关于一道美国大学生数学竞赛题

此 试题 启 发 我 们 提 出如 下 问 题 ： 若将题 中的 厂 （ ｚ ）・ｇ （ ）与 ｆ （ ｘ ） ／ ｇ （ ｘ ）在 ｚ ＝ ０处 可 微 改 为 厂 （ ｚ ）・ ｇ （ ｚ ）与 厂 （ ）＋ ｇ （ ｚ ）（ 或 厂 （ ）一 ｇ （ ）） 在 Ｘ ＝ ０处 可 微 ， 或 ｆ （ ｘ ） ／ ｇ （ ｘ ）与 ， （ ）＋ ｇ （ ｚ ） （ 或 ，（ ） 一ｇ （ ｚ ）） 在 一 ０ 处 可微 ， 则 问题结 论是 否仍 然成 立 ？下 面我们将 以命 题形 式 给出相关 结论． 命题 １ 设实 函数 ｆｉ ｘ ）， ｇ （ ） 在 包含 ｚ一 ０的开 区间 内有定 义．若 ｆｉ ｘ ）・ ｇ （ ｚ ） 与ｆ ｉ ｘ ） ＋ｇ （ ）
ｌ ｉ ｍ ｇ 兰 ： ｇ
ｍ
（ ６ ）
Ｍ
ｍ
ｌ ｉ ｍ
卜 ０
±曼 二［ ’ ！ ± ！
Ｚ
（ ７） ∞
ｍ
由 于
±
ｇ（ ０） ｇ（ ｚ）
一
．
二
＋ ・ （ ） ＋ｇ （ ） 一［ ＿ 厂 （ ０ ） ＋ｇ （ ０ ） ］
３ ２
一
一ห้องสมุดไป่ตู้
（ ０）
厂 （ ） ＋ｇ（ ｚ ） 一［ ＿ 厂 （ ０ ） ＋ｇ （ ０ ） ］
Ⅵ ． 。
＿ １ ，
又ｇ （ ）在 ｚ一 ０处 连续 且 ｇ（ ０ ）≠ ｌ ／ （ ０ ）， 故 由上式及 （ ４ ） ， （ ５ ） 知
ｌ ｉ ｍ
一 ０
二
一
ｇ （ Ｏ ） 一 ｌ 厂 （ ０ ）’
第 ２ ９卷 第 ６期
２ ０ １ ３年 １ ２月
大 学 数 学
ＣＯ ＬＬＥＧ Ｅ Ｍ Ａ Ｔ Ｈ ＥＭ Ａ ＴＩ ＣＳ
Ｖｏ １ ． ２ ９， №． ６ Ｄｅ ｃ ． ２ Ｏ １ ３
关 于一 道 美 国大 学 生 数 学 竞赛 题
王 泓博
（ 合 肥 工 业 大 学 电气 与 自动化 工程 学 院 ２ ０ １ ２级 ， 合肥 ２ ３ ０ ０ ０ ９ ）
兰
墨 二 Ｑ
Ｚ
又ｇ （ ） 在 ｚ一 ０处连续 且 ｇ （ ０ ） ＋ ｆ（ ０ ） ≠ ０， 故 由上 式及 （ ６ ） ， （ ７ ） 知
ｌ ｉ ａ ｒ
… ｒ 一
一
Ｕ ，＿ 广 ７ Ｕ ，
，
（ 或 ｆｉ ｘ ） 一ｇ （ ）） 在 一 ０处 可 导 ， ｇ （ ） 在 ｚ ： ０处 连 续 且 ｇ （ Ｏ ）≠ ， （ Ｏ ）（ 或 ， （ Ｏ ） ＋ｇ （ ０ ） ≠ ０） ， 则
．
厂 （ ｚ ）在 ｚ 一 ０处 可 导 ．
证 因为 ｆ ｉ ｘ ）・ ｇ（ ｚ ） 与ｆ ｉ ｘ ） ＋ｇ （ ）在 一 ０处 可导 ， 由导数 定 义 ， 可设
ｌ ｉ ｍ ｌ ｉ ｍ 兰
．
ｇ ！ 二 ！
Ｑ ： ， ，
（ １ ）
（ ２ ）
兰 二 ！ 墨 ２
Ｘ
ｚ — ・ ０
由ｇ （ ｚ ）的连续性 及 （ ２ ） 知
ｌ ｉ ｍ
（ １ ） ＋（ ３ ） ， 得
星 ） 二 ！ Ｑ 曼 ！ ： ｒ ｇ （ ｏ ） ］ 。
．
（ ３）
ｌ ｉ ｍ（ ［ ｇ （ ｚ ） ＋ｇ （ ｏ ） ］．
因为 ｌ ｉ ｍ［ ｇ （ ｘ） ＋ｇ （ Ｏ ） ］一 ２ ｇ（ Ｏ ） ≠ ０， 所以
）＝ ｒ ＋ｓ Ｅ ｇ （ ｏ ） ］ 。 ．
一 ０ Ｚ
故， （ ｚ ） 在 Ｘ＝ ０处 可微 ．
一
Ｕ
＋ 号 ｇ （ ０ ） ’
［ 摘 要 ］ 利 用 导 数 的 定 义 对 一 道 美 国大 学 生 数 学 竞 赛 题 做 出进 一 步 讨 论 ． ［ 关 键词］连续 ； 可 微 ；数 学 竞 赛
［ 中图分类号］Ｏ １ ７ ２
［ 文献标识码］Ｃ
［ 文章编号］１ ６ ７ ２ ～ １ ４ ５ ４ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ６ — ０ １ ５ ３ — ０ ２
１ ｉ ｍ
曼 兰 二 ！ 曼 Ｑ ２：
，
（ ４ ）
ｌ ｉ ｍ
［ 收 稿 日期 ］ ２ ０ １ ３ — ０ ３ — １ ５
±
二［
±曼 Ｑ ：“
．
（ ５ ）
ｌ ５ ４
由 于
大 学 数 学
第 ２ ９卷
［ ｇ （ ｚ ） 一ｆ （ ｏ ） Ｊ
（ 或 厂 （ ） －ｇ （ ｘ ） ） 在３ ２ —０处 可 导 ， ｇ （ ｚ ） 在 一０处 连 续 且 ｇ（ ０ ） ＋ ｆ（ Ｏ ） ≠０ （ 或 ｆ （ ｏ ） ≠ ｇ（ Ｏ ） ） ， 则 厂 （ ｚ） 在
一０处 可 导 ．
证 因为 ／ ‘ （ ） ／ ｇ （ ｘ ）与 厂 （ ） ＋ｇ （ ｚ ） 在 ３ ２ — ０处 可导 ， 由导数 定 义 ， 可设
第７ ２ 届（ ２ ０ １ １年 ） 美 国大学 生竞赛 的 Ｂ一 ３ 题［ １ ］ ： 设 实 函数 ，（ ｚ ）， ｇ （ ｚ ） 在 包含 ｚ一 ０的开 区间 内有定 义 ， ｇ （ ｚ ）在 ｚ一 ０处 连 续且 ｇ （ ｚ ）≠ ０。 若
， （ ｚ ） ｇ （ ｚ ）与 厂 （ ｚ ） ／ ｇ （ ｘ ）在 ． ２ ７ ＝ ＝ ＝ ０处可 微 ， 问 厂 （ ） 是 否在 Ｘ一 ０处 可微 ？ 问题 解 答如 下Ｌ １ ］ ： 设 ｒ ， ∈ ，由题设 可 知
Ｗ
ｍ
ｗ
二
从而 ｆ （ ｘ ） 在 ３ ５ — ０处 可 导 ．
用 一ｇ （ ） 代替 ｇ （ ）即可 证得 条件 厂 （ ｚ ）・ ｇ （ ｚ ）与 厂 （ ） 一ｇ （ ） 在 一 ０处 可导 的情形 ．
命题 ２ 设 函数 ｆ （ ｚ ） ， ｇ （ ｚ ） 在 包含 ｚ一０的开区 间 内有 定义 ， ｇ （ ） ≠０ ． 若 厂 （ ｚ ） ／ ｇ （ ｘ ） ， ／ 、 （ ） ＋ｇ （ ）