线性代数同济大学 模拟试题

T T
x 1 2 5 2 3 5 1 3 y 1 八、正交变换 x 2 1 5 4 3 5 2 3 y 2 , 0 5 3 5 2 3 y 3 x3
化二次型为f
y1 y2 10 y3 .
的秩为 . 2．设 A 为 n 阶方阵, 且 det A 2, 则
1 1 det ( A) A . 3 2 0 0 1 0 0 3．已知矩阵A 2 x 2 与B 0 2 0 相似, 3 1 1 0 0 y 则x ,y .
n T n i 1
三、１ ２ ＝ n 1 o, n 1 a i b i . ＝ ＝ 1 1 1 四、X 0 1 1 . 0 0 1
五、 当 1时, 有唯一解; (1) (2)当 1时, rank ( A B ) 4, rankA 3, 无解; ( 3)当 1时, rank ( A B ) rankA 3, 有无穷 多解, 通解为x (1,0,1,0) k ( 1,1,1,1) , k任意. 六、略) ( 3 n ( 1) n 2 3 n ( 1) n 1 1 n . 七、A n n ( 1) n 1 n 2 3 3 ( 1)
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模拟试题（一）
一、是非、选择题（每小题3分，共15分）:
1．设A与B均为n阶方阵, 则下列结论中 成立. ( A) det( AB ) 0, 则A O , 或B O; ( B ) det( AB ) 0, 则det A 0, 或 det B 0; (C ) AB O , 则A O , 或B O; ( D ) AB O , 则det A 0, 或 det B 0.
2．设 1 (1,1,0,0), 2 (0,0,1,1), 3 (1,0,1,0), 4 (1,1,1,1), 则它的极大无关组为 . ( A) 1 , 2 ; ( B ) 1 , 2 , 3 ;
(C ) 1 , 2 , 4 ;
( D) 1 , 2 , 3 , 4 ;
四、（10分） 求解矩阵方程 1 2 3 6 6 6 X 2 3 1 5 4 3 3 1 2 3 1 2 五、（15分） 取何实值时，线性方程组 x1 x 2 x2 x3 x3 x4 x1 x 4 有唯一解，无穷多解， 无解？在有无穷多解的
且向量在基( )下的坐标为(0,3,1,1), 求 : (1)由基( )到基( )的过渡矩阵; ( 2)向量在基( )下的坐标.
3 (0,0,2,1),
4 (0,0,3,2);
模拟试题（一）参考答案
一、．B ); 2. ( B ); 3. (对 ); 4. (对 ); 5. (对 ). 1 ( 二、．; 1 2 ( 1) 2. ; 3. x 0, y 2; 4. t 2 . 2
2 2 1 2 2 3 , 3 1 5 2 3 3 .
1．证明 1 , 2 , 3 也是 R 3 的一个基; 2．求由基 1 , 2 , 3 到基 1 , 2 , 3 的过渡矩阵; 3．若向量在基 1 , 2 , 3 下的坐标为 (1,2,0), 求
情况下求通解.
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六、１.（5分） 设A为正交矩阵且det A 1, 证明 : E A不可逆.
设 ２.（5分） n 阶可逆矩阵A中每行元素之和 为常数a , 证明 : (1) 常数 a 0; ( 2) A1 的每行元素之和为a 1 . 1 2 , 求 An . 七、（6分） 设A 2 1 八、（12分） 用正交变换化二次型 f ( x1 , x 2 , x 3)
2 1 2 2 2 3
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八、 易证E A2 为实对称矩阵, 对任意x 0, 有 ( E A 2 ) x x T ( E AT A) x x
T
x T x ( Ax ) ( Ax ) 0 故E A 2 是正定矩阵.
2 2 2 2 x1 5 x2 5 x3 4 x1 x2 4 x1 x3 8 x2 x3 为标准
形, 并写出所用的正交变换 .
已知四维向量空间R 4 的两个基 : 九、（10分） ( ) 1 (1,1,2,1), 2 (0,2,1,2),
3 (0,0,3,1), 4 (0,0,0,1); ( ) 1 (1,1,0,0), 2 (1,0,0,0),
T
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在基 1 , 2 , 3 下的坐标. 五、（15分） 取何值时, 线性方程组
( 2 1) x 1 x 2 ( 1) x 3 1 ( 2) x 1 ( 1) x 2 ( 2) x 3 ( 2 1) x ( 1) x ( 2 1) x 1 2 3
1．设3阶方阵A按列分块为A (１ ２ ３), 且 det A ， ， 5, 又设B (１ 2２,3１ 4３,5２), 则det B 1 0 0 2．设 A 2 2 0 的伴随矩阵为A* , 则( A* )1 3 3 3 3．若向量 ( 0, k , k 2 )能由向量 1 (1 k ,1,1), 2 (1,1 k ,1), 3 (1,1,1 k ) 唯一线性表示, 则k应满足 . .
2
2
2
九、 ．由基( )到基( )的过渡矩阵为 1 0 1 2 0 2 0 0 2 C 1 4 3 3 0 3 1 2 2．在基( )下的坐标为(6,6,6,6).
模拟试题（二）
一、填空题（每小题5分，共20分）
4．当 t 取值为
2 2 2 时, 二次型 f x1 4 x2 2 x3
2tx1 x2 2 x1 x3 是负定的. 三、（10分）已知向量 (a1 , a2 ,, an )和 (b1 ,
b2 ,, bn ), 求矩阵A T 的全部特征值.
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) )
3．若n阶实对称矩阵A满足A2 O , 则A O . ( 组线性无关. 5．若n阶实对称矩阵A (a ij )
nn
4．若齐次线性方程组Ax 0只有零解, 则A的列向量 ( 正定, 则aii 0( i 1,2, ( )
源自文库
, n). 二、填空题（每小题3分，共12分）:
2 1．二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) 2 xx1 4 x1 x2 2 x1 x3
有唯一解, 无解, 无穷多解? 在有无穷多解时求通解.
六、（10分） 设A是n阶实对称矩阵且满足A2
A, 又设A的秩为r . 1.证明A的特征值为 或0; 1 2.求行列式det(2 E A), 其中E是n阶单位矩阵.
七、（１５分） 已知二次型 2 f t x1 t x 2 t x 2 4 x1 x 2 4 x1 x 3 4 x 2 x 3 2 3
七、 . t 4 时二次型是负定的 1 ; 2. 正交变换 x 1 1 2 1 6 1 3 y 1 x 2 1 2 1 6 1 3 y 2 0 2 6 1 3 y 3 x3 化二次型为 f 2 y 2 y 4 y .
二、n!(1 a k ). k 1 k
n
四、2．由基 1 , 2 , 3 到基 1 , 2 , 3 的过渡矩阵为 7 4 9 C 6 3 7 3 2 4 3.在基 1 , 2 , 3 下的坐标为(1,0,1).
1. t取何值时, 二次型是负定的; 2. 取t 0, 试用正交变换化二次型为标准形(写 出所用的正交变换).
八、（5分） 已知A是实反对称矩阵(即满足 AT A), 试证
E A2 为正定矩阵, 其中E是单位矩阵.
模拟试题（二）参考答案
0 1 6 0 一、 . 100; 1 2. 1 3 1 3 0 ; 1 2 1 2 1 2 3. k 0 且 k 3; 4. a b 0. 0 0 2 0 0 2 4 0 三、 . 0 0 1 3 0 0 5 7
五、1) 当 0且 1时, 有唯一解; ( ( 2) 当 0或 1时, 无解; ( 3) 当 1时, 有无穷多解, 通解为 x 1， 1， T k ( 3,3,5)T , k 任意. （ 0）
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六、 略) (

an an

a1 a 2 a n 1 n 1 a n a1 a2 a n 1 an n 学习交流：89903800 www.mba518.com
三、（10分） 0 4 2 0 0 2 0 0 设A , 且BA A B , 求矩阵B . 0 0 7 3 0 0 5 1 四、（15分） 已知三维向量空间R 3 的一个基 : 1 , 2 , 3 ; 设 1 2 1 3 2 3 3 ,
.
2 2 2 4．已知二次型 f x1 x2 x3 2ax1 x2 2 x1 x3 2 2 2bx2 x3 经正交变换化为标准形 f y2 2 y3 , 则
a
,b
.
计算 n 阶行列式 : 二、（10分） a1 1 a 2
Dn
a1

a2 2


a n 1 a n 1