空间曲线的曲率挠率

P
3.空间曲线的曲率，挠率
(s)
P
设空间曲线(C)为 1)曲率
C3 的，且以
s
为参数。
(s
s)
P1
(s s)
定义（C）在 P 点的曲率为 (s) lim
s0 s
s 越小
s
就越接近曲线在P点的弯曲程度,进一步令s 0
则
s
的极限就应该是曲线在P点的弯曲程度。
曲率的几何意义是曲线的切向量对于弧长的旋转速度。
否找一种参数使研究曲线很方便呢？回答是肯定
的这就是以弧长s为参 数（自然参数）
12、 、r弧对(t长)于参的光数参滑优数曲越是线性自：然r (t参由) 于数(dx的s(t充),ry要((tt)条),,当z件(tt)是),s时t r，(tAr)(s)1R r(t) 1
dt
3、弧长作参数是可以做到的：由于
证明：并若且为直a线(rs1，)则s0a
b 其中
(s)
ar和 b
都 是常向量， a 0
反之, 于是
若 r
(s)
sa
b
0
,则
(s)
r
0
所以该曲线是直线.
2)挠 率
r与曲率类似有
r k(s)
k(s) ,
lim
s0 s
(s s)
(s)
(s s)
( )
6）曲线的渐屈线、渐近线
当点 M (x , y) 沿曲线C 移动时, 相应的曲率中心 的轨迹 G 称为曲线 C 的渐屈线 , 曲线 C 称为曲线 G 的渐伸线 . 曲率中心公式可看成渐 屈线的参数方程(参数为x).
例. 求摆线
解:
y
y x
sin t 1 cos t
,
代入曲率中心公式 , 得
a (t sin t)
r r
,
r r r r
,
r 2 r (r r)r
r r r
3)由任意两个基本向量所确定的平面
γ(s) 法平面
分别叫做:
r(s)
密切平面： (R r ) 0 (R r , , ) 0 密切平面
法平面： (R r ) 0
α(s)
从切平面： (R r ) 0
曲率越大，曲线的弯曲程度就越大，因此它反映了曲线的
弯曲程度。
例. 求半径为R 的圆上任意点处的曲率 .
解: 如图所示 ,
s R
lim 1
s0 s
R
M
s
R M
可见: R 愈小, 则K 愈大 , 圆弧弯曲得愈厉害 ;
R 愈大, 则K 愈小 , 圆弧弯曲得愈小 .
(s) lim
r
s0 s
r r
r
于是 k r 3 =
((rr,rr,r)2) =
所以圆柱螺线的曲率和挠率都是常数.
. 故曲率中心的半径向量为 可以求出密切平面为
于是曲率圆为
设曲线方程为 曲率半径及曲率中心
设点M 处的曲率圆方程为
且
求曲线上点M 处的
的坐标公式 .
y
D( , )
故曲率半径公式为
R
1
(1
y2
)
3 2
k(s)
,
.(
1)
//
.
定义
曲线（C）在 P
,点的当挠率和为
异向,
(s)
,
当
和
同向.
挠率的绝对值是曲线的次法向量对于弧长的
γ(s) 法平面
r(s)
密切平面 α(s)
C β(s)
旋转速度。 挠率恒为零的曲线是平面曲线
从切平面 O
3)曲率和挠率的一般参数表示式
给出 C3 类r的 曲r(t线) （, rC ） d：r ds r ds ds r
O
γ(s) 法平面
对于 c 2 类的曲线上任一正常点处的
C r(s)
密切平面是最贴近于曲线的切平面。
密切平面以
为法向。
密切平面
α(s)
β(s)
从切平面
O
密切平面的方程
给出 C 2 类的曲线（C）：r r (s)
有
P
Q
r
(
s0
r (s0 )s
s)
r
(
s0
)
1 2
(r
(s0
)
)s
2
r (t0 )
5）伏雷内（Frenet)公式
由定义可 得
(s)
又 ( ) (s) k(s)
k(s) (s)
于是有
k
(s)
k(s) (s)
(s)
这个公式称为空间曲线的伏雷内（Frenet)公式。它的系 0 k(s) 0
数组成一反称方阵 k(s) 0 (s) 0 (s) 0
r
r
r
r
ds
3
r
(r
ds
2
dt
可得挠率公式为
r
d 2s dt 2
dt )• ds
((rr,rr,rd)2t)
3
r
说明: 设曲线弧 y f (x) 二阶可导,
y
则曲率计算公式为 (1 y 2 )32
d
ds
当 y 1时, 有曲率近似计算公式 y
若曲线由参数方程
x x(t)
密切平面方程为
(R r(s0)) r(s0)r(s0) 0
(R
r
(s0
))
r
(s0
)
r
(s0
)
0
R (x, y, z) 表示 P 点的密切平面上任一点的向径，
则上式表示为
x x(s0 ) x(s0 ) x(s0 )
y y(s0 ) y(s0 ) y(s0 )
z z(s0 ) z(s0 ) 0 z(s0 )
ds dt dt dt
r
(r)
ds dt
r
d 2s dt 2
dr ds
ds dt
2
r
d 2s dt 2
r
ds dt
2
r
d 2s dt 2
,
所以
r r
r
ds dt
r
ds dt
2
r
d 2s
dt 2
r
r
ds 3
dt
,
因此r r
r
r
ds
3
s in
k
r
面第一基本形式、第二基本形式等
微积分，拓扑学，高等代数与解析几何知识的综合运用
突出的数学家
Euler(1707-1783), Morge(1746-1818) 引进曲线曲面参数表示 法曲率能够由主曲率表示，Euler公式
Gauss(1777-1855) 曲面的第一、二基本形式、Gauss曲率，内蕴几何学Intrinsic differential geometry
P : r (t0 )
Q : r (t0 t)
R
因为向量 r (s0 )和 PQ 都在平面 上，所以它们的
O
线性组合
2 s 2
[
P
Q
r
(
s0
)s]
r
(s0
)
也在平面
上。
两边取极限得 r (s0 ) 在极限平面上，即 P 点的密切平面上，因此
由于 r (s) r (s) ,这个向量就可以作为密切平面的一个法向量。
y
, 满足方程组
(x )2 ( y )2 R2
y
x y
R
T
C
M (x, y)
o
x
(M (x, y)在曲率圆上 ) (DM MT )
机动 目录 上页 下页 返回 结束
ห้องสมุดไป่ตู้
由此可得曲率中心公式
x y(1 y2 )
y
y 1 y2
y
y
D( , )
C
R
T
M (x, y)
o
x
(注意 y 与 y异号 )
例. 设一工件内表面的截痕为一椭圆, 现要用砂轮磨
削其内表面 , 问选择多大的砂轮比较合适?
解: 设椭圆方程为
可知, 椭圆在
处曲率最大 ,
即曲率半径最小, 且为
R
(a2 sin2 t
b2
cos2
t
)
3 2
ab
t0
y
o
x
显然, 砂轮半径不超过
时, 才不会产生过量磨损 ,
或有的地方磨不到的问题.
例3 目录 上页 下页 返回 结束
从切平面
C β(s)
O
而由三个基本向量和上面三个平面所构成的图形叫做曲线的 基本三棱形。
关于密切平面
r (t0 )
P(t0 )
定义 过空间曲线上 P 点的切线 和 P 点邻近一点 Q 可作一平 面 ，当 Q 点沿曲线趋于 P 时，
平面 的极限位置 称为曲线
在 P 点的密切平面。
Q(t0 t)
a (cost 1)
的渐屈线方程 .
y
d dt
( y) x
1 a (1 cost)2
o
a ( sin ) ( 仍为摆线 ) a (1 cos )
摆线 目录 上页 下页 返回 结束
微分几何 Differential Geometry
坐标系、微积分应用于几何学，产生了微分几何 研究如何描述空间中一般的曲线和曲面的形状 参数变换下几何不变量：曲线弧长、曲率、挠率；曲
，
ds
称
r r
为曲线在 P 点的主法向量,
它垂直于单位切向量。
称 为曲线在P 点 的次法向量。 法平面 γ(s)
把两两正交的单位向量 , , 称为
C
r(s)
曲线在 P 点的伏雷内（Frenet)标架。
β(s)
密切平面
α(s)
从切平面 O
2) 对于曲线（C）的一般参数表示 r r (t), 有
(s)
P
M
P1
M (s s)
lim
lim
1
lim
MM
MM
s0 s s0 s
s0 s MM
(s s) (s)
lim
MM lim (s s) (s)
s0
s
MM s0
s
(s)
(s) (s) r r r
例： 空间曲线，r r (s)为直线的充要条件是曲率
如果曲线用一般参数t 表示，则将上式中的撇改成点。
平面曲线的密切平面就是曲线所在的平面。
例 求圆柱螺线r={a cos t, a sin t, bt}在任一
点的密切平面 x a cost y a sin t z bt
a sin t a cost a cost a sin t
b 0
0
ab costx y a2 cos2 tz bt 0
解:
ds
(dd
x t
)2
(
d d
y t
)
2
d
t
a2 ( sin t)2 a2 cos2 t d t
a dt
s t a d t at 0
r (t)
r (t(s))
(a cos
s
, a sin
s)
(s)
aa
2.空间曲线的基本三棱形、伏雷内标架
1)
给出
称
C2
r
类 曲dr线为r曲线r（(sC)）得上一单P 位点向的量单位 切 r向 量dd。rs
3
( r
1, r r )
dt
r r
由此得到曲率的一般参数的表示式 k r 3
由 0
(
)
(
1
)
(
1
)
((
1
)
1
)
(r 1 r) [( 1 )r 1 r]
(r , r , r )
2
r
6 (r , r , r )
(r r)2
C 为园心，以1/k为半径在密切平面上确
定一个园，这个园称为曲线在 P 点的密切园或曲率园，园的中 心叫曲率中心，园的半径叫曲率半径。
曲率中心轨迹设对应Y=(x,y,z)，则有
Y r (t)
1
(t)
(t)
容易证明C在P点与曲率圆相切，且在P 点的曲率相同
在点P 处曲率圆与曲线有下列密切关系:
y
y(t)
给出, 则
x y xy
( x2 y 2 )32
若曲线方程为 x ( y), x
则 (1 x 2 )32
若曲线由参数方程
x x(t)
y
y(t)
x y xy
给出, 则 ( x 2 y 2 )32
4）密切园（曲率园）
过曲线（C）上一点 P 的主法线
P1
k
C•
的正侧取线段 PC，使 PC 的长为1/k。以
杨振宁先生对几何学的概括
天衣岂无缝，匠心剪接成。 浑然归一体，广邃妙绝伦。 造化爱几何，四力纤维能。 千古寸心事，欧高黎嘉陈。
微分几何的应用
理论物理
Riemann(1826-1866) 度量Measure、流形Manifold、黎曼几何学；弯曲空间
Klein(1849-1925) 变换群
Cartan(1869-1951) 活动标架，纤维丛及其联络
突出的数学家
陈省身
开创并领导着整体微分几何、“陈省身示性类”
丘成桐
“卡拉比猜想”，“微分几何中偏微分方程作用”，“完备黎曼流形上调和函数”
第五章 多元函数微分学
§12 曲率、挠率
x x(t)
定义：如果曲线的参数表示式
y
y (t )
或 r r(t) a t b
z z(t)
at b
是 阶k 连续可微的函数，则把这类曲线称
为Ck 类曲线。当 k 时1 , C类1 曲线又称为光滑
曲线。
1.曲线的自然参数
自然参数：我们知道曲线有不同的参数表示，能
ds dt
r (t )
0
则代s入(有t)是tr的(t严) 格r单(t调(s函))数，(存s)在反函数t=t(s),
4、对于
r (s),
r (s) r (s)
1
r (s)
2
x(s)2
y(s)2
z(s)2
0 2xx 2 yy 2zz
例：圆的参数化为 r(t) (a cost , a sint ) , tR ，其中 常数 a > 0 , 试将参数化为自然参数。
(1) 有公切线; (2) 凹向一致; (3) 曲率相同 .
例 求圆柱螺线r={a cos t, a sin t, bt}(a>0, b>0均为常数) 的曲率、挠率、曲率中心和曲率圆.
解 r ={-a sin t, a cos t, b}，
r ={-a cos t, -a sin t, 0}，
r ={a sin t, -a cos t, 0}.