量子场论笔记

量子场论笔记

WangHongyu

June22,2011

1Why Quantum Field Theory is So Difficult?The key point

对于量子场论有两种比较容易的理解，一是标准量子力学的相对论形式：传统量子力学是非相对论的，为了处理高能量粒子的运动，必须引入相对论效应，将量子力学改写成协变形式；然而在这修改过程中必然出现反粒子问题和粒子对的产生过程，于是原来针对单粒子的量子力学转变成了粒子数可变（随时增减）体系的量子力学，为了处理粒子数的改变，需要使用将原来的波函数改写成算符，这就是所谓“二次量子化”过程，完成了二次量子化的量子理论被看作量子场论。

第二种理解要更加简单而直接：许多物理体系都是场体系，例如光本身就是一种电磁场，为了研究其量子效应，需要按照量子力学的原则对电磁场运动方程进行量子化。由于场是全空间分布的连续目标，其量子力学理论将是具有无穷自由度体系的量子理论；为了求解这样的体系，需要对自由度进行分解，得到的平面波解称为粒子或者量子，而这种理论就是量子场论。

1.1量子化

我们采用第二种理解。和传统量子力学一样，量子场论也是基于量子化的手续，比较流行的方案包括正则量子化手续和路径积分量子化。在大部分情况下，两种手续都要交替使用。

正则量子化的基本手续就是写出场的拉格朗日量，定义正则坐标和正则动量，引入正则坐标和正则动量之间的对易关系：

[ϕ(x,t),Π(x′,t)]=iδ3(x−x′)

原则上就完成了正则量子化步骤。

在实践中，由于自由度之间可能存在复杂的耦合，上述量子化需要对独立的正则动量来完成，因此首先要分解出独立的自由度。对于连续存在于平直空间的的场，最简单的方法是进行傅立叶分解。对场变量的傅立叶分解得到一系列平面波态，而自由场的哈密顿变成所有平面波哈密顿的和。对每个平面波态求解得到其能量和动量，结果表明每个态的能量和动量都是分立的，于是将这种平面波态称为“粒子”。

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路径积分量子化更加简单一点，但限制更多。其基本思路是计算演化振幅<ψ′|exp{−iHt}|ψ>，并且假定这个演化振幅可以用无限多个积分的极限来逼近：

<ψ′|exp{−iHt}|ψ>=lim

n→∞∫

dq n

∫

dq n−1...

∫

dq1<ψ′|q n>

相比正则量子化，这一方法的优势是形式简洁，且便于处理复杂约束问题，缺点首先是在路径积分量子化模式下，“粒子”和“场”的直观意义都是不清楚的，其次，这一方法只有通过Wick旋转（或者叫做“欧几里得化”,具体说就是把时间t改写成虚数−iτ）才能在数学上获得良好的定义。很容易看出来这是为什么：exp{−iHt}并不是一个衰减函数，于是你无法保证那些偏离预期结果太远的项的贡献必然趋于0。相反，在wick旋转之后，exp{−Hτ}的各种贡献肯定是会衰减的。

路径积分只是泛函方法的一部分。在传统上，正则量子化方法及“物理解释导向”曾经是场论方法的主流，但随着规范场论和非线性场论（例如最简单的ϕ4标量场）的发展，正则量子化方法变得极其繁琐甚至无法使用，泛函方法越来越流行。从原理上说泛函方法出自Feynman路径积分和Schwinger量子作用量，但在泛函观点上，这两种手段都失去了其“物理背景”而转变为形式理论。这种形式化和量子力学出现时从波函数和矩阵表述向一般的Dirac矢量描述颇有相同之处。形式化方法使得量子场论的处理更加简洁和威力强大，但同时导致了更大的学习和理解障碍。

1.2微扰展开和费曼图

只有自由场的运动模式才能简单的写成平面波的叠加。为了求解带有相互作用的场的运动，基本的方法是微扰论，即将自由哈密顿作为基础，将相互作用哈密顿作为微扰，近似求解演化方程。

为了计算微扰展开，仍然需要将相互作用项利用平面波场算符展开，这个展开在动量空间看来，就是标准的相互作用势函数变成不同动量态之间的相乘过

程。例如，标准的库伦作用势函数1

|r1−r2|将被转化为一个1

k2

的动量函数，这个函

数可以看成是r1和r2之间的关联函数，而j∗A变为两个场算符之间的乘积。最终，动量空间矩阵元总是由相互作用乘积（称为顶角）和两点关联函数（称为传播子）的乘积和积分构成。可以用图形来代表这种乘积，这种图形称为费曼图。遍历所有级数展开项的过程，最终变成画出所有费曼图的过程。费曼图大大简化了量子场论计算，因为研究者现在可以避免去逐步进行全部的泛函级数展开，而代之以从几何上寻找各种拓扑不等效的图形。然而，这样做法的代价之一是需要建立图形和对应的展开矩阵元之间的对应关系（称为费曼规则）。对于QED那类的东西，这种规则已经由早期的科学家做出，然而，每个场论专家都会自己建立一种场论，于是要自己建立所有费曼规则。

由于是从自由场（平面波或者波包）开始的微扰计算，所以计算的内容是从一组近似平面波态跃迁到另外一组平面波态的几率振幅，这个振幅称为S矩阵。因为没办法写出基本的束缚态场，所以计算束缚态问题非常困难。

此外，微扰论的基础在于级数展开，而展开式第n项的系数量级等于g n，g是耦合常数，所以原则上只有|g|<1的相互作用才能使用微扰法得到有意义的展

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开结果。对于电磁相互作用和弱相互作用，这一点很容易满足，但对于强相互作用，只有在高能区，耦合常数才会降低到可以使用微扰展开的程度。

对于|g|>1的情况，需要使用复杂得多的方法且没有系统化的处理。一个比较常见的方案是直接进行路径积分计算，因为路径积分法本身可以绕过微扰论：利用蒙特卡洛方法，可以近似估计一个积分的值，无论其具体维度多少。这样，无穷维积分可以用有限的试探求和平均逼近。

1.3发散，正规化和重整化

即使对于|g|<1的场，其量子场论也存在根本的困难。这种困难基本上是来源于量子场论的连续时空和点粒子假设：在相互作用场的费曼图（展开项）中，都必然包含带有闭合圈的图形。闭合圈的内部传播子需要对所有可能的动量积分，而由于时空是连续的，两点之间的距离可以任意小，对应动量空间的动量可以任意大，闭合圈积分必然包含一个无穷大的积分因子。抵消这个积分因子的唯一可能是传播子分母，但传播子的分母在大动量区域是正比于|k|或者|k|2，也就是两传播子闭合圈在大动量区域最多正比于|k|−4，于是乘以d4k积分后将会发散。

发散问题是本质的，不可能从相对论量子场论的形式中消除，它反映的是在足够小的尺度内时空结构破坏（从而量子场论完全失效）或者基本粒子根本不是点状的(不过，也有人认为这仅仅是使用了错误的形式耦合参数的问题。问题在于，这种说法并不怎么有说服力）。但是可以在不破坏量子场论基本框架的条件下手工把发散“剪掉”。

剪掉发散的第一步是要把发散分离出来，或者说把发散“打包出售”。比如可以在粒子的传播子中乘以一个限制项，使得在动量够大的情况下传播子快速趋向于0（人工提高了k−n中的n）。这样，积分结果就由限制参数决定，当然，如果把限制参数Λ变成0（无限制），那么积分还是发散的。这种操作叫做“正规化”，当然正规化有很多种方法，这种限制传播子的办法叫做Pauli-Villars正规化。还有一种时髦的方案是修改积分因子，比如把计算改到低维空间D<4去做，做完了之后就有个形式的维度参数D，当然n=D的时候积分还是发散的，但形式上发散都已经吸收到D里面去了。

现在需要实际剪掉发散。剪掉的概念非常简单：在相互作用哈密顿上面任意地加入一个“对消项”，比如把粒子质量从m改变成m+δm，或者耦合常数g变成Z g g等等。当然对消项的大小需要认真调整，原则有两个：（1）规定对消项的大小能够把积分发散抵消掉。比如本来带圈得传播子是发散的，现在加入一个对消项δm之后，δm导致的修正正好吃掉正规化的发散表达式（所以δm是无穷大）；（2）在足够低的实验能区，加入的对消项能够给出正确的实验结果。体现最简单的对消方法的重整化手续称为“质壳重整化”。例如，标量粒子传

播子的基本形式是1

k2+M2，其中M是粒子的质量。引入对消项之后，传播子应该

是1

k2+Π(k2,m,Λ,δm)，于是对δm的要求就是（我们知道当粒子静止时可以称出粒子的

质量；而在此时，粒子动能为0，k2=−m2）

Π|k2=−m2=M2且

Π′|k2=−m2=0

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