连续型随机变量的联合分布和边际分布

y
(x1, y2) (x2, y2)
(x1, y1) (x2, y1)
x
证明 P{ x1 X x2 , y1 Y y2 } P{ X x2 , y1 Y y2 } P{ X x1, y1 Y y2 } P{ X x2 ,Y y2 } P{ X x2 ,Y y1} P{ X x1,Y y2 } P{ X x1,Y y1} 0, 故 F ( x2 , y2 ) F ( x2 , y1 ) F ( x1, y1 ) F ( x1, y2 ) 0.
x , y
其中A , B , C 为常数. (1) 确定A , B , C ； (2) 求X 和Y 的边缘分布函数；
(3) 求P (X > 2)
解
(1)
F (,)

A
B


2
C


2


1
F
(,)

A
B


2

fY ( y)

f ( x, y)d x 0.

得
6( fY ( y)

y y), 0,
0 y 1, 其他.
四、条件密度函数
定义 设二维随机变量( X ,Y ) 的概率密度为
f ( x, y),( X ,Y ) 关于 Y 的边缘概率密度为fY ( y).若
对于固定的 y,
例 4 设随机变量 ( X ,Y )的概率密度为
f
(
x,
y)

1, 0,
| y | x, 0 x 1, 其它.
试求（ ：1）f X ( x), fY ( y) ; (2) f X|Y ( x | y), fY|X ( y | x) ;
1
(3) P( X |Y 0).
2
解：
FY ( y) F (, y) P{ X ,Y y} P{Y y}
为随机变量 ( X,Y )关于Y 的边缘分布函数.
例1 设r.v.(X ,Y )的联合分布函数为
F(x, y) A B arctan x C arctan y

2
2
第二节 连续型随机变量的联合分布 和边际分布
一、多维随机变量的联合分布函数 二、二维连续型随机变量及其密度函数 三、边际密度函数 四、条件密度函数 五、两种常用分布
一、多维随机变量的联合分布函数
1. 分布函数的定义
设 ( X ,Y ) 是二维随机变量,对于任意实数 x, y, 二元函数:
F ( x, y) P{( X x) (Y y)} P{ X x,Y y} 称为二维随机变量( X ,Y ) 的分布函数,或称为随 机变量X 和 Y 的联合分布函数.
y
yx
0,
其它.
1 | y |, | y | 1
0
1
x

0,
其 它.
y x
(2) 当 | y | 1, f X|Y ( x | y)
f
(
x,
y)

1, 0,
| y | x, 其它.
0

x

1,
f (x, y) fY ( y)

1 1 |
y
|
,
0,



y 0
x 2e(2 x y) d x d y,
0
x 0, y 0,
0,
其他.
得 F ( x,
y)

(1

e2 x 0,
)(1

ey
),
x
0, y 其他.
0.
(2) 将 ( X,Y )看作是平面上随机点的坐标, 即有 {Y X } {(X ,Y )G},
F ( x, y)的函数值就是随机点落在如图所示区
域内的概率.
y (x, y)
X x,Y y
o
x
2. 分布函数的性质
1o F ( x, y) 是变量 x 和 y 的不减函数,即对于任 意固定的 y, 当 x2 x1 时 F ( x2 , y) F ( x1, y), 对于任意固定的x,当y2 y1时F ( x, y2 ) F ( x, y1 ). 2o 0 F( x, y) 1, 且有
3o F ( x, y) F ( x 0, y),F ( x, y) F ( x, y 0), 即 F ( x, y) 关于 x 右连续,关于 y 也右连续.
4o 对于任意 ( x1, y1 ),( x2 , y2 ), x1 x2 , y1 y2 , 有 F ( x2 , y2 ) F ( x2 , y1 ) F ( x1, y1 ) F ( x1, y2 ) 0.
例2 设二维随机变量( X , Y ) 具有概率密度
2e(2 x y) , x 0, y 0,
f (x, y) 0,
其它.
(1) 求分布函数 F ( x, y); (2) 求概率 P{Y X }.
解
(1) F ( x, y)
y
x
f (x, y)d xd y
几何上, z f ( x, y) 表示空间的一个曲面.

f ( x, y)d x d y 1,
表示介于 f (x, y)和 xoy 平面之间的空间区域的 全部体积等于1.
P{( X ,Y ) G} f ( x, y) d x d y,
G
P{( X ,Y ) G }的值等于以G为底 , 以曲面z f ( x, y) 为顶面的柱体体积.
2
2
(3) P(X 2) 1 P(X 2)

1


1 2

1

arctan
2 2

1/ 4.
二、二维连续型随机变量及其密度函数
1.定义
对于二维随机变量( X ,Y ) 的分布函数 F ( x, y),
如果存在非负的函数 f (x, y) 使对于任意 x, y 有
yx
F ( x, y)

(3) 设 G 是 xoy 平面上的一个区域, 点 ( X ,Y ) 落在
G 内的概率为
P{(X ,Y ) G} f ( x, y) d x d y.
G
(4)若 f ( x, y)在( x, y)连续,则有2F ( x, y) f ( x, y). xy
3.说 明
(1)

f X ( x) f ( x, y)dy
y
yx
x


dy 2x, x
0 x 1,
0,
其它.
0
1
x
y x
例
fY
4（续）

( y)

f
(
x,
y)dx

1
dx
y
1
dx
y

1 1
y, y,
0 y 1, 1 y 0,
1
2 1 2 1 r 2

exp
2
1
1
r
2
x

1 2

2 1

2rx
1 y
1 2

2
y
2 2

2 2
(3)
P(X

1 |Y
0)
P(X 1 ,Y 2
0)
2
P(Y 0) y

(1

1) 2

1 2

2

3
1 11
4
0
2
yx
11
x
2
例5
设二维随机变量X， Y 服从二元正态分布：
X， Y ~
N
1，

，
2

2，
1

2，
2
r
则X， Y 的联合密度函数为
f x， y
| y | x 1 其它。
例 4（续）
f (x,
y)

1, | y | x, 0, 其它.
0

x
1,
fX (x)

2x, 0 x 1 0, 其它.
当0 x 1,
fY|X ( y | x)
f (x, y) fX (x)


1 2x
,
0,
x y x, 其它。
f (u,v) d udv ,

则称 ( X ,Y ) 是连续型的二维随机变量, 函数 f ( x, y)
称为二维随机变量( X ,Y ) 的概率密度, 或称为随
机变量 X 和 Y 的联合概率密度.
2.性 质
(1) f ( x, y) 0.

(2)
f ( x, y) d x d y F (,) 1.
[ f ( x, y)d y]d x,

记

fX ( x)
f (x, y)d y,

称其为随机变量( X , Y ) 关于 X 的边缘概率密度.
同理可得 Y 的边缘分布函数
y
FY ( y) F (, y)

f (x, y)d x d y,


fY ( y)
f (x, y)d x.

Y 的边缘概率密度.
边缘密度具有一元随机变量密度函数的性质.
联合密度函数唯一决定边缘密度函数.
例3 设随机变量 X 和 Y 具有联合概率密度
6, x2 y x,
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f (x, y) 0,
其他.
求边缘概率密度 fX ( x), fY ( y).
解

fX (x)
y x
O
y x2 x
因而得
6( x x2 ), 0 x 1,
fX (x)
0,
其他.
当 0 y 1时,
y
(1,1)

fY ( y)
f (x, y)d x

y
y 6d x
y x
O
y x2 x
6( y y).
当 y 0 或 y 1时,
F( x, y) P{X x,Y y} , F( x) P{X x}, P{X x} P{X x,Y } F( x,) FX ( x)
( X ,Y )关于X的边缘分布函数.
定义 设 F ( x, y) 为随机变量( X ,Y ) 的分布函数, 则 F( x, y) P{X x,Y y} . 令 y , 称 P{X x} P{X x,Y } F( x,) 为随机变量( X ,Y ) 关于X的边缘分布函数. 记为 FX ( x) F ( x,). 同理令 x ,
说明
上述四条性质是二维随机变量分布函数的最基本的 性质，即任何二维随机变量的分布函数都具有这四 条性质； 更进一步地，我们还可以证明：如果某一二元函数 具有这四条性质，那么，它一定是某一二维随机变 量的分布函数．
3.边缘分布函数
问题:已知 ( X ,Y ) 的分布, 如何确定 X ,Y 的分布?
对于任意固定的 y, F (, y) lim F ( x, y) 0, x
对于任意固定的 x, F( x,) lim F( x, y) 0, y
F (,) lim F ( x, y) 0, x y
F (,) lim F ( x, y) 1. x y
f (x, y)d y

当 0 x 1时,
y y x

fX ( x)
f (x, y)d y

O
x
6d y x2
(1,1)
y x2 x
6( x x2 ).
当 x 0 或 x 1时,

fX ( x)
f ( x, y)d y 0.

y
(1,1)
P{Y X } P{(X ,Y )G} y
YX
f ( x, y)d x d y
G
2e(2 x y) d x d y 0y
G
O
x
1. 3
三、边际密度函数
定义 对于连续型随机变量( X ,Y ), 设它的概率
密度为 f ( x, y),由于
x
FX ( x) F ( x,)
C


2


0
F
(,)

A
B


2

C


2


0
B


2
,C


2
,
A

1
2
(2) FX (x) F (x,)
1 1 arctan x , x .
2
2
FY ( y) F (, y)
1 1 arctan y , y .
fY ( y) 0, 则称
f ( x, y) 为在Y fY ( y)

y
的条件下 X 的条件概率密度,记为
f (x, y)
f (x y)
.
XY
fY ( y)
同理，
fY X y x
f x， y fX x
称为随机变量Y 在 X x的条件下的 条件密度函数.
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