料，得到如下信息：信息一：如图1，在地球仪上，与赤道平行的圆圈叫做纬线；信息二：如图2，赤道半径OA约为6400千米，弦BC∥OA，以BC为直径的圆的周长就是北纬28°纬线的长度；（参考数据：π≈3，sin28°≈，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）根据以上信息，北纬28°纬线的长度约为千米．三．解答题（共7小题）32．（2022•宜昌）石拱桥是我国古代人民勤劳和智慧的结晶（如图1），隋代建造的赵州桥距今约有1400年历史，是我国古代石拱桥的代表．如图2是根据某石拱桥的实物图画出的几何图形，桥的主桥拱是圆弧形，表示为．桥的跨度（弧所对的弦长）AB＝26m，设所在圆的圆心为O，半径OC⊥AB，垂足为D．拱高（弧的中点到弦的距离）CD＝5m．连接OB．（1）直接判断AD与BD的数量关系；（2）求这座石拱桥主桥拱的半径（精确到1m）．33．（2022•武汉）如图，以AB为直径的⊙O经过△ABC的顶点C，AE，BE分别平分∠BAC和∠ABC，AE 的延长线交⊙O于点D，连接BD．（1）判断△BDE的形状，并证明你的结论；（2）若AB＝10，BE＝2，求BC的长．34．（2022•怀化）如图，点A，B，C，D在⊙O上，＝．求证：（1）AC＝BD；（2）△ABE∽△DCE．35．（2022•娄底）如图，以BC为边分别作菱形BCDE和菱形BCFG（点C，D，F共线），动点A在以BC为直径且处于菱形BCFG内的圆弧上，连接EF交BC于点O．设∠G＝θ．（1）求证：无论θ为何值，EF与BC相互平分；并请直接写出使EF⊥BC成立的θ值．（2）当θ＝90°时，试给出tan∠ABC的值，使得EF垂直平分AC，请说明理由．36．（2022•威海）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AC，BD，延长CD至点E．（1）若AB＝AC，求证：∠ADB＝∠ADE；（2）若BC＝3，⊙O的半径为2，求sin∠BAC．37．（2022•湖北）如图，正方形ABCD内接于⊙O，点E为AB的中点，连接CE交BD于点F，延长CE 交⊙O于点G，连接BG．（1）求证：FB2＝FE•FG；（2）若AB＝6，求FB和EG的长．38．（2022•广东）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，∠ADB＝∠CDB．（1）试判断△ABC的形状，并给出证明；（2）若AB＝，AD＝1，求CD的长度．。
专题23 勾股定理中的树折和梯子模型--2024年中考数学核心几何模型重点突破(解析版)
专题23勾股定理中的树折和梯子模型【模型1】风吹树折模型如图，已知树干AB 垂直于地面，树干AC 被风吹倒后弯折在地，该模型通常转化为直角三角形，应用勾股定理进行求解。
（1）如果已知AB 和BC，可通过设AC=x ，根据勾股定理可得222x BC AB =+，求出x 的值，进而可求出树高。
（2）如果已知树高y 和BC，可通过设AB=x ，根据勾股定理可得()222x y BC x -=+，求出x 的值。
【模型2】梯子模型如图已知梯子AB 向下滑动了x 米，如图''B A 是滑落后的梯子。
如果已知梯子的长度和AC，可根据勾股定理先求出BC 的长度，在''CB A Rt ∆中，应用勾股定理：()()222222''''''B A x BC x AC B A C B C A =++-⇒=+可求出滑落的距离x ，【例1】如图，《九章算术》中记载“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问：折者高几何？”译文：一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好着地，着地处离原竹子根部3尺远．问：原处还有多高的竹子？（1丈=10尺）答：原处的竹子还有多少尺高．则高为（）A ．8120B ．9120C ．8119D ．9119【答案】B【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x 尺，则斜边为（10-x ）尺．利用勾股定理解题即可．【解析】解：设竹子折断处离地面x 尺，则斜边为（10-x ）尺，根据勾股定理得：2223(10x)x +=-，解得x =9120．故选：B ．【例2】如图所示，一个梯子AB 长2.5米，顶端A 靠墙AC 上，这时梯子下端B 与墙角C 距离为1.5米，梯子滑动后停在DE 上的位置上，如图，测得DB 的长0.5米，则梯子顶端A 下落了（）米．A ．0.5B ．0.4C ．0.6D ．1【答案】A 【分析】在直角三角形ABC 中，根据勾股定理，得：AC =2米，由于梯子的长度不变，在直角三角形CDE 中，根据勾股定理，得CE =1.5米，所以AE =0.5米，即梯子的顶端下滑了0.5米．【解析】解：∵在Rt △ABC 中，AC ⊥BC ，∴222AC BC AB +=，∵AB =2.5米，BC =1.5米，∴AC 22AB BC -222.5 1.5-=2米．∵Rt △ECD 中，CE ⊥CD ，∴222CE CD DE +=，∵AB =DE =2.5米，CD =（1.5+0.5）米，∴EC 米，∴AE =AC ﹣CE =2﹣1.5=0.5米．故选：A ．【例3】一架梯子长25米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，(1)这个梯子的顶端距地面有多高？(2)如果梯子的顶端下滑了4米到A '，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？【答案】(1)这个梯子的顶端距地面有24米(2)梯子的底端在水平方向滑动了8米【分析】（1）AC =25米，BC =7米，根据勾股定理即可求得AB 的长；（2）由题意得：BA '=20米，根据勾股定理求得BC '，根据BC BC '-即可求解．【解析】（1）解：由题意得：AC =25米，BC =7米，∠ABC =90°，24AB ==（米）答：这个梯子的顶端距地面有24米；（2）由题意得：BA '=20米，15BC '==（米）则：CC 'BC BC '=-=15-7=8（米），答：梯子的底端在水平方向滑动了8米．【例4】《九章算术》是中国传统数学的重要著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架，其中记载的一道“折竹”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”其大意是：一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处．折断处离地面的高度是多少？（其中丈、尺是长度单位，1丈=10尺．）【答案】折断处离地面的高度是4.55尺．【分析】首先由竹子垂直于地面，可知此三角形是直角三角形，设折断处离地面x 尺，则折断的度为（10−x ）尺，再根据勾股定理列出方程，解方程即可求得答案．【解析】解：设折断处离地面x 尺，则折断的度为（10−x ）尺，根据题意得：x 2＋32＝（10−x ）2，解得：x ＝4.55，答：折断处离地面的高度是4.55尺．一、单选题1．如图，一根垂直于地面的旗杆在离地面5m 的B 处撕裂折断，旗杆顶部落在离旗杆底部12m 的A 处，则旗杆折断部分AB 的高度是（）A ．5mB ．12mC ．13mD ．18m【答案】C 【分析】根据勾股定理求解即可．【解析】由题意得：5m,12m,90BC AC ACB ==∠=︒则222251213=+=+=AB BC AC （m ）故选：C ．2．如图，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面2m 处折断，树尖B 恰好碰到地面，经测量AB ＝4m ，则树高为（）A ．25mB ．23mC ．()252mD ．()32m 【答案】C 【分析】在Rt △ACB 中，根据勾股定理可求得BC 的长，而树的高度为AC +BC ，AC 的长已知，由此得解．【解析】据题意，AC =2m ,∠CAB =90°，AB ＝4m ，由勾股定理得2225BC AB AC =+=∴AC +BC =252.即树高为252+故选：C ．3．如图，一旗杆离地面6m 处折断，旗杆顶部落在离旗杆底部8m 处，则旗杆折断前的高度为（）A ．10mB ．12mC ．14mD ．16m【答案】D 【分析】先利用勾股定理求出旗杆顶部到折断处的长，再由旗杆折断之前的高度是折断的两部分的长度之和求解即可．【解析】如图，记旗杆顶部为点A ，折断处为点B ，旗杆底部为点C ，由题意得BC ⊥AC ，BC =6m ，AC =8m ，∴∠ACB =90°，∴10AB ===m ，∴BC +AB =6+10=16m ，∴旗杆折断之前的高度是16m ，故选：D ．4．《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之，在《勾股》章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，间折者高几何？”翻译成数学问题；如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，10AB AC +=，3BC =，若设AC x =，则可列方程为（）A ．()222103x x +-=B ．()222310x x +=+C ．()222103x x -+=D ．()222310x x +=-【答案】D【分析】根据勾股定理建立方程即可．【解析】解： 90ACB ∠=︒，10AB AC +=，3BC =，222AC BC AB ∴+=设AC x =，则10AB x =-，则()222310x x +=-故选D 5．一架2.5米长的梯子，斜立在一坚直的墙上，这时梯子的底端离墙0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么梯子底部在水平方向上滑动（）A ．0.4米B ．0.5米C ．0.8米D ．0.9米【答案】C【分析】依题意画出图形，先利用勾股定理求出AC ，进而得出A C '，再利用勾股定理求出CB '即可解答．【解析】解：如图，在Rt △ABC 中，AB =2.5，BC =0.7，∠ACB =90°，∴AC = 2.4==，∴A C '=2.4-0.4=2，在Rt △A CB ''中，CB '= 1.5=，∴BB '=1.5-0.7=0.8，即梯子底部在水平方向上滑动0.8米，故选：C ．6．如图，一根长为2.5m 的梯子AB 斜靠在垂直于地面的墙上，这时梯子的底端B 离墙根E 的距离为0.7m ，如果梯子的底端向外（远离墙根方向）移动0.8m 至D 处，则梯子的顶端将沿墙向下移动的距离AC 为（）A ．0.4mB ．0.5mC ．0.8mD ．0.7m【答案】A 【分析】在Rt △ABE 中求出AE ，在Rt △CDE 中求出CE ，继而可得出顶端将沿墙向下移动的距离．【解析】解：由题意得，AB ＝CD ＝2.5m ，BE ＝0.7m ，DE ＝1.5m ，在Rt △ABE 中， 2.4m AE ==，在Rt △CDE 中，CE ==2m ，∴梯子的顶端将沿墙向下移动的距离AC ＝2.4−2＝0.4m ，故选：A ．7．从前有一天，一个笨汉拿着竹竿进屋，横章竖拿都进不去，横着比门框宽4尺，竖若比门框高2尺．另一醉汉叫他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个笨汉一试，不多不少刚好进去了，你知道竹竿有多长吗？若设竹竿的长为x 尺，则下列方程，满足题意的是（）A ．()()22224x x x ++-=B ．()()22224x x x +++=C ．()()22224x x x -+-=D ．()()22224x x x -++=【答案】C【分析】根据题意，门框的长，宽，以及竹竿长是直角三角形的三个边长，等量关系为：门框长的平方+宽的平方=门的两个对角长的平方，把相关数值代入即可求解．【解析】解：∵竹竿的长为x 尺，横着比门框宽4尺，竖着比门框高2尺．∴门框的长为（x -2）尺，宽为（x -4）尺，可列方程，()()22224x x x -+-=，故选C ．8．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离BC 为0.7m ，梯子顶端到地面的距离AC 为2.4m ．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离A D '为1.5m ，则小巷的宽为（）．A ．2.4mB ．2.5mC ．2.6mD ．2.7m【答案】D 【分析】在Rt △ABC 中，利用勾股定理计算出AB 长，再在Rt △A ′BD 中利用勾股定理计算出BD 长，然后可得CD 的长．【解析】解：在Rt △ABC 中，AB=，∴A ′B =2.5m ，在Rt △A ′BD 中，BD=，∴CD =BC +BD =2+0.7=2.7m ，故选：D ．二、填空题9．如图，一根旗杆在离地面9m 处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部12米处，旗杆折断之前的高为__________．【答案】24米【分析】根据勾股定理，计算树的折断部分是15米，则折断前树的高度是15+9=24米．【解析】解：旗杆折断后，落地点与旗杆底部的距离为12米，旗杆离地面9米折断，且旗杆与地面是垂直的，∴折断的旗杆与地面形成了一个直角三角形．15=米，∴旗杆折断之前高度为15+9=24米．10．如图，山坡上，树甲从点A处折断，其树顶恰好落在另一棵树乙的根部C处，已知AB＝4m，BC＝10m，已知两棵树的水平距离为6m，则树甲原来高_____．【答案】【分析】过C作CD⊥AB于D，由题意知BC=10，CD=6，根据勾股定理可得BD=8，从而得到AD的长，再利用勾股定理可得AC的长，即可得到树原来的高度．【解析】解：如图作CD⊥AB交AB延长线于D，由题意知BC=10m，CD=6m，根据勾股定理得：BD=8m，∵AB=4m，∴AD=8+4=12m，，AC∴这棵数原来的高度=（m，故答案为：（m．11．云南省是我国乃至世界公认的竹类种质资源大省如图，有一根由于受虫伤而被风吹折断的竹子正好顶端着地，折断处离地面的高度为3米竹子的顶端落在离竹子根部距离4米处，则这根竹子原来的高度为______米．【答案】8【分析】由题意，根据勾股定理求出斜边的长度，即可求出竹子原来的高度．【解析】解：根据题意，如图：∵3AC =，4BC =，90C ∠=︒，∴AB 5==，∴这根竹子原来的高度为：358AC AB +=+=（米）；故答案为：8．12．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离BC 为0.7米，梯子顶端到地面的距离AC 为2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离A D '为1.5米，则小巷的宽为_____米．【答案】2.7【分析】在Rt △ABC 中，利用勾股定理计算出AB 长，再在Rt A BD ' 中利用勾股定理计算出BD 长，然后可得CD 的长．【解析】解：在Rt △ABC 中， 2.5m AB ===，∴ 2.5m A B AB '==，在Rt A BD ' 中，2m BD ===，∴CD =BC +BD =2+0.7=2.7m ，故答案为：2.7．13．如图，梯子AB 靠在墙上，梯子的底端A 到墙根O 的距离为2米，梯子的顶端B 到地面的距离为7米．现将梯子的底端A 向外移动到A '，使梯子的底端A '到墙根O 的距离等于3米，同时梯子的顶端B 下降至B '，那么BB '的值___1米（填>，<，=）【答案】<【分析】利用勾股定理求出AB ，OB '的长，可得BB '＝(7−)米，然后进行估算即可．【解析】解：由题意可知：∠AOB ＝90°，AB ＝A 'B '，在Rt △AOB 中，由勾股定理得222AB OA OB ＝＋，∴2222753AB ＝＋＝，在Rt △A 'OB '中，由勾股定理得：22253944OB A B OA ''''--＝＝＝，∴OB ′＝米，∴BB '＝OB −OB '＝(7−)米，∵34<<，∴6<<8，∴71-<，故答案为：<．14．如图，一架梯子AB 长10米，底端离墙的距离BC 为6米，当梯子下滑到DE 时，AD ＝3米，则BE ＝___________米．【答案】()36【分析】勾股定理先求AC 的长，继而得到CD 的长，根据AB =DE ，再次运用勾股定理计算CE 的长，根据BE =CE -CB 计算即可．【解析】∵AB =10，BC =6，∴AC 22221068AB BC -=-=，∵AD ＝3，∴CD =AC -AD =5，∴CE 222210553DE DC -=-=∴BE =CE -CB =()536米，故答案为：()36．三、解答题15．如图，∠AOB ＝90°，OA ＝8m ，OB ＝3m ，一机器人在点B 处看见一个小球从点A 出发沿着AO 方向匀速滚向点O ，机器人立即从点B 出发，沿直线匀速前进拦截小球，恰好在点C 处截住了小球．如果小球滚动的路程与机器人行走的路程相等，那么机器人行走的路程BC 是多少？【答案】机器人行走的路程BC 为7316m ．【分析】根据小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，得到BC =AC ，设BC =AC =x m ，根据勾股定理求出x 的值即可．【解析】解：∵小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，∴BC =AC ，设BC =AC =x m ，则OC =（8-x ）m ，在Rt △BOC 中，∵OB 2+OC 2=BC 2，∴32+（8-x ）2=x 2，解得7316x =．∴机器人行走的路程BC 为7316m ．16．如图，一棵竖直生长的竹子高为8米，一阵强风将竹子从C 处吹折，竹子的顶端A 刚好触地，且与竹子底端的距离AB 是4米．求竹子折断处与根部的距离CB ．【答案】3米【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面的高度是x 米，则斜边为（8-x ）米．利用勾股定理解题即可．【解析】解：由题意知BC ＋AC ＝8，∠CBA ＝90°，∴设BC 长为x 米，则AC 长为（8x -）米，∴在Rt △CBA 中，有222BC AB AC +=，即：2216(8)x x +=-，解得：3x =，∴竹子折断处C 与根部的距离CB 为3米．17．一个长13米的梯子斜靠在与地面垂直的墙上，梯子的顶端距离地面12米．(1)如果梯子的顶端下滑1米，那么梯子的底端滑动多少米？（结果保留根号）(2)如果梯子的顶端下滑的距离等于底端滑动的距离，那么这个距离是多少?【答案】(1)()5米；(2)7米【分析】（1）利用勾股定理即可求解；（2）设该距离为x ，下滑后，有AB =13，AC =12-x ，BC =5+x ，利用勾股定理即可求解．【解析】（1）如图，根据题意，下滑前，有AB =13，AC =12，∠C =90°，∴5BC ===，下滑之后，有AB =13，AC =11，∠C =90°，∴此时的BC ===∴梯子底端滑动的距离为：()5米，答：梯子的底端下滑()5-米；（2）设该距离为x 米，根据（1）的结果，可知下滑前BC =5，根据题意，下滑后，有AB =13，AC =12-x ，BC =5+x ，∠C =90°，∴利用勾股定理有：222AB BC AC =+，即：()()22213512x x =++-，解方程得：x =7，（x =0不合题意，舍去），答：所求的距离为7米．18．一个长为10m 的梯子斜靠在墙上，梯子底端距墙底6m ．(1)若梯子的底端水平向外滑动1m ，梯子的顶端下滑多少米？(2)如果梯子顶端向下滑动的距离等于底端向外滑动的距离，那么滑动的距离是多少米？【答案】(1)（8m ；(2)2m【分析】（1）作出图形，根据梯子的底端水平向外滑动1m 得出BE 的长，根据勾股定理求出AC 和CD 的长，进而可得出结论；（2）设AD ＝BE ＝x ，再根据勾股定理即可得出结论．【解析】（1）如图，△ABC 中，AB ＝10m ，BC ＝6m ，∴8AC ==m ，∵梯子的底端水平向外滑动1m ，，∴BE ＝1m ，∴CE ＝6+1＝7m ，∴CD ==，∴AD =AC －CD =（8m ．答：梯子的顶端下滑（8m ；（2）∵梯子顶端向下滑动的距离等于底端向外滑动的距离，∴设AD ＝BE ＝x ，则2222BC AC CD CE +=+，即()()22226886x x -+=++，2210064163612x x x x =-++++2420x x -+=解得x ＝2或x =0（舍去）．答：滑动的距离是2米．19．如图，小磊将一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距离地面的垂直距离记作MA ，测得MA a =，梯子的底端P 保持不动，将梯子的顶端靠在对面墙上，此时90MPN ∠=︒，梯子的顶端距离地面的垂直距离记作NB ，测得NB b =，求A 、B之间的距离．【答案】a ＋b【分析】证明△AMP ≌△BPN ，从而得到MA ＝PB ＝a ，PA ＝NB ＝b ，即可求出AB ＝PA ＋PB ＝a ＋b ．【解析】解：∵∠MPN ＝90°，∴∠APM ＋∠BPN ＝90°，∵∠APM ＋∠AMP ＝90°，∴∠AMP ＝∠BPN ．在△AMP 与△BPN 中，90AMP BPN MAP PBN MP PN ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴△AMP ≌△BPN （AAS ），∴MA ＝PB ＝a ，PA ＝NB ＝b ，∴AB＝PA＋PB＝a＋b．20．如图，一架长2.5m的梯子AB斜靠在墙AC上，∠C＝90°，此时，梯子的底端B离墙底C的距离BC 为0.7m（1）求此时梯子的顶端A距地面的高度AC；（2）如果梯子的顶端A下滑了0.9m，那么梯子的底端B在水平方向上向右滑动了多远？【答案】（1）2.4米；（2）1.3m【分析】（1）直接利用勾股定理求出AC的长，进而得出答案；（2）直接利用勾股定理得出B′C，进而得出答案．【解析】解：（1）∵∠C＝90°，AB＝2.5，BC＝0.7，=（米），∴AC 2.4答：此时梯顶A距地面的高度AC是2.4米；（2）∵梯子的顶端A下滑了0.9米至点A′，∴A′C＝AC−A′A＝2.4−0.9＝1.5（m），在Rt△A′CB′中，由勾股定理得：A′C2＋B′C2＝A′B′2，∴1.52＋B′C2＝2.52，∴B′C＝2（m），∴BB′＝CB′−BC＝2−0.7＝1.3（m），答：梯子的底端B在水平方向滑动了1.3m．21．如图，一个梯子AB斜靠在一面墙上，梯子底端为A，梯子的顶端B距地面的垂直距离为BC的长．（1）若梯子的长度是10m，梯子的顶端B距地面的垂直距离为8m．如果梯子的顶端下滑1m，那么梯子的底端A向外滑动多少米?（2）设AB c =，BC a =，AC b =，且a b >，请思考，梯子在滑动的过程中，是否一定存在顶端下滑的距离与底端向外滑动的距离相等的情况?若存在，请求出这个距离；若不存在，说明理由．【答案】（16米；（2）存在，梯子的底端向外滑动的距离是()-a b 米．【分析】（1）已知AB 、BC ，在直角ABC 中即可计算AC 的长度，设梯子的底端向外滑动x 米，由题意得，222(81)(6)10x -++=，求解即可；（2）设存在顶端下滑的距离与底端向外滑动的距离相等的情况，此时梯子的底端向外滑动x 米，由题意得，222()()a x b x c -++=，求解即可．【解析】（1）在Rt ABC △中，10AB = ，8BC =，6AC ∴=.设梯子的底端向外滑动x 米，由题意得，222(81)(6)10x -++=，解得16x =，26x =-（舍去）6x ∴=6米.（2）设存在顶端下滑的距离与底端向外滑动的距离相等的情况，此时梯子的底端向外滑动x 米，由题意得，222()()a x b x c -++=，解得1x a b =-，20x =（舍去），x a b ∴=-，即梯子的底端向外滑动的距离是()-a b 米．22．如图，平面直角坐标系中，将含30°的三角尺的直角顶点C 落在第二象限．其斜边两端点A 、B 分别落在x 轴、y 轴上且AB ＝12cm（1）若OB ＝6cm ．①求点C 的坐标；②若点A 向右滑动的距离与点B 向上滑动的距离相等，求滑动的距离；（2）点C 与点O 的距离的最大值是多少cm ．【答案】（1）①点C 的坐标为（－9）；②滑动的距离为61）cm ；（2）OC 最大值12cm ．【分析】（1）①过点C 作y 轴的垂线，垂足为D ，根据30°的直角三角形的性质解答即可；②设点A 向右滑动的距离为x ，根据题意得点B 向上滑动的距离也为x ，根据锐角三角函数和勾股定理解答即可；（2）设点C的坐标为（x，y），过C作CE⊥x轴，CD⊥y轴，垂足分别为E，D，证得△ACE∽△BCD，利用相似三角形的性质解答即可．【解析】解：（1）①过点C作y轴的垂线，垂足为D，如图1：在Rt△AOB中，AB=12，OB=6，则sin∠BAO=1 2∴∠BAO=30°，∠ABO=60°，又∵在Rt△ACB中，∠CBA=60°，∴∠CBD=60°，∠BCD=30°，BC=AB·sin30°=6∴BD=BC·sin30°=3，CD=BC∴OD=OB+BD=9∴点C的坐标为（﹣9）；②设点A向右滑动的距离为x，根据题意得点B向上滑动的距离也为x，如图2：AO=12×cos∠BAO∴A'Ox，B'O=6+x，A'B'=AB=12在△A'O B'中，由勾股定理得，（x）2+（6+x）2=122，解得：x=61），∴滑动的距离为61）；（2）设点C的坐标为（x，y），过C作CE⊥x轴，CD⊥y轴，垂足分别为E，D，如图3：则OE =﹣x ，OD =y ，∵∠ACE +∠BCE =90°，∠DCB +∠BCE =90°，∴∠ACE =∠DCB ，又∵∠AEC =∠BDC =90°，∴△ACE ∽△BCD ，∴CE AC CD BC =，即tan 603CE CD=︒=∴y =3，OC 2=x 2+y 2=x 2+3）2=4x 2，∴当|x |取最大值时，即C 到y 轴距离最大时，OC 2有最大值，即OC 取最大值，如图，即当C 'B '旋转到与y 轴垂直时．此时|x |=6，OC 22=124=x x ，故点C 与点O 的距离的最大值是12cm ．。
中考数学专题复习32套测试题(23)动态性问题
专题：动态问题(总分100 时间：90分钟) ——命题人：(李鹊二中)崔建利动态性问题分类 1: 点动．． 2：线动．． 3：图动．．4：变换．． 一：单选题（每题4分，共32分）1、如图,把一个长方形纸片沿EF 折叠后,点D 、C 分别落在D '、C '的位置，若∠EFB=620，则∠AED ’等于（ ）A 、580B 、600C 、620D 、5602．如图，矩形ABCD 的边AB ＝5厘米，BC ＝4厘米，动点P 从A 点出发，在折线AD —DC －CB 上以1厘米/秒的速度向B 点匀速运动，那么表示△ABP 的面积S （厘米2）与运动时间t （秒）之间的函数关系的图象是（ ）A B C D3在直角坐标系中A （-3，-2）圆A 的半径为1，P 为X 轴上一动点，PQ 切圆A 于Q 则PQ 值最小时P 点坐标为（ ）A （-4，0）B （-2,0)C （-4，0）或（-2，0）4将y=2x+2向右平移3个单位，相当于y=2x+2向下平移（）个单位 A 4 B 2 C 3 D 65点A 是为直径为MN 半圆上的一个三等分点，B 点是弧AN 的中点，点P 是直径MN 上一个动点，半圆o 的半径为1，则PA+PB 的最小值为：（ ） A ：1 B ：3/2 C ：√2 D ：3-16．如图，两枚同样大的硬币，其中一个固定，另一个沿其周围滚动，滚动时，两枚硬币总是保持有一点相接触（相外切），当滚动的硬币沿固定的硬币周围滚动2圈，回到原来的位置时，滚动的那个硬币自转的周数为（ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、47．如图，直线AB 经过⊙O 的圆心,与⊙O 相交于A 、B 两点，点C 在⊙O 上，且∠AOC=300,点E 是直线AB 上的一个动点（与点O 不重合），直线EC 交⊙O 于D ，则使DE=DO 的点共有( ) A 、1个 B 、2个 C 、3 个 D 、4个8、如图，直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=900，AD ＋BC ＞DC ，若腰DC 上有点P ，使AP ⊥BP ，则这样的点( )（A ）不存在（B ）只有一个 （C ）只有两个 （D ）有无数个EBC 'FCD62D 'A4题图。
人教版备考2023中考数学二轮复习 专题23 尺规作图(教师版)
人教版备考2023中考数学二轮复习专题23 尺规作图一、作图题1．（2022九上·深圳期中）定义：在边长为1的小正方形方格纸中，把顶点落在方格交点上的线段、三角形、四边形分别称为格点线段、格点三角形、格点四边形，在5×5的正方形网格中，若每一个小正方形的边长均为1，请仅用无刻度直尺按要求画图．（1）在图①中画一个以AB为边画一个格点正方形ABCD．（2）在图②中画一个格点平行四边形AEBF，使平行四边形面积为6．（3）在图③中画一个格点菱形AMBN，AMBN不是正方形（温馨提示：请画在答题卷相对应的图上）【答案】（1）解：画一个以AB为边画一个格点正方形ABCD，如图所示，（2）解：画一个格点平行四边形AEBF．如图所示，S▱AEBF=2×3=6；（3）解：画一个格点菱形AMBN，AMBN不是正方形，如图所示，【知识点】平行四边形的判定；正方形的判定；作图-直线、射线、线段【解析】【分析】（1）根据题意作图即可；（2）根据题意作图，再利用平行四边形的面积公式计算求解即可；（3）根据题意作图即可。
2．（2022七下·浑南期末）如图，在正方形网格中，△ABC的三个顶点均在格点上．（1）画出△A1B1C1，使得△A1B1C1和△ABC关于直线l对称；（2）过点C作线段CD，使得CD∥AB，且CD=AB．【答案】（1）解：△A1B1C1如图所示：（2）解：如图，CD1、CD2即为所求．【知识点】作图﹣轴对称；作图-直线、射线、线段【解析】【分析】（1）利用轴对称的性质找出点A、B、C的对应点，再连接即可；（2）根据要求作出图形即可。
3．（2022八上·瑞安月考）在5×5的正方形网格中，点A，点B均在格点上，连结AB，请根据要求完成下列作图：（1）在图1中找一个格点C，使得△ABC是直角三角形．（2）在图2中找一个格点D，使得△ABD是三个内角都是锐角的等腰三角形．【答案】（1）解：当∠A=90°或∠B=90°时；当∠C=90°时（2）当AB=BD时【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；作图-三角形【解析】【分析】（1）要使△ABC是直角三角形，分情况讨论，画出图形，当∠A=90°，当∠B=90°，当∠C=90°，分别画出符合题意的三角形.（2）利用勾股定理，根据两边相等的三角形是等腰三角形：当AB=BD时；当AB=AD时，画出三个角都是锐角的等腰三角形即可.4．（2022八上·北仑期中）如图，已知在△ABC中，∠A=120°，∠B=20°，∠C=40°，请在三角形的边上找一点P，并过点P和三角形的一个顶点画一条线段，将这个三角形分成两个等腰三角形.(要求两种不同的分法并写出每个等腰三角形的内角度数)【答案】解：如图，【知识点】等腰三角形的性质；作图-三角形【解析】【分析】由∠A=120°，可过点A作∠BAP=20°，则∠PAC=100°，∠APC=40°，则△APB、△APC 均为等腰三角形；可过点A作∠BAP=80°，则∠PAC=40°，∠APC=100°，则△APB、△APC均为等腰三角形；5．（2022八上·青田期中）如图，在△ABC中，点E在AB边上，请用直尺和圆规求作一点F，使得FE＝FA，且F点到AB和BC的距离相等.（保留作图痕迹，不写作法）【答案】解：如图，点F为所作.【知识点】作图-角的平分线；作图-线段垂直平分线【解析】【分析】分别作∠ABC的平分线，线段AE的垂直平分线，两直线的交点即为点F. 6．（2022九上·博白月考）已知四边形ABCD为矩形，点E是边AD的中点，请仅用无刻度的直尺完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹．（1）在图1中作出矩形ABCD的对称轴m，使m//AB；（2）在图2中作出矩形ABCD的对称轴n，使n//AD．【答案】（1）解：如图1中，直线m即为所求；（2）解：如图2中，直线n即为所求；【知识点】矩形的性质；作图-平行线【解析】【分析】（1）由矩形的性质作矩形的对角线，两条对角线的交点为O，过点O作AD的垂线交AD于点E，直线OE即为所求；（2）结合（1）的作法，过点O作OE的垂线交AB于点R，直线OR即为所求.7．（2022八上·嘉兴期中）如图，在△ABC中，AC=BC.尺规作图(保留作图痕迹，不写作法)⑴作边AC的垂直平分线；⑵在△ABC内确定一点O，使得点O到三个顶点的距离相等.【答案】解：解：⑴如图，直线l为所作；⑵如图，点O为所作.【知识点】作图-线段垂直平分线【解析】【分析】（1）根据垂直平分线的作法作图即可；（2）作出线段AB的垂直平分线，与AC的垂直平分线的交点即为点O.8．如图方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，ΔABC的顶点都在格点上，且三个顶点的坐标分别为A(0，3)，B(3，4)，C(2，2)．⑴画出△ABC关于原点O的中心对称图形△A′B′C′，并写出点B的对应点B′的坐标．⑵画出将△ABC绕原点O逆时针方向旋转90度后的图形△A′′B′′C′′．【答案】解：⑴如图，ΔA′B′C′即为所求，则点B′(−3，−4)⑵如图，ΔA′′B′′C′′即为所求．【知识点】作图﹣旋转【解析】【分析】（1）利用中心对称的性质，作出点A，B，C分别关于原点的对称点A′，B′，C′，再画出△A′B′C′，写出点B′的坐标.（2）利用旋转的性质，将△ABC绕着点O逆时针旋转90°，可得到对称点A＂，B＂，C＂，再画出△A＂B＂C＂.9．（2022八上·宝安期末）如图，在边长为1的小正方形所组成的网格上，每个小正方形的顶点都称为“格点”，△ABC的顶点都在格点上，用直尺完成下列作图．（1）作出△ABC关于直线MN的对称图形；（2）在网格中建立直角坐标系，使点A坐标为(−1，3)；（3）在直线MN上取一点P，使得AP+CP最小．【答案】（1）解：作出点A、B、C关于MN的对称点A′、B′、C′，顺次连接，则ΔA′B′C′即为所求作的三角形，如图所示：（2）解：由点A坐标为(−1，3)可知，坐标原点在点A右侧一个单位，下方3个单位处，然后建立平面直角坐标系，如图所示：（3）解：连接A′C，交MN于点P，则点P即为所求，如图所示：【知识点】作图﹣轴对称；轴对称的应用-最短距离问题；平面直角坐标系的构成【解析】【分析】（1）利用轴对称的性质找出点A、B、C的对应点，再连接即可；（2）根据点A的坐标建立平面直角坐标系即可；（3）连接A′C，交MN于点P，则点P即为所求。
中考数学必考考点专题23多边形内角和问题含解析
专题23 多边形内角和问题1．多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。
2．多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角。
3．多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫多边形的外角。
4．多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。
5．正多边形：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形。
6．多边形内角和公式：n 边形的内角和等于（n-2）·180° 7．多边形的外角和：多边形的内角和为360°。
8.多边形对角线的条数：（1）从n 边形的一个顶点出发可以引（n-3）条对角线，把多边形分成（n-2）个三角形。
（2）n 边形共有23)-n(n 条对角线。
【例题1】（2019贵州铜仁）如图为矩形ABCD ，一条直线将该矩形分割成两个多边形，若这两个多边形的内角和分别为a 和b ，则a +b 不可能是（ ）A ．360°B ．540°C ．630°D ．720°【答案】C ．【解析】一条直线将该矩形ABCD 分割成两个多边形，每一个多边形的内角和都是180°的倍数，都能被180整除，分析四个答案，只有630不能被180整除，所以a +b 不可能是630°．【例题2】（2019广西梧州）正九边形的一个内角的度数是（ ）专题知识回顾专题典型题考法及解析A．108°B．120°C．135°D．140°【答案】D．【解析】先根据多边形内角和定理：180°•（n﹣2）求出该多边形的内角和，再求出每一个内角的度数．该正九边形内角和＝180°×（9﹣2）＝1260°，则每个内角的度数＝．【例题3】（2019湖南湘西州）已知一个多边形的内角和是1080°，则这个多边形是（）A．五边形B．六边形C．七边形D．八边形【答案】D【解析】本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理。
专题23 二次函数抛物线与三角形的综合-2023年中考数学二轮复习核心考点拓展训练(原卷版)
专题23 二次函数抛物线与三角形的综合（原卷版）第一部分 典例剖析+针对训练类型一 二次函数与直角三角形的综合1．（2022秋•利川市期末）如图1，抛物线y ＝ax 2+bx ﹣3交x 轴于点A （4，0）和点B （﹣1，0），交y 轴于点C ．（1）求此抛物线的解析式；（2）点P 为直线AC 下方抛物线上一动点，连接PA ，PC ，求△ACP 面积的最大值；（3）如图2直线l 为该抛物线的对称轴，在直线l 上是否存在一点M 使△BCM 为直角三角形，若存在，请求出点M 的坐标，若不存在，请说明理由．针对训练1．（2022秋•渝中区期末）抛物线y =12x 2+bx +c 与x 轴交于点A （﹣2，0）和B （4，0），与y 轴交于点C ，连接BC ．点P 是线段BC 下方抛物线上的一个动点（不与点B ，C 重合），过点P 作y 轴的平行线交BC 于M ，交x 轴于N ，设点P 的横坐标为t ．（1）求该抛物线的解析式；（2）用关于t 的代数式表示线段PM ，求PM 的最大值及此时点M 的坐标；（3）过点C 作CH ⊥PN 于点H ，S △BMN ＝9S △CHM ，①求点P 的坐标；②连接CP ，在y 轴上是否存在点Q ，使得△CPQ 为直角三角形，若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．类型一 二次函数与等腰三角形的综合典例2（2021秋•重庆期末）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+3的图象交x轴于点A（1，0），B（3，0），交y轴于点C．（1）求这个二次函数的表达式；（2）点P是直线BC下方抛物线上的一动点，求△BCP面积的最大值；（3）直线x＝m分别交直线BC和抛物线于点M，N，当△BMN是等腰三角形时，直接写出m的值．针对训练1．（2022秋•代县期末）综合与探究如图，抛物线y＝ax2+bx+4经过A（﹣1，0），B（2，0）两点，与y轴交于点C，作直线BC．（1）求抛物线和直线BC的函数解析式．（2）D是直线BC上方抛物线上一点，求△BDC面积的最大值及此时点D的坐标．（3）在抛物线对称轴上是否存在一点P，使得以点P，B，C为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．2．（2022秋•宁陵县期中）如图，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线y＝x2+bx+c与x轴的另一个交点为A，顶点为P．（1）求该抛物线的解析式；（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点M，使以C，P，M为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出所符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．类型三二次函数与等腰直角三角形的综合典例3（2022秋•洛川县校级期末）已知抛物线L₁：y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣5，0），B（﹣1，0）两点．（1）求抛物线L1的表达式；（2）平移抛物线L1得到新抛物线L2，使得新抛物线L2经过原点O，且与x轴的正半轴交于点C，记新抛物线L2的顶点为P，若△OCP是等腰直角三角形，求出点P的坐标．针对训练1．（2022秋•铁西区校级期末）已知：如图，抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）与坐标轴分别交于点A （0，6），B （6，0），C （﹣2，0），点P 是线段AB 上方抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的解析式．（2）当△PAB 的面积最大时，求点P 的坐标．（3）过点P 作x 轴的垂线，交线段AB 于点D ，再过点P 作PE ∥x 轴交抛物线于点E ，连接DE ，请问是否存在点P 使△PDE 为等腰直角三角形？请直接写出点P 的坐标．第二部分 专题提优训练1．（2022秋•渝中区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2+bx +c 与x 轴交于点A （﹣33，0），B （3，0），与y 轴的交点为C ，且tan ∠CAO =233．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）点D 为AB 的中点，过点D 作AC 的平行线交y 轴于点E ，点P 为抛物线上第二象限内的一动点，连接PC ，PD ，求四边形PDEC 面积的最大值及此时点P 的坐标；（3）将该抛物线y ＝ax 2+bx +c 向左平移得到抛物线y '，使y '经过原点，y '与原抛物线的交点为F ，点M 为抛物线y '对称轴上的一点，若以点F ，B ，M 为顶点的三角形是直角三角形，请直接写出所有满足条件的点M 的坐标，并把求其中一个点M 的坐标的过程写出来．2．（2022秋•鞍山期末）在平面直角坐标系xOy中，抛物线C1：y＝ax2+bx+c（a≠0）经过（0，2），（﹣2，2）两点．（1）若抛物线C1：y＝ax2+bx+c经过（1，0），求抛物线解析式；（2）抛物线C1：y＝ax2+bx+c与直线y＝x+2有M，N两个交点，O为坐标原点，若△MNO是以MN为腰的等腰三角形，请直接写出a的值；（3）直线y＝x+2分别与抛物线C1：y＝ax2+bx+c，抛物线C2：y＝﹣ax2﹣bx+c恰好有三个公共点，若其中一个公共点是另外两个公共点连接线段的中点，求a的值．3．（2022秋•前郭县期末）如图，抛物线y＝ax2﹣ax﹣12a经过点C（0，4），与x轴交于A，B两点，连接AC，BC，M为线段OB上的一个动点，过点M作PM⊥x轴，交抛物线于点P，交BC于点Q．（1）直接写出a的值以及A，B的坐标：a＝ ，A（ ， ），B（ ， ）；（2）过点P作PN⊥BC，垂足为点N，设M点的坐标为M（m，0），试求PQ+2PN的最大值；（3）试探究点M在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．4．（2022•台山市校级一模）如图，抛物线y＝ax2+x+6的图象与直线y＝kx+b有唯一交点A（﹣1，4）．（1）求抛物线和直线的解析式；（2）若抛物线与x轴的交点分别为点M、N，抛物线的对称轴上是否存在一点P，使PA+PM的值最小？如果有，请求出这个最小值，如果没有，请说明理由．（3）直线y＝kx+b与x轴交于点B，点Q是x轴上一动点，请你写出使△QAB是等腰三角形的所有点Q 的横坐标．5．（2022秋•通州区期末）如图，抛物线y1＝ax2﹣2x+c的图象与x轴交点为A和B，与y轴交点为D（0，3），与直线y2＝﹣x﹣3交点为A和C．（1）求抛物线的解析式；（2）在直线y2＝﹣x﹣3上是否存在一点M，使得△ABM是等腰直角三角形，如果存在，求出点M的坐标，如果不存在，请说明理由；（3）若点E是x轴上一个动点，把点E向下平移4个单位长度得到点F，点F向右平移4个单位长度得到点G，点G向上平移4个单位长度得到点H，若四边形EFGH与抛物线有公共点，请直接写出点E的横坐标x E的取值范围．6．（2022秋•临湘市期末）如图，抛物线y=―12x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．（1）求抛物线的表达式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，求出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）点F是第一象限抛物线上的一个动点，当点F运动到什么位置时，△CBF的面积最大？求出△CBF 的最大面积及此时F点的坐标．7．（2022•甘井子区校级模拟）已知抛物线y＝ax2+bx+c的顶点A在x轴上．P（x1，y1），Q（x2，y2）是抛物线上两点，若x1＜x2＜m，则y1＞y2；若x1＞x2＞m，则y1＞y2，且当y的绝对值为1时，△APQ为等腰直角三角形（其中∠PAQ＝90°）．（1）求抛物线的解析式；（用含有m的式子表示）（2）当m＞0，x1＜m，x2＞m，过点Q作QF⊥x轴，若y1•y2＝1，探究∠PAO与∠AQF之间数量关系；（3）直线x＝m+1（1≤m≤3）交抛物线y＝ax2+bx+c于点D，将抛物线y＝ax2+bx+c以直线x＝m+1为对称轴向右翻折得到新抛物线，直线y＝kx经过点D，交原抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴于点E，交新抛物线于另一点H，问△EAH的面积是否存在最大值或最小值，若存在，求出面积最值和m的值，若不存在，请说明理由．。
2025中考数学二次函数压轴题专题练习23 将军饮马模型(学生版+解析版)
专题23将军饮马模型一、知识导航通过全国中考试题分析来看，将军饮马的才莫型多出现在中考二次函数压轴题笫二问中出现，难度不大，但需要，主意对称点的选择，动点通常在对称轴上，而且已知定点中往往有一个与x轴的交点．考法主要有以下几种：1．求取最小值时动点坐标2．求最小值．3．求三角形或四边形周长最小值．模型一：两定点一动点！如图，A,B力定点，P为［上动点，求AP+BP最小值:8解析．作点A关于直线的对称点A'，连接PA'，则PA'=PA,所以PA+PB=PA'+PB二1,“8p，，当A'、P、B三点共线的时候，PA'+PB=A'B,此时为最小值（两点之间线段最短），,.BA端点，＇，、，，／,、、,,、，、，l,ll ,＇，p折点;;＇模型二：如图，P为定点，M、N分别为O A和OB上的动点，求6.P MN周长最小值A A。
声N8。
，，P`、/＼\PB解析：分别作点P关于OA、OB的对称点，则t::.PM N的周长为PM+MN+NP=P'M+M N+NP",当P'、M、N、P“共线时，t:i.P MN周长最小模型三：两定点两动点如图，P、Q为两定点，M、N分别为OA、OB上的动点，求四边形PQ M N的最小值A A。
声B。
NQp\“出飞｀＼8解析：. P Q是条定线段，只需考虑PM+MN+NQ最小值即可，分别作点P、Q关于OA、OB对称，PM+MN+NQ=P'M+MN+NQ',当P'、M、N、Q'共线时，四边形PMNQ的周长最小。
如图，P为定点，M、N分别为OA、OB上的动点，求PM+MN最小值。
AA。
渗NBp ．、一p ·伈1:、}NB解析：作点P关于OA对称的点P',PM+MN=P'M+MN,过点P'作OB垂线分别交OA、OB于点M、N,得PM+MN 赦小值（点到直线的连线中，垂线段最短）模型五：将军饮马有距离例一、如图，A、D 为定点，B、C为直线l上两动点，BC为定值，求AB+BC+CD最小值？• D．ABc解析．BC力定值，只需求AB+CD枭小即可，平移AB至CE ，则变成求CE+CD的最小值，基本将军饮马的模型例二、如图，A、D 为定点，B、C 力直线l i 、h 上两动点，BC ..L h ，求AB +BC+CD 最小值？．Al1c/2• D解析．B C力定值，只需求AB+CD赦小即可，平移CD至BE,则变成求AB+BE枭小，基本将军饮马．-例一：如图l （注：与图2完全相同），在直角坐标系中，抛物线经过点A(l ,O)、8(5,0)、C(0,4)三点．x图1(I)求抛物线的解析式和对称轴，图2(2)p是抛物线对称轴上的一点，求满足PA+PC的值为最小的点P坐标（请在图1中探索）；【分析）（1)将点A 、B 的坐标代入二次函数表达式得：y =a（儿－1)(x -5)=a(x 2-6x +5)，即可求解；(2)连接B 、C 交对称轴千点P ,此时PA+PC 的值为最小，即可求解；【解答】解：（1)将点A 、B 的坐标代入二次函数表达式得：y = a (x-l)(x-5) = a (.:r2 -6x+ 5), 则5a =4,解得：a ==,4抛物线的表达式为：4勹（4 24y =�(x 2 -6x+5) =�x 2-—x +4,函数的对称轴为：x =3,顶点坐标为(3,＿竺）；5 5 5(2)连接B 、C 交对称轴千点P ,此时PA +PC 的值为最小，将点B 、C 的坐标代入一次函数表达式I y =kx +b 得I{0 = S k +b b=4y解得Ilk =-5,4b=4-O直线BC 的表达式为： 4y =--:-x +4,5:：：：：：,'，'亡，＇．：·-：：：：宁，．1．、．图当x =3时，．8-5＝y8故点P(3，一）；5例二：如图，直线y =-.,\,＋3与x 轴、x 轴另一交点为A,顶点为D.y 轴分别交于B 、C 两点，抛物线y=-x 2+bx+c 经过点B 、C ,与(I)求抛物线的解析式；(2)在入轴上找一点E,使EC+ED的值最小，求EC+ED的最小值；yx备用图【分析】（1)直线y =-x +3与x 轴、y 轴分别交千B 、将点B 、C 的坐标代入二次函数表达式，即可求解；C 两点，则点B 、C 的坐标分别为(3,0)、（0,3),(2)如图1,作点C 关于x 轴的对称点C'，连接C D'交x 轴千点E ,则此时EC +ED 为最小，即可求解1【解答】解：（1）直线y =-x +3与x 轴、y 轴分别交于B 、C 两点，则点B 、C 的坐标分别为(3,0)、（0,3),将点B 、C 的坐标代入二次函数表达式得：｛-9+3b+c=O，解得：b=2c = 3 {c=3'故函数的表达式为：y=-x 2+2x +3,令y =O ，则x =-l 或3，故点A(-1,0)1(2)如图1，作点C 关于x 轴的对称点C'，连接CI Y 交x 轴于点E ,则此时E C +E D 为最小，函数顶点D 坐标为(1,4),点C'(0,-3),将C'、D 的坐标代入一次函数表达式并解得：直线CD 的表达式为：y =?x -3, 当y =O 时，， 3一7＝ x 3故点E(-，0)，7;．:：月y、3.• 「E,＇,＇则EC +ED 的最小值为DC'=[可工言了＝5丘；图1I三、中考真题演练I.(2023宁夏中考真题）如图，抛物线y=ax 2 +bx+3(G 汪0)与X 轴交千A,知点A的坐标是(-1,0)，抛物线的对称轴是直线x=I.yB两点，与Y轴交千点C.已X X备用胆(I)直接写出点B 的坐标；(2)在对称轴上找一点P,使PA+PC的值最小．求点P的坐标和PA+PC的最小值；(3)第一象限内的抛物线上有一动点M,过点M作MN乒轴，垂足为N,连接BC交MN千点Q 依题意补全图形，当MQ ＋石CQ 的值最大时，求点M 的坐标2.(2023黑龙江齐齐哈尔中考真题）综合与探究如图，抛物线y=-x 2+bx+c 上的点A,C 坐标分别为(0,2),(4,0)，抛物线与x 轴负半轴交千点B,点M 为y 轴负半轴上一点，且OM=2,连接AC,CM.yyx x(l)求点M的坐标及抛物线的解析式；(4)将抛物线沿x轴的负方向平移得到新抛物线，点A的对应点为点A'，点C的对应点为点C'，在抛物线平移过程中，当MA'+M C的值最小时，新抛物线的顶点坐标为，MA '+M C 的最小值为3.(2023湖南张家界中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与过由交千点A(-2,0)和点B(6,0)两点，与y 轴交千点C(0,6)点D 为线段BC 上的一动点．y yXX图1(I)求二次函数的表达式；(2)如图l ，求t::.AOD周长的最小值；图24.(2023山东枣庄中考真题）如图，抛物线y= -x2 +bx+c经过A（一1,0),C(0,3)两点，并交x轴千另一点B,点M是抛物线的顶点，直线AM与轴交千点D.x x备用图(J)求该抛物线的表达式：(2)若点H是．x轴上一动点，分别连接MH,DH,求1\1H+DH的最小值；5.如图，已知抛物线y=ax2+bx-6与x轴的交点A(-3, 0), B (I., 0)，与y轴的交点是点C.yxA(I)求抛物线的解析式：(2)点P是抛物线对称轴上一点，当PB+PC的值最小时，求点P的坐标：(3)点M在抛物线上运动，点N在y轴上运动，是否存在点M,N,使得LCMN=90且以点C,M, N为顶点的三角形与．OAC相似？若存在，求出点M和点N的坐标：若不存在，说明理由．6.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=--产＋bx+c经过点A(4,0)、B(0,4)、 C.其对称轴l交x 轴千点D,交直线AB千点F,交抛物线千点E.(I)求抛物线的解析式；(2)点P为直线l上的动点，求ti.PBC周长的最小值；(3)点N为四线AB上的一点（点N不与点F重合），在抛物线上是否存在一点M,使以点E、F、N、M为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点M的坐标，若不存在，说明理由．7 已知，抛物线y=x2+2x-3,与x轴交千A B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C,抛物线的顶点为点D.(I)求AB的长度和点D的坐标；(2)在该抛物线的对称轴上找一点P,求出PB+PC的值最小时P点的坐标；(3)点M是第三象限抛物线上一点，当s MAC．最大时，求点M的坐标，并求出s MAC的最大值．专题23将军饮马模型、知识导航通过全国中考试题分析来看，将军饮马的枝型多出现在中考二次函数压轴题笫二问中出现，难度不大，但需要注意对称点的选择，动点通常在对称轴上，而且已知定点中往往有一个与x轴的交点．考法主要有以下几种：l．求取最小值时动点坐标2．求最小值．3．求三角形或四边形周长最小值模型一：两定点一动点如图，A,B为定点，P为l上动点，求AP+BP最小值二B解析·作点A关于直线的对称点A'，连接PA'，则PA'=PA,所以PA+PB=PA'+P B/lll¥ABpII当A'、P、B三点共线的时候，PA'+PB=A'B,此时为最小值（两点之间线段最短）/重BA端点平了模型二：如图，P为定点，M、N分别为OA和OB上的动点，求6.PMN周长最小值A A。
中考数学专题复习《21~23题题型》测试卷-附带答案
中考数学专题复习《21~23题题型》测试卷-附带答案学校:___________班级:___________姓名:___________考号:___________1．市体育局对甲乙两运动队的某体育项目进行测试两队人数相等测试后统计队员的成绩分别为：7分8分9分10分（满分为10分）．依据测试成绩绘制了如图所示尚不完整的统计图表：甲队成绩统计表成绩7分8分9分10分人数01m7请根据图表信息解答下列问题：(1)填空：α=__________︒m=_________(2)补齐乙队成绩条形统计图(3)①甲队成绩的中位数为_________ 乙队成绩的中位数为___________①分别计算甲乙两队成绩的平均数并从中位数和平均数的角度分析哪个运动队的成绩较好．2．某校在评选“劳动小能手”活动中随机调查了部分学生的周末家务劳动时间根据调查结果将劳动时长划分为A B C D四个组别并绘制成如下不完整统计图表学生周末家务劳动时长分组表组别A B C Dt（小时）0.5t<0.51t≤<1 1.5t≤< 1.5t≥请根据图表中的信息解答下列问题：(1)这次抽样调查共抽取______名学生条形统计图中的=a______ D组所在扇形的圆心角的度数是______(2)已知该校有900名学生根据调查结果请你估计该校周末家务劳动时长不低于1小时的学生共有多少人？(3)班级准备从周末家务劳动时间较长的三男一女四名学生中随机抽取两名学生参加“我劳动我快乐”的主题演讲活动 请用列表法或画树状图法求出恰好选中两名男生的概率．3..如图 ABC 内接于O AB 是O 的直径 BC BD = DE AC ⊥于点E DE 交BF 于点F 交AB 于点G 2BOD F ∠=∠ 连接BD ．(1)求证：BF 是O 的切线(2)判断DGB 的形状 并说明理由(3)当2BD =时 求FG 的长．4.如图 AB 是O 的直径 点E C 在O 上 点C 是BE 的中点 AE 垂直于过C 点的直线DC 垂足为D AB 的延长线交直线DC 于点F ．(1)求证：DC 是O 的切线(2)若2AE = 1sin 3AFD ∠= ①求O 的半径 ①求线段DE 的长．5.如图 在菱形ABCD 中 对角线,AC BD 相交于点,E O 经过,A D 两点 交对角线AC 于点F 连接OF 交AD 于点G 且AG GD =．(1)求证：AB 是O 的切线(2)已知O 的半径与菱形的边长之比为5:8 求tan ADB ∠的值．6.如图 在O 中 直径AB 垂直弦CD 于点E 连接,,AC AD BC 作CF AD ⊥于点F 交线段OB 于点G （不与点,O B 重合） 连接OF ．(1)若1BE = 求GE 的长．(2)求证：2BC BG BO =⋅．(3)若FO FG = 猜想CAD ∠的度数 并证明你的结论．7. 我们可以通过中心投影的方法建立圆上的点与直线上点的对应关系 用直线上点的位置刻画圆上点的位置 如图 AB 是O 的直径 直线l 是O 的切线 B 为切点．P Q 是圆上两点（不与点A 重合 且在直径AB 的同侧） 分别作射线AP AQ 交直线l 于点C 点D ．(1)如图1 当6AB = BP 的长为π时 求BC 的长．(2)如图2 当34AQ AB = BP PQ =时 求BC CD的值． (3)如图3 当6sin BAQ ∠=BC CD =时 连接BP PQ 直接写出PQ BP 的值．8.如图 一次函数1(0)y kx b k =+≠与函数为2(0)m y x x =>的图象交于1(4,1),,2A B a ⎛⎫ ⎪⎝⎭两点． (1)求这两个函数的解析式(2)根据图象 直接写出满足120y y ->时x 的取值范围(3)点P 在线段AB 上 过点P 作x 轴的垂线 垂足为M 交函数2y 的图象于点Q 若POQ △面积为3 求点P 的坐标．9..如图 在平面直角坐标系中 四边形OABC 是边长为2的正方形．点A C 在坐标轴上．反比例函数()0k y x x=>的图象经过点B ． (1)求反比例函数的表达式(2)点D 在反比例函数图象上 且横坐标大于2 3OBD S =．求直线BD 的函数表达式．10.如图 点A 在反比例函数(0)k y k x=≠的图象上 点C 是点A 关于y 轴的对称点 OAC 的面积是8． (1)求反比例函数的解析式(2)当点A 的横坐标为2时 过点C 的直线2y x b =+与反比例函数的图象相交于点P 求交点P 的坐标．11.如图 点A 在反比例函数()0k y x x =>的图象上 AB y ⊥轴于点B 1tan 2AOB =∠ 2AB =． (1)求反比例函数的解析式(2)点C 在这个反比例函数图象上 连接AC 并延长交x 轴于点D 且45ADO ∠=︒ 求点C 的坐标．12．如图 一次函数2y x =的图象与反比例函数(0)ky x x=>的图象交于点()4,A n ．将点A 沿x 轴正方向平移m 个单位长度得到点,B D 为x 轴正半轴上的点 点B 的横坐标大于点D 的横坐标 连接,BD BD 的中点C在反比例函数(0)k y x x =>的图象上． (1)求,n k 的值(2)当m 为何值时 AB OD ⋅的值最大?最大值是多少?13.如图 在平面直角坐标系xOy 中 直线y kx b =+与x 轴交于点()4,0A 与y 轴交于点()0,2B 与反比例函数m y x=在第四象限内的图象交于点()6,C a ． (1)求反比例函数的表达式：(2)当m kx b x+>时 直接写出x 的取值范围 (3)在双曲线m y x=上是否存在点P 使ABP 是以点A 为直角顶点的直角三角形？若存在 求出点P 的坐标 若不存在 请说明理由．参考答案与解析1．【答案】(1)126,12m α=︒=(2)见解析(3)①9分 8分①=9.3x 甲 =8.3x 乙 中位数角度看甲队成绩较好 从平均数角度看甲队成绩较好【分析】（1）根据样本容量=频数÷所占百分比 结合圆心角的计算解答即可．（2）根据样本容量 求得7分的人数补图即可．（3）①根据有序数据的中间数据或中间两个数据的平均数为中位数计算即可．①根据加权平均数公式计算即可．【详解】（1）解：本次抽样调查的样本容量是72420360︒÷=︒（人） ①201712m =--=（人） 736012620α=⨯︒=︒故答案为：126 12．（2）①20-4-5-4=7（人）①补图如下：（3）①①甲队的第10个 11个数据都是9分①中位数是9+9=92（分）①乙队的第10个 11个数据都是8分①中位数是8+8=82（分）故答案为：9分 8分． ①①70+81+912+107==9.320x ⨯⨯⨯⨯甲（分）77+84+95+104==8.320x ⨯⨯⨯⨯乙（分）故从中位数角度看甲队成绩较好 从平均数角度看甲队成绩较好．【点睛】本题考查了中位数 条形统计图 扇形统计图 熟练掌握中位数 平均数 扇形统计图条形统计图的基本计算是解题的关键．2．【答案】(1)50 9 108︒(2)估计该校周末家务劳动时长不低于1小时的学生共有666人 (3)12【分析】（1）根据数据计算即可（2）根据（1）求出的D 组所占的比例计算结果（3）列出所有可能情况求概率．【详解】（1）解：这次抽样调查共抽取的人数有：224450÷=%（人）B 组的人数为：5018%9a =⨯=（人）D 组所占的比例为：18%18%44%30---=︒①D 组所在扇形的圆心角的度数是：36030%108︒⨯=︒（2）解：根据题意得 900(30%44%)666⨯+=（人）答：估计该校周末家务劳动时长不低于1小时的学生共有666人（3）解：列表如下： 男1 男2 男3 女男1 （男2 男1） （男3 男1） （女 男1）男2 （男1 男2） （男3 男2） （女 男2）男3 （男1 男3） （男2 男3） （女 男3）女 （男1 女） （男2 女） （男3 女）共有12中等可能结果 其中恰好选中两名男生的结果数为6①恰好选中两名男生的概率61122==. 【点睛】本题主要考查了统计的实际问题 涉及用样本估计总体的数量 求圆心角的度数 求概率等 属于基础题要认真读图.3.【答案】(1)见解析(2)DGB 是等腰三角形 理由见解析(3)4FG =【分析】（1）连接CO 根据圆周角定理得出2BOD BOC BAC ∠=∠=∠ 根据已知得出F BAC ∠=∠ 根据DE AC ⊥得出90AEG ∠=︒ 进而根据对等角相等 以及三角形内角和定理可得90FBG AEG ∠=∠=︒ 即可得证（2）根据题意得出AD AC = 则ABD ABC ∠=∠ 证明EF BC ∥ 得出AGE ABC ∠=∠ 等量代换得出FGB ABD ∠=∠ 即可得出结论（3）根据FGB ABD ∠=∠ AB BF ⊥ 设FGB ABD α∠=∠= 则90DBF F α∠=∠=︒- 等边对等角得出DB DF = 则224FG DG DB ===．【详解】（1）证明：如图所示 连接CO①BC BD = ①2BOD BOC BAC ∠=∠=∠①2BOD F ∠=∠ ①F BAC ∠=∠①DE AC ⊥ ①90AEG ∠=︒①AGE FGB ∠=∠①90FBG AEG ∠=∠=︒即AB BF ⊥ 又AB 是O 的直径 ①BF 是O 的切线（2）①BC BD = AB 是O 的直径 ①AD AC = BC AC ⊥ ①ABD ABC ∠=∠①DE AC ⊥ BC AC ⊥①EF BC ∥ ①AGE ABC ∠=∠又AGE FGB ∠=∠ ①FGB ABD ∠=∠ ①DGB 是等腰三角形（3）①FGB ABD ∠=∠ AB BF ⊥设FGB ABD α∠=∠= 则90DBF F α∠=∠=︒-①DB DF = ①224FG DG DB ===．【点睛】本题考查了切线的判定 等腰三角形的性质与判定 圆周角定理 熟练掌握以上知识是解题的关键．4.【答案】(1)证明见解析(2)①3 ①2【分析】（1）根据等弧所对的圆周角相等和等边对等角的性质 得到CAE ACO ∠=∠ 推出AD OC ∥ 进而得到OC DC ⊥ 再利用圆的切线的判定定理即可证明结论（2）①连接BE 根据直径所对的圆周角是直角和平行线的判定 得到BE DF ∥ 进而得到AFD ABE ∠=∠ 再利用锐角三角函数 求得6AB = 即可求出O 的半径①利用锐角三角函数 分别求出BF 和AD 的长 即可得到线段DE 的长．【详解】（1）证明：如图 连接OC 点C 是BE 的中点 CE CB ∴= CAE CAB ∴∠=∠OA OC = CAB ACO ∴∠=∠ CAE ACO ∴∠=∠AD OC ∴∥AD DC ⊥ OC DC ∴⊥ OC 是O 的半径 DC ∴是O 的切线（2）解：①如图 连接BEAB 是直径 90AEB ∴∠=︒ BE AD ∴⊥AD DF ⊥ BE DF ∴∥ AFD ABE ∠=∠∴ 1sin 3AFD ∠= 1sin 3AE ABE AB ∴∠== 2AE = 6AB ∴=∴O 的半径为3①由（1）可知 OC DF ⊥ 1sin 3OC AFD OF ∴∠== 3OC = 3OF OB BF BF =+=+ 3133BF ∴=+ 6BF ∴= 6612AF AB BF ∴=+=+= AD DF ⊥ 1sin 123AD AD AFD AF ∴∠=== 4AD ∴= 2AE = 422DE AD AE ∴=-=-=．【点睛】本题是圆和三角形综合题 考查了圆的切线的判定定理 圆的性质 等腰三角形的性质 锐角三角函数等知识 熟练掌握圆的相关性质 灵活运用正弦值求边长是解题关键．5.【答案】(1)见解析(2)tan 2ADB ∠=【分析】（1）利用垂径定理得OF AD ⊥ 利用菱形的性质得GAF BAF ∠=∠ 利用半径相等得OAF OFA ∠=∠ 即可证明90OAF BAF ∠+∠=︒ 据此即可证明结论成立（2）设4AG GD a == 由题意得:5:4OA AG = 求得5OA a = 由勾股定理得到3OG a = 求得2FG a = 利用菱形的性质求得ADB AFG ∠=∠ 据此求解即可．【详解】（1）证明：连接OA①AG GD = 由垂径定理知OF AD ⊥ ①90OGA FGA ∠=∠=︒①四边形ABCD 是菱形 ①GAF BAF ∠=∠ ①90GAF AFG BAF AFG ∠+∠=︒=∠+∠ ①OA OF = ①OAF OFA ∠=∠ ①90OAF BAF OAB ∠+∠=∠=︒ 又①OA 为O 的半径 ①AB 是O 的切线（2）解：①四边形ABCD 是菱形 AG GD = ①设4AG GD a == ①O 的半径与菱形的边长之比为5:8 ①在Rt OAG △中 :5:4OA AG = ①5OA a = 223OG OA AG a -= ①2FG OF OG a =-=①四边形ABCD 是菱形 ①BD AC ⊥ 即90DEA FGA ∠=︒=∠ ①ADB AFG ∠=∠ ①4tan tan 22AG aADB AFG FG a∠=∠===． 【点睛】本题考查了菱形的性质 垂径定理 切线的判定 求角的正切值 勾股定理 解答本题的关键是明确题意 找出所求问题需要的条件．6.【答案】(1)1(2)见解析【分析】（1）由垂径定理可得90AED ∠=︒ 结合CF AD ⊥可得DAE FCD ∠=∠ 根据圆周角定理可得DAE BCD ∠=∠ 进而可得BCD FCD ∠=∠ 通过证明BCE GCE ≌可得1GE BE == （2）证明ACB △CEB ∽ 根据对应边成比例可得2BC BA BE =⋅ 再根据2AB BO = 12BE BG =可证2BC BG BO =⋅【详解】（1）解：直径AB 垂直弦CD ∴90AED ∠=︒ ∴90DAE D ∠+∠=︒CF AD ⊥ ∴90FCD D ∠+∠=︒ ∴DAE FCD ∠=∠由圆周角定理得DAE BCD ∠=∠ ∴BCD FCD ∠=∠ 在BCE 和GCE 中BCE GCE CE CEBEC GEC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴BCE GCE ≌()ASA∴1GE BE ==（2）证明：AB 是O 的直径 ∴90ACB ∠=︒在ACB △和CEB 中90ACB CEB ABC CBE ∠=∠=︒⎧⎨∠=∠⎩∴ACB △CEB ∽ ∴BC BABE BC= ∴2BC BA BE =⋅ 由（1）知GE BE = ∴12BE BG =又2AB BO =∴2122BC BA BE BO BG BG BO =⋅=⋅=⋅7.【答案】(1)3(2)34 10【分析】（1）根据扇形的弧长公式即可求出BOP ∠度数 利用切线的性质和解直角三角形即可求出BC 的长．（2）根据等弧所对圆周角相等推出BAC DAC ∠=∠ 再根据角平分线的性质定理推出CF CB = 利用直角三角形的性质即可求出FCD BAQ ∠=∠ 通过等量转化和余弦值可求出答案． （3）根据三角形相似的性质证明APQ ADC ∽△△和APB ABC ∽△△ 从而推出PQ APCDAD和BP AP BC AB = 利用已知条件将两个比例线段相除 根据正弦值即可求出答案 【详解】（1）解：如图1 连接OP 设BOP ∠的度数为n ．=6AB BP 的长为ππ3π180n ⋅⋅∴=． 60n ∴= 即60BOP ∠=︒．1302BAP BOP ∴∠=∠=︒．直线l 是O 的切线90ABC ∴∠=︒．①233BC == （2）解：如图2 连接BQ 过点C 作CF AD ⊥于点FAB 为直径90BQA ∴∠=︒．3cos 4AQ BAQ AB ∴∠==． BP PQ = BAC DAC ∴∠=∠．CF AD ⊥ AB BC ⊥CF CB ∴=．90BAQ ADB ∠+∠=︒ 90FCD ADB ∠+∠=︒FCD BAQ ∴∠=∠．3cos cos 4BC FC FCD BAQ CD CD ∴==∠=∠=． （310理由如下： 如图3 连接BQAB BC ⊥ BQ AD ⊥90ABQ BAD ∴∠+∠=︒ 90ADB BAD ∠+∠=︒ ABQ ADC ∴∠=∠ABQ APQ ∠=∠ ∴APQ ADC ∠=∠． PAQ CAD ∠=∠ APQ ADC ∴∽△△PQ APCD AD．① BAP BAC ∠=∠ 90ABC APB ∠=∠=︒APB ABC ∴△∽△ BP APBC AB∴=．① BC CD = ÷①②得cos PQ ABBAQ BP AD ==∠． 6sin BAQ ∠=10cos BAQ ∴∠=．【点睛】本题是圆的综合题 考查了圆周角定理 相似三角形的判定与性质 解直角三角形以及三角函数 切线的性质定理 扇形的弧长公式 角平分线性质定理等 解题的关键在于熟练掌握相关性质定理和相关计算公式． 8.【答案】(1)129y x =-+ 24(0)y x x => (2)142x << (3)点P 的坐标为()2,5或5,42⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）将(4,1)A 代入2(0)my x x=>可求反比例函数解析式 进而求出点B 坐标 再将(4,1)A 和点B 坐标代入1(0)y kx b k =+≠即可求出一次函数解析式（2）直线AB 在反比例函数图象上方部分对应的x 的值即为所求（3）设点P 的横坐标为p 代入一次函数解析式求出纵坐标 将x p =代入反比例函数求出点Q 的纵坐标 进而用含p 的代数式表示出PQ 再根据POQ △面积为3列方程求解即可． 【详解】（1）解：将(4,1)A 代入2(0)my x x => 可得14m = 解得4m =∴反比例函数解析式为24(0)y x x=>1,2B a ⎛⎫⎪⎝⎭在24(0)y x x =>图象上∴4812a == ∴1,82B ⎛⎫ ⎪⎝⎭将(4,1)A 1,82B ⎛⎫⎪⎝⎭代入1y kx b =+ 得：41182k b k b +=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 解得29k b =-⎧⎨=⎩∴一次函数解析式为129y x =-+（2）解：142x << 理由如下： 由（1）可知1(4,1),,82A B ⎛⎫⎪⎝⎭当120y y ->时 12y y >此时直线AB 在反比例函数图象上方 此部分对应的x 的取值范围为142x <<即满足120y y ->时 x 的取值范围为142x <<（3）解：设点P 的横坐标为p将x p =代入129y x =-+ 可得129y p =-+ ∴(),29P p p -+．将x p =代入24(0)y x x=> 可得24y p =∴4,Q p p ⎛⎫⎪⎝⎭．∴429PQ p p=-+-∴11429322POQP SPQ x p p p ⎛⎫=⋅=⨯-+-⋅= ⎪⎝⎭整理得229100p p -+= 解得12p = 252p =当2p =时 292295p -+=-⨯+= 当52p =时 5292942p -+=-⨯+= ∴点P 的坐标为()2,5或5,42⎛⎫ ⎪⎝⎭．【点睛】本题属于一次函数与反比例函数的综合题 考查求一次函数解析式 反比例函数解析式 坐标系中求三角形面积 解一元二次方程等知识点 解题的关键是熟练运用数形结合思想．9.【答案】(1)4y x =(2)132y x =-+ 【分析】（1）根据四边形OABC 是边长为2的正方形求出点B 的坐标 代入ky x=求出k （2）设4,D a a ⎛⎫⎪⎝⎭过点D 作DH x ⊥轴 根据OBDOBHBHDODHSSSS=+-面积列方程 求出点D 坐标 再由待定系数法求出直线BD 的函数表达式．【详解】（1）解：四边形OABC 是边长为2的正方形 ∴4OABC S xy ==正方形 ∴4k =即反比例函数的表达式为4y x=． （2）解：设4,D a a ⎛⎫⎪⎝⎭过点D 作DH x ⊥轴点()2,2B 4,D a a ⎛⎫⎪⎝⎭(),0H a①12OBHS OH AB a =⋅= 1144(2)(2)222BHDa SDH AH a a a-=⋅=⋅⋅-= 122ODHSOH DH =⋅=3OBDOBHBHDODHSSSS=+-=∴4(2)232a a a-+-= 解得：14a = 21a =- 经检验4a = 是符合题意的根 即点()4,1D设直线BD 的函数解析式为y kx b =+ 得① 2241k b k b +=⎧⎨+=⎩ 解得：123k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ 即：直线BD 的函数解析式为132y x =-+．【点睛】本题考查了反比例函数的几何意义和待定系数法求一次函数解析式 反比例函数ky x=图象上任意一点做x 轴 y 轴的垂线 组成的长方形的面积等于k 灵活运用几何意义是解题关键．10.【答案】(1)8y x=(2)(222,442P -++或(222,442P --- 【分析】（1）设,k A m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭可得,k C m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 结合OAC 的面积是8．可得()182k m m m += 从而可得答案（2）先求解()2,4A ()2,4C - 可得直线为28y x =+ 联立828y x y x ⎧=⎪⎨⎪=+⎩ 再解方程组即可． 【详解】（1）解：①点A 在反比例函数(0)ky k x=≠的图象上 ①设,k A m m ⎛⎫⎪⎝⎭①点C 是点A 关于y 轴的对称点 ①,k C m m⎛⎫- ⎪⎝⎭①OAC 的面积是8． ①()182km m m+= 解得：8k①反比例函数解析式为：8y x=（2）①点A 的横坐标为2时 ①842A y == 即()2,4A 则()2,4C -①直线2y x b =+过点C ①44b -+= ①8b =①直线为28y x =+ ①828y x y x ⎧=⎪⎨⎪=+⎩解得：22242x y ⎧=-+⎪⎨=+⎪⎩222442x y ⎧=--⎪⎨=-⎪⎩经检验 符合题意 ①(222,442P -++或(222,442P ---．【点睛】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合应用 轴对称的性质 一元二次方程的解法 熟练的利用图形面积建立方程求解是解本题的关键．11.【答案】(1)8y x=(2)()4,2C 【分析】（1）利用正切值 求出4OB = 进而得到()2,4A 即可求出反比例函数的解析式（2）过点A 作AE x ⊥轴于点E 易证四边形ABOE 是矩形 得到2OE = 4AE = 再证明AED △是等腰直角三角形 得到4DE = 进而得到()6,0D 然后利用待定系数法求出直线AD 的解析式为6y x =-+ 联立反比例函数和一次函数 即可求出点C 的坐标． 【详解】（1）解：AB y ⊥轴90ABO ∴∠=︒1tan 2AOB =∠ 12AB OB ∴= 2AB =4OB ∴=()2,4A ∴点A 在反比例函数()0k y x x=>的图象上248k ∴=⨯=∴反比例函数的解析式为8y x=（2）解：如图 过点A 作AE x ⊥轴于点E90ABO BOE AEO ∠=∠=∠=︒∴四边形ABOE 是矩形2OE AB ∴== 4OB AE ==45ADO ∠=︒AED ∴是等腰直角三角形 4DE AE ∴== 246OD OE DE ∴=+=+= ()6,0D ∴设直线AD 的解析式为y kx b =+2460k b k b +=⎧∴⎨+=⎩ 解得：16k b =-⎧⎨=⎩∴直线AD 的解析式为6y x =-+点A C 是反比例函数8y x=和一次函数6y x =-+的交点 联立86y x y x ⎧=⎪⎨⎪=-+⎩ 解得：24x y =⎧⎨=⎩或42x y =⎧⎨=⎩ ()2,4A ()4,2C ∴．【点睛】本题是反比例函数综合题 考查了锐角三角函数值 矩形的判定和性质 待定系数法求函数解析式 反比例函数和一次函数交点问题等知识 求出直线AD 的解析式是解题关键． 12.【答案】(1)8n = 32k = (2)当6m =时 AB OD ⋅取得最大值 最大值为36【分析】（1）把点()4,A n 代入2y x = 得出8n = 把点()4,8A 代入(0)k y x x=> 即可求得32k = （2）过点C 作x 轴的垂线 分别交,AB x 轴于点,E F 证明ECB FCD △≌△ 得出,BE DF CE CF == 进而可得(8),4C 根据平移的性质得出,(48)B m + (12),0D m - 进而表示出AB OD ⋅ 根据二次函数的性质即可求解．【详解】（1）解：把点()4,A n 代入2y x = ①24n =⨯ 解得：8n =把点()4,8A 代入(0)k y x x=> 解得32k = （2）①点B 横坐标大于点D 的横坐标 ①点B 在点D 的右侧如图所示 过点C 作x 轴的垂线 分别交,AB x 轴于点,E F①AB DF ∥①B CDF ∠=∠在ECB 和FCD 中BCE DCF BC CDB CDF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩①()ASA ECB FCD ≌①,BE DF CE CF ==①8A EF y ==①4CE CF ==①(8),4C①将点A 沿x 轴正方向平移m 个单位长度得到点B①,(48)B m +①4BE DF m ==-①(12),0D m -①12OD m =-①()()212636AB OD m m m ⋅=-=--+①当6m =时 AB OD ⋅取得最大值 最大值为36．【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数综合 二次函数的性质 全等三角形的性质与判定 熟练掌握以上知识是解题的关键．13.【答案】(1)6y x =- (2)<2x -或06x << (3)()32-，或()16-， 【分析】（1）将()4,0A ()0,2B 代入y kx b =+,求得一次函数表达式 进而可得点C 的坐标 再将点C 的坐标代入反比例函数即可（2）将一次函数与反比例函数联立方程组 求得交点坐标即可得出结果（3）过点A 作AP BC ⊥交y 轴于点M 勾股定理得出点M 的坐标 在求出直线AP 的表达式 与反比例函数联立方程组即可．【详解】（1）解：把()4,0A ()0,2B 代入y kx b =+中得：402k b b +=⎧⎨=⎩ ①122k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ ①直线y kx b =+的解析式为122y x =-+ 在122y x =-+中 当6x =时 1212y x =-+=- ①()61C -，把()61C -，代入m y x=中得：16m -= ①6m =-①反比例函数的表达式6y x=- （2）解：联立1226y x y x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解得61x y =⎧⎨=-⎩或23x y =-⎧⎨=⎩ ①一次函数与反比例函数的两个交点坐标分别为()()6123--，、， ①由函数图象可知 当<2x -或06x <<时 一次函数图象在反比例函数图象上方①当m kx b x+>时 <2x -或06x << （3）解：如图所示 设直线AP 交y 轴于点()0M m ，①()4,0A ()0,2B ①222244BM m m m =-=-+ 2222420AB 2222416AM m m =+=+①ABP 是以点A 为直角顶点的直角三角形①90BAM ∠=︒①222BM BA AM =+①22442016m m m -+=++解得8m =-①()08M -，同理可得直线AM 的解析式为28y x =- 联立286y x y x =-⎧⎪⎨=-⎪⎩解得32x y =⎧⎨=-⎩或16x y =⎧⎨=-⎩ ①点P 的坐标为()32-，或()16-，．【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合 勾股定理 正确利用待定系数法求出对应的函数解析式是解题的关键．。
2023年中考数学总复习专题23二次函数推理计算与证明综合问题 (学生版)
专题23二次函数推理计算与证明综合问题【例1】（2022•北京）在平面直角坐标系xOy中，点（1，m），（3，n）在抛物线y＝ax2+bx+c （a＞0）上，设抛物线的对称轴为直线x＝t．（1）当c＝2，m＝n时，求抛物线与y轴交点的坐标及t的值；（2）点（x0，m）（x0≠1）在抛物线上．若m＜n＜c，求t的取值范围及x0的取值范围．【例2】（2022•绍兴）已知函数y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（0，﹣3），（﹣6，﹣3）．（1）求b，c的值．（2）当﹣4≤x≤0时，求y的最大值．（3）当m≤x≤0时，若y的最大值与最小值之和为2，求m的值．【例3】（2022•青岛）已知二次函数y＝x2+mx+m2﹣3（m为常数，m＞0）的图象经过点P （2，4）．（1）求m的值；（2）判断二次函数y＝x2+mx+m2﹣3的图象与x轴交点的个数，并说明理由．【例4】（2022•杭州）设二次函数y1＝2x2+bx+c（b，c是常数）的图象与x轴交于A，B两点．（1）若A，B两点的坐标分别为（1，0），（2，0），求函数y1的表达式及其图象的对称轴．（2）若函数y1的表达式可以写成y1＝2（x﹣h）2﹣2（h是常数）的形式，求b+c的最小值．（3）设一次函数y2＝x﹣m（m是常数），若函数y1的表达式还可以写成y1＝2（x﹣m）（x﹣m﹣2）的形式，当函数y＝y1﹣y2的图象经过点（x0，0）时，求x0﹣m的值．【例5】（2022•安顺）在平面直角坐标系中，如果点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为和谐点．例如：点（1，1），（，），（﹣，﹣），……都是和谐点．（1）判断函数y＝2x+1的图象上是否存在和谐点，若存在，求出其和谐点的坐标；（2）若二次函数y＝ax2+6x+c（a≠0）的图象上有且只有一个和谐点（，）．①求a，c的值；②若1≤x≤m时，函数y＝ax2+6x+c+（a≠0）的最小值为﹣1，最大值为3，求实数m的取值范围．一．解答题（共20题）1．（2022•瑞安市校级三模）已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣2+a2（a≠0）．（1）求这条抛物线的对称轴；若该抛物线的顶点在x轴上，求a的值；（2）设点P（m，y1），Q（4，y2）在抛物线上，若y1＜y2，求m的取值范围．2．（2022•西城区校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，点A（x1，y1）、点B（x2，y2）为抛物线y＝ax2﹣2ax+a（a≠0）上的两点．（1）求抛物线的对称轴；（2）当﹣2＜x1＜﹣1且1＜x2＜2时，试判断y1与y2的大小关系并说明理由；（3）若当t＜x1＜t+1且t+2＜x2＜t+3时，存在y1＝y2，求t的取值范围．3．（2022•新野县三模）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2﹣4ax+2．（1）抛物线的对称轴为直线，抛物线与y轴的交点坐标为；（2）若当x满足1≤x≤5时，y的最小值为﹣6，求此时y的最大值．4．（2022•萧山区二模）在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝ax2+（a﹣1）x﹣1．（1）若该函数的图象经过点（1，2），求该二次函数图象的顶点坐标．（2）若（x1，y1），（x1，y2）为此函数图象上两个不同点，当x1+x2＝﹣2时，恒有y1＝y2，试求此函数的最值．（3）当a＜0且a≠﹣1时，判断该二次函数图象的顶点所在象限，并说明理由．5．（2022•盈江县模拟）抛物线C1：y＝x2+bx+c的对称轴为x＝1，且与y轴交点的纵坐标为﹣3．（1）求b，c的值；（2）抛物线C2：y＝﹣x2+mx+n经过抛物线C1的顶点P．①求证：抛物线C2的顶点Q也在抛物线C1上；②若m＝8，点E是在点P和点Q之间抛物线C1上的一点，过点E作x轴的垂线交抛物线C2于点F，求EF长度的最大值．6．（2022•沂水县二模）抛物线y＝ax2+bx经过点A（﹣4，0），B（1，5）；点P（2，c），Q （x0，y0）是抛物线上的点．（1）求抛物线的顶点坐标；（2）若x0＞﹣6，比较c、y0的大小；（3）若直线y＝m与抛物线交于M、N两点，（M、N两点不重合），当MN≤5时，求m 的取值范围．7．（2022•姜堰区二模）设一次函数y1＝2x+m+n和二次函数y2＝x（2x+m）+n．（1）求证：y1，y2的图象必有交点；（2）若m＞0，y1，y2的图象交于点A（x1，a）、B（x2，b），其中x1＜x2，设C（x3，b）为y2图象上一点，且x3≠x2，求x3﹣x1的值；（3）在（2）的条件下，如果存在点D（x1+2，c）在y2的图象上，且a＞c，求m的取值范围．8．（2022•西城区校级模拟）已知抛物线y＝x2﹣4mx+4m2﹣1．（1）求此抛物线的顶点的坐标；（2）若直线y＝n与该抛物线交于点A、B，且AB＝4，求n的值；（3）若这条抛物线经过点P（2m+1，y1），Q（2m﹣t，y2），且y1＜y2，求t的取值范围．9．（2022•黄岩区一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线y1＝ax2+bx+3与直线y2＝x+1．（1）当抛物线y1＝ax2+bx+3与直线y2＝x+1两个交点的横坐标分别为﹣1和2时．①求抛物线解析式；②直接写出当y1＞y2，时x的取值范围；（2）设y＝y1﹣y2，当x＝m时y＝M，x＝n时y＝N，当m+n＝1（m≠n）时，M＝N．求证：a+b＝1．10．（2022•路桥区一模）在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝x2﹣（m+2）x+m（m是常数）．（1）求证：不论m取何值，该二次函数的图象与x轴总有两个交点；（2）若点A（2m+1，7）在该二次函数的图象上，求该二次函数的解析式；（3）在（2）的条件下，若抛物线y＝x2﹣（m+2）x+m与直线y＝x+t（t是常数）在第四象限内有两个交点，请直接写出t的取值范围．11．（2022•安徽模拟）已知：抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣2与直线x＝﹣2交于点P．（1）若抛物线经过（﹣1，﹣2）时，求抛物线解析式；（2）设P点的纵坐标为y p，当y p取最小值时，抛物线上有两点（x1，y1），（x2，y2），且x1＜x2≤﹣2，比较y1与y2的大小；（3）若线段AB两端点坐标分别是A（0，2），B（2，2），当抛物线与线段AB有公共点时，直接写出m的取值范围．12．（2022•富阳区一模）已知抛物线y＝a（x﹣1）（x﹣）．（1）若抛物线过点（2，1），求抛物线的解析式；（2）若该抛物线上任意不同两点M（x1，y1）、N（x2，y2）都满足：当x1＜x2＜0时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0；当0＜x1＜x2时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0，试判断点（2，﹣9）在不在此抛物线上；（3）抛物线上有两点E（0，n）、F（b，m），当b≤﹣2时，m≤n恒成立，试求a的取值范围．13．（2022•河东区二模）已知抛物线y＝a（x+3）（x﹣4）与y轴交于点A（0，﹣2）．（Ⅰ）求抛物线y＝a（x+3）（x﹣4）的解析式及顶点坐标；（Ⅱ）设抛物线与x轴的正半轴的交点为点B，点P为x轴上一动点，点D满足∠DP A ＝90°，PD＝P A．（i）若点D在抛物线上，求点D的坐标；（ii）点E（2，﹣）在抛物线上，连接PE，当PE平分∠APD时，求出点P的坐标．14．（2022•长春模拟）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+bx+c（b、c是常数）经过点（0，﹣1）和（2，7），点A在这个抛物线上，设点A的横坐标为m．（1）求此抛物线对应的函数表达式并写出顶点C的坐标．（2）点B在这个抛物线上（点B在点A的左侧），点B的横坐标为﹣1﹣2m．①当△ABC是以AB为底的等腰三角形时，求OABC的面积．②将此抛物线A、B两点之间的部分（包括A、B两点）记为图象G，当顶点C在图象G上，记图象G最高点的纵坐标与最低点的纵坐标的差为h，求h与m之间的函数关系式．（3）设点D的坐标为（m，2﹣m），点E的坐标为（1﹣m，2﹣m），点F在坐标平面内，以A、D、E、F为顶点构造矩形，当此抛物线与矩形有3个交点时，直接写出m的取值范围．15．（2022•长春二模）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2mx+m2与y轴的交点为A，过点A作直线l垂直于y轴．（1）求抛物线的对称轴（用含m的式子表示）；（2）将抛物线在y轴右侧的部分沿直线l翻折，其余部分保持不变，组成图形G，点M （x1，y1），N（x2，y2）为图形G上任意两点．①当m＝0时，若x1＜x2，判断y1与y2的大小关系，并说明理由；②若对于x1＝m﹣1，x2＝m+1，都有y1＞y2，求m的取值范围；（3）当图象G与直线y＝m+2恰好有3个公共点时，直接写出m的取值范围．16．（2022•开福区校级一模）已知：抛物线C1：y＝ax2+bx+c（a＞0）．（1）若顶点坐标为（1，1），求b和c的值（用含a的代数式表示）；（2）当c＜0时，求函数y＝﹣2022|ax2+bx+c|﹣1的最大值；（3）若不论m为任何实数，直线与抛物线C1有且只有一个公共点，求a，b，c的值；此时，若k≤x≤k+1时，抛物线的最小值为k，求k的值．17．（2022•安徽模拟）已知二次函数y＝ax2﹣x+c的图象经过点A（﹣2，2），该图象与直线x＝2相交于点B．（1）求点B的坐标；（2）当c＞0时，求该函数的图象顶点纵坐标的最小值；（3）点M（m，0）、N（n，0）是该函数图象与x轴的两个交点．当m＞﹣2，n＜3时，结合函数图象分析a的取值范围．18．（2022•江都区一模）对某一个函数给出如下定义：如果存在实数M，对于任意的函数值y，都满足y≤M，那么称这个函数是有上界函数．在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的上确界．例如，函数y＝﹣（x﹣3）2+2是有上界函数，其上确界是2．（1）函数①y＝x2+2x+1和②y＝2x﹣3（x≤5）中是有上界函数的为（只填序号即可），其上确界为；（2）若反比例函数y＝（a≤x≤b，a＞0）的上确界是b+1，且该函数的最小值为2，求a、b的值；（3）如果函数y＝﹣x2+2ax+2（﹣1≤x≤3）是以6为上确界的有上界函数，求实数a的值．19．（2022•亭湖区校级一模）已知抛物线y＝ax2﹣（3a﹣1）x﹣2（a为常数且a≠0）与y 轴交于点A．（1）点A的坐标为；对称轴为（用含a的代数式表示）；（2）无论a取何值，抛物线都过定点B（与点A不重合），则点B的坐标为；（3）若a＜0，且自变量x满足﹣1≤x≤3时，图象最高点的纵坐标为2，求抛物线的表达式；（4）将点A与点B之间的函数图象记作图象M（包含点A、B），若将M在直线y＝﹣2下方的部分保持不变，上方的部分沿直线y＝﹣2进行翻折，可以得到新的函数图象M1，若图象M1上仅存在两个点到直线y＝﹣6的距离为2，求a的值．20．（2022•义安区模拟）已知抛物线的图象经过坐标原点O．（1）求抛物线解析式．（2）若B，C是抛物线上两动点，直线BC：y＝kx+b恒过点（0，1），设直线OB为y ＝k1x，直线OC为y＝k2x．①若B、C两点关于y轴对称，求k1k2的值．②求证：无论k为何值，k1k2为定值．。
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中考数学23题专题练习
1. 如图，在矩形ABCD中，E、F分别是AB、CD上的点，AE=CF，连接EF、BF，EF与对角线AC 交于点O，且BE=BF，∠BEF=2∠BAC。
（1）求证：OE=OF
（2）若BC=23，求AB的长。
2、如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，E为AD中点，连接BE，CE
（1）求证：BE=CE；
（2）若∠BEC=90°，过点B作BF⊥CD，垂足为点F，交CE于点G，连接DG，求证：BG=DG+CD．
3、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，E为AB延长线上一点，连接ED，与BC 交于点H．过E作CD的垂线，垂足为CD上的一点F，并与BC交于点G．已知G为CH的中点，且∠BEH=∠HEG．
（1）若HE=HG，求证：△EBH≌△GFC；
（2）若CD=4，BH=1，求AD的长．
4、如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=BC，∠DAB=60°，E是对角线AC延长线上一点，F 是AD延长线上的一点，且EB⊥AB，EF⊥AF．
（1）当CE=1时，求△BCE的面积；
（2）求证：BD=EF+CE．
5、如图．在平行四边形ABCD中，O为对角线的交点，点E为线段BC延长线上的一点，且．过
点E作EF∥CA，交CD于点F，连接OF．
（1）求证：OF∥BC；
（2）如果梯形OBEF是等腰梯形，判断四边形ABCD的形状，并给出证明．
6、如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，∠D=45°．
（1）若AB=6cm，，求梯形ABCD的面积；
（2）若E、F、G、H分别是梯形ABCD的边AB、BC、CD、DA上一点，且满足EF=GH，∠EFH=∠FHG，求证：HD=BE+BF．
7、如图，已知正方形ABCD，点E是BC上一点，点F是CD延长线上一点，连接EF，若BE=DF，点P是EF的中点．
（1）求证：DP平分∠ADC；
（2）若∠AEB=75°，AB=2，求△DFP的面积．。