二维离散型随机变量的条件分布

•设是二维连续型随机变量，因为对任意的有，所以不能直接用条件概率公式得到条件分布。下面我们用极限的方法导出条件分布函数。

),(Y X y x ,0}{==x X P 0}{==y Y P 二维连续型随机变量的条件分布

例2已知( X, Y ) 的联合p.d.f.为⎩⎨

⎧<<<<=其他,

01

0,10,4),(1y x xy y x f (1)⎩⎨

⎧<<<<=其他,

01

0,0,8),(2y y x xy y x f (2)

讨论X ,Y 是否独立？

方法将与Y 有关的事件转化成X 的事件

求随机因变量Y = g ( X )的密度函数

或分布律

)(y f Y 问题已知r.v.X 的p.d.f.)(x f X 或分布律.随机变量的函数的分布

也是一个随机变量．

则Y ()

x g y Y x X =取值时，取值当

设r.v. X 的分布律为

,2,1,

)(===k p x X P k k 由已知函数g ( x )可求出r.v. Y 的所有可能取值，则Y 的概率分布为

,2,1,

)()(:==

=∑

=i p y Y P i

k y x g k k i 离散型r.v.的函数的分布

等价的X 的不等式.

这样做是为了利用已知的X 的分布，从而求

出相应Y的概率。

从上述例中可以看到，键的一步是设法从{}

y X g ≤)(中解出X ,从而得到与}y X g ≤)(在求P (Y ≤y ) 的过程中，

随机变量函数分布——小结

很多重要的分布，往往都是通过研究函数的

二、连续型随机变量和的分布

定理

设(X ,Y )概率密度为 f (x ,y ),则随机变量

Z=X+Y 的概率密度为

()()()()Z Z f z f z y y dy f z f x z x dx

+∞

-∞+∞

-∞

=-=

-⎰⎰

，，

,,X Y 特别如果随机变量与相互独立则有

()()()

,X Y f x y f x f y =()()()Z X Y f z f x f z x dx +∞

-∞⇒=-⎰

()()()Z X Y f z f z y f y dy

+∞

-∞

=

-⎰

例1解)

1,0(,服从区间相互独立与设随机变量X Y X 由题意，可知

()⎩⎨

⎧<<=其它0

1

01x x f X ()⎩⎨

⎧≤>=-0

0y y e

y f y

Y ()，则有

的密度函数为设随机变量z f Y X Z Z +=()()()+∞

-=

dx

x z f x f

z f

，

令的指数分布服从上的均匀分布Y X Z Y +==,1,λ的概率密度。

求随机变量Z

max(,)M X Y =(二)，min(,)N X Y =的分布

)(,)(y F x F Y X }{)(z M P z F M ≤=,X Y 设相互独立，分布函数分别为的分布函数分别为：

则N M ,}

),{max(z Y X P ≤=},{z Y z X P ≤≤=}

{}{z Y P z X P ≤≤=)

()(z F z F Y X =

}{)(z N P z F N ≤=},{1z Y z X P >>-=}{}{1z Y P z X P >>-=}

{1z N P >-=}

),{min(1z Y X P >-=})

{1})({1(1z Y P z X P ≤-≤--=)]

(1[)](1[1z F z F Y X ---=的分布。

),min(Y X N =