【新高考数学】导数的概念及计算导数的概念及计算(含答案)

【新高考数学】导数的概念及计算
【套路秘籍】
一.函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数
(1)定义：称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率0
lim x ∆→ f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx ＝ 0
lim x ∆→ Δy
Δx 为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，
即f ′(x 0)＝0
lim x ∆→Δy
Δx ＝0
lim
x ∆→f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx . (2)几何意义：函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率.相应地，切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0). 二.函数y ＝f (x )的导函数
如果函数y ＝f (x )在开区间(a ，b )内的每一点处都有导数，其导数值在(a ，b )内构成一个新函数，函3.基本初等函数的导数公式
三.导数的运算法则 若f ′(x )，g ′(x )存在，则有： (1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；
(3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）g （x ）′＝
f ′（x ）
g （x ）－f （x ）g ′（x ）
[g （x ）]2(g (x )≠0). 四.复合函数的导数
复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′. 数f ′(x )＝0
lim x ∆→ f （x ＋Δx ）－f （x ）Δx 称为函数y ＝f (x )在开区间内的导函数. 【套路修炼】
考向一 导数的概念
【例1】设)(x f 是可导函数，且3)
2()(lim 000
=∆∆+-∆-→∆x
x x f x x f x ，则=')(0x f 。

【举一反三】
1. 设函数y =f(x)可导，则lim △x→0
f(1+3△x)−f(1)
△x
等于 。

2．若lim
Δx→0
f (x 0+3Δx )−f (x 0)
Δx
=1，则f ′(x 0)= 。

考向二 利用公式及运算法则求导
【例2】求下列函数的导数
2
311
(1)()y x x x x
=++ （2）
（3） ()2
3
4(21)
x y x =+ (5)sin2x y e x -=
【举一反三】
1．下列求导运算正确的是（ ）
A ．(3x )′=x •3x−1
B ．(2e x )′=2e x （其中e 为自然对数的底数）
)11)(1(-+=x x y 2cos 2sin x x x y -=
C ．(x 2+1
x )′=2x +
1x 2
D ．(
x cosx
)′=cosx−xsinx cos 2x
2．求下列函数的导数： （1）y =√x 5+√x 7+√x 9
√x
； （2）y =x ⋅tanx (3)y ＝x n lg x ；(4)y ＝1x +2x 2+1
x 3；
考向三 复合函数求导
【例3】求下列函数导数
（1）y ＝sin(2x ＋1) ()(2)cos2f x x x =⋅ （3）()cos ln y x =
【举一反三】求下列函数的导数： （1）y =
（2）sin()
e
ax b y +=；
（3）2
(π
sin 2)3
y x =+
； （4）2()5log 21y x =+.
考向四 利用导数求值
【例4】（1）f (x )＝x (2 019＋ln x )，若f ′(x 0)＝2 020，则x 0＝ .
（2）下面四个图象中，有一个是函数f (x )＝1
3x 3＋ax 2＋(a 2－1)·x ＋1(a ∈R)的导函数y ＝f ′(x )的图象，则f (－1)＝ 。

【举一反三】
1.已知y ＝f (x )是可导函数．如图，直线y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝ 。

2．若f (x )＝x 2＋2x ·f ′(1)，则f ′(0)＝ .
3. 已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()()2e ln f x xf x +'=（其中e 为自然对数的底数），则
()e f '= 。

【套路运用】
1. 若函数()()3
'
2
125f x x f x x =-+-，则'(2)f = 。

2.已知f(x)＝
12
x 2
＋2xf′(2014)＋2014lnx ，则f′(2014)＝ 。

3．已知函数f (x )＝ln x －f ′ (1
2)x 2＋3x －4，则f ′(1)＝________． 4.已知函数x a
x f ππ
sin )(-
=，且2)
1()1(lim
=-+→h
f h f h ，则a = 。

5．设f(x)存在导函数且满足lim
Δx→0
f(1)−f(1−2Δx)
2Δx
=−1，则曲线y =f(x)上的点(1,f(1))处的切线的斜率为 。

6.已知函数f(x)=(x 3−2x)e x ，则lim Δx→0
f(1+Δx)−f(1)
Δx
的值为 。

7．给出下列结论：
①(cos x)′＝sin x ；②(sin π3)′
=cos π3
；③若y ＝1x 2，则y ′=−1x ；④(√
x )′
=2x √
x . 其中正确的个数是 。

8．函数32e x y x -=+
，则导数y '= 。

9．若f ′(x 0)=2，则lim
Δx→0
f(x 0+Δx)−f(x 0)
2Δx
＝________.
10．lim
Δx→0
cos(π6
+Δx)−cos
π6
Δx
的值为______________.
11．已知lim
Δx→0
f(x 0+3Δx)−f(x 0)
2Δx
=3，则x 0处的切线斜率是_______________.
12．给出下列结论：①若y =1
x 3，则y′=−3
x 4；②若y =√x 3，则y′=1
3√x 3
；③若y =1
x 2，则y′=−2x 3④若f(x)=3x ，则f′(1)=3，其中正确的个数是________________．
第十一讲 导数的概念及计算
【套路秘籍】
一.函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数
(1)定义：称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率0
lim x ∆→
f （x 0＋Δx ）－f （x 0）
Δx
＝ 0
lim x ∆→ Δy
Δx 为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，
即f ′(x 0)＝0
lim x ∆→Δy
Δx ＝0
lim
x ∆→f （x 0＋Δx ）－f （x 0）
Δx . (2)几何意义：函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率.相应地，切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0). 二.函数y ＝f (x )的导函数
如果函数y ＝f (x )在开区间(a ，b )内的每一点处都有导数，其导数值在(a ，b )内构成一个新函数，函3.基本初等函数的导数公式
三.导数的运算法则 若f ′(x )，g ′(x )存在，则有：
(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；
(3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）g （x ）′＝
f ′（x ）
g （x ）－f （x ）g ′（x ）
[g （x ）]2(g (x )≠0). 四.复合函数的导数
复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′. 数f ′(x )＝0
lim x ∆→
f （x ＋Δx ）－f （x ）
Δx
称为函数y ＝f (x )在开区间内的导函数. 【套路修炼】
考向一 导数的概念
【例1】设)(x f 是可导函数，且3)
2()(lim 000
=∆∆+-∆-→∆x
x x f x x f x ，则=')(0x f 。

【答案】-1 【解析】由题意000000Δ0Δ0(Δ)(2Δ)(Δ)()[(2Δ)()]
lim
lim ΔΔx x f x x f x x f x x f x f x x f x x x
→→--+---+-=
0000Δ0Δ0(Δ)()(2Δ)()lim lim ΔΔx x f x x f x f x x f x x x
→→--+-=- 0000Δ0Δ0(Δ)()(2Δ)()
lim 2lim Δ2Δx x f x x f x f x x f x x x →→--+-=---
000'()2'()3'()f x f x f x =--=-=3，所以0'()f x 1=-．
【举一反三】
2. 设函数y =f(x)可导，则lim △x→0
f(1+3△x)−f(1)
△x
等于 。

【答案】1
3f′(1)
【解析】∵函数y=f （x ）可导，根据导数的定义f′(1)=lim △x→0
f(x+△x)−f(x)
△x
可知1
3lim
△x→0
f(1+3△x)−f(1)3△x =1
3f′(1)。

2．若lim
Δx→0
f (x 0+3Δx )−f (x 0)
Δx
=1，则f ′(x 0)= 。

【答案】1
3 【解析】由题得lim Δx→0
f (x 0+3Δx )−f (x 0)
Δx
=1，所以3lim
Δx→0
f (x 0+3Δx )−f (x 0)
3Δx
=1，所以3f ′(x 0)=1，所以f ′(x 0)=1
3
.
考向二 利用公式及运算法则求导
【例2】求下列函数的导数
2311
(1)()y x x x x
=+
+ （2） （3） ()23
4(21)
x y x =+ (5)sin2x
y e x -= 【答案】见解析
【解析】（1）, （2）先化简,，
（3）先使用三角公式进行化简.
3222
64
2(21)3(21)222(4)'(21)(21)x x x x x x y x x ⋅+-⋅+⋅-==++；
()()5'sin22cos22cos2sin2x x x y e x e x e x x ---=-+=-.
【举一反三】
1．下列求导运算正确的是（ ）
A ．(3x )′=x •3x−1
B ．(2e x )′=2e x （其中e 为自然对数的底数）
C ．(x 2+1
x )′=2x +1
x D ．(x cosx
)′=cosx−xsinx cos 2x
【答案】B
)11)(
1(-+=x x y 2cos 2sin x x x y -=23
11x x y +
+= .233
2
'x x y -=∴2
12
1
111-
+-=-+
-⋅
=x
x x
x x
x y ∴.1121212123
21'
⎪⎭
⎫
⎝⎛+-=--=--x x x x y x x x x x y sin 2
1
2cos 2sin
-=-=.cos 211)(sin 21sin 21'''
'x x x x x y -=-=⎪⎭
⎫
⎝⎛-=∴
【解析】分析：运算导数的加减乘除的运算法则进行计算．
详解：(3x )′=3x ln3，(2e x )′=2(e x )′=2e x ，(x 2+1
x )′=2x −1
x 2，(x
cosx )′=cosx+xsinx cos 2x
，因此只有B 正确．故
选B ．
2．求下列函数的导数： （1）y =
√x 5+√x 7+√x 9
√x
； （2）y =x ⋅tanx (3)y ＝x n lg x ；(4)y ＝1x +2x 2+1
x 3；
【答案】见解析 【解析】（1）因为y =
√x 5+√x 7+√x 9
√x =x 2+x 3+x 4，所以y ′=2x +3x 2+4x 3.
（2）y ′=(x ⋅tanx )′=(xsinx cosx
)′
=(xsinx )′cosx−xsinx (cosx )′
cos 2x
=
(sinx+xcosx )cosx+xsin 2x
cos 2x
=
sinxcosx+x cos 2x。

(3)y′＝nx n －1lg x ＋x n ·＝x n －1(nlg x ＋)．
(4)y′＝′＋
′＋
′＝(x －1)′＋(2x －2)′＋(x －3)′＝－x －2－4x －3－3x －4＝－－－.
考向三 复合函数求导
【例3】求下列函数导数
（1）y ＝sin(2x ＋1) ()(2)cos2f x x x =⋅ （3）()cos ln y x = 【答案】（1）2cos(2x ＋1) （2）cos22sin2x x x -
【解析】（1）y ＝sin(2x ＋1)是由函数y ＝sin μ和μ＝2x ＋1复合而成的，所以y ′x ＝y ′μ·μ′x ＝cos μ·(2x ＋1)′＝2cos μ＝2cos(2x ＋1)．
（2）()()()()()()()(),f x g x h x f x g x h x g x h x ==+''' ()cos22sin2f x x x x -'= （3）()()
()()'
sin ln 1
cos ln sin ln x y x x x x
⎡⎤==-⋅=-
⎣'⎦
【举一反三】求下列函数的导数： （1）y =
（2）sin()
e
ax b y +=；
（3）2
(π
sin 2)3
y x =+
； （4）2()5log 21y x =+. 【解析】（1）设12
y u
-=，212u x =-，
则1
333
2
222
222
11()(12)()(4)(12)(4)2(12)22
x y u
x u x x x x x ----'''=-=--=---=-. （2）设e u
y =，sin u v =，v ax b =+，
则sin()
e cos cos()e
u ax b x u v x y y u v v a a ax b +''''=⋅⋅=⋅⋅=+⋅. （3）设2
y u =，sin u v =，π
23
v x =+
， 则2π2cos 24sin cos 2sin 22sin(4)3
x u v x y y u v u v v v v x ''''=⋅⋅=⋅⋅===+
. （4）设25log y u =，21u x =+，
则21010
5(log )(21)ln 2(21)ln 2
x y u x u x '''=+=
=+.
考向四 利用导数求值
【例4】（1）f (x )＝x (2 019＋ln x )，若f ′(x 0)＝2 020，则x 0＝ .
（2）下面四个图象中，有一个是函数f (x )＝1
3x 3＋ax 2＋(a 2－1)·x ＋1(a ∈R)的导函数y ＝f ′(x )的图象，则f (－1)＝ 。

【答案】（1）1 （2）－13或5
3
【解析】（1）f ′(x )＝2 019＋ln x ＋x ·1x ＝2 020＋ln x ， 由f ′(x 0)＝2 020，得2 020＋ln x 0＝2 020，∴x 0＝1.
（2）∵f ′(x )＝x 2＋2ax ＋a 2－1，∴f ′(x )的图象开口向上，则②④排除．
若f ′(x )的图象为①，此时a ＝0，f (－1)＝5
3；若f ′(x )的图象为③，此时a 2－1＝0， 又对称轴为x ＝－a ，－a >0，∴a ＝－1，∴f (－1)＝－1
3. 【举一反三】
1.已知y ＝f (x )是可导函数．如图，直线y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝ 。

【答案】0
【解析】∵y ＝f (x )在x ＝3处的切线的斜率为－13，∴f ′(3)＝－1
3.∵g (x )＝xf (x )，∴g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，∴g ′(3)
＝f (3)＋3f ′(3)，由题图知f (3)＝1，∴g ′(3)＝1＋3×⎝⎛⎭⎫
－13＝0.
2．若f (x )＝x 2＋2x ·f ′(1)，则f ′(0)＝ . 【答案】 －4
【解析】 ∵f ′(x )＝2x ＋2f ′(1)，∴f ′(1)＝2＋2f ′(1)，即f ′(1)＝－2，∴f ′(x )＝2x －4，∴f ′(0)＝－4. 3. 已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()()2e ln f x xf x +'=（其中e 为自然对数的底数），则
()e f '= 。

【答案】1e --
【解析】根据题意，f （x ）=2xf '（e ）+ln x ，其导数1
2e f x f x
''=+（）（）， 令x =e ，可得1e 2e e f f ''=+（
）（），变形可得1e e
f '=-（
）， 【套路运用】
1. 若函数()()3
'
2
125f x x f x x =-+-，则'(2)f = 。

【答案】
223
()()()()()()()()()()3'22''2'125
'3212'13212522
'1'2322122'233
f x x f x x f x x f x f f f f f f =-+-∴=-+∴=-+∴=∴=⨯-⨯+=⇒=
【解析】
2.已知f(x)＝
12
x 2
＋2xf′(2014)＋2014lnx ，则f′(2014)＝ 。

【答案】－2015
【解析】f′(x)＝x ＋2f′(2014)＋2014x ，所以f′(2014)＝2014＋2f′(2014)＋2014
2014
，即f′(2014)＝－(2014＋1)＝－2015.
3．已知函数f (x )＝ln x －f ′ (1
2)x 2＋3x －4，则f ′(1)＝________． 【答案】-1
【解析】根据题意，函数f (x )＝ln x －f ′ (1
2)x 2＋3x －4，
其导数f′（x ）=1x −2xf′（12）+3，令x =1
2，f′（1
2）=
1
12
−2×12×f′（12）+3,∴f′（12）=5
2,
令x =1，则f′（x ）=11−2×1×5
2+3=−1. 即答案为-1. 4.已知函数x a
x f ππ
sin )(-=，且2)
1()1(lim
=-+→h
f h f h ，则a = 。

【答案】2
【解析】因为 ()cos f x a x π'=-，又由题意，得(1)cos 2f a a π'=-== 5．设f(x)存在导函数且满足lim Δx→0
f(1)−f(1−2Δx)
2Δx
=−1，则曲线y =f(x)上的点(1,f(1))处的切线的斜率为 。

【答案】-1 【解析】
根据导数的几何意义的推导过程得到：y =f(x) 在点(1,f(1)) 处的切线的斜率为f′(1)=lim Δx→0
f(1)−f(1−2Δx)
2Δx
=
−1 ,
6．已知函数f(x)=(x 3−2x)e x ，则lim Δx→0
f(1+Δx)−f(1)
Δx
的值为 。

【答案】0 【解析】lim
Δx→0
f(1+Δx)−f(1)
Δx
=f′(1),∵f(x)=(x 3−2x)e x ,∴f ′(x)=(x 3+3x 2−2x −2)e x ，有f ′(1)=0.
7．给出下列结论：
①(cos x)′＝sin x ；②(sin π3)′
=cos π
3
；③若y ＝1
x 2，则y ′=−1
x ；④(x )′
=2x x . 其中正确的个数是 。

【答案】1
【解析】对于①，（cosx ）′=﹣sinx ，故错；对于②，（sin π
3）′=0，故错； 对于③，若y=1x 2，则y′=﹣21x 3，故错；对于④，（√x ）′=2x √x ，正确．
8．函数32e x y x -=+
，则导数y '= 。

【答案】2
2
316e 3
x x x -+-
【解析】根据幂函数的求导公式、指数函数的求导公式以及复合函数的求导法则可知，
()222
23
3116e 16e 33
x x y x x x x ----=++⨯-=+-'．
9．若f ′(x 0)=2，则lim Δx→0
f(x 0+Δx)−f(x 0)
2Δx
＝________.
【答案】1
【解析】根据函数f （x ）在x 0处导数的定义知，lim
Δx→0f (x 0+Δx )−f (x 0)
2Δx
=
1
2lim Δx→0
f (x 0+Δx )−f (x 0)
Δx
=1
2
f ′(x 0)=1.
即答案为1. 10．lim
Δx→0
cos(π6
+Δx)−cos
π6
Δx 的值为______________.
【答案】−1
2
【解析】lim △x →0cos(π
6+△x)−cos π
6
△x =（cosx ）′丨x ＝π
6
=−sin π6=−12.故答案为−1
2
.
11．已知lim
Δx→0
f(x 0+3Δx)−f(x 0)
2Δx
=3，则x 0处的切线斜率是_______________.
【答案】2 【解析】由lim
Δx→0
f(x 0+3Δx)−f(x 0)
2Δx
=3可得：3
2lim
Δx→0
f(x 0+3Δx)−f(x 0)
3Δx
=3，即lim
Δx→0
f(x 0+3Δx)−f(x 0)
3Δx
=2
∴x 0处的切线斜率是2故答案为：2 12．给出下列结论：①若y =
1x 3
，则y′=−3x 4；②若y =√x 3，则y′=1
3√x 3
；③若y =1
x 2，则y′=−2x 3④若
f(x)=3x ，则f′(1)=3，其中正确的个数是________________． 【答案】2
【解析】对于②，y′=
3√x 2
3
，故②错误；对于③，y′=−2x −3，故③错误，
所以只有①④是正确的，故正确结论的个数为2．。