3.2 回归分析(1)

§3.2 回归分析(1)

教学目标

（1）通过实例引入线性回归模型，感受产生随机误差的原因；

（2）通过对回归模型的合理性等问题的研究，渗透线性回归分析的思想和方法； （3）能求出简单实际问题的线性回归方程． 教学重点，难点

线性回归模型的建立和线性回归系数的最佳估计值的探求方法． 教学过程

一．问题情境

1． 情境：对一作直线运动的质点的运动过程观测了8次，得到如下表所示的数据，试估计当

时刻x /s 1 2 3 4

5 6 7 8 位置观测值y /cm

5.54 7.52 10.02 11.73 15.69 1

6.12 16.98 21.06

根据《数学（必修）》中的有关内容，解决这个问题的方法是： 先作散点图，如下图所示：

从散点图中可以看出，样本点呈直线趋势，时间x 与位置观测值y 之间有着较好的线性关系．因此可以用线性回归方程来刻画它们之间的关系．根据线性回归的系数公式，

1

221()n

i i i n i i x y nx y b x n x a y bx

==⎧

-⎪

⎪=⎪⎨-⎪⎪=-⎪⎩∑∑ 可以得到线性回归方为 3.5361 2.1214y x =+，所以当9x =时，由线性回归方程可以估计其位置值为22.6287y =

2．问题：在时刻9x =时，质点的运动位置一定是22.6287cm 吗？

二．学生活动

思考，讨论：这些点并不都在同一条直线上，上述直线并不能精确地反映x 与y 之间的关系，y 的值不能由x 完全确定，它们之间是统计相关关系，y 的实际值与估计值之间存在着误差． 三．建构数学

1．线性回归模型的定义：

我们将用于估计y 值的线性函数a bx +作为确定性函数；

y 的实际值与估计值之间的误差记为ε，称之为随机误差；

将y a bx ε=++称为线性回归模型．

说明：（1）产生随机误差的主要原因有：

①所用的确定性函数不恰当引起的误差； ②忽略了某些因素的影响； ③存在观测误差．

（2）对于线性回归模型，我们应该考虑下面两个问题： ①模型是否合理（这个问题在下一节课解决）； ②在模型合理的情况下，如何估计a ，b ？ 2．探求线性回归系数的最佳估计值：

对于问题②，设有n 对观测数据(,)i i x y (1,2,3,

,)i n =，根据线性回归模型，对于

每一个i x ，对应的随机误差项()i i i y a bx ε=-+，我们希望总误差越小越好，即要使

2

1

n

i

i ε

=∑越小越好．所以，只要求出使2

1

(,)()

n

i

i

i Q y x αββα==

--∑取得最小值时的α，β值作

为a ，b 的估计值，记为a ，b ．

注：这里的i ε就是拟合直线上的点(),i i x a bx +到点(),i i i P x y 的距离． 用什么方法求a ，b ？

回忆《数学3（必修）》“2．4线性回归方程”P71“热茶问题”中求a ，b 的方法：最小二乘法．

利用最小二乘法可以得到a ，b 的计算公式为

1

1

22211

()()()()n

n

i i i i

i i n n

i i

i i x x y y x y nx y

b x x x

n x a y bx

====⎧

---⎪

⎪==⎪⎨--⎪⎪=-⎪⎩∑∑∑∑，

其中11n i i x x n ==∑，1

1n

i i y y n ==∑

由此得到的直线y a bx =+就称为这n 对数据的回归直线，此直线方程即为线性回归方程．其中a ，b 分别为a ，b 的估计值，a 称为回归截距，b 称为回归系数，y 称为回归值．

在前面质点运动的线性回归方程 3.5361 2.1214y x =+中， 3.5361a =， 2.1214b =． 3． 线性回归方程y a bx =+中a ，b 的意义是：以a 为基数，x 每增加1个单位，y 相应地

平均增加b 个单位；

4． 化归思想（转化思想）

在实际问题中，有时两个变量之间的关系并不是线性关系，这就需要我们根据专业知识或散点图，对某些特殊的非线性关系，选择适当的变量代换，把非线性方程转化为线性回归方程，从而确定未知参数．下面列举出一些常见的曲线方程，并给出相应的化为线性回归方程的换元公式． （1）b y a x =+

，令'y y =，1

'x x

=，则有''y a bx =+． （2）b

y ax =，令'ln y y =，'ln x x =，'ln a a =，则有'''y a bx =+． （3）bx

y ae =，令'ln y y =，'x x =，'ln a a =，则有'''y a bx =+． （4）b x y ae =，令'ln y y =，1

'x x

=

，'ln a a =，则有'''y a bx =+． （5）ln y a b x =+，令'y y =，'ln x x =，则有''y a bx =+．

四．数学运用 1．例题：

例1．下表给出了我国从1949年至1999年人口数据资料，试根据表中数据估计我国2004年的人口数． 年份

1949 1954 1959 1964 1969 1974 1979 1984 1989 1994 1999

人口数/百万 542 603 672 705 807 909 975 1035 1107 1177 1246

解：为了简化数据，先将年份减去1949，并将所得值用x 表示，对应人口数用y 表示，x 0

5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 y

542 603 672 705 807 909 975 1035 1107 1177 1246

作出11个点(),x y 构成的散点图，

由图可知，这些点在一条直线附近，可以用线性回归模型y a bx ε=++来表示它们之间的关系．

根据公式（1）可得

14.453,

527.591.

b a ⎧≈⎪⎨

≈⎪⎩ 这里的,a b 分别为,a b 的估 计值，因此线性回归方程 为527.59114.453y x =+