3.1函数的基本概念 教案

第三章：函数的基本性质第一节：函数的概念【知识讲解】 1.复习引入：初中（传统）的函数的定义是什么？初中学过哪些函数？设在一个变化过程中有两个变量x 和y ，如果对于x 的每一个值，y 都有唯一的值与它对应，那么就说x 是自变量，y 是x 的函数.并将自变量x 取值的集合叫做函数的定义域，和自变量x 的值对应的y 值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域.这种用变量叙述的函数定义我们称之为函数的传统定义.初中已经学过：正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等问题1：1=y （R x ∈）是函数吗？问题2：x y =与xx y 2=是同一函数吗？2.函数的有关概念设A ，B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个x ，在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 和它对应，那么就称B A f →:为从集合A 到集合B 的函数，记作)(x f y =， x ∈A 其中x 叫自变量，x 的取值范围A 叫做函数)(x f y =的定义域；与x 的值相对应的y 的值叫做函数值，函数值的集合{}A x x f ∈|)(（⊆B ）叫做函数y=f(x)的值域.函数符号)(x f y =表示“y 是x 的函数”，有时简记作函数)(x f .(1)函数实际上就是集合A 到集合B 的一个特殊对应 B A f →:这里 A, B 为非空的数集. （2）A ：定义域，原象的集合；{}A x x f ∈|)(：值域，象的集合,其中{}A x x f ∈|)( ⊆ B ；f ：对应法则 ， x ∈A ， y ∈B（3）函数符号：)(x f y = ↔y 是 x 的函数，简记 )(x f 3.已学函数的定义域和值域1．一次函数b ax x f +=)()0(≠a :定义域________值域_________; 2．反比例函xkx f =)()0(≠k :定义域_________, 值域__________;3．二次函数c bx ax x f ++=2)()0(≠a :定义域 值域：当0>a 时， ；当0<a 时， 4.函数的值：关于函数值 )(a f例：)(x f =2x +3x+1 则 f(2)=22+3×2+1=11注意：1︒在)(x f y =中f 表示对应法则，不同的函数其含义不一样2︒)(x f 不一定是解析式，有时可能是“列表”“图象” 3︒)(x f 与)(a f 是不同的，前者为变数，后者为常数5.函数的三要素： 对应法则f 、定义域A 、值域{}A x x f ∈|)( 只有当这三要素完全相同时，两个函数才能称为同一函数【例题讲解】例1.下列各图中，能成为某个函数的图像的为 （ ）()C()D()A()B巩固练习：例2.求下列函数的定义域：① 21)(-=x x f ；② 23)(+=x x f ；③ xx x f -++=211)(.小结：函数的定义域：要使函数有意义的自变量x 的取值的集合。

求函数定义域的主要依据： （1）分式的分母不为零；（2）偶次方根的被开方数不小于零，零取零次方没有意义；巩固练习：求下列函数的定义域: （1）310--=x x y(2)02)1(1324-++-=x x x y （3）)36(log cos 22x x y -+=例3.函数y =R ，求实数k 的取值范围。

巩固练习：1、当k 为何值时，函数273kx y kx kx +=++的定义域为全体实数。

2、若函数y =a 的取值范围。

抽象函数定义域例4.()f x 定义域为[]1,1-，求()1f x -定义域.巩固练习：已知)(x f 的定义域为(1,2) 求 )12(-x f 的定义域例5.已知)12(-x f 的定义域为 (1,2)求)(x f 的定义域巩固练习：1.已知函数)2(x f y =的定义域是][6,4-,则函数)12(-=x f y 的定义域是_____________2.已知函数)12(+=x f y 的定义域是[]3,0，则函数)1(2-=x f y 的定义域为？3.已知函数)(x f 的定义域为[-1,1],则)1)(()(>+=a ax f ax f y 的定义域为?强调：解题时要注意书写过程，注意紧扣函数定义域的含义.由本例可知，求函数的定义域就是根据使函数式有意义的条件，布列自变量应满足的不等式或不等式组，解不等式或不等式组就得到所求的函数的定义域.如果函数是由一些基本函数通过四则运算而得到的，那么它的定义域是由各基本函数定义域的交集。

还有其它方法以后继续补充!例6.下列函数中哪个与函数x y =是同一个函数？⑴()2x y =；⑵33x y =；⑶2x y =巩固练习：1.下列各组中的两个函数是否为相同的函数？①3)5)(3(1+-+=x x x y 52-=x y②111-+=x x y )1)(1(2-+=x x y③21)52()(-=x x f 52)(2-=x x f2.试判断以下各组函数是否表示同一函数？（1）f （x ）=x x ||，g （x ）=⎩⎨⎧<-≥;01,01x x（2）f （x ）=1212++n n x ，g （x ）=1212)(--n n x （n ∈N *）；（3）f （x ）=1+⋅x x ，)(x g =x x +2；（4）f （x ）=x 2－2x －1，g （t ）=t 2－2t －1.函数的作用法则例7．已知()223f x x x =--（1）求○1()1f x - ○2()f x - ○3()f f x ⎡⎤⎣⎦例8．已知34)13(+=+x x f ，求)(x f 。

巩固练习．1.已知函数f x （）满足231965f x x x +=-+（），求f x （）。

2.已知二次函数()x f 满足：()()x x x f x f -=-++211，求()x f 的表达式。

例9.若函数()x f 满足条件：()()212x x f x f =-+，求()x f 的表达式；巩固练习：())3,()f x x x f x x=1满足f()+2f(求函数的表示法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法和图象法三种.⑴解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式. 例如，s=602t ，A=π2r ，S=2rl π,y=a 2x +bx+c(a ≠0),y=2-x (x ≥2)等等都是用解析式表示函数关系的.优点：一是简明、全面地概括了变量间的关系；二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值.中学阶段研究的函数主要是用解析法表示的函数. ⑵列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系. 例如，学生的身高 单位：厘米数学用表中的平方表、平方根表、三角函数表，银行里的利息表，列车时刻表等等都是用列表法来表示函数关系的.公共汽车上的票价表优点：不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值. ⑶图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系.例如，气象台应用自动记录器描绘温度随时间变化的曲线，课本中我国人口出生率变化的曲线，工厂的生产图象，股市走向图等都是用图象法表示函数关系的.优点：能直观形象地表示出自变量的变化，相应的函数值变化的趋势，这样使得我们可以通过图象来研究函数的某些性质. 分段函数函数在它的定义域中对于自变量x 的不同取值范围，对应法则不同，需要几个式子来表示函数，这种形式的函数叫做分段函数，如0x x y x x ≥⎧=⎨-<⎩注意：分段函数是一个函数而不是几个函数。

【例题讲解】例10.画出函数y=|x|的图象.变式练习：1.作出分段函数21++-=x x y 的图像2. 作出分段函数12y x x =--+的图像例11.已知函数=)(x f ⎩⎨⎧>-≤-时当时当0,0,222x x x x （1）求)]2([),2(-f f f 的值（2）若,1)(->a f 求a 的取值范围.函数之间的运算两个函数之间的运算一定要在公共的定义域上进行。

如)()()(x g x f x h +=，设)(x f 的定义域为1D 、)(x g 的定义域为2D ，那么)(x h 的定义域为21D D I例12.设函数()f x 的定义域为(0,1)，求函数()()()F x f x a f x a =++-的定义域。

例13.设函数11()2,()3f x x g x x x x=-=-，则()()f x g x +=例14. 已知()f x 是一次函数，且满足3(1)2(1)217f x f x x +--=+，求()f x ；巩固练习：已知)(x f 是二次函数,若)(,1)()1(,0)0(x f x x f x f f 试求++=+=课后作业：1、 下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ）()A 01y x =+与2y =()B x y x =与1y = ()C y x =与y =()D 221y x x =++与()21y x =+2、 函数()f x =的定义域为 ．3、设函数3,(10)()((5)),(10)x x f x f f x x -≥⎧=⎨+<⎩，则(5)f ＝ ．4、 求下列函数的定义域：（1）y =（2）()1x f x +=．5、 已知()()()()200600020060x x f x x x x ->⎧⎪==⎨⎪+<⎩，求()2005f f ⎡⎤⎣⎦的值．7、 函数()269f x kx kx =-+的定义域为R ，求实数k 的取值范围．8、{}{}20,20≤≤=≤≤=y y N x x M 给出的四个图形，其中能表示集合M 到N 的函数关系的有（ ）A 、 0个B 、1个C 、2个D 、3个。