江西省南昌市八一中学等六校2020-2021学年高一上学期期末联考数学试题Word版含解析

江西省南昌市八一中学等六校2020-2021学年上学期期末联考高一数学试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共22小题，共150分．共4开，考试时间120分钟，考生作答时将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效．第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.设集合{}3213A x x =-≤-≤，集合B 为函数()lg 1y x =-的定义域，，则AB =（ ）A. ()12， B. [)1+-∞， C. (]12， D. [)12， 【答案】B 【解析】 【分析】先求出集合A ,B ,进而取并集即可.【详解】{}{}321312A x x x x =-≤-≤=-≤≤，{}1B x x =>， ∴[)1,A B ⋃=-+∞， 故选：B【点睛】本题考查并集的概念及运算，考查对数型函数的定义域与不等式的解法，属于基础题.2.已知函数()()102=030x f x x f x x x ⎧->⎪-⎨⎪<⎩，，，，则()2f =（ ）A. 9B. 3C. 0D. -2【答案】D 【解析】 【分析】根据对应法则，代入求值即可.【详解】∵()()102=030x f x x f x x x ⎧->⎪-⎨⎪<⎩，，，，∴()()()()221102f f f f =-===-，故选：D【点睛】本题考查分段函数的对应法则，考查求值问题，属于基础题.3.已知α为第三象限角，且sin cos 2m αα+＝，2sin 2m α＝，则m 的值为（ ）B. C. 13-D. 【答案】B 【解析】 【分析】把sin α+cos α＝2m 两边平方可得m 的方程，解方程可得m ，结合角的范围可得答案． 【详解】解：把sin α+cos α＝2m 两边平方可得1+sin2α＝4m 2， 又sin2α＝m 2，∴3m 2＝1，解得m =， 又α为第三象限角，∴m = 故选：B ．【点睛】本题考查两角和与差的三角函数，涉及二倍角公式，属基础题． 4.已知1tan 2x =-，则2sin 3sin cos 1x x x +-的值为（ ） A.13B. 2C. -2或2D. -2【答案】D 【解析】 【分析】巧用“1”，化弦为切，即可得到结果. 【详解】解：∵1tan 2x =-， ∴222222sin 3sin cos tan 3tan sin 3sin cos 111sin s tan 1x x x x xx x x x co x x +++-=-=-++， 134212114-=-=-+， 故选：D【点睛】本题考查三角函数求值，考查“1”的巧用及正余弦齐次式求值，考查计算能力，属于常考题型. 5.若()cos sin f x x x =-在[],a a -是减函数，则a 的最大值是A.4π B.2π C.34π D. π【答案】A 【解析】【详解】分析：先确定三角函数单调减区间，再根据集合包含关系确定a 的最大值.详解：因为π()cos sin )4f x x x x =-=+，所以由π02ππ2π,(k Z)4k x k +≤+≤+∈得π3π2π2π,(k Z)44k x k -+≤≤+∈ 因此π3ππ3ππ[,][,],,044444a a a a a a a -⊂-∴-<-≥-≤∴<≤，从而a 的最大值为π4，选A. 点睛：函数sin()(0,0)y A x B A ωϕω=++>>的性质：(1)max min =+y A B y A B =-，. (2)周期2π.T ω=(3)由 ππ()2x k k ωϕ+=+∈Z 求对称轴， (4)由ππ2π2π()22k x k k ωϕ-+≤+≤+∈Z 求增区间； 由π3π2π2π()22k x k k ωϕ+≤+≤+∈Z 求减区间.6.若1sin 33πα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则cos 23πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A. 79-B. 13-C.13D.79【答案】A 【解析】 【分析】由已知条件，结合二倍角公式及诱导公式，即可得到结果. 【详解】∵1sin 33πα⎛⎫-=-⎪⎝⎭，∴22cos 2cos 22cos 12sin 13663ππππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=+-=--⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 172199=⨯-=-故选：A【点睛】本题考查三角函数求值，考查二倍角公式及诱导公式，考查计算能力. 7.函数()ln f x x =与函数()2g x x=的交点的横坐标所在的大致区间是（ ） A. ()12， B. ()23，C. 11e ⎛⎫⎪⎝⎭，D. ()+∞e ，【答案】B 【解析】 【分析】该问题可转化为方程lnx 2x -=0解的问题，进一步可转化为函数h （x ）＝lnx 2x -的零点问题． 【详解】令h （x ）＝lnx 2x-，因为f （2）＝ln 2﹣1＜0，f （3）＝ln 323-＞0，又函数h （x ）在（2，3）上的图象是一条连续不断的曲线， 所以函数h （x ）在区间（2，3）内有零点，即lnx 2x-=0有解， 函数()ln f x x =与函数()2g x x=的交点的横坐标所在的大致区间（2，3） 故选：B ．【点睛】本题考查函数零点的存在问题，注意函数与方程思想、转化与化归思想的运用． 8.已知函数()()sin 04f x x x R πωω⎛⎫=+∈> ⎪⎝⎭，的最小正周期为π，将()y f x =的图象向右移()0ϕϕ>个单位长度，所得图象关于原点对称，则ϕ的一个值是（ ） A.2π B.38π C.4π D.8π 【答案】D 【解析】 【分析】由函数的周期求得ω＝2，再根据函数y ＝A sin （ωx +φ）的图象变换规律，可得所得函数y ＝sin （2x -24πϕ+） 它为奇函数，故有-24πϕ+=k π，k ∈z ，结合所给的选项可得ϕ的值． 【详解】由题意可得2πω=π，∴ω＝2．把函数y ＝f （x ）的图象向右平移ϕ个单位长度（ϕ＞0），所得图象对应的函数解析式为y ＝sin[2（x ϕ-）4π+]＝sin （2x -24πϕ+）．再由它的图象关于原点对称，可得它为奇函数，故有-24πϕ+=k π，k ∈z ，∴82k ππϕ=-，k Z ∈, 结合所给的选项，故ϕ可以等于8π， 故选：D ．【点睛】本题主要考查函数y ＝A sin （ωx +φ）的图象变换规律，正弦函数的对称性，属于中档题． 9.在北京召开的国际数学家大会的会标如图所示，它是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若直角三角形中较小的锐角为θ，大正方形的面积是1，小正方形的面积是125，则22sin cos θθ-=( )A. 1B.725C. 725-D. 2425-【答案】C 【解析】 【分析】根据题意即可算出每个直角三角形的面积，再根据勾股定理和面积关系即可算出三角形的两条直角边．从而算出sin ,cos θθ【详解】由题意得直角三角形的面积11625425S -==,设三角形的边长分别为,x y ，则有 22134,1655225x y x y xy ⎧+=⎪⇒==⎨=⎪⎩，所以343455sin ,cos 1515θθ====，所以2222347sin cos 5525θθ⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，选C.【点睛】本题主要考查了三角形的面积公式以及直角三角形中，正弦、余弦的计算，属于基础题． 10.设函数()cos (0)f x x ωω=>，将()y f x =的图象向右平移3π个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于A.13B. 3C. 6D. 9【答案】C 【解析】【详解】由题意将()y f x =的图象向右平移3π个单位长度后，所得的图象与原图象重合，说明了3π是此函数周期的整数倍,得2()3k k Z ππω⨯=∈,解得6k ω=,又0>ω,令1k =,得min 6ω=.11.若函数()()221f x x a x =+-+为偶函数，()232x bg x x -+=+为奇函数，则+a b 的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4D. 5【答案】D 【解析】 【分析】根据奇偶性分别求出字母的值，即可得到结果. 【详解】∵函数()()221f x x a x =+-+为偶函数，∴2a =，∵()232x bg x x -+=+奇函数，且定义域为R ，∴()30002bg -+==+， 3b =， ∴5a b +=， 故选：D【点睛】本题考查奇偶性的定义，旨在考查学生对概念的掌握程度.12.设函数tan ,(2,2),22()3cos ,[2,2]22x x k k f x x x k k ππππππππ⎧∈-+⎪⎪=⎨⎪∈++⎪⎩（k Z ∈），()sin ||g x x =，则方程()()0f x g x -=在区间[3,3]ππ-上的解的个数是 A. 7 B. 8C. 9D. 10【答案】A 【解析】由题意得，方程()()0f x g x -=在区间[3,3]ππ-上的解的个数即函数()f x 与函数()g x 的图像在区间[3,3]ππ-上的交点个数．在同一坐标系内画出两个函数图像，注意当02x π<<时，sin tan x x <恒成立，易得交点个数为7.选A ．点睛：函数零点的求解与判断方法：（1）直接求零点：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．（2）零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．（3）利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．但在应用图象解题时要注意两个函数图象在同一坐标系内的相对位置，要做到观察仔细，避免出错．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.若集合{}{}1102A B =-=，，，，则集合{}z z x y x A y B =+∈∈，，中的元素个数为____________． 【答案】3 【解析】 【分析】根据集合的元素关系确定集合即可．【详解】解：A ＝{﹣1，1}，B ＝{0，2}， ∵x ∈A ，y ∈B ，∴x ＝1或x ＝﹣1，y ＝0或y ＝2， 则z ＝x +y ＝﹣1，1，3， 即为{﹣1，1，3}． 故答案为：3．【点睛】本题主要考查集合元素个数的确定，利用条件确定集合的元素即可，比较基础．14.若指数函数()0,0xy a a a =>≠的图象经过点()364，，则log 2a 的值为____________． 【答案】12【解析】 【分析】根据条件先求出a ，然后利用对数的性质进行求解即可．【详解】解：∵指数函数y ＝a x （a ＞0且a ≠1）的图象经过点（3，64）， ∴a 3＝64，∴a ＝4． ∴log a 2＝log 4212=， 故答案为：12【点睛】本题主要考查指数幂和对数的计算，要求熟练掌握指数幂和对数的运算法则，比较基础． 15.函数y=Asin(x+)(＞0,||＜,x ∈R)的部分图象如图，则函数表达式为【答案】y=【解析】【详解】解：因为由图像可知，周期为16，所以,48w A π==振幅为4，过点（-2,0），代入表达式解得满足题意的16.若9cos 24cos 1θθ-=+，则()()20152016sin cos θθ+的取值为________．【答案】1 【解析】 【分析】由条件可得2cos 2cos 30θθ+-=，解得：cos 1θ=，sin 0θ=，从而得到结果. 【详解】解：∵9cos 24cos 1θθ-=+，∴2cos 2cos 30θθ+-=，解得：cos 1θ=或3-（舍去） ∴sin 0θ=， ∴()()20152016sin cos 1θθ+=，故答案为：1【点睛】本题考查三角函数求值，考查二倍角余弦公式，考查计算能力.三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.已知5sin ,04134x x ππ⎛⎫⎛⎫-=<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求cos 2cos 4xx π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.【答案】2413【解析】 【分析】 由442x x πππ⎛⎫⎛⎫-++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且5cos sin 4413x x ππ⎛⎫⎛⎫+=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再由余弦的倍角公式，化简求得120cos 2169x =，代入即可求解. 【详解】由题意，可得442x x πππ⎛⎫⎛⎫-++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且5cos sin 4413x x ππ⎛⎫⎛⎫+=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 又由5sin ,04134x x ππ⎛⎫⎛⎫-=<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以12cos 413x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭而512120cos 2sin 2sin 22sin cos 224441313169x x x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=--=⨯⨯=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以120cos 224169513cos 134xx π==⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查了三角恒等变换化简求值问题，其中解答中熟记三角恒等变换的公式，合理准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 18.已知2()2cos2xf x x a ωω=+(0)>ω的图象上相邻两对称轴的距离为2π. （1）若x ∈R ，求()f x 的递增区间；（2）若[0,]2x π∈时，若()f x 的最大值与最小值之和为5，求a 的值. 【答案】(1) 增区间是[k π－3π, k π＋6π], k ∈Z (2) 1a =【解析】试题分析：()1首先根据已知条件，求出周期π，进而求出ω的值，确定出函数解析式，由正弦函数的递增区间2π2π22k k ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦－＋，＋，()k Z ∈，即可求出()f x 的递增区间 ()2由确定出的函数解析式，根据x 的范围求出这个角的范围，利用正弦函数的图象与性质即可求出函数的最大值，即可得到a 的值解析：已知()22cos2sin 126xf x x a x a ωπωω⎛⎫=++=+++ ⎪⎝⎭ 由22T π=，则T ＝π＝2wπ，∴w ＝2 ∴()2sin 216f x x a π⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭（1）令－2π＋2k π≤2x ＋6π≤2π＋2k π则－3π＋k π≤x ≤6π＋k π 故f(x)的增区间是[k π－3π, k π＋6π], k ∈Z（2）当x ∈[0, 2π]时，6π≤2x ＋6π≤76π∴sin(2x ＋6π)∈[－12, 1]∴()()max min +215f x f x a a =+++=∴1a =点睛：这是一道求三角函数递增区间以及利用函数在某区间的最大值求得参数的题目，主要考查了两角和的正弦函数公式，正弦函数的单调性，以及正弦函数的定义域和值域，解题的关键是熟练掌握正弦函数的性质，属于中档题．19.已知集合{}25A x x =-≤≤，{}432B x m x m =-≤≤+． （1）若A B B ⋃=，求实数m 的取值范围； （2）若AB B =，求实数m 的取值范围．【答案】（1）[]12，（2）()3-∞-， 【解析】【分析】（1）由A B B ⋃=可知A B ⊆，从而可得实数m 的不等式组；（2）由A B B =可知A B ⊇，从而可得实数m 的不等式组.【详解】（1）∵集合{}25A x x =-≤≤， {}432B x m x m =-≤≤+．若A B B ⋃=，则A B ⊆，则42m -≤-，且3+25m ≥，解得：[]12m ∈， 即此时实数m 的取值范围为[]12，； （2）若A B B =，则A B ⊇，①当B =∅时，432m m ->+，解得3m <-，满足条件，②当B ≠∅时，若A B ⊇，则24325m m -≤-≤+≤，此时不等式组无解，综上所述此时实数m 的取值范围为()3-∞-，【点睛】本题考查交并运算，考查转化能力与分类讨论思想，解题关键是：A B B A B ⋃=⇔⊆，A B B B A =⇔⊆.20.已知f (α)＝()()()()()2cos 2tan sin tan 3sin παπαπαπααπ---+-+-+.(1)化简f (α)；(2)若f (α)＝18，且4π<α<2π，求cos α－sin α的值； (3)若α＝－313π，求f (α)的值．【答案】（1）f (α)＝sin α·cos α.（2）cos α－sin α【解析】【分析】(1)根据三角函数的诱导公式化简，得()sin cos fααα=，即可得到答案； (2)由（1）知1sin cos 8αα=，再根据同角三角函数的基本关系式，即可求解.(3)由313πα=-，代入()f α，利用诱导公式和特殊角的三角函数值，即可求解. 【详解】(1)f(α)＝()()2sin αcos αtan αsin αtan α--＝sin α·cos α. (2)由f(α)＝sin αcos α＝18可知 (cos α－sin α)2＝cos 2α－2sin αcos α＋sin 2α＝1－2sin αcos α＝1－2×18＝34. 又∵π4<α<π2，∴cos α<sin α，即cos α－sin α<0.∴cos α－sin α＝－2. (3)∵α＝－31π3＝－6×2π＋5π3， ∴f(-31π3)＝cos(-31π3)·sin(-31π3)＝cos(-65π2π3⨯+)·sin(-65π2π3⨯+) ＝cos 5π3·sin 5π3＝cos(2π－π3)·sin(2π－π3)＝cos π3·πsin 3⎛⎫- ⎪⎝⎭＝12·(-2)＝－4. 【点睛】本题主要考查了三角函数的化简、求值问题，其中解答中熟记同角三角函数的基本关系式和三角函数的诱导公式，合理运算与化简是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.21.对于函数()f x ，若定义域内存在实数x ，满足()()f x f x -=-，则称()f x 为“局部奇函数”.（1）已知二次函数()()22-3,f x ax bx a a b R =+∈，试判断()f x 是否为“局部奇函数”？并说明理由. （2）设()21xf x m =+-是定义在[]12-，上的“局部奇函数”，求实数m 的取值范围； （3）设()12423x x f x m m +=+⋅+-，若()f x 不是定义域R 上的“局部奇函数”，求实数m 的取值范围.【答案】（1）()f x 为局部奇函数，详见解析（2）908m -≤≤（3）1m <-m > 【解析】【分析】（1）由已知中“局部奇函数”的定义，结合函数f （x ）＝ax 2+2b x ﹣3a ，可得结论；（2）由题可知22220x x m -++-=有解，12222x xm -=+，变量分离求值域即可； （3）先考虑函数是定义域R 上的“局部奇函数”，然后求补集即可.【详解】（1）()() 0f x f x -+=，则2260ax a -=得到x =有解，所以()f x 为局部奇函数．（2）由题可知22220x x m -++-=有解，12222x x m -=+， 设111724224x t t t ⎡⎤⎡⎤=∈+∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，，，，所以172224m -≤-≤-， 所以908m -≤≤． （3）若()f x 为局部奇函数，则()()0f x f x -+=有解，得1214234 2x x x x m m m +--+-⋅+-+-⋅2 30m +-=，设p ＝2x +2﹣x ∈[2，+∞），所以方程等价于p 2﹣2mp +2m 2﹣8＝0在p ≥2时有解．设h （p ）＝p 2﹣2mp +2m 2﹣8，对称轴p ＝m ，①若m ≥2，则△＝4m 2﹣4（2m 2﹣8）≥0，即m 2≤8，∴m -≤≤此时2m ≤≤②若m ＜2时， 则()2200m h ⎧⎪≤⎨⎪≥⎩＜，即211m m m ⎧⎪≤≤+⎨⎪-≤≤⎩＜此时12m -＜，综上得：1m ≤故若()f x不为局部奇函数时1m <-m >．【点睛】本题考查的知识点是抽象函数及其应用，正确理解新定义“局部奇函数”的定义，是解答的关键．22.设二次函数()y f x =的图像过点()00，，且满足()23162x f x x +≥≥--恒成立． （1）求()f x 的解析式；（2）若对任意的02x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，不等式()()sin cos cos410p f x f x x ⋅+-<恒成立，求实数p 的取值范围．【答案】（1）()2 22f x x x =-（2）6p <+【解析】【分析】（1）设二次函数f （x ）＝ax 2+bx +c （a ≠0），由f （0）＝0得c ＝0，结合()23162x f x x +≥≥--在R 上恒成立，利用判别式分析可得函数解析式；（2）p •f （sin x ）f （cos x ）+cos4x ﹣1＜0⇔p ()21sinxcosx sinxcosx sinx cosx -++＜（0＜x 2π＜）．令t ＝sin x +cosx 4x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则t ∈（1]，可得p 2211t ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭＜，结合g （t ）＝2（121t +-）在（1，]上递减，可得g （t ）的最小值，则实数p 的取值范围可求．【详解】（1）设二次函数()2f x ax bx c =++， 因为()00f =，所以0c， 由题意：()231f x x ≤+恒成立， 22310ax bx x +--≤恒成立,()2310a x bx -+-≤恒成立，则有()230430a b a -<⎧⎨∆=+-≤⎩， 解得23412a a b <⎧⎨≤-⎩， 且()62f x x ≥--恒成立，即()2620ax b x +++≥恒成立， 则有()20680a b a >⎧⎪⎨∆=+-≤⎪⎩， 解得()2086a a b >⎧⎪⎨≥+⎪⎩， 所以()()22212 6b b -≥+，()2231212020b b b ++≤+≤，，所以2b =-，所以41242a a ≤-≤，，且()2826 2a a ≥-+≥，，所以2a =，所以()2 22f x x x =-． （2）由（1）知()()22221f x x x x x =-=-，则 ()() sin cos cos410p f x f x x ⋅+-<，()()2sin sin 12cos cos 1 cos410p x x x x x ⋅⋅+-<--，()()4sin cos sin 1cos 1< 1cos4p x x x x x ---()()()22sin 2sin 1cos 1 < 112sin 2p x x x x ----()()22sin 2sin 1cos 12sin 2x p x x x--<， ()()sin 1cos 1sin 2p x x x --<，()()sin 1cos 12sin cos p x x x x --<，()()2sin cos sin 1cos 1x xp x x <--，()2sin cos sin cos sin cos 1x x p x x x x <-++，令sin cos 4t x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭， 因为02x π<<，所以3444x πππ<+<，所以1t <≤由()22sin cos x x t +=，212sin cos x x t +=， 则有21sin cos 2t x x -=，所以222212*********t t p t t t t -⨯-<=---+-+ ()()()222121221111t t t t t -+⎛⎫===+ ⎪--⎝⎭-， 故令()2211g t t =+-⎛⎫ ⎪⎝⎭， 即()min p g t <，因为()g t在(上单调递减，所以()min 6g t g ==+所以P的取值范围是6p <+【点睛】本题考查函数恒成立问题，考查二次函数解析式的求法，训练了利用换元法求函数的最值，是中档题．。