专题三 导数及其应用 第七讲导数的几何意义定积分与微积分基本定理 (1)

专题三 导数及其应用

第七讲 导数的几何意义、定积分与微积分基本定理

一、选择题

1．(2018全国卷Ⅰ)设函数32()(1)f x x a x ax =+-+，若()f x 为奇函数，则曲线()

y f x =在点(0,0)处的切线方程为 A ．2y x =-

B ．y x =-

C ．2y x =

D ．y x =

2．(2016年四川)设直线1l ,2l 分别是函数()f x = ln ,01,

ln ,1,x x x x -<<⎧⎨>⎩

图象上点1P ，2P 处的切

线，1l 与2l 垂直相交于点P ，且1l ，2l 分别与y 轴相交于点A ，B ，则△PAB 的面积的取值范围是

A ．(0,1)

B ．(0,2)

C ．(0,+∞)

D ．(1,+∞)

3．（2016年山东）若函数()y f x =的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线

互相垂直，则称()y f x =具有T 性质．下列函数中具有T 性质的是 A ．sin y x =

B ．ln y x =

C ．x y e

=

D ．3

y x =

4．(2015福建)若定义在R 上的函数()f x 满足()01f =-，其导函数()f x '满足

()1f x k '>> ，则下列结论中一定错误的是

A ．11()f k

k <

B ．11

()1f k k >- C ．11()11f k k <-- D ．1()11

k

f k k >

-- 5．（2014新课标Ⅰ）设曲线ln(1)y ax x =-+在点(0,0)处的切线方程为2y x =，则a = A ．0 B ．1 C ．2 D ．3

6．（2014山东）直线x y 4=与曲线3y x =在第一象限内围成的封闭图形的面积为

A ．22

B ．24

C ．2

D ．4 7．（2013江西）若2

2

22

1231

1

11

,,,x S x dx S dx S e dx x

=

==⎰

⎰

⎰则123,,S S S 的大小关系为

A ．123S S S <<

B ．213S S S <<

C ．231S S S <<

D ．321S S S <<

8．（2012福建）如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，则点P 恰好取自阴

影部分的概率为 A ．

14 B ．15 C ．16 D ．1

7

9．（2011新课标）由曲线y x =2y x =-及y 轴所围成的图形的面积为

A ．

103 B ．4 C ．163

D ．6 10．（2011福建）

1

(2)x e x dx +⎰

等于

A ．1

B ．1e -

C ．e

D ．1e + 11．（2010湖南）

4

2

1

dx x

⎰

等于 A ．2ln2- B ．2ln 2 C ．ln 2- D ．ln 2 12．（2010新课标）曲线3

y 21x x =-+在点(1,0)处的切线方程为

A ．1y x =-

B ．1y x =-+

C ．22y x =-

D ．22y x =-+ 13．（2010辽宁）已知点P 在曲线y=

4

1

x

e +上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是 A ．[0,

4

π

) B ．[,)42ππ C ．3(,]24ππ D ．3[,)4ππ

二、填空题

14．(2018全国卷Ⅱ)曲线2ln(1)=+y x 在点(0,0)处的切线方程为__________． 15．(2018全国卷Ⅲ)曲线(1)x

y ax e =+在点(0,1)处的切线的斜率为2-，则a =____． 16．(2016年全国Ⅱ)若直线y kx b =+是曲线ln 2y x =+的切线，也是曲线ln(1)y x =+的

切线，则b = ．

17．(2016年全国Ⅲ) 已知()f x 为偶函数，当0x <时，()ln()3f x x x =-+，则曲线

()y f x =，在点(1,3)-处的切线方程是_________．

18．（2015湖南）

2

(1)x dx -⎰

= ．

19．（2015陕西）设曲线x

y e =在点（0,1）处的切线与曲线1

(0)y x x

=

>上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为 ．

20．（2015福建）如图，点A 的坐标为()1,0，点C 的坐标为()2,4，函数()2f x x =，若

在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于 ．

（第15题） （第17题）

21．（2014广东）曲线25+=-x

e

y 在点)3,0(处的切线方程为 ．

22．（2014福建）如图，在边长为e （e 为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，

则他落到阴影部分的概率为______．

23．（2014江苏）在平面直角坐标系xOy 中，若曲线x

b

ax y +

=2(a ，b 为常数)过点)5,2(-P ，且该曲线在点P 处的切线与直线0327=++y x 平行，则b a +的值是 ． 24．（2014安徽）若直线l 与曲线C 满足下列两个条件：

)(i 直线l 在点()00,y x P 处与曲线C 相切；)(ii 曲线C 在P 附近位于直线l 的两侧，则称

直线l 在点P 处“切过”曲线C ．下列命题正确的是_________(写出所有正确命题的编号)

①直线0:=y l 在点()0,0P 处“切过”曲线C ：3

y x =

②直线1:-=x l 在点()0,1-P 处“切过”曲线C ：2

)1(+=x y

③直线x y l =:在点()0,0P 处“切过”曲线C ：x y sin = ④直线x y l =:在点()0,0P 处“切过”曲线C ：x y tan = ⑤直线1:-=x y l 在点()0,1P 处“切过”曲线C ：x y ln =．

25．（2013江西）若曲线1y x α

=+（R α∈）在点(1,2)处的切线经过坐标原点，则α= ． 26．(2013湖南)若209,T

x dx T =⎰则常数的值为 ．

27．（2013福建）当,1x R x ∈<时，有如下表达式:21

1.......1n x x x x

+++++=

- 两边同时积分得：

111112

222220

00

1

1.......1n

dx xdx x dx x dx dx x

+++++=-⎰

⎰⎰⎰⎰

从而得到如下等式：23111111111()()...()...ln 2.2223212

n n +⨯

+⨯+⨯++⨯+=+ 请根据以下材料所蕴含的数学思想方法，计算：

0122311111111()()()2223212

n

n n n n n C C C C n +⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯+= ．