中考数学复习二次函数专项易错题附答案

，
2
∴ N（1 1 t ， ）， 2
∴ MN
，
∴
，
∴ 当 t＝２时，△ AＭC 面积的最大值为 1．
（3）①如图１，当点Ｈ在Ｎ点上方时，
∵ Ｎ（1 1 t ， 2
），P（1 1 t ，４）， 2
∴ PＮ＝４—（ ）＝ ＝CQ，
又∵ PN∥ CQ，
∴ 四边形 PNCQ 为平行四边形，
∴ 当 PQ＝CQ 时，四边形 FECQ 为菱形，
∴ p 1 t2 2 t 2, PQ p，BQ 2 2 t,OQ t 22
∴
S
S
AOC
S梯形OCPQ S
PQB
1 2
22 1 2 pt 1 2
2
2
2t p
2 t 1 pt 2 p 1 pt 2 p t 2
2
2
2
1 2
t
2
Hale Waihona Puke 2 2t2
t
2
2 t
2
2 4 2(0 t 2 2) ，
①当 AP 和 HG 为对角线时，
∴ 1 2
2
2
1 2
m
∴ 1=1×（2-a），
∴ a=1，
∴ CE=2，
∴ OF=OE+EF=2
∴ F、P 的纵坐标为-2，
把 y=-2，代入抛物线的函数表达式为 y=x2-2x-3 得：x=1+ 2 或 1- 2
∵ 点 P 在第三象限．
∴ P1（1- 2 ，-2），
当 CD 为斜边时，DE⊥CE， ∴ OE=2，CE=1， ∴ OF=2.5，
4）．以 A 为顶点的抛物线 y＝ax2＋bx＋c 过点 C．动点 P 从点 A 出发，以每秒 1 个单位的 2
速度沿线段 AD 向点 D 运动，运动时间为 t 秒．过点 P 作 PE⊥x 轴交抛物线于点 M，交 AC 于点 N．
（1）直接写出点 A 的坐标，并求出抛物线的解析式； （2）当 t 为何值时，△ ACM 的面积最大？最大值为多少？ （3）点 Q 从点 C 出发，以每秒 1 个单位的速度沿线段 CD 向点 D 运动，当 t 为何值时，在 线段 PE 上存在点 H，使以 C、Q、N、H 为顶点的四边形为菱形？ 【答案】（1）A（1，4）；y＝－x2＋2x＋3；（2）当 t＝２时，△ AＭC 面积的最大值为
【答案】（Ⅰ） A( 2, 0), B(2 2, 0) ；（Ⅱ） S 2 (t 2)2 4 2(0 t 2 2) , 2
当t
2 时， S最大 4
2 ；（Ⅲ）满足条件的点 m、n的值为： m
2 , n 3 ，或 24
m 5 2 , n 15 ，或 m 3 2 , n 1
y=60﹣ x 10
（2）p=（200+x）（60﹣ x ）=﹣ 1 x2 +40x+12000 10 10
（3）w=（200+x）（60﹣ x ）﹣20×（60﹣ x ）
10
10
=﹣ 1 x2 +42x+10800 10
=﹣ 1 （x﹣210）2+15210 10
当 x=210 时，w 有最大值．
∴ P 和 F 的纵坐标为：- 5 ， 2
把 y=- 5 ，代入抛物线的函数表达式为 y=x2-2x-3 得：x=1- 6 ，或 1+ 6 ，
2
2
2
∵ 点 P 在第三象限．
∴ P2（1- 6 ，- 5 ）． 22
综上所述：满足条件为 P1（1- 2 ，-2），P2（1- 6 ，- 5 ）． 22
【点睛】
【答案】（1）y=60- x ；（2）z=- 1 x2+40x+12000；（3）w=- 1 x2+42x+10800，当每个房
10
10
10
间的定价为每天 410 元时，w 有最大值，且最大值是 15210 元．
【解析】
试题分析：（1）根据题意可得房间每天的入住量=60 个房间﹣每个房间每天的定价增加的
间，宾馆需对每个房间每天支出 20 元的各种费用．
设每个房间每天的定价增加 x 元．求：
（1）房间每天的入住量 y（间）关于 x（元）的函数关系式；
（2）该宾馆每天的房间收费 p（元）关于 x（元）的函数关系式；
（3）该宾馆客房部每天的利润 w（元）关于 x（元）的函数关系式；当每个房间的定价为
每天多少元时，w 有最大值？最大值是多少？
PQ2＝PD2+DQ2 ＝
，
∴
，
整理，得 t2 40t 80 0 ．解得 t1 20 8 5 ， t2 20 8 5 （舍去）；
②如图２当点Ｈ在Ｎ点下方时，
NH=CQ= ，NQ＝CQ 时，四边形 NHCQ 为菱形，
NQ2＝CQ2，得：
．
整理，得13t 2
72t
800
0
．
13t
20t
40
0
（Ⅰ）求 A，B 两点坐标. （Ⅱ）连结 AC ，若点 P 在第一象限的抛物线上，P 的横坐标为 t，四边形 ABPC 的面积
为 S.试用含 t 的式子表示 S，并求 t 为何值时，S 最大.
（Ⅲ）在（Ⅱ）的基础上，若点 G, H 分别为抛物线及其对称轴上的点，点 G 的横坐标为 m，点 H 的纵坐标为 n，且使得以 A,G, H , P 四点构成的四边形为平行四边形，求满足条 件的 m, n 的值.
．所以
t1
20 13
，
（舍去）．
“点睛”此题主要考查二次函数的综合问题，会用顶点式求抛物线，会用两点法求直线解析 式，会设点并表示三角形的面积，熟悉矩形和菱形的性质是解题的关键.
4．如图，抛物线 y 1 x2 2 x 2 与 x 轴相交于 A，B 两点，（点 A 在 B 点左侧）与 22
y 轴交于点 C.
所以当 PQ＝CQ 时，四边形 FECQ 为菱形，据此得到
，解得 t 值；
②当点Ｈ在Ｎ点下方时，NH=CQ= ，NQ＝CQ 时，四边形 NHCQ 为菱形，NQ2＝CQ2，得：
，解得 t 值．
解：（1）由矩形的性质可得点 A（1，4）， ∵ 抛物线的顶点为 A， 设抛物线的解析式为 y＝a（x－1）2＋4， 代入点 C（3, 0），可得 a＝－1．
此时，x+200=410，就是说，当每个房间的定价为每天 410 元时，w 有最大值，且最大值是
15210 元．
点睛：求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方
法，第三种是公式法．本题主要考查的是二次函数的应用，难度一般．
3．如图，在平面直角坐标系中，已知矩形 ABCD 的三个顶点 B（1, 0）、C（3, 0）、D（3,
∴ y＝－（x－1）2＋4＝－x2＋2x＋3．
（2）∵ P（1 1 t ，４）， 2
将 x 1 1 t 代入抛物线的解析式，y＝－（x－1）2＋4＝ 4 1 t 2 ，
2
4
∴ M（1 1 t ， 4 1 t2 ），
2
4
设直线 AC 的解析式为
，
将 A（１,４），C（３,０）代入
，得：
，
将 x 1 1 t 代入得
∴ A（-1，0），B（3，0）
设过点 B（3，0）、C（0，-3）的直线的函数表达式为 y=kx+m，
则
0＝3k 3＝m
m
，
k＝1 ∴ m＝ 3
∴ 直线 BC 的函数表达式为 y=x-3；
（3）①∵ AB=4，PQ= 3 AB， 4
∴ PQ=3 ∵ PQ⊥y 轴
∴ PQ∥ x 轴，
则由抛物线的对称性可得 PM= 3 ， 2
（1）∵ 抛物线的对称轴为直线 x=1，
∴ − b ＝ b ＝1 2a 21
∴ b=-2 ∵ 抛物线与 y 轴交于点 C（0，-3）， ∴ c=-3， ∴ 抛物线的函数表达式为 y=x2-2x-3； （2）∵ 抛物线与 x 轴交于 A、B 两点， 当 y=0 时，x2-2x-3=0．
∴ x1=-1，x2=3． ∵ A 点在 B 点左侧，
本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有抛物线的顶点公式和三角形的面积求 法．在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．
2．某宾馆客房部有 60 个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天 200 元时，房间可以
住满．当每个房间每天的定价每增加 10 元时，就会有一个房间空闲．对有游客入住的房
1；（3） 20 8 5 或 20 ． 13
【解析】 （1）由矩形的性质得到点 A 的坐标，由抛物线的顶点为 A，设抛物线的解析式为 y＝a（x －1）2＋4，把点 C 的坐标代入即可求得 a 的值； （2）由点 P 的坐标以及抛物线解析式得到点 M 的坐标，由 A、C 的坐标得到直线 AC 的解 析式，进而得到点 N 的坐标，即可用关于 t 的式子表示 MN，然后根据△ ACM 的面积是 △ AMN 和△ CMN 的面积和列出用 t 表示的△ ACM 的面积，利用二次函数的性质即可得到 当 t＝２时，△ AＭC 面积的最大值为 1； （3）①当点Ｈ在Ｎ点上方时，由 PＮ＝CQ，PN∥ CQ，得到四边形 PNCQ 为平行四边形，
过点 D 作 DG⊥CE 于点 G，
∴ DG=1，CG=1，
∴ GE=CE-CG= 5 -1= 3 ． 22
在 Rt△ EGD 中，tan∠ CED= GD ＝ 2 ． EG 3
②P1（1-
2 ，-2），P2（1-
6 ，- 5 ）． 22
设 OE=a，则 GE=2-a，
当 CE 为斜边时，则 DG2=CG•GE，即 1=（OC-OG）•（2-a），
钱数÷10；
（2）已知每天定价增加为 x 元，则每天要（200+x）元．则宾馆每天的房间收费=每天的实
际定价×房间每天的入住量；
（3）支出费用为 20×（60﹣ x ），则利润 w=（200+x）（60﹣ x ）﹣20×（60﹣ x ），
10
10
10
利用配方法化简可求最大值．
试题解析：解：（1）由题意得：
2
4
2
4
【解析】
【分析】
（Ⅰ）令 y=0，建立方程求解即可得出结论；
（Ⅱ）设出点 P 的坐标，利用 S=S△ AOC+S 梯形 OCPQ+S△ PQB，即可得出结论； （Ⅲ）分三种情况，利用平行四边形的性质对角线互相平分和中点坐标公式建立方程组即
可得出结论．
【详解】
解：（Ⅰ）抛物线 y 1 x2 2 x 2 ， 22
一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．如图，已知抛物线 y=x2＋bx＋c 与 x 轴交于 A、B 两点（A 点在 B 点左侧），与 y 轴交于 点 C（0，－3），对称轴是直线 x=1，直线 BC 与抛物线的对称轴交于点 D． （1）求抛物线的函数表达式； （2）求直线 BC 的函数表达式； （3）点 E 为 y 轴上一动点，CE 的垂直平分线交 CE 于点 F，交抛物线于 P、Q 两点，且点 P 在第三象限．
6 ， 7 ）． 24
【解析】
【分析】
已知 C 点的坐标，即知道 OC 的长，可在直角三角形 BOC 中根据∠ BCO 的正切值求出 OB 的长，即可得出 B 点的坐标．已知了△ AOC 和△ BOC 的面积比，由于两三角形的高相等， 因此面积比就是 AO 与 OB 的比．由此可求出 OA 的长，也就求出了 A 点的坐标，然后根据 A、B、C 三点的坐标即可用待定系数法求出抛物线的解析式． 【详解】
∵ 对称轴是直线 x=1，
∴ P 到 y 轴的距离是 1 ， 2
∴ 点 P 的横坐标为− 1 ， 2
∴ P（− 1 ，− 7 ） 24
∴ F（0，− 7 ）， 4
∴ FC=3-OF=3- 7 = 5 44
∵ PQ 垂直平分 CE 于点 F，
∴ CE=2FC= 5 2
∵ 点 D 在直线 BC 上，
∴ 当 x=1 时，y=-2，则 D（1，-2），
①当线段 PQ= 3 AB 时，求 tan∠ CED 的值； 4
②当以点 C、D、E 为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点 P 的坐标．
【答案】（1）抛物线的函数表达式为 y=x2－2x－3．（2）直线 BC 的函数表达式为 y=x－
3．（3）① 2 ．①P1（1－ 3
2 ，－2），P2（1－
2
∴ 当 t 2 时， S最大 4 2 ；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知， t 2 ，
∴ P 2, 2 ，
∵ 抛物线 y 1 x2 2 x 2 的对称轴为 x 2 ，
22
2
∴
设
G
m,
1 2
m2
2 2
m
2 ,
H
2 2
,
n
以 A,G, H , P 四点构成的四边形为平行四边形， A 2, 0 ，
令 y 0，则 1 x2 2 x 2 0 ， 22
解得： x 2 或 x 2 2 ，
∴ A 2,0 , B 2 2,0
（Ⅱ）由抛物线 y 1 x2 2 x 2 ，令 x 0 ，∴ y 2 ，∴ C 0, 2 ，
22 如图 1，点 P 作 PQ x 轴于 Q，
∵ P 的横坐标为 t，∴ 设 Pt, p ，