高中数学线面位置关系的8大定理
线面位置关系的八大定理
符号表示：
注：线面垂直 面面垂直
典例：如图，在四面体 中，
求证：平面 平面
八、平面与平面垂直的性质定理：
文字语言：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直与它们的交线的直线垂直于另一个平面
图形语言：
符号语典例：如图， ， ，求证：
典例：已知四棱锥 底面 ，底面 为正方形，且 ， 分别为 的中点，
求证：（1） 平面 （2） （3） 平面
六、直线与平面垂直的性质定理：
文字语言：若两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线平行
图形语言：
符号语言：
作用：线面垂直 线线平行
七、平面与平面垂直的判定定理：
文字语言：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直。
图形语言：
符号语言：
作用：线面平行 线线平行
典例：如图， ，求证：
三、平面与平面平行的判定定理
文字语言：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．
图形语言：
符号语言：
作用：线线平行 面面平行
典例：如图，在三棱柱 中，点 分别是 与 的中点，
求证：平面 平面
四、平面与平面平行的性质定理:
文字语言：如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么所得的两条交线平行
图形语言:
符号语言:
作用:面面平行 线线平行
典例：如图， ，直线 与 分别交 于点 和点 ，
求证：
五、直线与平面垂直的判定定理：
文字语言：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面
图形语言：
符号语言：
作用：线线垂直 线面垂直
线面位置关系的八大定理
点线面之间的位置关系的知识点总结
高中空间点线面之间位置关系知识点总结第二章直线与平面的位置关系2.1空间点、直线、平面之间的位置关系2.1.11平面含义：平面是无限延展的2平面的画法及表示(1)平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成45°，且横边画成邻边的2倍长(如图)(2)平面通常用希腊字母a、B、Y等表示，如平面a、平面B等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC平面ABCD等。
3 三个公理：(1)公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内符号表示为公理1作用：判断直线是否在平面内(2)公理2 :过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
符号表示为：AB、C三点不共线=> 有且只有一个平面a, 使A€a、B€a、C€a。
公理2作用：确定一个平面的依据。
(3)公理3 :如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
符号表示为：P€aQB => aPp =L，且P€ L公理3作用：判定两个平面是否相交的依据2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系1空间的两条直线有如下三种关系：f相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点; 共面直线 Yl平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点同一条直线的两条直线互相平行。
符号表示为：设a、b、c是三条直线强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。
3等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补4注意点：①a'与b'所成的角的大小只由a、b的相互位置来确定，与0的选择无关，为简便，点0 —般取在两直线中的一条上;②两条异面直线所成的角(0，);③当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a丄b;a//b2公理4：平行=>a //c④两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；⑤计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角2.1.3 —2.1.4空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系1、直线与平面有三种位置关系：(1)直线在平面内一一有无数个公共点(2 )直线与平面相交一一有且只有一个公共点(3)直线在平面平行一一没有公共点指岀：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用 a a来表示―a a a Qa =A a Ila2.2.直线、平面平行的判定及其性质2.2.1直线与平面平行的判定1、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
线面位置关系的八大定理
l m β
α
线面位置关系的八大定理（平行关系）
一、直线与平面平行的判定定理：
文字语言：如果平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则这条直线与平面平行 图形语言：
符号语言：
//a b a b αα⊄⎫⎪⊂⎬⎪⎭
⇒//a α
作用：线线平行线⇒面平行
二、直线与平面平行的性质定理：
文字语言：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条
直线就和交线平行。
图形语言：
符号语言：//l l m αβαβ⎫⎪⊂⎬⎪⋂=⎭
⇒//l m
作用：线面平行线⇒线平行
三、平面与平面平行的判定定理
文字语言：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行． 图形语言：
符号语言：
//a b a b A a b α
ααβββ⊂⎫
⎪⊂⎪⎪=⇒⎬⎪⎪⎪⎭
∥∥
作用：线面平行⇒ 面面平行
推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平
面平行。
四、平面与平面平行的性质定理:
文字语言：如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么所得的两条交线平行 图形语言: 符号语言:////a a b b αβαγβγ⎫⎪⋂=⇒⎬⎪⋂=⎭
作用:面面平行线⇒线平行
性质：当两平面平行时，其中一个平面内的任一条直线平行与另一平面。
推论：两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例。
高中数学空间中的线面关系
空间中的线面关系知识框架空间中的线面关系要求层次重难点空间线、面的位置关系 B ①理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理．◆公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点在此平面内．◆公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．◆公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．◆公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．◆定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补．②以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定．理解以下判定定理．◆如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行．◆如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面平行．◆如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直．◆如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直．理解以下性质定理，并能够证明．◆如果一条直线与一个平面平行，经过该直线的任一个平面与此平面相交，那么这条直线就和交线平行．◆如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线相互平行．◆垂直于同一个平面的两条直线平行．◆如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直．③能运用公理、定理和已获得的结论证公理1，公理2，公理3，公理4，定理*A高考要求明一些空间位置关系的简单命题．*公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内． 公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线． 公理4：平行于同一条直线的两条直线平行．定理：空间中如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．（一） 知识内容线面垂直1．线线垂直：如果两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点，并且交角为直角，则称 这两条直线互相垂直．由定义知，垂直有相交垂直和异面垂直． 2．直线与平面垂直：⑴概念：如果一条直线和一个平面相交于点O ，并且和这个平面内过交点的任何直线都垂直，则称这条直线与这个平面互相垂直．这条直线叫做平面的垂线，这个平面叫做直线的垂面，交点叫垂足．垂线上任意一点到垂足间的线段，叫做这个点到这个平面的垂线段．垂线段的长度叫做这个点到平面的距离．如果一条直线垂直于一个平面，那么它就和平面内的任意一条直线垂直．画直线与平面垂直时，通常把直线画成和表示平面的平行四边形的一边垂直，如右图．αl直线l 与平面α互相垂直，记作l α⊥．⑵线面垂直的判定定理：如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直． 推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面． ⑶线面垂直的性质定理：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行．<教师备案>1．如果定义了异面直线所成角，则异面垂直即异面直线所成角为90︒．2．线面垂直的判定定理把定义中的与任意一条直线垂直这个很强的命题，转化为只需证明与两条相交直线垂直这个问题，从而大大简化了线面垂直的判断．例题精讲板块三：线线垂直与线面垂直n mA'EDCB Aβα要证明判定定理，只能用定义，若',',AA m AA n m n B ⊥⊥=，,m n α⊂，要证'AA α⊥，在平面α内任选一条直线g ，去证'AA g ⊥，结合右图，通过全等三角形的证明可得到，从而得到判定定理，具体的证法略．3．线面垂直的性质定理，可以用同一法证明， 如图：laABm'mβα直线,l m αα⊥⊥，若直线,l m 不平行，则过直线l 与平面α的交点B 作直线'//m l ，从而有'm α⊥．又相交直线,'m m 可以确定一个平面β，记a αβ=，则因为,'m m 都垂直于平面α，故,'m m 都垂直于交线a ．这与在一个平面内，过直线上一点有且只有一条直线与已知直线垂直相矛盾．故,'m m 重合，//m l ，性质定理得证． 由同一法还可以证明：过一点与已知平面垂直的直线只有一条．（三）典例分析：【例1】 直线和平面所成的角为α，则（ ）A ．090α︒<<︒B ．090α︒︒≤≤C ．090α︒<︒≤D ．090α︒<︒≤【例2】 m ，n 是空间两条不同直线，α，β是空间两条不同平面，下面有四个命题：①,;m n m n αβαβ⊥⇒⊥, ②,,;m n m n αβαβ⊥⊥⇒ ③,,;m n m n αβαβ⊥⇒⊥ ③,,;m m n n ααββ⊥⇒⊥ 其中真命题的编号是________（写出所有真命题的编号）．【例3】 室内有一根直尺，无论怎么放置，在地面上总有这样的直线，它与直尺所在的直线A ．异面B ．相交C ．平行D ．垂直【例4】 （2007湖南文6）如图，在正四棱柱 1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是1AB 、1BC 的中点，则以下结论中不成立的是（ ） A ．EF 与1BB 垂直 B ．EF 与BD 垂直 C ．EF 与CD 异面D ．EF 与11A C 异面AB CDE F A 1B 1C 1D 1【例5】 （2008辽宁卷11）在正方体1111ABCD A B C D -中，E F ，分别为棱1AA ，1CC 的中点，则在空间中与三条直线11A D ，EF ，CD 都相交的直线（ ） A ．不存在 B ．有且只有两条C ．有且只有三条D ．有无数条【例6】 如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中．．求证：1BD ⊥面1AB C ．A 1D 1C 1B 1DCBA【例7】 在长方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别在1AA ，1CC 上且1BE A B ⊥，1BF BC ⊥，求证：1BD ⊥面BEF【解析】 FEC 1B 1D 1A 1AB C D【例8】 如图O 是正方体下底面ABCD 中心，B H D O ''⊥，H 为垂足．求证：B H '⊥平面AD C '．【解析】OH DCBAD'C'B'A'【例9】 已知三棱锥P ABC -中，PC ⊥底面ABC ，AB BC =，D F ，分别为AC PC ，的中点，DE AP⊥于E ．⑴求证：AP ⊥平面BDE ；⑵求证：平面BDE ⊥平面BDF ；⑶若:1:2AE EP =，求截面BEF 分三棱锥P ABC -所成两部分的体积比．【解析】 FEBDCAP【例10】 在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为1DD 的中点，O 为底面ABCD 的中心．求证：1B O ⊥面PAC ． 【解析】 P OA 1D 1C 1B 1D CB A【例11】 （2000全国，文19）如图已知平行六面体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是菱形，且11C CB C CD BCD ∠=∠=∠． ⑴ 证明1C C BD ⊥； ⑵ 当1CDCD 的值为多少时，能使1A C ⊥平面1C BD ？请给出证明．图 9-2-284D 1A 1C 1B 1DCBA【例12】 已知平行六面体1111ABCD A B C D -的底面是菱形，且1160A AB A AD ∠=∠=．求证：1CC ⊥BDOABCD A 1B 1C 1D 1【例13】 在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥底面ABCD ，M ，N 分别为PC ，AB 的中点．（1）求证：MN ∥平面PAD ；（2）若45PDA ∠=，求证：MN ⊥面PCD ．QPD BCAMN【例14】 如图，四面体P ABC -，PA ⊥面ABC ，AB ⊥BC ，过A 作AE ⊥PB 交PB 于E ，过A 作AF⊥PC 交PC 于F ．求证：PC ⊥EF ．【例15】 下列说法正确的有__________．①过一点有且只有一条直线垂直于已知直线．②若一条直线与平面内无数条直线垂直，则这条直线与这个平面垂直． ③若一条直线平行于一个平面，则垂直于这个平面的直线必垂直于这条直线． ④若一条直线垂直于一个平面，则垂直于这条直线的另一条直线必平行于这个平面． ⑤若一条直线平行于一个平面，则它和这个平面内的任何直线都不垂直． ⑥平行于同一个平面的两条直线可能垂直．【例16】 （2009安徽，理15）对于四面体ABCD ，下列命题正确的是_____ （写出所有正确命题的编号）．①相对棱AB 与CD 所在的直线异面；②由顶点A 做四面体的高，其垂足是BCD ∆三条高线的交点；③若分别作ABC ∆和ABD ∆的边AB 上的高，则这两条高线所在的直线异面；④分别做三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点； ⑤最长棱必有某个端点，由它引出的另两条棱的长度之和大于最长棱．【例17】 在正方体1111ABCD A B C D -中，P Q ，分别是棱1AA ，1CC 的中点，则过点B P Q ，，的截面（ ） A ．邻边不等的平行四边形 B ．菱形但不是正方形C ．邻边不等的矩形D ．正方形【例18】 如图，在侧棱和底面垂直的四棱柱1111ABCD A B C D -中，当底面ABCD 满足条件时，有11AC B D ⊥（写出你认为正确的一种条件即可．）ABCD 是菱形或是正方形或是对角线互相垂直的四边形D 1C 1B 1A 1A DCB【例19】 如图，A 、B 、C 、D 是空间四点，在ABC △中，2AB =，AC BC ==ADB △所在的平面以AB 为轴可转动．当ADB △转动过程中，是否总有AB CD ⊥？请证明你的结论ABC DO【例20】 在正方体1111ABCD A B C D -中，M 是1AA 的中点，问当点N 位于AB 上何处时，1MN MC ⊥?【例21】 如图，已知P 为ABC ∆外一点，PO ⊥平面ABC ，垂足为O ，⑴若PA 、PB 、PC 两两垂直，求证：O 为ABC ∆的垂心；⑵若PA PB PC ==，求证：O 为ABC ∆的外心．⑶若PA 、PB 、PC 两两垂直，且PA PB PC a ===，求P 点到平面ABC 的距离．OCBAP【例22】 在空间四面体的四个面中，为直角三角形的最多有_________个．【例23】 如图，A 、B 、C 、D 是空间四点，在ABC △中，2AB =，AC BC ==ADB △所在的平面以AB 为轴可转动．当ADB △转动过程中，是否总有AB CD ⊥？请证明你的结论．ABC DO【例24】 如右图，是一个边长为a 的正方体1111ABCD A B C D -，⑴求证：1AC ⊥平面1A BD ； ⑵求A 点到平面1A BD 的距离．AA 1【例25】 如图所示，直角ABC ∆所在平面外一点S ，且SA SB SC ==，D 为AC 中点，连结SD ，BD ．⑴求证：SD ⊥面ABC ；⑵若直角边BA BC =，求证：BD ⊥面SAC ．SABD【例26】 如图，已知111A B C ABC -是正三棱柱，D 是AC的中点，11AB ==，⑴证明：BD ⊥平面11ACC A ，1//AB 平面1BDC ； ⑵求点D 到平面11BCC B 的距离． ⑶证明：11AB BC ⊥．D CBA A 1B 1C 1【例27】 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，EF ⊥1A D ，EF ⊥AC ，求证：⑴1BD ⊥平面11A C D ；⑵1//EF BD ．FE ABCDA 1B 1C 1D 1【例28】 已知四面体ABCD ，①若棱AB CD ⊥，求证2222AC BD AD BC +=+ ②若2222AC BD AD BC +=+，求证棱AB CD ⊥．【例29】 设a b ，为两条直线，αβ，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（ ）A ．若a b ，与α所成的角相等，则a b ∥B ．若a α∥，b β∥，αβ∥，则a b ∥C ．若a α⊂，b β⊂，a b ∥，则αβ∥D ．若a α⊥，b β⊥，αβ⊥，则a b ⊥【例30】 已知在三棱锥A BCD -中AC AD =，BD BC =，求证：AB ⊥CDABCDE【例31】 如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 是11A B 的中点．求E 到平面11ABC D 的距离．A 1D 1CA【例32】 （07全国2文7）已知正三棱锥的侧棱长的底面边长的2倍，则侧棱与底面所成角的余弦值等于（ ） ABC．2D【例33】 （2007湖北文5）在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别为棱1AA 、1BB 的中点，G 为棱11A B 上的一点，且()101AG λλ=≤≤，则点G 到平面1DEF 的距离为（ ） ABCD ABCDE【例34】 （2007江苏14）正三棱锥P ABC -高为2，侧棱与底面所成角为45︒，则点A 到侧面PBC 的距离是 ．【例35】 （2008福建卷6）如图，在长方体ABCD 1111A B C D -中，2AB BC ==，11AA =，则1BC 与平面11BB D D所成角的正弦值为（ ） A．3B ．5C ．5D ．5DCBAA 1D 1B 1C 1【例36】 如图，已知四棱锥S ABCD -的底面ABCD 是正方形，SA ⊥底面ABCD ，E 是SC 上的一点．求证：平面EBD ⊥平面SACE DCBAS【例37】 正方体1111ABCD A B C D -中，作截面1BDC ，求二面角1B DC C --的正切值的大小．O A 1D 1C 1B 1D CBA【例38】 如图，正方体1111ABCD A B C D -中．求平面1A BD 和平面1C BD 相交所组成的二面角11A BD C --的余弦值．OA 1D 1C 1B 1DCBA【例39】 在长方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别在1AA ，1CC 上且1BE A B ⊥，1BF BC ⊥，求证：1BD ⊥面BEF【解析】 FEC 1B 1D 1A 1AB C D【例40】 如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，90DAB ∠=，AD a =，PD ⊥面ABCD ，PD a =，求点D 到平面PAB 的距离．HACBDP【例41】 如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，P 是AB 的中点．⑴求二面角1A BC A --的大小； ⑵求二面角1B AC P --的大小． PF E A 1D 1C 1B 1DCBA【例42】 已知空间四边形ABCD ，E 、F 、G 分别是AB 、BC 、CD 的中点，求证：//AC 平面EFG ，//BD 平面EFG ．【解析】 GFEBA【例43】 （2006年湖南高考题·理3）过平行六面体1111ABCD A B C D -任意两条棱的中点作直线，其中与平面11DBB D 平行的直线共有（ ）． A ．4条B ．6条C ．8条D ．12条【例44】 下列命题中，真命题有_______．①若,,//a b a b αβ⊂⊂，则//αβ； ②若//,//,//,//a a b b αβαβ，则//αβ； ③若,,//a b a αββ⊂⊂，则a b =∅； ④若//,//,//,//,a a b b a b A αβαβ=，则αβ=∅；【例45】 已知正方体1111-ABCD A B C D ，求证：平面11//AB D 平面1C BD ．ABCDA 1B 1C 1D 1【例46】 判断下面命题的正误：⑴一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的任何直线平行． ⑵如果一条直线垂直于平面内的两条直线，那么这条直线和这个平面垂直． ⑶垂直于三角形两边的直线必垂直于第三边．⑷过点A 垂直于直线a 的所有直线都在过点A 垂直于α的平面内．⑸如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面．【例47】 如图，四边形ABCD 是矩形，P ∉面ABCD ，过BC 作平面BCEF 交AP 于E ，交DP 于F ，求证：四边形BCEF 是梯形．PFE DCBA【例48】 设,P Q 是单位正方体1AC 的面11AA D D 、1111A B C D 的中心，如图，⑴证明：//PQ 平面11AA B B ；⑵求线段PQ 的长．AB CDA 1B 1C 1D 1PQ【例49】 如图，ABCD 是正方形，SA 垂直于平面ABCD ，过A 且垂直于SC 的平面交SB 、SC 、SD 分别于点E 、F 、G ， 求证：AE SB ⊥，AG SD ⊥．EBCFDGSA【例50】 已知：四棱锥P ABCD -，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，90A ∠=，且AB CD ∥，12AB CD =，点F 为线段PC 的中点．EFDCBAP⑴求证：BF ∥平面PAD ； ⑵求证：BF CD ⊥．（一） 知识内容线线关系与线面平行1．平行线：在同一个平面内不相交的两条直线．平行公理：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行． 公理４（空间平行线的传递性）：平行于同一条直线的两条直线互相平行；等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等． 2．空间中两直线的位置关系：⑴共面直线：平行直线与相交直线；⑵异面直线：不同在任一平面内的两条直线． 3．空间四边形：顺次连结不共面的四点所构成的图形．这四个点叫做空间四边形的顶点；所连结的相邻顶点间的线段叫做空间四边形的边；连结不相邻的顶点的线段叫做空间四边形的对角线．如右图中的空间四边形ABCD ，它有四条边,,,AB BC CD DA ，两条对角线,AC BD ． 其中,AB CD ；,AC BD ；,AD BC 是三对异面直线．DCBA4．直线与平面的位置关系：⑴直线l 在平面α内：直线上所有的点都在平面内，记作l α⊂，如图⑴；⑵直线l 与平面α相交：直线与平面有一个公共点A ；记作l A α=，如图⑵；⑶直线l 与平面α平行：直线与平面没有公共点，记作//l α，如图⑶．l3()2()1()lAαααl5．直线与平面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．符号语言表述：,,////l m l m l ααα⊄⊂⇒． 图象语言表述：如右图：mlα6．直线与平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相板块二：空间中的平行关系交，那么这条直线和两平面的交线平行．符号语言表述：//,,//l l m l m αβαβ⊂=⇒． 图象语言表述：如右图：βαl m<教师备案>1．画线面平行时，常常把直线画成与平面的一条边平行； 2．等角定理证明：已知：如图所示，BAC ∠和B A C '''∠的边//AB A B ''，//AC A C ''，且射线AB 与A B ''同向，射线AC 与A C ''同向． 求证：BAC B A C '''∠=∠证明：对于BAC ∠和B A C '''∠在同一平面内的情形，在初中几何中已经证明，下面证明两个角不在同一平面内的情形．分别在BAC ∠的两边和B A C '''∠的两边上截取线段AD AE 、和A D A E ''''、，使,AD A D AE A E ''''==，因为//''AD A D ，所以AA D D ''是平行四边形所以//AA DD ''．同理可得//AA EE ''，因此//DD EE ''． 所以DD E E ''是平行四边形． 因此DE D E ''=．于是ADE A D E '''∆≅∆． 所以BAC B A C '''∠=∠．E'E DC BAA'D 'B 'C '3．根据等角定理可以定义异面直线所成的角的概念：过空间一点作两异面直线的平行线，得到两条相交直线，这两条相交直线成的直角或锐角叫做两异面直线成的角．异面直线所成角的范围是π(0,]24．线面平行判定定理（,,////l m l m l ααα⊄⊂⇒），即线线平面，则线面平行． 要证明这个定理可以考虑用反证法，因为线线平行（//l m ），所以它们可以确定一个平面β，β与已知平面α的交线恰为m ，若线面不平行，则线面相交于一点，此点必在两个平面的交线m 上，从而得到l 与m 相交，与已知矛盾．5．线面平行性质定理，即线面平行，则线线平行，这平行的定义立即可得（共面且无交点）．面面平行的判定与性质1．两个平面的位置关系⑴两个平面,αβ平行：没有公共点，记为//αβ；画两个平行平面时，一般把表示平面的平行四边形画成对应边平行，如右图：⑵两个平面,αβ相交，有一条交线，l αβ=．2．两个平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面， 那么这两个平面平行．符号语言表述：,,,//,////a b a b A a b ααββαβ⊂⊂=⇒．推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，则这两个平面平行． 3．两个平面平行的性质定理：如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行． 符号语言表述：//,,//a b a b αβαγβγ==⇒． 图象语言表述：如右图：γbaβα<教师备案>1．画两个平面相交时，可以先画出交线，再补充其它，平面被遮住的部分画成虚线或不画． 如右图所示：2．面面平行的判定定理可以由线面平行的性质直接得到，如果满足定理条件的两个平面相交，则这两条相交直线都平行于平面的交线，与过直线外一点只能作一条直线与已知直线平行的公理矛盾．故这两个平面不相交，是平行平面． 3．面面平行的性质定理可以直接由两条交线无交点且共面得到．4．在证明线面平行，线线平行和面面平行的题时，常常遇到平行关系的转化，要灵活运用两个性质定理与两个判定定理，证明要求的结论．（二）主要方法：由于空间中平行关系与垂直关系是高考的核心内容，因此在出题时经常会有所结合，本板块专门就平行知识的题目类型归纳，更综合的题目会在第十一讲中详细讲解．由于线面与面面问题之间都是互相转化的，因此本板块中的面面平行题目较少，多数都为线面平行问题．本板块题目多采用两种方法，事实上就是两种思路证明线面平行，一种方法线线平行⇒线面平行，另一种方法是面面平行⇒线面平行．（三）典例分析：【例1】 （2005湖北，理10）如图，在三棱柱ABC A B C '''-中，点E 、F 、H 、K 分别为AC '、CB '、A B '、B C ''的中点，G 为ABC ∆的重心．从K 、H 、G 、B '中取一点作为P ，使得该棱柱恰有2条棱与平面PEF 平行，则P 为（ ） A ．K B ．H C ．G D ．B 'A'B【例2】 如图，三棱柱111ABC A B C -中，D 是BC 的中点． 求证：1A C //平面1AB D ．EABCA 1B 1C 1D【例3】 如图，在四棱锥P ABCD -中，90ABC BCD ︒∠=∠=，12DC AB =，E 是PB 的中点． 求证：EC ∥平面APD ．E PDABC【例4】 如图，四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是平行四边形，E 、F 分别是AB 、PD 的中点．求证：AF ∥平面PCE ．CBADEFP【例5】 已知PA 垂直于正方形ABCD 所在的平面， ,E F 分别是PB 和AC 的中点，求证：①EF ∥平面PAD ；②EF AB ⊥I H G FE DCBA P【例6】 如图，在底面是平行四边形的四棱锥P ABCD -中，点E 在PD 上，且:2:1PE ED =，F 为棱PC 的中点．求证：BF ∥平面AECE PDABCF【例7】 如图，在五面体ABCDEF 中，点O 是平行四边形ABCD 的对角线的交点，面CDE 是等边三角形，棱1//2EF BC ． 求证：FO ∥平面CDEFEDCBAO【例8】 如图，正方体1111ABCD A B C D -中，,,,M N E F 分别是11111111,,,A B A D B C C D 的中点．求证：平面AMN ∥平面EFDB ．【例9】 如图，在底面是平行四边形的四棱锥P ABCD -中，点E 在PD 上，且:2:1PE ED =，F 为棱PC 的中点．求证：BF ∥平面AECE PDABCF【例10】 如图，在五面体ABCDEF 中，点O 是平行四边形ABCD 的对角线的交点，面CDE 是等边三角形，棱1//2EF BC ． 求证：FO ∥平面CDE【解析】FEDCBAO【例11】 如图所示，正方体1111ABCD A B C D -中，棱长为a ，,M N 分别为1AB 和11A C 上的点，1A N AM =．N MF EAB 1C 1D 1DCBA 1⑴求证：MN ∥平面11BB C C ； ⑵求MN 的最小值．【例12】 如图所示，正方体1111ABCD A B C D -中，棱长为a ，,M N 分别为1AB 和11A C 上的点，1A N AM =．⑴求证：MN ∥平面11BB C C ； ⑵求MN 的最小值．N MFEAB 1C 1D 1DC B A 1【例13】 已知,,,E F G H 为空间四边形ABCD 的边,,,AB BC CD DA 上的点，⑴若,,,E F G H 都分别是所在边的中点，求证：四边形EFGH 为平行四边形； ⑵若//EH FG ，求证：//EH BD ．H GFE D CBA【例14】 已知,,,E F G M 分别是四面体的棱,,,AD CD BD BC 的中点，G FEDCB AMN求证：//AM 面EFG ．【例15】 平行于平面α的a ，b 是两异面直线，且分别在平面α的两侧，,,,A B a C D b ∈∈，若AC 与α平面交于点M ，BD 与α平面交于点N ．求证：AM BNMC ND=． ABCDαabMN【例16】 如图，正方体1AC 中，点N 在BD 上，点M 在1B C 上，且CM DN =，求证：//MN 平面11AA B B ．D 1C 1B 1M B NFECDA 1A【例17】 已知空间四边形ABCD ，P 、Q 分别是ABC ∆和BCD ∆的重心，求证：//PQ 平面ACD ．【例18】 下列命题中，真命题有_______．①若,,//a b a b αβ⊂⊂，则//αβ； ②若//,//,//,//a a b b αβαβ，则//αβ； ③若,,//a b a αββ⊂⊂，则a b =∅； ④若//,//,//,//,a a b b a b A αβαβ=，则αβ=∅；【例19】 如图，B 为ACD ∆所在平面外一点，M ，N ，G 分别为ABC ∆，ABD ∆，BCD ∆的重心，⑴求证：平面MNG ∥平面ACD ； ⑵求:MNG ADC S S ∆∆GFDC BAMNPH【例20】 已知平面//αβ，AB ，CD 为夹在a ，β间的异面线段，E 、F 分别为AB 、CD 的中点．求证：//EF α，//EF β．【解析】βBGDFEαCA【例21】 如图，线段PQ 分别交两个平行平面α、β于A 、B 两点，线段PD 分别交α、β于C 、D 两点，线段QF 分别交α、β于F 、E 两点，若9PA =，12AB =，12BQ =，ACF ∆的面积为72，求BDE ∆的面积．βD QB EαPC AF【例22】 已知长方体''''ABCD A B C D -中，,E F 分别是','AA CC 的中点．求证：平面//BDF 平面''B D E ．AA'BB'CC'DD'E F【例23】 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 、G 分别是11B C 、11A D 、11A B 的中点，求证：平面EBD ∥平面FGA ．D 1C 1B 1A 1GF ED CBA【例24】 正方体1111ABCD A B C D -中，E 、G 分别是BC 、11C D 的中点，如下图．求证：//EG 平面11BB D D ．D 1C 1B 1A 1GEDCBA【例25】 （2008新课标海南宁夏）如下的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在下面画出（单位：cm ）．⑴在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图； ⑵按照给出的尺寸，求该多面体的体积；⑶在所给直观图中连结BC '，证明：BC '∥面EFG ．侧视图正视图D'C'B'GFE DCBA【解析】⑴如图俯视图正视图侧视图。
线面位置关系及五个公理
线面位置关系及五个公理
（一）线面位置关系：（332）
（1）直线与直线：平行、相交、异面；
（2）直线与平面：在内、平行、相交；
（3）平面与平面：平行、相交。
（二）五个公理：
（1）直线公理：两点决定一条直线。
（2）平面公理：非共线三点决定一个平面。
（3）线面公理：一直线有两点在一个平面内，则这条直线在这个平面内。
（4）相交公理：非重合二平面有一公共点，则此二平面有且只有一条经过此点的公共直线。
（5）平行公理：过一直线外一点，有且只有一条平行直线。
（三）一个定理：
空间中两个角的两边分别对应平行。
（1）若两组平行同号，则两角相等；
（2）若两组平行异号，则两角互补。
线面、面面平行和垂直的八大定理-平面八大定理
线面、面面平行和垂直的八大定理之蔡仲巾千创作
一、线面平行。
1、判定定理：平面外一条直线与平面内一条直线平行，那么这条
直线与这个平面平行。
符合暗示：
2、性质定理：如果一条直线与平面平行，经过这条直线的平面和
这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
符号暗示：
二、面面平行。
1、判定定理：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个
平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行。
符号暗示：
2、性质定理：如果两个平面平行同时与第三个平面相交，那它们
的交线平行。
符号暗示：（更加实用的性质：一个平面内的任一直线平行另一平面）
三、线面垂直。
1、判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂
直，那么这条直线垂直这个平面。
符号暗示： α⊥⇒⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫=⊥⊥a M c b b a c a
＄：三垂线定理：（经常考到这种逻辑）在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
符号暗示： 2、性质定理：垂直同一平面的两条直线互相平行。
（更加实用的性质是：一个平面的垂线垂直于该平面内任一直线。
）
四、面面垂直。
1、判定定理：经过一个平面的垂线的平面与该平面垂直。
2、性质定理：已知两个平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。
βαβαβα⊥⇒⊥⊂=⋂⊥a b a a b ,,，。
高中数学必修2第二章点、线、面的位置关系知识点+习题+答案
D B A α 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； ] ]； a 来表 a a 线线平行 A ·α C ·B · A · α P· αLβ 共面直线p线面平行 面面平行 作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行叫做垂足。
叫做垂足。
的垂线，则这两个ba第 3 页 共 3 页aa b a b //,a a a ÞþýüË^^1、性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。
符号表示：符号表示：b a b a //,Þ^^a a 2、性质定理：一条直线与一个平行垂直，那么过这条直线的平面也与此平面垂直 符号表示：b a b a ^ÞÌ^a a ,2.3.4平面与平面垂直的性质1、性质定理：、性质定理： 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
符号表示：b b a a b a ^Þïþïýü=^Ì^a l l a a ,2、性质定理：垂直于同一平面的直线和平面平行。
符号表示：符号表示：符号表示：一、异面直线所成的角一、异面直线所成的角1.已知两条异面直线,a b ，经过空间任意一点O 作直线//,//a a b b ¢¢， 我们把a ¢与b ¢所成的锐角（或直角）叫异面直线,a b 所成的角。
所成的角。
2.角的取值范围：090q <£°；垂直时，异面直线当b a ,900=q二、直线与平面所成的角二、直线与平面所成的角1. 定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫这条斜线和这个平面所成的角2.角的取值范围：°°££900q 。
三、两个半平面所成的角即二面角：三、两个半平面所成的角即二面角： 1、从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。
高三数学 空间点线面之间的位置关系
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【名师点评】 题中是先说明D1、 E、F确定一平面，再说明B在所确定 的平面内，也可证明D1E∥BF，从而 说明四点共面．
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考点四 异面直线的判定
证明两直线为异面直线的方法： 1．定义法(不易操作)． 2．反证法：先假设两条直线不 是异面直线，即两直线平行或相交， 由假设的条件出发，经过严密的推理， 导出矛盾，从而否定假设肯定两条直 线异面．此法在异面直线的判定中经 常用到．
A．A∈l，A∈α，B∈l， B∈α⇒l⊂α
B．A∈α，A∈β，B∈α， B∈β⇒a∩β＝AB
C．l⊄α，A∈l⇒A∉α D．A∈α，A∈l，l⊄α⇒l∩α＝A 答案：C
三基能力强化
4.如图所示，在正方体ABCD-
A1B1C1D1中，异面直线AC与B1C1
所成的角为
.
答案：45°
5．三条直线两两相交，可以确 定3进一步反映了平面的延展 性．其作用是：(1)判定两平面相交；(2) 作两平面相交的交线(当知道两个平面 的两个公共点时，这两点的连线就是交 线)；(3)证明多点共线(如果几个点都是 某两个平面的公共点，则这几个点都在 这两个平面的交线上)．
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PQ、CB的延长线交于M，RQ、DB的延
长线交于N，RP、DC的延长线交于K.求
证：M、N、K三点共线．
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【思路点拨】 要证明M、N、K 三点共线，由公理3可知，只要证明M、 N、K都在平面BCD与平面PQR的交 线上即可．
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【证明】
PQ∩CB＝M
RQ∩DB＝N⇒
RP∩DC＝K
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解：选取平面BCF，该 平面有以下两个特点：①该 平面包含直线CF；②该平面 与DE相交于点E.在平面BCF 中，过点E作CF的平行线交 BF于点N，连结ND，可以看 出：EN与ED所成的角即为 异面直线FC与ED所成的角. 10分
线面、面面平行和垂直的八大定理-平面八大定理
线面、面面平行和垂直的八大定理-平面八大定理
一、直线面平行定理
定理：如果两条直线平行，那么任何一个由两条直线夹成的角都是相等的。
证明：设直线AR、AB为两直线，角A、A’R为AR与AB所成角，角A’B为AB与AR
所成角，设AR ∥ AB，则知AR与AB所成的角A = A’B（因两条直线平行），∴角A＝
A’R，证毕。
证明：设平面Alpha、Beta为两个平面，角α为Alpha与Beta所成角，角β为
Beta与Alpha所成角，设Alpha ∥ Beta，则β＝α（因两个平面平行），∴角β＝α，证毕。
证明：设直线AB与平面S、T垂直，则知AB∥S；AB∥T；∴S∥T，证毕。
结论：当直线与两个不同的平面都垂直时，两个平面一定是平行的。
这就是平面八大定理。
它揭示了直线与平面之间的相互关系，也提供了重要的绘画几
何图形的基础。
点线面位置关系例题与练习(含答案)
点、线、面的位置关系● 知识梳理 （一）.平面公理1：如果一条直线上有两点在一个平面内，那么直线在平面内。
公理2：不共线．．．的三点确定一个平面. 推论1：直线与直线外的一点确定一个平面. 推论2：两条相交直线确定一个平面. 推论3：两条平行直线确定一个平面.公理3：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有公共点，这些公共点的集合是一条直线 （二）空间图形的位置关系1.空间直线的位置关系：相交，平行，异面1.1平行线的传递公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
1.2等角定理：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。
1.3异面直线定义：不同在任何一个平面内的两条直线——异面直线；1.4异面直线所成的角：（1）范围：(]0,90θ∈︒︒；（2）作异面直线所成的角：平移法.2.直线与平面的位置关系： 包含，相交，平行3.平面与平面的位置关系：平行，相交（三）平行关系（包括线面平行，面面平行） 1.线面平行：①定义：直线与平面无公共点.②判定定理：////a b a a b ααα⎫⎪⊄⇒⎬⎪⊂⎭③性质定理：////a a a b b αβαβ⎫⎪⊂⇒⎬⎪=⎭ 2.线面斜交： ①直线与平面所成的角（简称线面角）：若直线与平面斜交，则平面的斜线与该斜线在平面内射影的夹角。
范围：[]0,90θ∈︒︒ 3.面面平行：①定义：//αβαβ=∅⇒；②判定定理：如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么两个平面互相平行； 符号表述：,,,//,////a b ab O a b ααααβ⊂=⇒判定2：垂直于同一条直线的两个平面互相平行.符号表述：,//a a αβαβ⊥⊥⇒.③面面平行的性质：（1）////a a αββα⎫⇒⎬⊂⎭；（2）////a a b b αβαγβγ⎫⎪=⇒⎬⎪=⎭（四）垂直关系（包括线面垂直，面面垂直）1.线面垂直①定义：若一条直线垂直于平面内的任意一条直线，则这条直线垂直于平面。
线面的位置关系
线面的位置关系线面的位置关系二. 知识总结：直线与平面的位置关系1. 直线在平面内——直线与平面有无数个公共点2. 直线在平面外（1）直线与平面相交——直线与平面有且仅有一个公共点①直线与平面直交（垂直）②直线与平面斜交（不垂直）（2）直线与平面平行——直线与平面没有公共点（一）直线与平面平行的判定和性质1. 判定依据（1）线面平行的定义（2）线面平行的判定定理（又称线线平行则线面平行）（3）面面平行的性质：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面2. 判定方法（1）证明这直线与这平面没有公共点（2）证明这直线与这平面内的某条直线平行（3）证明这直线所在平面与这平面平行（4）证明这直线上有在平面同旁的两点到这个平面距离相等3. 性质（二）直线和平面垂直的判定和性质1. 知识提要（1）直线和平面垂直的定义如果一条直线和平面内的任何一条直线都垂直，就称这条直线和这个平面互相垂直。
（2）直线和平面垂直的判定定理如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。
（3）两两平面垂直的性质定理如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。
2. 方法提要：判定直线垂直平面的方法（1）证明这直线与平面内两条相交直线都垂直（2）证明这直线与平面的一条垂线平行（3）证明这直线所在平面垂直该平面，并且这直线垂直于两平面的交线（4）证明这直线垂直于另一个平面，而这个平面与已知平面互相平行（5）证明直线是这平面的两个相交垂面的交线【典型例题】[例1] 已知：正方形ABCD与正方形ADEF所在平面相交，M、N分别是BD、AE内的动点，且BM=AN，求证：MN//平面CED。
证明：连结AM并延长交CD于G，连结GE由AB//CD[例2] 设S是平行四边形ABCD所在平面外一点，P、Q、R 分别是SC、SB、SD上的点，且，求证：SA//平面PQR。
证：如图，设，则O为AC的中点，连结SO设，由取SC中点M，连结OM、KP由[例3] 正三棱柱中，。
高中数学必修2 直线、平面平行的判定与性质
两个防范(1)在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则，会出现错误．答案 A5．(2012·衡阳质检)在正方体________．解析如图．连接AC、BD交于ACE.答案平行在四棱锥PABCD中，底面求证：PB∥平面ACM.[审题视点] 连接MO，证明证明连接BD，MO.中点，所以PB∥MO.利用判定定理时关键是找平面内与已知直线平行的直线．可先直观判断平面内是否已有，若没有，则需作出该直线，常考虑三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线．在正方体ABCDA1B1C1D1求证：平面MNP∥平面[审题视点] 证明MNMP∥C1B.(1)面面平行的定义；下面给出证明：如图，取BB1的中点则DF∥B1C1.∵AB的中点为E，连接结论成立的充分条件，规范解答13——怎样证明线线、线面、面面平行与垂直的综合性问题【问题研究】高考对平行、垂直关系的考查主要以线面平行、线面垂直为核心，以多面体为载体结合平面几在四棱台ABCDA1B1C1D1BAD＝60°.(1)证明：AA1⊥BD；(2)如图，连结AC，A1C1设AC∩BD＝E，连结EA1因为四边形ABCD为平行四边形，明的依据是空间线面关系的判定定理和性质定理．如图，在多面体ABCDEF＝FC，H为BC的中点．(1)求证：FH∥平面EDB；(2)求证：AC⊥平面EDB；β=b）平行的直线②④β=则,bm不平行于平面又∵AE∥CD且∴FM綉AE，即四边形证明如下：如图，取。
立体几何三 八大定理 线面关系
lmβααbaNMCB AD A 1B 1C 1D 1αDCBA立体几何（三）线面位置关系的八大定理一、直线与平面平行的判定定理：文字语言：如果平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则这条直线与平面平行图形语言： 符号语言：//a b a b αα⊄⎫⎪⊂⎬⎪⎭⇒//a α 作用：线线平行⇒线面平行典例：在正方体1111ABCD A B C D -中，,M N 分别是11,A B CC 的中点，求证：//MN ABCD 平面二、直线与平面平行的性质定理：文字语言：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行。
图形语言：符号语言：//l l m αβαβ⎫⎪⊂⎬⎪⋂=⎭⇒//l m作用：线面平行⇒线线平行典例：如图，//,//,,AB AC BD C D ααα∈∈，求证：AC BD =CABB 1A1C 1D Eb a FE γβαDCB A文字语言：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行． 图形语言： 符号语言：//a b a b A a b αααβββ⊂⎫⎪⊂⎪⎪=⇒⎬⎪⎪⎪⎭∥∥ 作用：线线平行⇒ 面面平行典例：如图，在三棱柱111ABC A B C -中，点,D E 分别是BC 与11B C 的中点， 求证：平面1//A EB 平面1ADC四、平面与平面平行的性质定理:文字语言：如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么所得的两条交线平行 图形语言:符号语言:////a a b b αβαγβγ⎫⎪⋂=⇒⎬⎪⋂=⎭作用: 面面平行⇒线线平行典例：如图，////αβγ，直线a 与b 分别交,,αβγ于点,,A B C 和点,,D E F ， 求证：AB DEBC EF=nmAαaαbaFEPD CBA 文字语言：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面 图形语言： 符号语言： ,a ma n a m n A m n ααα⊥⎫⎪⊥⎪⇒⊥⎬⋂=⎪⎪⊂⊂⎭作用：线线垂直⇒线面垂直典例：已知四棱锥,P ABCD PD -⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，且PD CD =，,E F 分别为,PB PC 的中点，求证：（1）AC ⊥平面PBD （2）PA AB ⊥（3）PC ⊥平面ADFE六、直线与平面垂直的性质定理：文字语言：若两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线平行 图形语言： 符号语言：//a a b b αα⊥⎫⇒⎬⊥⎭作用：线面垂直⇒线线平行BA l βαaβαC CBAP文字语言：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直。
线面、面面位置关系的基本知识点(经典)
a
b
a
b
三、两个平面平行的判定定理： 若一个平面内有两条相交直 线分别平行于另一个平面， 那么这两个平面平行.（线 面平行→面面平行） 推论：垂直于同一条直线的 两个平面平行.（线面垂直→ 面面平行）
a O b
l
四、两个平面平行的性质定理1： 如果两个平行平面同时 与第三个平 面相交，那 a 么它们的交线平行。 b （面面平行→线线平行） 性质2：两个平面平行，其 中一个平面内的任何一条 直线必平行于另一个平面。 （面面平行→线面平行）
a⊥ b (2)若 aα ， bα ， 则 _____.
⊥ (3)若 a//b, a α , 则 b___α .
(4)命题1：空间中过一点有且只有一条 直线和已知平面垂直. 命题2：空间中过一点有且只有一个平面 和已知直线垂直.
五、直线与平面垂直的判定定理： 如果一条直线和一个平面内 的两条相交直线都垂直，那 么这条直线垂直于这个平面。
a
性质3：经过平面外一点， 有且只有一个平面和已知 平面平行。 性质4:平行于同一个平面 的两个平面平行(面面平 行→面面平行)
P
直线与平面垂直 (1)定义：如果一条直线和一个平面内的 任何一条直线都垂直,那么就称这条直线 和这个平面垂直. 其中直线叫做平面的垂线,平面叫做直线 a 的垂面,交点叫做垂足.
公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它 们有且只有一条过该点的公共直线。 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 结论：经过直线外一点有且只有一条直线和这条直线平 行。
一、直线和平面平行的判定定理：
如果平面外的一条直线和这个平面内 的一条直线平行，那么这条直线就和这 个平面平行。 （即线线平行，则线面平 行）
点线面之间的位置关系定理
一、四个公理：1；两点在平面内，直线在平面内；两点决定一条直线2：两平面有交点，必有交线，所有交点（公共点）在交线上3：不共线三点决定一个平面：a 直线和线外一点b 两条相交直线c 两条平行直线 决定一个平面 4：两条直线平行于第三条直线,这两条直线平行等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等二、异面直线的定义：不可能找到一个平面同时包含这两条直线；不同在任何一个平面内的两条直线除定义外，还可以用下列定理：过平面内一点和平面外一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线。
三、异面直线所成角的范围：0＜θ≤90度；过空间任一点o ，做a1∥a ，b ∥b1 ，把a 1、b 1所成的锐角或直角叫做异面直线所成的角若两条异面直线所成的角是直角，则称两条异面直线互相垂直。
通过构造辅助平面、辅助几何体来平移直线，在同一三角形中，求异面直线所成的角，可以选择两条异面直线上一点做另一条异面直线的平行线。
所求的角为钝角时，两条异面直线所成的角应为其补角。
直线和平面所成的角范围0≤θ≤90度，平行于平面或在平面内为0度，垂直于平面为90度斜线和平面所成的角范围0＜θ＜90度四、空间两条直线的位置关系共有三种：相交直线、平行直线、异面直线，前两种情况两条直线在同一平面内，后 种情况两条直线不在同一平面内。
五、直线和平面的位置关系直线和平面相交、直线和平面平行统称为直线在平面外。
直线与平面的平行1、直线和平面平行的判定定理：直线∥面内线 ⇒ 直线∥面；要证明一条直线和一个平面平行，只要在平面内找一条直线和平面外的那条直线平行即可。
2、直线和平面平行的性质定理：直线∥平面 ⇒ 直线∥交线；线面平行，直线不平行于此平面内的任一条直线。
直线与平面的垂直3、直线和平面垂直的判定定理；直线⊥交线⇒直线⊥平面4、直线和平面垂直的性质定理：两直线⊥同一平面⇒直线∥直线过一点做直线和平面垂直：过一点有且只有一个平面和已知直线垂直；过一点有且只有一条直线与已知平面垂直 过一点做平面和平面平行：过平面外一点有且只有一个平面和已知平面平行。
高中数学必修2点线面常用定理汇总
高中数学必修2 点、线、面知识小结第一部分 课本相关概念一、关于异面直线：1.定义：不同在任一平面的两条直线；既不平行也不相交的两条直线2.异面直线夹角：对于异面直线l 和m ，在空间任取一点P ，过P 分别作l 和m 的平行线1l 和1m ，我们把1l 和1m 所成的角叫做异面直线l 和m 所成的角α 其中，⎥⎦⎤⎝⎛∈20πα，3.异面直线的公垂线与两异面直线都垂直且相交的直线 两异面直线的公垂线段有且仅有一条 说明：两直线所成角θ的范围：⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈20πθ， 二、关于线面角 1.直线与平面斜交：当直线与平面相交且不垂直时，称直线与平面斜交，直线叫做平面的斜线 2.斜线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角α ，⎥⎦⎤⎝⎛∈20πα，当直线与平面垂直时，直线与平面所成角为︒90 3.直线与平面所成角：记作“θ”，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈20πθ，三、关于二面角1.半平面：平面内的一条直线把这个平面分成两个部分，其中每一个部分都叫做一个半平面2.二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形 这条直线称为二面角的棱；两个半平面称为二面角的面3.二面角的平面角：以二面角棱上任意一点为端点，在两个面内分别做垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角 二面角的大小用它的平面角的大小来表示 平面角是直角的二面角称为直二面角4.二面角的范围：记作“θ”，[]πθ，0∈四、空间中的距离问题：1.点到直线的距离：直线外一点到直线的垂线段长2.点到平面的距离：平面外一点到平面的垂线段长3.两异面直线间的距离：两异面直线间公垂线段的长4.平行直线到平面的距离：直线上任一点到平面的距离5.两平行平面间的距离：其中一个平面内任意一点到另一个平面的距离 五、空间中的位置关系： 1.点与直线的位置关系：点在直线上；点不在直线上； 2.点与平面的位置关系：点在平面内；点不在平面内；3.两直线的位置关系：相交，平行，异面；空间中垂直有两种：相交垂直和异面垂直 4.直线与平面间的位置关系：直线与平面平行α//l ；直线与平面相交P l =α ；直线在平面内α⊆l 直线与平面垂直是直线与平面相交的一种；直线与平面平行和直线与平面相交统称为直线不在平面内5.平面与平面的位置关系：相交l =βα ；平行βα//；重合βα=；第二部分 课本公理定理公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 αα∈∈∈∈B A l B l A ,,,且 ⇒ α⊆l用途：常用来判断点在平面内；或者直线在平面内 公理2 过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面 推论 ①过直线与直线外一点，有且仅有一个平面②过两条相交直线，有且仅有一个平面 ③过两条平行直线，有且仅有一个平面 用途：常用来确定平面 公理3 若两个不重合的平面有一个公共点，则它们有且只有一条过该点的公共直线．βα∈∈P P 且 ⇒ l P l ∈=且,βα用途：证明两平面相交；或三点共线；或三线共点公理4 平行于同一条直线的两条直线互相平行 b a //，c b // ⇒ c a //空间等角定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补若方向相同，则两角相等；若方向相反，则两角互补 异面直线的判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线，与平面内不经过该点的直线是异面直线 l B B A l ∉∈∉⊆,,,ααα⇒AB 和l 是异面直线 线面平行判定定理 若不在平面内的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行 m l m l //,,αα⊆⊄ ⇒ α//l面面平行判定定理 若一个平面内的两条相交直线分别与另一个平面平行，则这两个平面平行第三部分 立体几何中的唯一性定理辨析1、经过平面外一点，有无数条直线和已知平面平行 经过平面外一点，有且只有一个平面和已知平面平行2、经过平面外一点，有且只有一条直线和已知平面垂直 经过平面外一点，有无数个平面和已知平面垂直3、经过直线外一点，有且只有一条直线和已知直线平行 经过直线外一点，有无数个平面和已知直线平行4、经过直线外一点，有且只有一条直线和已知直线垂直 经过直线外一点，有无数个平面和已知直线垂直第四部分 关于平行的判定方法一、线线平行的判定 1.定义法：在同一平面内,没有公共点的两条直线 ∅≠⊆⊆l m l m ;,αα ⇒ l m //2.平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行 b a //，c b // ⇒ c a //3.线面平行性质定理 若一条直线与一个平面平行，过这条直线的任意平面与此平面相交，则交线与该直线平行l m m =⊆βαβα ,,// ⇒ l m //4.面面平行性质定理 若两个平行平面同时和第三个平面相交，则它们的交线平行一、线线垂直的判定 1.定义法：两直线所成角为o90；两直线所成角，是两直线相交所得较小的角；也可以是异面直线平移后相交所得较小的角2.线面垂直性质：若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于平面内的所有直线αα⊆⊥n l , ⇒ n l ⊥3.三垂线定理：在平面内的一条直线，若和这个平面的一条斜线的射影垂直，则它也和这条斜线垂直AB l l PB A PA ⊥⊆⊥=,,,ααα ⇒ PA l ⊥4.三垂线定理的逆定理：在平面内的一直线，若和这个平 交线的直线与另一个平面垂直 n l n l ⊥=⊆⊥,,,βααβα ⇒ β⊥l二、线面垂直的判定1.定义法：若直线和平面相交，并且和这个平面内的任意一条直线都垂直，则称这条直线和这个平面互相垂直2.线面垂直判定定理 若一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线垂直于此平面n l m l P n m n m ⊥⊥=⊆⊆,;,, αα⇒α⊥l3.线面垂直性质 若一条直线垂直于垂直于两个平行平面中的一个平面，则它也垂直于另一个平面 βαα//,⊥l ⇒ β⊥l 面的一条斜线垂直，则它也和这条斜线的射影垂直PA l l PB A PA ⊥⊆⊥=,,,ααα ⇒ AB l ⊥5.线面垂直性质 若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面 α⊥l n l ,// ⇒ α⊥n6.面面垂直性质 若两个平面垂直，则一个平面内垂直于三、面面垂直的判定1.定义法：两个平面相交，若它们所成的二面角是直二面角，则这两个平面互相垂直.2.面面垂直判定定理 若一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直 βα⊆⊥l l , ⇒ βα⊥。