现代设计方法论文概要

直齿轮强度的模糊可靠性设计
课程名称：现代设计方法
姓名：
学号：sssss
班级：ffffff
指导老师：vfffff
齿轮传动的可靠性优化设计
摘要：本文介绍可靠性设计与优化设计有机结合的理论和方法。

并对可靠性优化设计如何应用于齿轮传动设计中进行了较详细地讨论，最后通过一个实例说明其实现方
法。

关键词：齿轮传动可靠性设计优化设计
0引言：
作用在零部件上的载荷和材料性能等都不是定值，而是随机变量，具有明显的离散性质，在数学上必须用分布函数来描述，由于载荷和材料性能都是随机变量，所以必须用概率统计的方法求解，可靠性设计认为所设计的任何产品都存在一定的失效可能性，并且可以定量地回答产品在工作中的可靠程度。

传统的机械设计中，很早就存在着“选优”的思想。

设计人员可以同时提出几种方案，通过分析评价后，选出较好的方案加以采用，这种选优方案在很大程度上带有经验性，也有他的一定的局限性。

而现代设计方法中的优化设计则可以避免以上弊端，充分发挥计算机强大的运算和编程功能，使优化算法与计算机相结合运用于机械设计中。

常规齿轮传动的设计是将齿轮所受载荷、应力和强度都视为定量，按一定的强度条件进行设计或校核，这种常规设计安全系数一般比较保守，不仅造成材料的浪费增加成本，往往由于一个参数的改变，而影响其它参数的确定，并且由于考虑齿轮传动的应力、强度及各几何参数的不确定性，引起的误差与实际不符，也不能保证绝对安全，设计出的齿轮传动质量差、可靠性低、承载能力小。

因此，为了使齿轮传动设计既贴近实际工况，又有最优方案，提出将优化设计和可靠性设计理论有机结合起来的设计方法，该方法无论对缩小尺寸、减轻重量提高承载能力和保证设计可靠性均有现实意义，可靠性优化设计能给程界带来了巨大经济效益，随着技术更新和产品竞争的加剧，可靠性优化设计的发展前景非常的广阔。

1.齿轮传动的可靠性计算
1.1 齿面接触疲劳强度的可靠度计算
由文献【1】知，圆柱齿轮齿面的接触应力为：
1
2
t A V H H
H H E 1F K K K K U 1=Z Z Z Z d b U βαεβσ⎛⎫±
⎪⎝
⎭ （1）
式中Z H ——节点区域系数，标准齿轮=2.5；Z E ——弹性系数，2/mm N ；Z ε——重合度系数 ；Z β——螺旋角系数；F t ——端面内分度圆上的切向力(N) ；d 1——小齿轮的分度圆直径(mm) ；b ——工作齿宽( mm)，指一对齿轮中较小的齿宽 ；U ——大齿轮与小齿轮的齿数比(z 2／z 1)，z 1，z 2分别为小齿轮和大齿轮的齿数；K A ——使用系数；K V ——动载系数；βH K ——接触强度计算的齿向载荷分布系数；αH K ——接触强度计算的齿间载荷分配系数。

由文献【1】可知，齿面接触强度的计算公式为：
Hlim N L V R W X
HP Hlim
Z Z Z Z Z Z =
S σσ （2）
式中Hlim σ——试验齿轮的接触疲劳极限(MPa)；N Z ——接触强度计算的寿命系数；Z Ｌ—— 润滑剂系数；Z V ——速度系数；Z Ｒ——粗糙度系数，Z Ｗ——工作硬化系数；Z X ——接触强度计算的尺寸系数；Hlim S ——接触强度的最小安全系数。

从理论上讲，式（1）、（2）中各参数除传动比U 外，都是具有一定分布规律的随机变量。

实际上，一些与齿轮几何尺寸有关的参量可能的取值区间很小，故笔者将它们视为确定变量；那些分布情况目前尚难以确定的参数，也暂假定为确定量。

这样引起的误差一并用计算系数H K 来考虑，的确定方法详见文献【2】。

由文献【2】知，用变异系数法可求得接触应力的均值。

变异系数和标准差分别为：
1
2
H t A V H H H H E 1K F K K K K U 1=Z Z Z Z d b U βαεβσ⎛⎫
± ⎪ ⎪⎝⎭
（3）
()
H N H T V H H V H V H H H 1
2
222222
Z K F K K K K K K K K K 1C =C +C +C +C +C +C +C C +C C +C C 4βααβαβ
σ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
（4） H H H S =C σσσ （5）
式中N Z C ，T F C ，V K C ，αK C ，βK C 分别为各相应参量的变异系数。

由文献【2】知，用变异系数法可求得接触强度的均值、变异系数和标准差分别为：
N L V R W X
Hlim HP Hlim
Z Z Z Z Z Z =
S σσ （6）
HP Nlim N
L
V
R W
1
2
2
222
22
Z Z Z Z Z C =C +C +C +C +C +C σσ⎡⎤⎣⎦ （7）
HP HP HP S =C σσσ （8）
式中Hlim σ、lim C σ、N Z 、N Z C 、L Z C 、V Z C 、R Z C 、W Z C 等分别为相应参数的均值和变异系数
假设轮齿齿面的接触应力和接触强度都服从于正态分布，则根据应力强度干涉理论建立接触疲劳强度的可靠度联接方程。

若设计要求的可靠度为R ，与之相应可靠性指数Z R ，其值可由正态分布表查得。

则有
Z R -Z H ≤0 即H HP H
HP H
R 2
2
-Z =
S +S σσσσ （9）
求得H R Z 之后，便可从正态分布表中查得可靠度；
()
H R H Z R φ= （10）
1 .
2 轮齿弯曲疲劳强度的可靠度计算
由文献【1】可知，圆柱齿轮齿根弯曲应力的计算公式为 ： t
F F s s A V F F n
F =
Y Y Y Y K K K K bm αβαβασ （11）
式中t F ——端面内分度圆上的名义切向力(N) ；b ——工作齿宽(mm)；n m —— 法向模数 ( mm) ；αF Y ——载荷作用于齿顶时的齿形系数，αS Y ——载荷作用于齿顶时的应力修正系数；S Y ——弯曲强度计算的重合度系数；βY ——弯曲强度计算的螺旋角系数 ；A K ——使用系数； V K ——动载系数；βF K ——弯曲强度计算的齿向载荷分配系数；αF K ——弯曲强度计算的齿间载荷分配系数。

由文献【1】可知，齿根的弯曲强度计算公式为：
F P F l i m
S T N T S r e l R
r e =Y Y Y Y Y /S σσ
（12） 式中Flim σ——试验齿轮齿根弯曲疲劳极限；ST Y ——试验齿轮的应力修正系数，如用本标准所给Flim σ值计算时，取ST Y =2.0；Flim S ——弯曲强度的最小安全
系数；
NT Y ——弯曲强度计算的寿命系数；Srel Y ——相对齿根圆角敏感系数；Rrel Y 一——相对齿根表面状况系数；X Y ——弯曲强度计算的尺寸系数。

在求齿根弯曲应力的均值和变异系数时，同处理齿面接触应力的方法一样，在式（13）的基础上也增添一个计算系数F K ，F K 的确定方法详见文献【2】。

故根据上式可求得齿根弯曲应力的均值、变异系数和标准差分别为：
t
F V F F F F s s A n
K F =
Y Y Y Y K K K K bm αββαασ （13） F F t F F F F F 12
2
2
2
2
K F KV K K K K KV K KV C =C +C +C +C +C C +C C +C C ααβαβσ⎡⎤⎣⎦ （14）
F F F S =C σσσ （15）
式中F σ 、F C σ，t F 、t F C … 分别为相应参数的均值和变异系数。

由文献【2】知，采用变异系数法可求得齿根弯曲强度的均值，变异系数和标准差分别为 ：
FP Flim ST NT Srel Rrel X Flim =Y Y Y Y Y /S σσ （16）
FP Flim NT 1
22
2
Y C =C +C σσ⎡⎤⎣⎦ （17）
FP FP FP S =C σσσ （18）
假设齿根弯曲应力、强度服从于正态分布，则齿根弯曲疲 劳强度可靠度的联结方程为：
FP F
FP F
RF 2
2
-Z =
S +S σσσσ （19）
求得RF Z 后，便可从正态分布表中查得可靠度：
()
F R F Z R φ= （20）
2.建立可靠性优化设计的数学模型
2 .1确定设计变量
在传动比和传递功率一定的条件下斜齿圆柱齿轮传动需确定的参数为： 齿面的法面模数n m 、小齿轮齿数1Z 、 螺旋角β、 齿宽系数D φ。

故取设计变量为：
X= (1x ，2x ，3x ，4x )T = (n m ，1Z ，β，D φ )T （21）
2 .2 建立目标函数
圆柱齿轮传动优化设计的目标函数可选择多种，一般情况下，以最小体积为目标来设计圆柱齿轮传动，无论是在减轻重量、缩小体积方面，还是在节约材料、降低成本等方面均有很大的现实意义。

故选用斜齿圆柱齿轮传动的体积最小为可靠性优化设计追求的目标。

由于斜齿圆柱齿轮的精确体积计算十分复杂，为了简化计算，用分度圆圆柱体积来近似代替齿轮的体积，这样可建立目标函数为：
()()332
n 1D 3
M Z F X =1U 4cos πφβ
+ （22） 2 .3 建立约束条件
圆柱齿轮传动的可靠性优化设计约束条件包括齿轮强度的可靠度约束、一般性能约束和几何边界约束等。

2.3.1 齿轮强度的可靠度约束
由联接方程（9）和（19）可以建立齿轮接触和弯曲疲劳强度的可靠度约束方为 ：
02
2
1
111
1
≤+--
H HP S S Z H HP RH σσ
σσ （23）
02
2
2
222
2≤+--
H HP S S Z H HP RH σ
σσσ （24）
02
2
1
111
1
≤+--
F F P S S Z F FP RF σσ
σσ （25）
02
2
2
222
2
≤+--
F F P S S Z F FP RF σσ
σσ （26）
式中HP1σ（HP2σ），H P 1S σ（HP2S σ）为小(大)齿轮, 用疲劳接触应力的均值和标准差H1σ(H2σ,H1S σ,H2S σ)为小(大)齿轮计算疲劳接触应力的均值和标准差；
FP1σ（FP2σ），F P 1S σ（FP2S σ）
为小(大)齿轮用弯曲应力的均值和标准差; F1σ(F2σ)为小(大)齿轮计算弯曲应力的均值和标准差；RH1Z ，RH2Z ，RF1Z ，RF2Z 分别为预定可靠度指标H1R ，H2R ，F1R ，F2R 所对应的可靠性系数，H1R ，H2R ，F1R ，F2R 可根据要求整个齿轮传动的可靠度指标按最优分配法确定。

2.3.2重合度约束
斜齿圆柱齿轮传动的重合度e 应大于等于1，即：
()D 112
t a n =Z +U +1αα
φβεεεπ⎡
⎤≥⎢⎥⎣
⎦
（27） 式中1a ε——小齿轮的端面重合度系数；a2ε——大齿轮的端面重合度系数。

2.3.3大齿轮分度圈直径的上、下限约束
n 1
min max UM Z d d cos β
≤
≤ （28）
式中min d ——大齿轮分度圆直径的下限(mm)；
max d ——大齿轮分度圆直径的上限(mm) 。

2.3.4齿宽的上、下限约束
D n 1
m i n m a x M Z b b cos φβ
≤
≤ （29）
式中min b ——齿宽的下限；max b 一——齿宽的上限
2.3.5 各设计变量的上、下限约束
n m a x
n n m i n m m m ≤≤ （30）
m a x m i n βββ≤≤ （31）
1m a x 11m i n Z Z Z ≤≤ （32）
D m a x
D D m i n φφφ≤≤ （33） 3.可靠性优化数学模型的求解方法
由上面讨论可知，圆柱齿轮传动的可靠性优化问题是一个具有复杂约束的非线性规划问题，设计变量有整形变量、离散实型变量和连续实型变量，如采用连续变量优化方法求解往往得不到问题的真正最优解。

因此采用混合离散组合型法求解圆柱齿轮传动的可靠性化问题。

混合离散组合型法的数学模型为
（34）
其中X D = (1x ，2x ，……p x ) ∈D R ，D R 为P 维离散空间；X c = (1p x +，
2p x +……n x )∈ c R ，c R 为(n---p)维连续空间；n 为设计变量数，p 为整型和离散变量数，m 为不等式约束条件数。

目标函数f( x)，约束函数()X g i 均为非线性函数。

在求解本文讨论的可靠性优化问题时，采用文献【3】所介绍的混合离散变量组合型MDCP 的优化设计方法与优化程序，并按照数学模型对目标函数和约束条件做相应的变换，然后编制出目标函数和约束方程的子程序，输入原始数据，便可在计算机上计算出优化结果。

4.算例
设计一对齿轮传动(目标函数为体积或质量最小),已知条件：传递功率N=3
KW,小齿轮转速n=750rpm,传动比u=3.46,齿数z 1=21，模数m=2.5mm,齿宽b=25mm,小齿轮材料为40Cr,齿面淬火，大齿轮材料为45钢,调质处理, 齿轮制造精度为8级,中等冲击,单向传动, 每年工作300天,工作十年,要求齿轮强度的可靠度为0.999以上。

4.1对可靠性优化设计结果进行可靠性分析
4.1.1齿面接触疲劳强度的可靠度计算
（1）计算齿轮齿面的接触应力，查阅机械设计手册和有关文献再经计算有：
H Z =2.45，E Z =189.8 Mpa 2
1
；εZ =0.83；βZ =0.957；t F =
dn
P
60π=1091.90N ；1d =52.5(mm) ；b=25(mm) ；U=3.46(2z ／1z ) ；A K =1.5；V K =1.18；
βH K =1.423；αH K =1。

则有1
2
t A V H H H H E 1FK K K K U 1=Z Z Z Z d b U βαεβσ⎛⎫
± ⎪⎝⎭
=607.03Mpa
（2）计算齿面接触强度，查阅机械设计手册和有关文献再经计算有：
Hlim σ=600(MPa)；N Z =1；L Z =0.92；v Z =1.04；R Z =1.03；W Z =1；Hlim S =1；
X Z =1。

Hlim N L V R W X
HP Hlim
Z Z Z Z Z Z =
S σσ= 591.3Mpa
（3）用变异系数法求接触应力的均值，变异系数和标准差。

查阅机械设计手册和有关文献再计算有：
1.1K H = , t F =
=d
T
21091.90N ，A K =1.5，V K =1.25，H K β=1.15，H K α=1.16 12
H t A V H H H H E 1K F K K K K U 1=Z Z Z Z d b U βαεβσ⎛⎫
± ⎪ ⎪⎝⎭
=634.45 Mpa
()
H N H T V H H V H V H H H 1
2
222222
Z K F K K K K K K K K K 1C =C +C +C +C +C +C +C C +C C +C C 4βααβαβσ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
=()1
2
22222210.033+0+0.015+0.1+0.03+0.03+0.10.03+0.10.03+0.030.034⎡⎤
⨯⨯⨯⎢⎥⎣⎦
= 0.07
H H H S =C σσσ= 44.41Mpa
（4）用变异系数法求接触强度的均值、变异系数和标准差，查阅机械设计手册和有关文献再计算有：
Hlim σ=750330HBS 5.1=+Mpa ，N Z =1，V Z =1.01,R Z =1.07，
W Z ==-1700HBS/2765.1 1.11 ，X Z =1
N L V R W X
Hlim HP Hlim
Z Z Z Z Z Z =
S σσ=899.68Mpa
HP Nlim N
L V
R
W
12
222222
Z Z Z Z Z C =C +C +C +C +C +C σσ⎡⎤⎣⎦ = 1
2
2
2
2
2
2
2
0.08+0.03+0.02+0.03+0.03+0⎡⎤⎣⎦ =0.09
HP HP HP S =C σσσ=80.97
（5）轮齿齿面的接触应力和接触强度都服从于正态分布，则根据应力强度干涉理论建立接触疲劳强度的可靠度联接方程
H HP H
HP H
R 2
2
-Z =
S +S σσσσ=2.87
所以从正态分布表中查得可靠度：
()
H R H Z R φ==0.9979
4.1.2轮齿弯曲疲劳强度的可靠度计算
（1）计算齿根的弯曲强度，查阅机械设计手册和有关文献再计算有：
t F =
dn
P
60π=1091.90(N) ；b=25(mm)。

n m =2.5( mm) ；αF Y =2.768，αS Y =1.548；s Y =0.716；βY =0.8；A K =1.5；V K =1.22；βF K =1.18；αF K =1.16。

t
F F s s A V F F n
F =
Y Y Y Y K K K K bm αβαβασ=107.4Mpa （2）计算齿根的弯曲强度，查阅机械设计手册和有关文献再经计算有：
Flim σ=300 Mpa ；ST Y =2.1；Flim S =1.5；NT Y =1；Srel Y =0.99；Rrel Y =1.065；
X Y =1。

FP Flim ST NT Srel Rrel X Flim =Y Y Y Y Y /S σσ=664.24 Mpa
（3）计算齿根弯曲应力的均值、变异系数和标准差，查阅机械设计手册和有关文献再计算有：
F K =1.2，t F =
=d
T
20001091.90N ，V K =1.25，F K β==0.5-K 5.1F β 1.27，F K α=1+（n-5）(1-αε)/4=1.53
t
F V F F F F s s A n
K F =
Y Y Y Y K K K K bm αββαασ=187.47Mpa F F
t
F F F F F 12222
2
K F KV
K K K K KV K KV C =C +C +C
+C
+C C +C C +C C α
αβαβσ⎡⎤⎣⎦
=1
2
2
2
2
2
0+0.015+0.1+0.03+0.030.04+0.030.1+0.40.1⎡⎤⨯⨯⨯⎣⎦ =0.12
F F F S =C σσσ=22.5
（4）采用变异系数法求齿根弯曲强度的均值，变异系数和标准差，查阅机械设计手册和有关文献再计算有：
Flim σ=0.4HBS+180=312 Mpa
FP Flim ST NT Srel Rrel X Flim =Y Y Y Y Y /S σσ
= 332 2.110.99 1.061/1.5⨯⨯⨯⨯⨯=458.37Mpa
FP Flim NT 12
2
2
Y C =C +C
σσ⎡⎤⎣⎦
= 12
2
2
0.1+0.03⎡⎤⎣⎦=0.104
FP FP FP S =C σσσ=47.67
（5）齿根弯曲应力、强度服从于正态分布，则齿根弯曲疲劳强度可靠度联结方程为：
FP F
FP F
RF 2
2
-Z =
S +S σσσσ=5.14
从正态分布表中查得可靠度：
()
F R F Z R φ==0.999999
4.1.3齿轮传动总的可靠性
由R=F H R *R = 0.99980
4.2传统的齿轮传动设计计算
4.2.1齿面接触疲劳强度的计算
（1）初选小齿轮齿数1z =21，大齿轮为2z =21*3=63； （2）初选螺旋角β=140，t K =1.6，H Z =2.433，αε=1.622； （3）初选齿宽系数D φ=1；
（4）计算小齿轮传递的转矩1T =1000
750
*3*10*5.95*2=2.87410⨯（N ·mm ）；
（5）材料的弹性影响系数E Z =189.8Mpa 2
1；
（6）齿轮的接触疲劳强度Hlim1σ=550 Mpa ；Hlim2σ=380 Mpa ； （7）应力循环次数
1N =()1030082175060⨯⨯⨯⨯⨯⨯=91016.2⨯；2N =7.2810⨯
（8）接触疲劳强度系数HN1K =0.91 ，HN2K =0.94； （9）齿轮的接触疲劳许用应力[]H σ=
2s
*K *K lim2
HN2lim1HN1σσ+=430.75 Mpa 。

所以：3
2
H E H d 1
t t 1Z Z U
1U T 2K d ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛±≥σεφε
=44.27mm ； （10）计算圆周速度=⨯=
1000
60n d V 1
1t π 1.738m/S ；
（11）计算尺宽b=t1d d *φ=44.27mm ； （12）计算齿宽与齿高之比
1
t
1t z d m =
=2.108mm h
b
=8.4 （13）计算载荷系数经计算查表得K=A K *V K *βH K *αH K =2.04；
初步调整后的直径为t d =3T t 1K/K d =48mm 模数为=
n m 1
1z cos d β
=2.05mm 4.2.2轮齿弯曲疲劳强度的计算
（1）齿轮的弯曲疲劳极限Flim1σ=380 Mpa ，Flim2σ=320 Mpa ； （2）弯曲疲劳寿命系数FN1K =0.83，FN2K =0.85； （3）计算弯曲疲劳许用应力
[]1F σ=Fim1FN1*K σ/S=238.86 Mpa ，[]2F σ=Fim2FN2*K σ/S=205.71 Mpa ；
（4）计算载荷系数K=A K *V K *βF K *αF K =1.958； （5）纵向重合的αε=1.605，βY =0.88。

（6）当量齿数V1Z =22.80，V2Z =78.89。

（7）齿形系数和应力校正系数：
1F Y α=2.768， 1S αY =1.548； 2F αY =2.205， 2S αY =1.766；
所以：[]
3
F 21d sa
Fa 21n z Y Y cos Y KT 2m σεφβ
α
β≥=1.86mm
4.2.3最终设计尺寸
比较按齿面接触疲劳强度和按轮齿弯曲疲劳强度计算数据，为了使齿面接触疲劳强度和轮齿弯曲疲劳强都满足要求，则=n m 2。

于是由29.232
14cos 48cos 11=⨯==o
n m d z β
取z 1=24，则z 2=Uz 1=72 中心距a=
()()97.9814cos 227224cos 221=⨯⨯+=+o
β
n m z z ，将中心距圆整为99mm 。

按圆整后的中心距修正螺旋角 ()()o 14.1499
227224arccos
2arccos
21=⨯⨯+=+=a m z z n
β
因β值改变不多，故参数αε，βY ，H Z 等不必修正。

4.3可靠性优化设计计算与传统设计计算结果的分析比较
（1）按可靠性优化设计计算，齿轮传动的最小体积为：
()()332
n 1D 13
M Z F X =1U 4cos πφβ
+=o 14.14cos 4124214.3333⨯⨯⨯⨯=51051.9⨯mm 3 （2）按传统设计计算，齿轮传动的体积为：
()()332n 1D 23
M Z F X =1U 4cos πφβ
+=1.356
10⨯mm 3
（3）故经可靠性优化后，圆柱齿轮传动的体积减少：
=X100%F F -F 2
125.1351
.95.13-=12.80%
模数（mm ） 齿数 齿宽系数 β 体积（mm 3） 传统计算 2.5 23 1 14.140 51051.9⨯ 可靠性优化设计 2 21 0.39 63120'' 1.35610⨯
5. 结论
本文提出的齿轮传动可靠性优化设计方法，考虑了影响各设计变量的不确定性，且可靠度与优化参数是以函数的形式给出，避免了传统的设计安全系数的选取受设计人员使用经验影响的不利因素，同时依据可靠性设计准则引入性能约束，使优化模型更接近工程实际，由于工程中的设计参数大多是离散的，采用混合离散组合型算法可求得工程优化设计中的全局最优点，从而克服了采用连续变
量优化方法有可能求不到全局最优点的缺点。

实例计算结果表明，经可靠性优化设计之后，斜齿圆柱齿轮传动的体积比传统设计体积减少12.80%，这表明将可靠设计理论与最优化技术相结合，可以获得明显的技术经济效益。

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