静电场习题课(2003)

R2
r
E E1 E2 O
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例 在面密度为0无限大带电平面的电场中, 平行放置一不带电的无限大金属平板. 求 金属板两面电荷面密度及场强分布 解 设金属板面电荷密度 1， 2 金属平板电荷守恒
0
1
2
1 2 0
E2
P
E1
E0
2 2
l
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u
pz 40 ( x y z )
2 2 2 3 2
E Ex i E y j Ez k
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u pz 3x p 3 xz Ex 5 x 40 ( x 2 y 2 z 2 ) 2 40 r 5 u p 3 yz P Ey x 5 r r r y 40 r 2 z u p 1 3z q 0q Ez ( 3 5 ) y l z 40 r r
点的距离为z，求P点的电势和OP方 向的电场强度分量。
（3）P点在通过线段端点A的垂直面 上，离该端点的距离为r，求P点的电 势及AP方向的电场强度分量。
解题思路:电势叠加、电势梯度
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解（1） du
1 dq 4π 0 ( z 2 r 2 )1 / 2
r 0 0 r
2 r rdr 2 0 4 0
rR
外部 u Edr
r
0
R
r
0 R2 R 2 R 2 R dr rdr ln r R R 2 0 r 2 0 4 0 2 0 r
讨论： 若以无穷远处为电势零点
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u 1 q EOP z 4π 0 z 2 a 2
（3）求P点的电势及AP方向的电场强 度分量。
q dz du 8π 0a ( z 2 r 2 )1 / 2
q dz q 2a r 4a u ln 2 2 1 / 2 8π 0 a 0 ( z r ) 8π 0 a r
+
+ + + + + + + + -
-
+
+ x
+
d
-
-
xcos
-
- -
d ds hRd Rd
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☆计算电场强度
(1)电场叠加原理
（补偿法）
(2)高斯定理（三种类型的带电体）
(3)电势分布电场强度 ☆计算电势 (1)电势叠加原理
电压
E * 2 0 r R1E * 1 2 0 r R1 R1 EE r R2 * R2 dr u Edr R1E R R1 1 r R2 * R1E ln R1E * ln 2.5 r R1
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E 2 0 r r
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x
q
P
r
r

q
r
y
0 l
z
ql cos u 2 4 0 r
p ql
将
x
y
2 3 2
P
z 代入 cos r
r
q 0q

r
r
z
u
pz 40 ( x y z )
u
r l 时, 有
l r r cos r r l cos 2 2 l r r r r r cos 2 q 1 1 q r r ql cos u 4 0 r r 4 0 r r 4 0 r 2
.
壳 B:根据高斯定律, 球壳内表面电量为: -q (均匀分布) 根据电荷守恒,球壳外表面电量为:Q +q (均匀分布)
结论:相当于在真空中的三个均匀带电的球面
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(2)电场分布
1 q E1 r ( R0 r R1 ) 3 40 r
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均匀分布，面密度为。试求：（1）圆盘 轴线上的电势分布；（2）求圆盘边缘上一 点A的电势；（3）比较A点和圆心O 处电势 的大小;(4)轴线上的电场分布。
解 (1)
dq 2π r dr
A
u du 2 0
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1 dq 1 2π rdr du 2 2 1/ 2 4π 0 ( r x ) 4π 0 ( r 2 x 2 )1 / 2 rdr 2 0 (r 2 x 2 )1 / 2
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如果能到达地球
距离 时间间隔
S
x 600
t 6000 0.998c
S
x' 0.998c 2 106 t' 2 106 S
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例 如图所示，球体半径为R，均匀带
电量 Q，细杆长 l，均匀带电量 q 。 求（1）系统的电势能。 （2）杆受的电场力。
r
dr
q
x
（3）当杆左端从球面运动到图示位置电场力所作的功
Q q dr dW udq 解（1） 4π 0 r l
W
x l
x
1 Qq qQ xl dr ln 4π 0 r l 4π 0l x
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Qq uB 40 R2
例 证明电偶极子任一点电场强度为 0 0 1 E p 3 p r r 3 40 r
由电势求电场强度 解：
q 1 1 u u 4 0 r r
E0 0 (r R0 )
-q
R2
B
A
R1
E2 0 ( R1 r R2 )
o
q R0 q
1 Qq E3 r ( R2 r ) 3 40 r
(无穷远为电势零点)
Q+q
(3)利用叠加原理 相当于在真空中的三个均匀带电的球面
q q Qq uA 40 R0 40 R1 40 R2
例 金属球A与金属球壳B同心放置. 已知：球 A 半径为 R0带电为 q , 金属壳 B 内外半径分别为
-q
R2
B
Q
A
R1
R1 和 R2,带电为 Q .
求:(1)电量分布 (2)电场分布 (3)球A和壳B的电势 解：(1)电量分布:
o
q R0 q
Q+q
球 A:根据对称性,电量均匀分布在球面上,电量为q
（补偿法）
(2)电场强度分布电势
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☆电势与电场强度的积分关系
(0) Wa ua E dl a q0
☆电势与电场强度的微分关系
u u u E ( i j k) x y z
q dz 8π 0 a ( z 2 r 2 )1 / 2 2 2 a q dz q a a r u ln( ) 2 2 1/ 2 a 8π 0 a (z r ) 4π 0 a r
q 1 u q a a2 r2 EOP (ln ) 4π 0 r (a 2 r 2 )1/ 2 r 4π 0 a r r
Φe ES q / 0 0 0 S 左侧 q ( 0 )S 2 2 0 E 2 0 0 0 中间 q S E 2 0 2
右侧
0

0
2
0
2
q
0
2
S
0 E 2 0
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2π E z dEz sin cos d d 0 4 0 π E Ez E k 4 0 4 0
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例 半径为 R 的均匀带电半球面其面电荷密度为 ，求该半球 面球心处的电场强度和电势。 解 电势 求电场强度
Q R u 4 π 0 R 2 0
ds R sin dd
2
dq ds
dEz Байду номын сангаас dq 4π 0 R
π 2 0
2
cos
d d

E
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1 40 r
0 0 p 3 p r r 3
讨论：
m
求相互作用力？
r M
引力场场强？
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例5 长为2a的直线段上均匀地分布着
电量为q的电荷。
（1）P点在线段的垂直平分面上，离 线段的中点O的距离为r，求P点的电 势和OP方向上的电场强度分量。 （2）P点在线段的延长线上，离O
E u
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例 半径为R 的“无限长”圆柱体内均带电，电荷体密度为 。 试求它所产生的电场和电势. 解 场强分布
r E (r R) 内部 2 0
R2 外部 E (r R) 2 0 r
R
电势分布 ( 取轴线为零电势点 ) 内部 u Edr
外部 u
r

R2 dr 2 0 r
例 一单芯同轴电缆的中心为一半径为R1的金属导线，外层一金 属层。其中充有相对介电常数为r 的固体介质，当给电缆加 一电压后，R2 = 2.5R1 ，若介质最 E1
大安全电势梯度为E 。
求 电缆能承受的最大电压？
E2
R1
解
介质中的高斯定理
最大场强 E
导体内P点场强为0 E0 E1 E2 0
0 1 2 0 2 0 2 0 2 0
1 0 / 2 2 0 / 2
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例 在面密度为0无限大带电平面的电场中, 平行放置一不带电的无限大金属平板. 求 金属板两面电荷面密度及场强分布 解
qQ 1 1 qQ 1 W （2） F ( ) 4π 0l x x l 4π 0 x( x l ) x
（3） A W1 W2
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qQ Rl xl qQ (R l)x (ln ln ) ln 4π 0l R x 4π 0l ( x l ) R
（2）求P点的电势和OP方向的电场强度分量。
q dl 1 dq du 4π 0 z l 8π 0a z l a dl q q za u ln 8π 0a a z l 8π 0a z a
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2a 2
2
E AP
u q 2a r 2 4 a 2 (ln ) r 8π 0 a r r
1 q 2 2 1/ 2 4π 0 r ( r 4a )
讨论:
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例 半径为R的薄圆盘带正电，电荷在其上