混沌吸引子特征的计算机模拟分析

收稿日期:2002209221 作者简介:于国安(19642),男,河南济源人,河海大学国际工商学院博士研究生,研究方向:系统工程。

文章编号:100622475(2003)0520014203

混沌吸引子特征的计算机模拟分析

于国安,黄胜伟,方维凤

(河海大学,江苏南京　210098)

摘要:应用Matlab 可视化语言,编制了Birkhoff 2shaw 混沌吸引子可视化分析软件,可绘制出该吸引子在相空间的轨线图、

P oincare 截面映像图、振动时程曲线图和Lyapunov 指数图等。通过仿真可分析Birkhoff 2shaw 混沌吸引子运动特性以及随

参数变化规律,以便全面理解和分析该类混沌吸引子的特性。关键词:计算机模拟;仿真分析;混沌吸引子;P oincare 映像中图分类号:TP301.6 文献标识码:A

Computer Simulation Analysis of Chaotic Attractor Property

Y U G uo 2an ,H UANG Sheng 2wei ,FANG Wei 2feng

(H ohai University ,Nanjing 210098,China )

Abstract :T o use Matlab visual language ,the visual test s oftware of Birkhoff 2shaw chaos attractor is drew up.This s oftware can draw phase position map 、P oincare shining map 、time 2am plitude map and Lyapunov exponent map.I t can analyse the m ove property of Birkhoff 2shaw chaos attractor.People can understand and analyse the special property of chaos dynamic system.K eyw ords :com puter simulation ;simulation analysis ;chaotic attractor ;P oincare shining

0　引　言

可视化是一种计算技术,它将符号转换成几何,

使研究者能观察到他们的研究工作。它变不可见为可见,丰富了科学发现的途径,给予人们意想不到的启示,在众多的学科领域使科学家的研究发生了根本的改变。可视化是理解复杂现象和大规模数据的重要工具,在自然科学领域得到了广泛应用。

混沌是非线性动力系统的一种特有的运动形式,它隶属于确定系统却不可预测,隐含于复杂系统但又不可分解,看似“混乱无序”却又颇有规律。这种复杂的运动形态很难用手工方法来描述,利用可视化技术对于难以用解析方法分析的混沌系统进行分析研究,具有其它方法不可比拟的优越性。科学计算可视化作为强有力的研究工具,以可视方式直观地描述物理模型抽象概念所蕴涵的科学内涵,使某些抽象的概念和复杂的过程视觉形象化,能更有效地探讨其内在的本质和规律性。

1　混沌吸引子的特征

混沌吸引子,也称奇怪吸引子。它是相空间中无穷多个点的集合,这些点对应于系统的混沌状态,它是一种抽象的数学对象。混沌系统存在着复杂的轨迹,对于不同的初始状态,系统会出现无限个不稳定的周期轨迹。这种情况下的混沌系统具有两个典型的特征[1]:(1)轨迹的不稳定;(2)可以通过展开及折叠予以混合。前者使得在指定初始状态时,只要有极微小的偏差,则将随着时间呈指数函数扩大,而无法预测未来的状态;后者意味着,当给出小的区域作为初始条件的集合时,随着时间的进行将同时往空间的某一方向扩大和往另一方向缩小,结果产生了所谓的模式“双重扭曲”,使同样的初始状态得出无限多种模式,这意味着出现了“产生信息”的情况。

对于耗散系统中的混沌运动,存在着看来似乎是相反的运动过程,一方面耗散作为一种整体性的稳定因素,它使运动轨道稳定地吸收到吸引子上,另一方面轨道又要相互分离(发散),由于收缩是由方程自

　2003年第5期

计　算　机　与　现　代　化

J IS UAN J I Y U XI ANDAIH UA

　总第93期

身决定的(存在耗散项),对于相空间整体而言,它使远处的轨道趋向至有限的范围内(吸引子),故发散是局域性质的,它使已靠近的轨道要相互排斥分开,这样略去系统的黑暗态过程后,系统的轨道靠近又分开,分开又折叠而靠近。无数次的来回折叠,形成复杂的奇怪吸引子结构[2]。

混沌吸引子常常隐藏在混沌现象的背后,借助于计算机可描绘出它的图形。本文以Birkhoff 2shaw 吸引子为例,用四阶定步长龙格库塔算法对其混沌系统进行了数值求解,计算机程序采用Matlab 语言编写,编制了各种系统典型奇怪吸引子相图、流图、P oincare 映像图、分岔图、Lyapunov 指数图等的仿真程序。

2　Birkhoff 2sha w 混沌吸引子仿真分析

Shaw 在研究Van der P ol 方程时发现一个具有特

别有趣拓扑结构的混沌吸引子[3](Birkhoff 2shaw

吸引

子),其方程如下:

x ・=0.7y +10x (0.1-y 2)

y ・

=-x +0.25sin (ωt )

(1)

下面讨论频率ω变化后其奇怪吸引子的变化规

律。2.1　相轨线图和吸引子流图

相轨迹图是系统的解曲线在状态向量张成的相空间中的几何表示。状态变量u =[x ,y],由x 、y 组成相平面。式(1)的解表现在相平面上的曲线叫相轨迹,如计算出x 、y ,则可用计算机画出相轨线图。

取系统(1)的频率ω分别为π/4、

π/2和π值,去掉前60秒的暂态点,得到在60～240秒的x 和y 相平面轨线图如图1所示。图2是时间为0～240秒的x 和y 随时间变化的相轨线流图。

图1　Birkhoff 2shaw 吸引子相轨线图

图2　Birkhoff 2shaw 吸引子流图

由图1和图2可知:当ω=π/4和π时,存在闭轨

线的外(内)领域,它全部由闭轨线充满,且对于任意初值启动振子,经过多次循环后,瞬态运动消失,然后再作循环。在相轨线图中表现为一个闭轨线。图3(a )为取相差0.0001时作的时程曲线图,从图中可以看出对初值不具备敏感性,因而可以判断该系统为周期运动。

当ω=π/2时相轨线在吸引子附近作周而复始运动,其运动轨迹不重叠,看似杂乱无章,其实运动轨线又局限在一定的区域,在相平面图中表现为混沌吸引子的特征。图3(b )为取相差0.0001时作的时程曲

线图,从图中可以看出对初值具有很强的敏感性,因而可以初步判断该系统为混沌运动。

图3　x 时程曲线图

2.2　Lyapunov 指数图和Poincare 映像分岔图

Lyapunov 指数用于量度在相空间中初始条件不

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