【新高考数学】导数的概念及计算导数的概念及计算(含答案)

【新高考数学】导数的概念及计算

【套路秘籍】

一.函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数

(1)定义：称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率0

lim x ∆→ f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx ＝ 0

lim x ∆→ Δy

Δx 为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，

即f ′(x 0)＝0

lim x ∆→Δy

Δx ＝0

lim

x ∆→f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx . (2)几何意义：函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率.相应地，切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0). 二.函数y ＝f (x )的导函数

如果函数y ＝f (x )在开区间(a ，b )内的每一点处都有导数，其导数值在(a ，b )内构成一个新函数，函3.基本初等函数的导数公式

三.导数的运算法则 若f ′(x )，g ′(x )存在，则有： (1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；

(3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）g （x ）′＝

f ′（x ）

g （x ）－f （x ）g ′（x ）

[g （x ）]2(g (x )≠0). 四.复合函数的导数

复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′. 数f ′(x )＝0

lim x ∆→ f （x ＋Δx ）－f （x ）Δx 称为函数y ＝f (x )在开区间内的导函数. 【套路修炼】

考向一 导数的概念

【例1】设)(x f 是可导函数，且3)

2()(lim 000

=∆∆+-∆-→∆x

x x f x x f x ，则=')(0x f 。

【举一反三】

1. 设函数y =f(x)可导，则lim △x→0

f(1+3△x)−f(1)

△x

等于 。

2．若lim

Δx→0

f (x 0+3Δx )−f (x 0)

Δx

=1，则f ′(x 0)= 。

考向二 利用公式及运算法则求导

【例2】求下列函数的导数

2

311

(1)()y x x x x

=++ （2）

（3） ()2

3

4(21)

x y x =+ (5)sin2x y e x -=

【举一反三】

1．下列求导运算正确的是（ ）

A ．(3x )′=x •3x−1

B ．(2e x )′=2e x （其中e 为自然对数的底数）

)11)(1(-+=x x y 2cos 2sin x x x y -=

C ．(x 2+1

x )′=2x +

1x 2

D ．(

x cosx

)′=cosx−xsinx cos 2x

2．求下列函数的导数： （1）y =√x 5+√x 7+√x 9

√x

； （2）y =x ⋅tanx (3)y ＝x n lg x ；(4)y ＝1x +2x 2+1

x 3；

考向三 复合函数求导

【例3】求下列函数导数

（1）y ＝sin(2x ＋1) ()(2)cos2f x x x =⋅ （3）()cos ln y x =

【举一反三】求下列函数的导数： （1）y =

（2）sin()

e

ax b y +=；

（3）2

(π

sin 2)3

y x =+

； （4）2()5log 21y x =+.

考向四 利用导数求值

【例4】（1）f (x )＝x (2 019＋ln x )，若f ′(x 0)＝2 020，则x 0＝ .

（2）下面四个图象中，有一个是函数f (x )＝1

3x 3＋ax 2＋(a 2－1)·x ＋1(a ∈R)的导函数y ＝f ′(x )的图象，则f (－1)＝ 。

【举一反三】

1.已知y ＝f (x )是可导函数．如图，直线y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝ 。

2．若f (x )＝x 2＋2x ·f ′(1)，则f ′(0)＝ .

3. 已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()()2e ln f x xf x +'=（其中e 为自然对数的底数），则

()e f '= 。

【套路运用】

1. 若函数()()3

'

2

125f x x f x x =-+-，则'(2)f = 。

2.已知f(x)＝

12

x 2

＋2xf′(2014)＋2014lnx ，则f′(2014)＝ 。 3．已知函数f (x )＝ln x －f ′ (1

2)x 2＋3x －4，则f ′(1)＝________． 4.已知函数x a

x f ππ

sin )(-

=，且2)

1()1(lim

=-+→h

f h f h ，则a = 。

5．设f(x)存在导函数且满足lim

Δx→0

f(1)−f(1−2Δx)

2Δx

=−1，则曲线y =f(x)上的点(1,f(1))处的切线的斜率为 。

6.已知函数f(x)=(x 3−2x)e x ，则lim Δx→0

f(1+Δx)−f(1)

Δx

的值为 。

7．给出下列结论：

①(cos x)′＝sin x ；②(sin π3)′

=cos π3

；③若y ＝1x 2，则y ′=−1x ；④(√

x )′

=2x √

x . 其中正确的个数是 。

8．函数32e x y x -=+

，则导数y '= 。

9．若f ′(x 0)=2，则lim

Δx→0

f(x 0+Δx)−f(x 0)

2Δx

＝________.