3.1函数的基本概念 教案

第三章：函数的基本性质

第一节：函数的概念

【知识讲解】 1.复习引入：

初中（传统）的函数的定义是什么？初中学过哪些函数？

设在一个变化过程中有两个变量x 和y ，如果对于x 的每一个值，y 都有唯一的值与它对应，那么就说x 是自变量，y 是x 的函数.并将自变量x 取值的集合叫做函数的定义域，和自变量x 的值对应的y 值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域.这种用变量叙述的函数定义我们称之为函数的传统定义.

初中已经学过：正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等问题1：1=y （R x ∈）是函数吗？

问题2：x y =与x

x y 2

=是同一函数吗？

2.函数的有关概念

设A ，B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个x ，在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 和它对应，那么就称B A f →:为从集合A 到集合B 的函数，记作)(x f y =， x ∈A 其中x 叫自变量，x 的取值范围A 叫做函数)(x f y =的定义域；与x 的值相对应的y 的值叫做函数值，函数值的集合{}A x x f ∈|)(（⊆B ）叫做函数y=f(x)的值域.

函数符号)(x f y =表示“y 是x 的函数”，有时简记作函数)(x f .

(1)函数实际上就是集合A 到集合B 的一个特殊对应 B A f →:这里 A, B 为非空的数集. （2）A ：定义域，原象的集合；{}A x x f ∈|)(：值域，象的集合,其中{}A x x f ∈|)( ⊆ B ；

f ：对应法则 ， x ∈A ， y ∈B

（3）函数符号：)(x f y = ↔y 是 x 的函数，简记 )(x f 3.已学函数的定义域和值域

1．一次函数b ax x f +=)()0(≠a :定义域________值域_________; 2．反比例函x

k

x f =

)()0(≠k :定义域_________, 值域__________;

3．二次函数c bx ax x f ++=2

)()0(≠a :定义域 值域：当0>a 时， ；当0

例：)(x f =2

x +3x+1 则 f(2)=22+3×2+1=11

注意：1︒在)(x f y =中f 表示对应法则，不同的函数其含义不一样

2︒)(x f 不一定是解析式，有时可能是“列表”“图象” 3︒)(x f 与)(a f 是不同的，前者为变数，后者为常数

5.

函数的三要素： 对应法则f 、定义域A 、值域{}A x x f ∈|

)( 只有当这三要素完全相同时，两个函数才能称为同一函数

【例题讲解】

例1.下列各图中，能成为某个函数的图像的为 （ ）

()C

()D

()A

()B

巩固练习：

例2.求下列函数的定义域：

① 2

1

)(-=x x f ；

② 23)(+=x x f ；

③ x

x x f -+

+=211)(.

小结：函数的定义域：要使函数有意义的自变量x 的取值的集合。 求函数定义域的主要依据： （1）分式的分母不为零；

（2）偶次方根的被开方数不小于零，零取零次方没有意义；

巩固练习：求下列函数的定义域: （1）3

10--=x x y

(2)0

2)

1(1

324-+

+-=x x x y （3）)36(log cos 22x x y -+=

例3.函数y =R ，求实数k 的取值范围。

巩固练习：

1、当k 为何值时，函数27

3

kx y kx kx +=++的定义域为全体实数。

2、若函数y =a 的取值范围。

抽象函数定义域

例4.()f x 定义域为[]1,1-，求()1f x -定义域.

巩固练习：已知)(x f 的定义域为(1,2) 求 )12(-x f 的定义域

例5.已知)12(-x f 的定义域为 (1,2)求)(x f 的定义域

巩固练习：

1.已知函数)2(x f y =的定义域是][6,4-,则函数)12(-=x f y 的定义域是_____________

2.已知函数)12(+=x f y 的定义域是[]3,0，则函数)1(2

-=x f y 的定义域为？

3.已知函数)(x f 的定义域为[-1,1],则)1)(()(>+=a a

x f ax f y 的定义域为?

强调：解题时要注意书写过程，注意紧扣函数定义域的含义.由本例可知，求函数的定义域就是根据使函数式有意义的条件，布列自变量应满足的不等式或不等式组，解不等式或不等式组就得到所求的函数的定义域.

如果函数是由一些基本函数通过四则运算而得到的，那么它的定义域是由各基本函数定义域的交集。还有其它方法以后继续补充!

例6.下列函数中哪个与函数x y =是同一个函数？

⑴()2

x y =；⑵3

3x y =

；⑶2x y =

巩固练习：1.下列各组中的两个函数是否为相同的函数？

①3

)

5)(3(1+-+=x x x y 52-=x y

②111-+=x x y )1)(1(2-+=x x y

③2

1)52()(-=x x f 52)(2-=x x f

2.试判断以下各组函数是否表示同一函数？