高一数学必修一知识+典型习题整理

第一章集合

一、集合有关概念

1. 集合的中元素的三个特性：

(1) 元素的确定性•如：世界上最高的山

(2) 元素的互异性•如：由HAPPY的字母组成的集合H,A, P,丫

⑶元素的无序性•如：a,b,c和a,c,b是表示同一个集合

2. 常用数集的表示：

非负整数集(自然数集)：N ;正整数集N或N ;整数集：Z ;有理数集：Q 实数集：R

3. 集合的分类：

(1) 有限集：含有有限个元素的集合

(2) 无限集：含有无限个元素的集合

⑶空集：不含任何元素的集合，记作：.例：x|x25

二、集合间的基本关系

1. “包含”关系一一子集

注意：A B有两种可能：① A是B的一部分；② A与B是同一集合.

反之：集合A不包含于集合B ,或集合B不包含集合A，记作A B或B A

2•“相等”关系：A B ( A B且B A)

实例：设A x | x2 1 0 , B 1, 1 “兀素相同则两集合相等”

3.集合的性质：

①任何一个集合是它本身的子集即A A.

C

②真子集：如果A B,且A B那就说集合A是集合B的真子集，记作A芒B或(B A)

③如果A B, B C ,那么A C .

④如果A B同时B A那么A B .

4.子集个数问题

规定：空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集

1个真子集.

有n个元素的集合，含有2n个子集，2n

四、典型例题：

1.下列四组对象，能构成集合的是( )

A某班所有高个子的学生B著名的艺术家C一切很大的书D倒数等于它自身的实数

2. 集合a,b,c的真子集共有_______ 个

3. 若集合M y | y x2 2x 1, x R , N x| x 0 ,则M与N的关系是.

4. 设集合A x|1 x 2，A x|x a，若A B，则a的取值范围是_—

5. 已知集合A x | x22x 8 0 , B x | x25x 6 0 , C x | x2mx m219 0 ,若B C

，求m的值.

第二章函数

、函数的相关概念

1 函数的对应形式：一对一、多对一.

2 •定义域：能使函数式—X的集合称为函数的定义域.

常见定义域类型：①分母0;②偶次方根的被开方数0 ;对数式的真数N 0 ；④指

数、对数式的底a 0且a 1 :⑤x0中x 0. 相同函数的判断方法：

①表达式相同(与表示自变量和函数值的字母无关) ；

②定义域一致(两点必须同时具备)

3. 值域：先考虑其定义域

(1)观察法

⑵配方法

(3) 代换法

4. 函数图象变换规律：

①平移变换：左________ ;

②翻折变换： f (x) _______ 去左留右、右翻左f(x)

f (x)________ 去下留上、下翻上I f (x)

二、函数的性质

I. 函数的单调性(局部性质)

I•增函数：x1, x2 D 且％x2，都有f(xj f (x2)

减函数：x1, x2D且x x2，都有f(xj f (x2)

II. 图象的特点

增函数：图象从左到右是上升的；

减函数：图象从左到右是下降的.

III. 函数单调区间与单调性的判定方法

A.定义法：(证明步骤：取值、作差、变形、定号、下结论)

B .图象法：从图象上看升降

C .复合函数的单调性规律：“同增异减”

2•函数的奇偶性(整体性质)

I. 用定义判断函数奇偶性的步骤：

①首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称；

0确定f (x)与f ( x)的关系；

◎作出相应结论：若为奇函数，则有f( x) f (x)或f (x) f( x) 0 ；

若为偶函数，则有f( x) f (x)或f (x) f( x) 0

II. 函数图象的特征

奇函数：图象关于原点对称；

偶函数：图象关于y轴对称.

3.函数解析式

主要方法有：①凑配法；②待定系数法；③换元法；④消参法

三、典型习题：

1. 已知函数f(x)满足2f(x) f( x) 3x 4,贝U f (x) = ________ . _____

2. 设函数f (x)的定义域为［0, 1］，则函数f (x2)的定义域为_________________ ；

若函数f(x 1)的定义域为［2, 3］，则函数f(2x 1)的定义域是

3. 设f(M是R上的奇函数，且当x ［0,)时，f(x) x(1 3 x),则当x ( ,0)时f(x)= __________________ f(x)在R上的解析式为____________________________

8. 求下列函数的单调区间： ⑴ y

―2x~3

（ 2） y x 2 6 x 1

2

9. 设函数 仁口 匚二判断它的奇偶性并且求证：

f

（1） f （x ）.

1 x 2

第三章基本初等函数

「、指数函数

（一）指数与指数幕的运算

1 •根式的概念： 一般地，如果x n a ，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1,且n € N • 负数没有偶次方根；0的任何次方根都是 0，记作n 0 0.

n

a n

a (n 为奇数)；n

a n

|a|

a (a

0)

（n 为偶数） a (a

0)

2 •分数指数幕

正数的分数指数幕的意义，规定：

m

a n va m

(a 0, m,n N *, n 1), a

m

齐

1

n 1 *

——(a 0,m,n N ,n 1) m

a n

a

0的正分数指数幕等于 0, 0的负分数指数幕没有意义 3•实数指数幕的运算性质

r

r

r s

r s

rs

r

r s

① a r • a r a r s ；②（

a ）

a ；③（a

b ） a a

（二）指数函数及其性质 1. 指数函数：形如 y a x （a 0,且a 1）叫做指数函数

2. 指数函数的图象和性质

x 2(x

4.函数

2

f (x) x ( 1 x 2x(x 2)

5.求下列函数的定义域： 1)

2)

-H-

，若 f(x) 3，则 x =

⑴ x 2 2x 15

⑴y

⑵ y 、1(

x 1)2

6.求下列函数的值域： （1） y x 2 2x 3

4x 5

7.已知函数f (x 1)

x 2 4x ,求函数f （x>, f （2x 1）的解析式.