连续型随机变量的联合分布和边际分布
3-2连续型随机变量的联合分布和边际分布
fY y
1
y2 2
e 2
2 2
2 2
y
因此，对任意的 y，fY y 0，
f X Y
xy
f x， y fY y
2
1
2 1
1r2
exp
2
2 1
1 1
r2
x
1
r
1 2
y
2
2
x
结论：二维正态分布的条件分布是一维正态分布,即
N
1
r
1 2
y 2
.
XY
fY ( y)
同理，
fY X y x
f x， y fX x
称为随机变量Y 在 X x的条件下的 条件密度函数.
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例 4 设随机变量 ( X ,Y )的概率密度为
f
(
x,
y)
1, 0,
| y | x, 0 x 1, 其它.
试求（ ：1）f X ( x), fY ( y) ; (2) f X|Y ( x | y), fY|X ( y | x) ;
，
2 1
1r2
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五、两种常用的分布
1.均匀分布
定义 设G 是平面上的有界区域,其面积为 S,若二 维随机变量 ( X , Y ) 具有概率密度
3.3 二维连续型随机变量及其分布
1 6xydy 3x(1 x4 ), 故 x2
f
X
(
x)
3x(1 x4 0,其它
),0
x
1,
当0 y 1时，fY ( y)
f (x, y)dx
0
y
6xydx
3x2 y
|x
x0
y
3y 2 , 故得
fY
(
y)
3y2,0 0,其它.
定义：设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为F(x,y)，边缘分
布函数为FX(x)，FY(y)，若对任意的实数x,y，有 F(x,y)=FX(x)FY(y)
则称X与Y相互独立。
推广定义. 设n维随机变量(X1,X2,...Xn)的分布函数为F(x1,x2,...xn), 若Xk 的边缘分布函数为FXk(xk),k=1,2,…,n,
0 3
3
所以， 随机变量X的边缘密度函数为
f
X
x
2x
2
2 3
x
0 x 1
0
其它
当0 y 2 时，
fY
y
f
x，
ydx
1 0
x2
1 3
xy dx
1 3
1 6
y
所以， 随机变量Y的边缘密度函数为
fY
y
1 3
y x2
O
x
（1）求常数c;(2)求关于X及Y的边缘概率密度
1x
解:(1)由归一性 dx cdy 1 c 6
3-2边缘分布.
且都不依赖于参数.
这意味着对于给定的1,2
,
2 1
,
2 2
,
不同的对应不同的二维正态分布. 如N
1
,
2 1
;
2
,
2 2
;
0.3
与N
1,
2 1
;
2
,
2 2
;
0.7
对应不同的二维正态分布，而它们的
边缘分布却是相同的. 这一事实表明:仅由边缘分布,一般来说
不能确定随机变量X ,Y的联合分布.也再次说明了联合分布中
i 1
分别称 pi (i 1,2,) 和 p j ( j 1,2,) 为 ( X ,Y )
关于 X 和关于Y 的边缘分布律.
Y X
x1 x2 xi
y1 y2
p11 p12 p21 p22
pi1 pi 2
yj
p1 j p2 j
pij
2
e dy,
1 2(1 ρ2
)
y μ2 σ2
ρ
x μ1 σ1
2
令 t 1 y μ2 ρ x μ1 ,
1 ρ2 σ2
σ1
则有
f X
(x)
1 2πσ1
e
(
x μ1 2σ12
)2
t2
e 2 dt,
即
二、离散型随机变量的边缘分布律
定义 设二维离散型随机变量( X ,Y )的联合分布
律为
P{ X xi ,Y y j } pij , i, j 1,2,.
记
§3.3 二维连续型随机变量及其分布
4)F ( x , y )关于x及y右连续 .
定理3.3.2 设二维随机变量( X ,Y ) 有联合密 定理 度 f ( x , y )，分布函数为 F ( x , y ) ，则 连续函数,且在 (1)F ( x , y )为连续函数 且在 f ( x , y )的连续点处有
作业P31-32 作业
2.4.2 联合分布函数 定义2.4.3 设(X,Y)是二维随机变量，对任 是二维随机变量， 定义 是二维随机变量 意有序实数对(x,y)，定义 ， 意有序实数对
F ( x , y ) = P ( X ≤ x ,Y ≤ y ),−∞ < x , y < +∞ ,
为随机变量(X,Y)的分布函数，或称 称F(x,y)为随机变量 为随机变量 的分布函数， 为X与Y的联合分布函数 与 的联合分布函数.
∂2F( x, y) = f ( x, y); ∂x∂y
(2)对于任意一条平面曲线 ，有 对于任意一条平面曲线L， 对于任意一条平面曲线
P (( X ,Y ) ∈ L) = 0.
如图3.9 表示由曲线 例3.3.1 如图 G表示由曲线 y = x 2 及直 围成的图形在第一象限内的部分， 线 y = 1 围成的图形在第一象限内的部分，设
则称 ( X ,Y ) 服从参数为 µ1 , µ2 ,σ 12 ,σ 22 , r 的二维正 态分布,记为 态分布 记为 ( X ,Y ) ~ N ( µ1 , µ2 ,σ 12 ,σ 22 , r ). 其中
µ1 , µ 2 ∈ R,σ 1 ,σ 2 > 0, | r |< 1.
连续型全概率公式及其应用
连续型全概率公式及其应用王丰效【摘要】利用随机事件的全概率公式,分别给出连续型随机变量的一类全概率公式.通过应用实例着重说明了连续型全概率公式的应用.【期刊名称】《吉林师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2014(035)002【总页数】4页(P68-70,73)【关键词】连续型随机变量;离散型随机变量;全概率公式【作者】王丰效【作者单位】喀什师范学院数学系,新疆喀什844000【正文语种】中文【中图分类】O211全概率公式是概率论的重要公式之一，也是教学中的重点与难点.全概率公式［1］是间接计算概率的重要公式.它是一种介绍如何化解复杂事件的概率计算为一系列互不相容的简单事件概率计算的方法.全概率公式内涵丰富，应用广泛，许多学者对其进行了深入的研究［2-5］.利用概率论的基本理论和方法解决概率问题的技巧也在相关文献中被讨论［6-11］.本文利用随机事件的全概率公式，分别给出分布函数形连续型随机变量的全概率公式，并给出了离散型全概率公式和连续型全概率公式的应用.1 离散型全概率公式和连续型全概率公式定理1［1］设S为试验E的样本空间，B1，B2，…是一列互不相容的事件，且∪∞i=1Bi=S，则对任意事件A有利用定理1，容易将全概率公式推广到随机变量的情形，从而可得到下面的两个定理.定理 2［2］设(X，Y)为二维离散型随机变量，一切可能取值为(xi，yj)，i，j=1，2，…，则有称(1)为离散型全概率公式.定理3 设(X，Y)为二维连续型随机变量，X，Y的分布函数分别为FX(x)，FY(y)，则有称(2)为连续型全概率公式.证明:设(X，Y)为二维连续型随机变量的联合密度函数为 p(x，y)，X，Y的边际分布函数分别为FX(x)，Fy(y)，则由(2)利用对立事件的概率性质易得推论1 设(X，Y)为二维连续型随机变量，X，Y的分布函数分别为FX(x)，FY(Y)，则有推论2 设(X，Y)为二维连续型随机变量，则随机变量X和Y相互独立的充分必要条件是对任意x，y有P(X≤x|Y=y)=P(X≤x).2 连续型全概率公式的应用2.1 随机变量函数分布下面通过几个例子说明连续型全概率公式在解决概率问题的应用.首先利用连续型全概率公式给出两个独立连续型随机变量的数分布的计算公式.例1 设X和Y是两个相互独立的连续型随机变量，X，Y的密度函数分别为pX(x)，pY(y).则随机变量Z=X+Y的密度函数为例2 设X和Y是两个相互独立的连续型随机变量，X，Y的密度函数分别为pX(x)，pY(y).则随机变量Z=X－Y的密度函数为例3 设X和Y是两个相互独立的连续型随机变量，X，Y的密度函数分别为pX(x)，pY(y).则随机变量Z=X/Y的密度函数为解随机变量Z=X/Y的分布函数为例4 设X和Y是两个相互独立的连续型随机变量，X，Y的密度函数分别为pX(x)，pY(y).则随机变量Z=XY的密度函数为上述4个例子实际上是分别给出了两个独立随机变量和、差、积、商的函数密度的计算公式.对于非独立的情形也可以类似讨论.例5 设(X，Y)为二维连续型随机变量的联合分布函数为F(x，y)，X，Y的边际分布函数分别为FX(x)，FY(y)，则随机变量Z=X+Y的分布函数和密度函数分别为例6 某射手进行射击，每次射击击中目标的概率为p(0＜p＜1)，射击进行到击中目标两次时停止.求第二次击中目标所需射击次数的分布列.解假设第一次击中目标时的射击次数为X，第二次击中目标时的射击次数为Y，则随机变量Y的可能取值为2，3，….有离散型全概率公式(1)可得由几何分布的特性可知 P(Y=j|X=i)=p(1 － p)j－i－1，故2.2 随机变量相关的概率计算利用连续型全概率公式可以计算与两个随机变量相关的形如P(X≤g(Y))概率计算问题.例7 (Buffon投针问题).平面上画有等距离平行线，平行线间的距离为a(a＞0)，向平面任意投掷一枚长为l(l＜a)的针，求针与平行线相交的概率.解设针的下端与下方一条平行线间的距离为X，针与平行线的夹角为Y，则随机变量X服从均匀分布，随机变量Y服从区间［0，π］上的均匀分布.而针与平行线相交等价于a－X≤lsinY.由投掷的随机性可知随机变量X和Y相互独立.故针与平行线相交的概率为例8 假定两个元件的寿命X，Y分别服从参数为λ和μ的指数分布，且X，Y相互独立，求P(X≤Y).解由连续型全概率公式有参考文献【相关文献】［1］魏宗舒.概率论与数理统计教程［M］.北京:高等教育出版社，1983.［2］陈光曙，王新利.全概率公式的推广及应用［J］.高等数学研究，2010，(5):53 ～54.［3］唐旭晖，李冱岸，段利霞.全概率公式的推广与应用［J］.高等数学研究，2011，(7):51～52. ［4］田丽娜，张静，刘玉胜.全概率公式的推广与应用［J］.甘肃高师学报，2009，(5):84～85. ［5］张丽，闰善文，刘亚东.全概率公式的与叶斯公式的应用及推广［J］.牡丹江师范学院学报(自然科学版)，2005，(1):15～17.［6］周茂袁，王秀丽，李雪艳.特征函数的一种新解释及其应用［J］.吉林师范大学学报(自然科学版)，2008，29(2):37～41.［7］阿布力克木·阿布都依木.三维随机变量的变量替换定理及应用［J］.吉林师范大学学报(自然科学版)，2013，34(4):90～92.［8］潘素娟，林丽钦.概率统计中自由度的理解与应用［J］.吉林师范大学学报(自然科学版)，2013，34(4):138～140.［9］王丰效.描述随机变量分布的新函数［J］.沈阳师范大学学报，1996，14(4):8～10.［10］周概容.概率论与数理统计［M］.北京:高等教育出版社，1985.［11］王丰效.指数母函数在数学期望计算中的应用［J］.重庆文理学院学报，2014，33(2):33～35.。
联合分布和边缘分布的关系
联合分布和边缘分布的关系随着数据科学和机器学习的发展，联合分布和边缘分布成为了常见的概念。
这两个概念在概率论和统计学中扮演着重要的角色，有助于我们理解随机变量之间的关系。
本文将介绍联合分布和边缘分布的概念以及它们之间的关系。
一、联合分布联合分布是指多个随机变量的联合概率分布。
假设有两个随机变量X和Y，它们的联合分布可以表示为P(X=x,Y=y)，其中x和y是X 和Y的取值。
如果有n个随机变量，则它们的联合分布可以表示为P(X1=x1,X2=x2,...,Xn=xn)。
联合分布可以用来描述多个随机变量之间的关系。
例如，假设我们有一组数据，其中包括每个人的年龄和身高。
我们可以用联合分布来描述年龄和身高之间的关系。
如果我们知道某个人的年龄和身高，我们就可以根据联合分布计算出这个人的概率。
二、边缘分布边缘分布是指一个或多个随机变量的概率分布。
如果我们只考虑一个随机变量的分布，而忽略其他随机变量，那么这个随机变量的分布就是边缘分布。
例如，如果我们只考虑上述例子中的年龄分布，而忽略身高分布，那么年龄分布就是边缘分布。
边缘分布可以通过对联合分布进行边缘化得到。
假设我们有两个随机变量X和Y，它们的联合分布为P(X=x,Y=y)，那么X的边缘分布可以表示为P(X=x) = Σy P(X=x,Y=y)，即对Y求和得到X的边缘分布。
同样，Y的边缘分布可以表示为P(Y=y) = Σx P(X=x,Y=y)。
三、联合分布和边缘分布的关系联合分布和边缘分布之间有着密切的关系。
事实上，边缘分布是联合分布的一部分。
如果我们知道联合分布，那么我们就可以通过边缘化得到每个随机变量的边缘分布。
反之亦然，如果我们知道每个随机变量的边缘分布，那么我们就可以通过联合分布来描述它们之间的关系。
联合分布和边缘分布在概率论和统计学中有着广泛的应用。
在机器学习中，联合分布被用来表示训练数据的分布，而边缘分布则用来计算模型的边缘似然。
在贝叶斯统计中，联合分布被用来计算后验分布，而边缘分布则用来计算边缘似然。
联合分布与边缘分布的关系
目录
• 联合分布与边缘分布的定义 • 联合分布与边缘分布的应用场景 • 联合分布与边缘分布的实例分析 • 总结与展望
01
联合分布与边缘分布的定义
联合分布的定义
1
联合分布描述了随机变量之间的共同概率分布， 表示多个随机变量同时发生的概率。
2
联合分布函数通常用大写字母表示，例如F(x,y)， 表示随机变量X和Y的联合分布函数。
感谢您的观看
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的影响。
联合分布与边缘分布的关系
• 联合分布和边缘分布在描述随机变量之间的关系时具有互补性。联合分布描述 了多个随机变量的共同概率特性，而边缘分布描述了单个随机变量的概率特性。
• 当一个随机变量是其他随机变量的函数时，该随机变量的边缘分布可以通过对 联合分布进行积分得到。例如，如果X和Y是两个随机变量，且Y=g(X)，那么X 的边缘分布可以通过对X和Y的联合分布积分得到。
联合分布和边缘分布在二维正态分布中具有以下关系：联合分布的概率 密度函数是边缘分布概率密度函数的乘积，即f(x, y)=f(x)f(y)。
多维正态分布的联合分布与边缘分布
01
多维正态分布的联合分布表示多个随机变量的概率分布情况，其概率密度函数 由均值向量和协方差矩阵决定。
02
对于多维正态分布，其边缘分布是低维正态分布。对于每个随机变量，其边缘 分布的概率密度函数由该变量的均值和标准差决定，与其他变量的取值无关。
联合分布与边缘分布在金融领域的应用
风险评估
联合分布和边缘分布在金融领域 中用于评估投资组合的风险，例 如计算投资组合的预期收益和风 险。
资产定价
联合分布和边缘分布在资产定价 中用于确定资产的合理价格，例 如通 结构中用于分析市场交易行为和 市场价格形成机制。
(NEW)中国科学技术大学管理学院《432统计学》[专业硕士]历年考研真题及详解
![(NEW)中国科学技术大学管理学院《432统计学》[专业硕士]历年考研真题及详解](https://img.taocdn.com/s3/m/8b61254c5ef7ba0d4b733b93.png)
目 录2012年中国科学技术大学管理学院432统计学[专业硕士]考研真题2012年中国科学技术大学管理学院432统计学[专业硕士]考研真题及详解2013年中国科学技术大学管理学院432统计学[专业硕士]考研真题2013年中国科学技术大学管理学院432统计学[专业硕士]考研真题及详解2014年中国科学技术大学管理学院432统计学[专业硕士]考研真题2014年中国科学技术大学管理学院432统计学[专业硕士]考研真题及详解2015年中国科学技术大学管理学院432统计学[专业硕士]考研真题2015年中国科学技术大学管理学院432统计学[专业硕士]考研真题及详解2016年中国科学技术大学管理学院432统计学[专业硕士]考研真题2016年中国科学技术大学管理学院432统计学[专业硕士]考研真题及详解2012年中国科学技术大学管理学院432统计学[专业硕士]考研真题2012年中国科学技术大学管理学院432统计学[专业硕士]考研真题及详解一、单项选择题（本题包括1～10题，每小题3分，共30分）1．假设一个袋子中有黑色、白色和红色三种颜色的球，它们的比例为3：4：3，现每次有放回地从袋子随机摸出一个球，记下被摸出球的颜色，如此反复，则白球比黑球先被摸出的概率为（ ）。
A．3/7B．4/7C．4/10D．3/10【答案】B【解析】与每次取到的球是红色无关，所以此问题等价于袋中有黑色球：白色球＝3：4，求第一次摸球摸到白色球的概率。
2．设A，B表示两个随机事件，若P（AB）＝0，则事件A，B（ ）。
A．互斥B．不同时发生C．相互独立D．以上都不对【答案】D【解析】举例说明：取X＝［－1，1］，A＝“x∈［－1，0］”，B＝“x∈［0，1］”，则ABC三项均不正确。
3．投掷一枚硬币n次，若记其中正面和反面出现的次数分别为x和y，则x和y的相关系数为（ ）。
A．0B．0.5C．－1D．1【答案】C【解析】相关系数又称线性相关系数。
二维连续随机变量及其概率分布
定理2 二维随机变量(X,Y)的两个分量独立的充 分必要条件是: 对任意实数x, y有
P{X x,Y y} P{X x}P{Y y}
定理3 若(X , Y ) 是离散型随机变量，则X与Y相 互独立的充分必要条件是
lim F ( x, y) 0
x
lim F ( x, y) 0
y
lim F ( x, y) 1
x, y
性质3 对于x 和y，F(x, y)都是右连续的，即对任意 的实数x0和y0，均有
Lim xx0 F(x, y)=F(x0 , y), Lim yy0 F( x, y )=F(x, y0 )
(3) f (x, y)与 fX (x), fY (y)之间的关系
f X (x)
f (x, y)dy
fY ( y) f (x, y)dx.
例3 设随机变量X 和Y 具有联合分布
f
(
x,
y)
6, 0,
求X 和Y 边缘密度
x2 y x 其他
解：
f X (x)
f (x, y)dy
x
6dy x2
0
x 0, y 0 其它
求 (X, Y )的边缘分布函数。
解： X的边缘分布函数为
FX
(x)
F
( x,)
lim
y
F ( x,
y)
1 ex x 0
0 x0
1 ex ey exyxy x 0, y 0
(X ,Y) ~ F(x, y)
0
其它
Y的边缘分布函数为
FY
(
y)
F
(,
联合分布与边缘分布的关系
例2 一射手进行射击, 每次击中目旳旳概率为p(0<p<1), 射击到击中目旳两次为止. 设以X 体现首次击中目旳所进 行旳射击次数, 以Y 体现总共进行旳射击次数. 试求 X 和 Y 旳联合分布律及条件分布律.
二、连续型随机变量旳条件分布
【引言】在条件分布中,作为条件旳随机变量旳取值
是拟定旳数.但是当Y 是连续型r.v.时, 条件分布不能
3.2 边沿分布
联合分布函数与边沿分布函数旳关系
FX ( x) F ( x, ) ; FY ( y) F (, y).
由联合分布律求边沿分布函数
FX ( x) F ( x, )
pij , FY ( y) F (, y)
pij .
xi x j1
y j y i1
由联合概率密度求连续型r.v.旳边沿分布函数
Y X x1 xi
p• j
y1
p11 pi1
p•1
yj
p1 j pij
p•
j
pi•
p1• pi
1
•
三、连续型随机变量旳边沿概率密度
定义 对于连续型随机变量 ( X ,Y ), 设它的概率
密度为 f ( x, y), 由于
x
FX ( x) F ( x,)
[ f ( x, y)d y]d x,
P{Y y j } pij P{X xi ,Y y j }
i 1
i 1
P{Y y j X xi } P{X xi }, i 1
P{X xi } 0, j 1, 2,
类似逆概公式(求条件分布律)
P{X
xi
Y
yj}
P{Y
yj
X
xi } P{X
概率论第三章二维随机变量
取下列数组中的值:(0,0),( :(0,0),(例2 二维离散型随机向量 ( X ,Y ) 取下列数组中的值:(0,0),(-1,1) 1,2),(2,0);且相应的概率依次为 且相应的概率依次为:1/6, (-1,2),(2,0);且相应的概率依次为:1/6, 1/3, 1/12, 5/12. 的联合概率分布 分布. 求X与Y的联合概率分布.
X Y y1
y2
⋯
yj
⋯
Hale Waihona Puke x1 p11 x 2 p21 ⋮ ⋮ xi pi1 ⋮ ⋮ 联合分布律 联合分布律的性质 (1) p ij ≥
p12 ⋯ p1 j p22 ⋯ p2 j ⋮ ⋮ pi 2 ⋯ pij ⋮ ⋮ 0 ; (2) ∑ ∑
⋯ ⋯ ⋯
p ij = 1
i ≥1 j ≥1
边缘分布 分布律 ２. 边缘分布律 二维离散型随机变量的边缘分布律可列于联合分布 二维离散型随机变量的边缘分布律可列于联合分布 可列 的两侧: 表的两侧 Y y y ⋯ y ⋯
型随机变量(X,X, 的分布律,或随机变量X 型随机变量(X,X,)的分布律,或随机变量X与Y的联合 (X,X 分布律 分布律.可记为
, ( X ,Y) ~ pij = P( X = xi ,Y = y j ) (i, j =1,2,⋯ )
二维离散型随机变量的联合分布律可列表如下: 二维离散型随机变量的联合分布律可列表如下 可列表如下
p12 1/ 4 p22 1/ 2 p32 1/ 4 1/ 2 1/ 2 1
3. 求联合分布的步骤与方法 求联合分布的步骤与方法 分布 先画出二向表的表头,并确定X 的取值; (1) 先画出二向表的表头,并确定X与Y的取值; 求联合分布表的中的概率项. (2) 求联合分布表的中的概率项.
3.2.1,2(边际分布,条件分布)
r
y
y
2 r 2 − y2 , | y |≤ r 2 ϕY ( y ) = π r 0, | y |> r
-r −
r 2 − y2
r 2 − y2
r x
-r
说明： ( X ,Y) 的联合分布是均匀分布， 说明： 的联合分布是均匀分布， 但边缘分布都不是均匀分布。 但边缘分布都不是均匀分布。
2× 2 P (ξ1 = 1, ξ 2 = 1) = = 0.16 5× 5
ξ1
ξ2
0 1
0 0.36 0.24 0.6
1 0.24 0.6 0.16 0.1 0.4
边际分布相同 联合分布却不相同
联合分布可决定边际分布 边际分布不能决定联合分布
−1 0 1 X ~ 1 1 1 ， 例 已知 X ,Y 的分布分别为 4 2 4
∴ pη |ξ ( y | x ) =
pξη ( x , y )
pξ ( x ) 称 pη|ξ ( y | x) 为在 ξ = x 条件下， 连续随机变量 η 条件下 ，
的条件概率密度函数。 的条件概率密度函数 。
Fη|ξ
∫ ( y | x) =
y −∞
pξη ( x , v )dv pξ ( x )
解： 1） 不放回”取球方式 ） 不放回” “
3× 2 P (ξ1 = 0, ξ 2 = 0) = = 0.3 5× 4 3× 2 P (ξ1 = 0, ξ 2 = 1) = = 0.3 5× 4
2× 3 P (ξ 1 = 1, ξ 2 = 0) = = 0.3 5× 4
2×1 P (ξ1 = 1, ξ 2 = 1) = = 0.1 5× 4
p12 L p22 L M pm 2 L p•2 L
3.3多维随机变量函数的分布
p( x, y)d y,
称其为随机变量 ( X , Y ) 关于 X 的边际概率密度.
同理， 随机变量(X,Y)关于Y 的边际分布函数
y
FY ( y) F (, y)
p( x, y)d x d y,
pY ( y)
p( x, y)d x.
关于Y 的边际概率密度.
例3.2.3 设随机变量 X 和 Y 具有联合概率密度
上式右边分别乘以和除以 (1 p1 )ni ,两边对j从0到n i求 (n i)!
和，并记
p2
p2 1 p1
,则可得：
n-i
P(X
j＝0
i,Y
j)
n! i !(n i)!
p1i (1
p1 )ni
n-i (n i)!
p2j (1 p1 p2 )ni j
j＝0 j !(n i j)! (1 p1 ) j (1 p1 )ni j
P{Y y j } pij , j 1, 2, . i 1
因此得离散型随机变量关于X 和Y 的边际分布函
数分别为
FX ( x) F ( x, )
pij ,
xi x j1
FY ( y) F (, y)
pij .
y j y i1
例3.2.2 已知下列分布律求其边缘分布律.
n! i !(n
i)!
p1i (1
p1 )ni [
p2
(1
p2 )]ni
n! i !(n i)!
p1i (1
p1 )ni
Cni
p1i (1
p1 )ni .
即P( X
i)
C
i n
p1i (1
p1 )ni ,
边缘分布
我们常将边缘分布律写在联合分布律表格的边 缘上，由此得出边缘分布这个名词.
练习 袋中有2只白球和3只黑球，从中摸球，记
Xi
1, 第i次 摸 出 白 球 0, 第i次 摸 出 黑 球i
1,2,
试求 ( X1 , X 2 )的联合概率分布和边缘概率分
X 的边缘分布函数
x
FX (x) F(x,)
f (x, y)d y d x,
F x x f t dt
fX (x)
f (x, y)d y.
X 的边缘概率密度.
同理可得Y的概率密度为：fY ( y) f ( x, y)dx
我们称
参量积分
f X ( x) f ( x, y)dy —(X,Y)关于X的边缘概率密度
关于 X 和关于Y 的边缘分布律.
X Y
x1 x2 xi
y1
p11 p21 pi1
y2
p12 p22 pi 2
yj
p1 j
pi 1,2,;
j 1
P{Y y j } pij , j 1,2,.
i 1
【补充例 】已知下列分布律求其边缘分布律.
y)dy
e
y
dy
x
0
x 0 ex
x 0 0
x0 ,
x0
Y 的密度函数 fY ( y) 为
y
fY
( y)
f
(x,
y)dx
0
e ydx
0
y 0 ye y
y 0 0
y0 .
y0
☺课堂练习
一 整 数N 等 可 能 地 在1, 2, 3,,10 十 个 值 中 取
第十讲：二元连续型随机变量
pij
p
( 2) j
,
j 1,2,...
为Y＝ yj的条件下，X的条件分布律; 同理，对固定的i, pi(1) >0, 称
Pj|i P{Y y j | X xi }＝
pij p
(1) i
,
j 1,2,...
为X＝ xi的条件下，Y的条件分布律;
若二元离散型随机变量的联合分布律如下： X
p21
pi1
p22
pi2
...
...
P2j ...
Pij ...
联合分布律的性质 (1) pij 0 ,
... ...
(2)
... ...
非负性
p ＝1
ij i 1 j1
... ...
2.边际分布律（边缘分布）（P52） 定义（P52）若随机变量X与Y的联合分布律为 (X, Y)～ P{X＝xi, Y＝ yj,}＝ pij ，i, j＝1, 2, … 则称 p ij p (1) P{X＝xi}＝ j1 ＝ i ， i＝1, 2, …为(X, Y)关于X的边际分布律； P{Y＝ yj}＝ p
则F（ X x）＝P{ X x} P{ X x, Y } 为二元随机变量（X , Y）关于分量X的边际分布函数.
F （ Y y）＝P{Y y} P{ X , Y y} 为二元随机变量（X , Y）关于分量Y的边际分布函数.
三.二元离散型随机变量的分布（P50）
3 x 例3.已知(X,Y)的概率密度为 f ( x, y ) 0
0 x 1,0 y x 其它
1 1 1 1 求条件概率 P{Y | X }和P{Y | X } 8 4 8 4 1 1 y P{Y , X } 1 1 8 4 1 P{Y | X } 1 8 4 P{ X } 4 1 1 1 P{Y , X } 1 1 8 4 8 P{Y | X } 1 8 4 1 P{ X } 4 4 f ( x , y ) dxdy
联合分布与边缘分布
fX (x)
f (x, y)d y
当 0 x 1时,
y y x
fX ( x)
f (x, y)d y
O
x
6d y 6( x x2 ). x2
(1,1)
y x2 x
四、边缘分布
当 x 0 或 x 1时,
y
(1,1)
y x
fX ( x)
记
一维随机变量X 离散型
X 的分布律为
k=1,2, … k=1,2, …
称之为二维离散型随机变量
的分布律,
或随机变量X和Y 的联合分布律.
二、二维离散型随机变量
也可用表格来表示随机变量X和Y 的联合分布律.
二、二维离散型随机变量
二维离散型随机变量
的分布律具有性质
二维离散型随机变量
的联合分布函数为：
四、边缘分布
二、离散型随机变量的边缘分布律
一般地，对离散型 r.v ( X,Y )， X和Y 的联合分布律为
则 (X,Y) 关于X 的边缘分布律为:
四、边缘分布
(X,Y) 关于 Y 的边缘分布律为:
离散型随机变量关于X 和Y 的边缘分布函数分别为:
四、边缘分布
X Y
x1 x2 xi
y1
f ( x, y)d y 0.
O
y x2 x
因而得
6( x x2 ), 0 x 1,
fX (x)
0,
其他.
四、边缘分布
当 0 y 1时,
y
(1,1)
fY ( y)
f (x, y)d x
y
连续型随机变量
第三章连续型随机变量教学目的与要求1.熟练掌握一维随机变量分布函数的概念与性质..熟悉一维离散型随机变量的分布函数与分布列的关系；2. 准确理解一维连续型随机变量分布函数与分布密度的概念及其关系，熟记常见的几种分布的表达形式.3.熟练掌握二维随机变量的联合分布函数的性质.了解多维随机变量的联合分布.4.熟悉二维连续性随机变量的分布函数与分布密度的计算公式.5. 掌握二维连续型随机变量的边际分布函数与分布密度的计算公式.6. 熟悉随机变量函数的分布函数与分布密度的计算公式.7. 准确理解连续型随机变量数字特征的含义与性质，掌握连续型随机变量的数字特征的计算公式.理解、应用契贝晓夫不等式.8.了解条件分布与条件期望、回归与第二类回归的相关内容..教学重点一、二维连续型随机变量的分布教学难点一、二维随机变量函数的分布教学方法讲解法教学时间安排1~2. 随机变量及其分布函数3~4. 一维随机变量及其分布5~6. 多维随机变量及其分布7~8. 习题辅导9~10. 一维连续型随机变量函数的分布11~12.二维随机变量函数的分布13~16.随机变量的数字特征、契贝晓夫不等式教学过程1~2. 第一节 随机变量及分布函数一、问题的提出在第二章中我们研究了离散型随机变量，在那里，随机变量取有限个或可列个值，有很大的局限性.而随机现象出现的一些变量，如“测量某地气温”，“某型号显象管的寿命”等等，它们的取值是可以充满某个区间或区域的.，那么对于这种更一般的随机变量，如何来描述它的统计规律呢 ？例如，设一质点等可能地落入区间[,]a b 内的任何一点，且一定落入这个区间.在这里“等可能”的含义是指，所投的点落在[,]a b 中的任一子区间[,]B c d =中的概率，与B 的长度B l 成正比，而与B 在[,]a b 中的位置无关.如果记“点落入B 中”这事件为B ，则上述等可能性即意味着()B l d cP B b a b a-==-- 如果落在[,]a b 中的点的坐标为()a b ωω≤≤，令 ()()a b ξωωω=≤≤这样就得到了一个随机变量()ξω，它的取值充满了整个区间[,]a b ，显然用‘分布列’是行不通的，需另找一个合适的“工具”.前面已指出“点落入B 中”的概率与B 的长度B l 成正比，设[,][,]B c d a b =⊂，又000(())()0l P P b aωξωωωω=====-就有()(()d c P c d P P B b aξ-≤≤===-点落在B 中），又因为()0P d ξ== 所以()()P c d P c d ξξ≤≤=≤<而()()()P c d P d P c ξξξ≤<=<-< 于是()()()P c d P d P c ξξξ≤≤=<-<这就告诉我们，为了掌握()ξω的统计规律，只要对于任意实数x ，知道(())?P x ξω<=就够了.这个概率与x 有关..由此引入下述定义.二、分布函数的定义与性质定义3.1 定义在样本空间Ω上，取值于实数域的函数()ξω，称为是样本空间Ω上的（实值）随机变量，并称 ()(()),(,)F x P x x ξω=<∈-∞∞是随机变量()ξω的概率分布函数.简称为分布函数. 分布函数的性质：（1）单调性 若12,x x <则12()()F x F x ≤； （2）()lim ()0x F F x →-∞-∞==()lim ()1x F F x →+∞+∞==（3）左连续性 (0)()F x F x -= 证明 （1）显然.(2) 因为0()1,F x ≤≤且()F x 单调，故lim ()lim ()lim ()lim ()x m x n F x F m F x F n →-∞→-∞→+∞→+∞==都存在，又由概率的完全可加性有11(()){[()1]}(()1)l i m (()1)l i m ()l i m ()n nn m i m n m P Pn n P n n P i i F n F m ξωξωξωξω∞=-∞∞→+∞=-∞=→-∞→+∞→-∞=-∞<<+∞=≤<+=≤<+=≤<+=-∑∑所以必有lim ()0x F x →-∞=， l i m ()1x F x →+∞= 成立.（3）因为()F x 是单调有界函数，其任一点的左极限(0)F x -必存在，为证明左极限连续，只要对某一列单调上升的数列 12,()n n x x x x x n <<→→∞证明lim ()()n n F x F x →∞=成立即可.这时，有11()()(())F x F x P x ξω-=≤<1111111111{[()]}(())[()()]lim[()()]lim ()()n n n n n n n n n n n n n P x x P x x F xF x F x F x F x F x ξωξω∞+=∞+=∞+=+→∞+→∞=≤<=≤<=-=-=-∑∑由此即得()lim ()(0)n F x F x F x →∞==-反过来还可以证明，任一满足这三个性质的函数，一定可以作为某个随机变量的分布函数.因此，满足这三个性质的函数通常都称为分布函数. 由分布函数还可以下列事件的概率：{()}1(){()}(0){()}1(0){()}(0)()P x F x P x F x p x F x P x F x F x ξωξωξωξω≥=-≤=+>=-+==+-由此可见，形如12121212{()},{()},{()},{()}x x x x x x x x ξωξωξωξω≤≤<<<≤≤<这些事件以及它们经过有限次或可列次并、交、差以后的概率，都可以由()F x 算出来，所以()F x 全面地描述了随机变量()ξω的统计规律.三、一维离散型随机变量的分布函数如果()ξω是一个离散型随机变量，它们的分布列为1212a a p p ⎛⎫⎪⎝⎭那么()ξω的分布函数为 ()(())(())i ia xF x P x P a ξωξω<=<==∑例3.1 若ξ只取一个值a ，即有()1p a ξ==，求ξ的分布函数()F x . 解 易知1,()()0,x aF x p x x a ξ>⎧=<=⎨≤⎩其图形如3.1图所示.由图3.1可以看到()F x 是一个左连续的，阶梯状的函数，在x a =处有一个跃度为 1()P a ξ== 例3.2 设ξ是参数为λ的普哇松分布的随机变量，即(),0,1,2,!kP k e k k λλξ-===求ξ的分布函数.解 因()()()!kk xk xF x P x P k e k λλξξ-<<=<===∑∑所以()F x 的图形如图3.2所示.由图3.2 可看到，()F x 也是一个阶梯状的左连续函数，在(0,1,2,)x k k ==处有跳跃，跃度为ξ在x k =处的概率.(0)()(),0,1,2,!kF k F k P k e k k λλξ-+-====例3.3 设离散型随机变量ξ的分布列如下：(1) 求ξ的分布函数；（2）求333(0),(1),(1)222P P P ξξξ≤≤≤<<< 解 当0,(,]x x ≤-∞内不含ξ的任何可能值，故()0F x =； 当01,(,]x x <≤-∞内仅含点10x =，从而1()10F x =； 当12,(,]x x <≤-∞内仅含有120,1x x ==，从而()()(01)167(0)(1)101010F x P x P P P ξξξξξ=<==⋃===+==+= 当2,(,]x x >-∞内含点1230,1,2x x x ===，从而()()(012)(0)(1)(2)1631101010F x P x P P P P ξξξξξξξ=<==⋃=⋃===+=+==++=（2）3167(0)(01)2101010P P ξξξ≤≤==⋃==+= 36(1)(1)2103(1)()02P P P P ξξξ≤<===<<=∅=小结 由上面的讨论可以看到，分布函数.作为概率是事件()x ξ-∞<<的概率，同时它又是实变量x 的单值函数，这是我们在数学分析中早已熟悉的对象，而且分布函数()F x 又具有相当好的性质，有利于数学处理，引入随机变量和分布函数这两个概念，就好像在随机现象和数学分析之间架起了一座桥梁，有了这座桥梁，“数学分析”这个强有力的工具才有可能进入随机现象的领域中来.由此可以体会到随机变量及分布函数这两个概念的地位和作用.因此在讨论问题时一定要注意分布函数的本质属性.本节还讨论了离散型随机变量的分布函数，至此，对于离散型随机变量统计规律的描述我们已学了两种方法——分布列与分布函数法，两种描述方法各有特点，各有侧重.分布列反映了随即变量取每一个可能值的概率，而分布函数则反映的是随机变量从-∞到x 的总体分布情况. 因此，离散型随机变量的分布函数实际上是一个分布列从-∞到x 的累加，在计算离散型随机变量事件的概率时应注意随机变量取可能值.务必认真理解分布函数的概念.3~4. 第二节 一维连续型随机变量及其分布一、一维连续型随机变量及其分布的概念与性质定义3.2 若()ξω是随机变量，()F x 是它的分布函数，如果存在函数()p x ，使对任意的x ，有 ()()xF x p y dy -∞=⎰（*）则称()ξω为连续型随机变量，相应的()F x 为连续型分布函数.同时称()p x 是()F x 的概率密度函数或简称为密度.由分布函数的性质即可验证任一连续型分布的密度函数()p x 具有下述性质：(1)()(2)()1p x p x dx ∞-∞≥=⎰反过来，任意一个R 上的函数()p x ，如果具有以上两个性质，即可由（*）式定义一个分布函数()F x .由（*）式可知，连续型随机变量的分布函数是连续函数.给定随机变量ξ的概率密度函数()p x ，由（*）式可求出分布函数()F x .这说明连续型随机变量的概率密度函数也完全刻画了随机变量的概率分布.且由概率密度函数()p x 可直接求出ξ落在任意区间[,]a b 内的概率.事实上，如果随机变量()ξω的密度函数为()p x ，则对任意的1212,()x x x x <，有 211221(())()()()x x P x x F x F x p y dy ξω≤<=-=⎰（**）这一结果有很简单的几何意义：()ξω落在12[,)x x 中的概率，恰好等于在区间12[,)x x 上由曲线()y p x =形成的曲边梯形的面积（如图3.4中的影阴部分）,而()1p x dx ∞-∞=⎰式表明，整个曲线()y p x =以下，x 轴以上的面积为1. 由（**）式还可以证明，连续型随机变量()ξω取单点值的概率为零，也就是说对任意的x ，(())0P x ξω==，于是有12122(())(())(())P x x P x x P x ξωξωξω≤≤=≤<+= 2112(())()x x P x x p y dy ξω=≤<=⎰（***）如果()p x 在某一范围内的数值比较大，则由（***）式与（**）式可知，随机变量落在这个范围内的概率也比较大，这意味着()p x 的确具有“密度”的性质，所以称它为概率密度函数.此外由()()xF x p y dy -∞=⎰式可知，对()p x 的连续点必有()'()()dF x F x p x dx== 例3.4 设随机变量ξ的分布函数为200()0111x F x Ax x x <⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩求常数A 及密度函数.解 由()F x 的连续性，有21(10)lim (1)1x F Ax F -→-===，所以，1A =，密度函数为 201()00,1x x p x x x ≤<⎧=⎨<≥⎩例3.5 已知随机变量ξ的分布密度为,01()2,120,0,2x x p x x x x x <≤⎧⎪=-<≤⎨⎪≤>⎩（1） 求相应的分布函数()F x ；（2） 求(0.5),( 1.3),(0.2 1.2)P P P ξξξ<><< 解由分布函数的定义可知 当0x ≤时，()()00xF x P x dx ξ-∞=<==⎰当01x <≤时，2()()02xx F x P x dx ydy ξ-∞=<=+=⎰⎰当12x <≤时，012011()()0(2)212xF x P x dx xdx y dy x x ξ-∞=<=++-=--⎰⎰⎰ 当2x >时，01201211()()0(2)0122x F x P x dx xdx x dx dy ξ-∞=<=++-+=+=⎰⎰⎰⎰综上所述220,01,012()121,1221,2x x x F x x x x x ≤⎧⎪⎪<≤⎪=⎨⎪--<≤⎪⎪>⎩1(0.5)(0.5)8( 1.3)1(1.3)0.245(0.2 1.2)(1.2)(0.2)0.66P FP F P F F ξξξ<==>=-=<<=-=二、常见的几种连续型随机变量及其分布 1、 均匀分布若随机变量()ξω的概率密度函数为1()0a xb p x b a⎧≤≤⎪=-⎨⎪⎩其他时，则称随机变量()p x 服从[,]a b 上的均匀分布.显然()p x 的两条性质满足.其分布函数为0()1x a x a F x a x b b a x b<⎧⎪-⎪=≤≤⎨-⎪>⎪⎩这正是上一节讲过的引例.均匀分布可用来描述在某个区间上具有等可能结果的随机试验的统计规律性.例如，在数值计算中，假定只保留到小数点后一位，以后的数字按四舍五入处理，则小数点后第一位小数所引起的误差，一般可认为在[0.5,0.5]上服从均匀分布.在一个较短的时间内，考虑某一股票的价格ξ在[,]a b 内波动的情况，若区间[,]a b 较短，切无任何信息可利用，这时可近似认为ξ~[,]U a b .2、 指数分布例3.4 设母鸡在任意的00[,]t t t +的时间间隔内下蛋个数服从()(()),0,1,2,!k tt t P k e k k λλξω-===问两次下蛋之间的“等待时间”η服从怎样的分布函数？解 设前一次下蛋时刻为零，因为η不可能为负，所以当0t ≤时，显然有 ()0P t η<=而当0t >时，因为在等待时间内鸡不下蛋 ()(()0)t t ηξω>== 所以有()(()0)tt P t P e ληξω->===于是()1()1tP t P t e ληη-≤=->=-还因为11()()n t t n ηη∞=<=≤-由概率的下连续性（定理1.1）即得11()11(){()}lim ()lim[1]1n n t tnn P t P t P t n n ee λληηη∞→∞=---→∞<=≤-=≤-=-=-从而描述η的分布函数为1,0()()0,0t e t F t P t t λη-⎧->=<=⎨≤⎩概率中称这个分布函数是参数为λ的指数分布.而随机变量的概率函数为,0()0,0x e x p x x λλ-⎧>=⎨≤⎩注：许多“等待时间”是服从这个分布的；一些没有明显“衰老”机理的元器件的寿命也可以用指数分布来描述.所以指数分布在排队论和可靠性理论等领域中有着广泛的应用.例3.5 设一大型设备在任何长为t 的时间内发生故障的次数()~()N t P t λ，求 （1）相继两次故障之间的时间间隔T 的概率分布.（2）求在设备无故障工作8小时的情形下，在无故障工作8小时的概率. 解 （1）由于{}T t >={到时刻t 时故障数为0}，从而0()()1()1(()0)()110!ttF t P T t P T t P N t t e e λλλ--=<=->=-==-=-1688(16,8)(16)(2)(16|8)(8)(8)1(16)1(16)1(8)1(8)P T T P T P T T P T P T P T F ee P T F eλλλ---≥≥≥≥≥==≥≥-<-====-<-从（2）可看出指数分布的一个很重要的性质，将这个性质称为失去记忆性. 3.正态分布例3.5 若,(0)μσσ>是两个常数，则22()2(),x p x x μσ--=-∞<<∞ （*）是一个密度函数.因为这时()0p x >为显然.又令x μσ-222()22()x y p x dx edx e dy μσ--∞∞∞--∞-∞-∞==⎰⎰这时有22222212y x y edy edxdy π+∞∞∞---∞-∞-∞⎛⎫=⎪⎪⎭⎰⎰在令cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩这时变换的雅可比式J r =，而22220|1r r e rdr e ∞--∞=-=⎰所以有22222211()122y r edy erdr d πθππ∞∞---∞⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰于是()1p x dx ∞-∞=⎰这说明由（*）给出的的确是一个密度函数，这个密度函数称为正态密度，相应的分布函数为22()2(),y xF x edy x μσ---∞=-∞<<∞⎰并且称()F x 为正态分布，记作2(,)N μσ.如果一个随机变量()ξω的分布函数是正态分布，也称()ξω是一个正态变量.正态分布是概率论中最重要的一个分布，高斯（Gauss ）在研究误差理论时曾用它来刻划误差.经验表明许多实际问题中的变量，如测量误差、射击时弹着点与靶心间的距离、热力学中理想气体的分子速度、某地区成年男子的身高等都可以认为服从正态分布.进一步的理论研究表明，一个变量如果受到大量微小的、独立的随机因素的影响，那么这个变量一般是正态变量.正态分布的密度函数()p x 关于x μ=点对称，在x μ=处达到极大，当μ固定时，σ的值愈小，()p x 的图像就愈尖、愈狭，σ的值愈大，()p x 的图像就愈平、愈宽.由此可见，如果()p x 在μ点的附近愈尖、愈高，则随机变量在μ点附近取值的概率也愈大.事实上，对任一服从2(0,)N σ的随机变量ξ有2222222222323(())0.688(2()2)0.955(3()3)0.997x x x P edx P e dx P edx σσσσσσσσσσξωσσξωσσξωσ-------≤≤=≈-≤≤=≈-≤≤=≈⎰这说明，随机变量ξ的绝对值不超过σ的概率略大于2/3，不超过2σ的概率在95%以上，而超过3σ的概率只有0.003，即(3)0.003P ξσ>≈因为(3)P ξσ>很小，在实际问题中常常认为它是不会发生的.也就是说，对服从2(0,)N σ分布的随机变量ξ来说，基本上认为有3ξσ≤，这种近似的说法被实际工作者称作是正态分布的“3σ”原则.(0,1)N 分布常常称为是标准正态分布，其密度函数通常以()x ϕ表示，相应的分布函数则记作()x Φ，所以22()()y xxx y dy edy --∞-∞Φ=ϕ=⎰附录中给出了(0,1)N 分布的()x ϕ和()x Φ的表，如果要查(,)N 2μσ分布，只要通过一个函数关系（变换）就能解决.设ξ是2(,)N μσ分布的随机变量，则22()2()y xP x e dy -μ-σ-∞ξ<=⎰这时，令ξ-μη=σ则η也是一个随机变量，并且有()()()2P x P x P x ξ-μη<=<=ξ<σ+μ22()2y x e dy -μ-σ+μσ-∞=对上述积分作变量代换，令y u -μ=σ即得22()()u xp x edu x --∞η<==Φ⎰由此可知η是一个服从(0,1)N 分布的标准正态随机变量。
联合分布、边缘分布及条件分布之间的关系
联合分布、边缘分布及条件分布之间的关系在概率论与数理统计中，联合分布、边缘分布及条件分布是重要的概念，它们描述了多个随机变量之间的关系。
联合分布指的是多个随机变量同时取某些值的概率分布；边缘分布是指某个或某些随机变量的概率分布；条件分布则是在给定某个或某些随机变量取某些值的条件下，其余随机变量的概率分布。
联合分布可以通过联合概率密度函数或联合概率质量函数来描述。
在二维情况下，联合概率密度函数可以用于连续型随机变量，联合概率质量函数则用于离散型随机变量。
联合分布可以通过计算随机变量同时满足某些条件的概率来获得。
边缘分布是指从联合分布中抽取某个或某些随机变量的概率分布。
通过对联合概率密度函数或联合概率质量函数进行边缘化，可以得到边缘分布。
边缘分布描述了某个或某些随机变量的单独行为，而忽略了其他随机变量的影响。
条件分布是指在给定某个或某些随机变量取某些值的条件下，其他随机变量的概率分布。
条件分布可以通过联合分布和边缘分布之间的关系求得。
假设有两个随机变量X和Y，它们的联合分布为P(X,Y)，边缘分布分别为P(X)和P(Y)。
那么在给定X=x的条件下，随机变量Y的条件分布为P(Y|X=x)。
条件分布可以用于进行概率推断和预测。
联合分布、边缘分布及条件分布之间存在着紧密的关系。
给定一个联合分布，可以通过边缘化得到边缘分布。
而给定一个联合分布和某些随机变量的取值，可以通过条件概率的定义得到条件分布。
边缘分布和条件分布是联合分布的一种特殊情况。
在实际问题中，联合分布、边缘分布及条件分布的概念经常被使用。
例如，在统计建模中，我们常常需要研究多个变量之间的关系，通过分析它们的联合分布可以得到它们之间的相互作用。
而在机器学习领域，条件概率和条件分布被广泛应用于分类、回归等任务中。
联合分布、边缘分布及条件分布是概率论与数理统计中重要的概念，它们描述了多个随机变量之间的关系。
联合分布描述了多个随机变量同时取某些值的概率分布，边缘分布描述了某个或某些随机变量的概率分布，条件分布描述了在给定某个或某些随机变量取某些值的条件下，其他随机变量的概率分布。
连续型随机变量的联合分布和边际分布共46页文档
55、 为 中 华 之 崛起而 读书。 ——周 恩来
Байду номын сангаас
连续型随机变量的联合分布和边际分 布
36、“不可能”这个字(法语是一个字 )，只 在愚人 的字典 中找得 到。--拿 破仑。 37、不要生气要争气，不要看破要突 破，不 要嫉妒 要欣赏 ，不要 托延要 积极， 不要心 动要行 动。 38、勤奋，机会，乐观是成功的三要 素。(注 意：传 统观念 认为勤 奋和机 会是成 功的要 素，但 是经过 统计学 和成功 人士的 分析得 出，乐 观是成 功的第 三要素 。
39、没有不老的誓言，没有不变的承 诺，踏 上旅途 ，义无 反顾。 40、对时间的价值没有没有深切认识 的人， 决不会 坚韧勤 勉。
谢谢！
51、 天 下 之 事 常成 于困约 ，而败 于奢靡 。——陆 游 52、 生 命 不 等 于是呼 吸，生 命是活 动。——卢 梭
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为随机变量 ( X,Y )关于Y 的边缘分布函数.
例1 设r.v.(X ,Y )的联合分布函数为
F(x, y) A B arctan x C arctan y
2
2
第二节 连续型随机变量的联合分布 和边际分布
一、多维随机变量的联合分布函数 二、二维连续型随机变量及其密度函数 三、边际密度函数 四、条件密度函数 五、两种常用分布
一、多维随机变量的联合分布函数
1. 分布函数的定义
设 ( X ,Y ) 是二维随机变量,对于任意实数 x, y, 二元函数:
F ( x, y) P{( X x) (Y y)} P{ X x,Y y} 称为二维随机变量( X ,Y ) 的分布函数,或称为随 机变量X 和 Y 的联合分布函数.
y 0
x 2e(2 x y) d x d y,
0
x 0, y 0,
0,
其他.
得 F ( x,
y)
(1
e2 x 0,
)(1
ey
),
x
0, y 其他.
0.
(2) 将 ( X,Y )看作是平面上随机点的坐标, 即有 {Y X } {(X ,Y )G},
y x
O
y x2 x
因而得
6( x x2 ), 0 x 1,
fX (x)
0,
其他.
当 0 y 1时,
y
(1,1)
fY ( y)
f (x, y)d x
y
y 6d x
y x
O
y x2 x
6( y y).
当 y 0 或 y 1时,
| y | x 1 其它。
例 4（续）
f (x,
y)
1, | y | x, 0, 其它.
0
x
1,
fX (x)
2x, 0 x 1 0, 其它.
当0 x 1,
fY|X ( y | x)
f (x, y) fX (x)
1 2x
,
0,
x y x, 其它。
f (x, y)d x.
Y 的边缘概率密度.
边缘密度具有一元随机变量密度函数的性质.
联合密度函数唯一决定边缘密度函数.
例3 设随机变量 X 和 Y 具有联合概率密度
6, x2 y x,
f (x, y) 0,
其他.
求边缘概率密度 fX ( x), fY ( y).
解
fX (x)
f (u,v) d udv ,
则称 ( X ,Y ) 是连续型的二维随机变量, 函数 f ( x, y)
称为二维随机变量( X ,Y ) 的概率密度, 或称为随
机变量 X 和 Y 的联合概率密度.
2.性 质
(1) f ( x, y) 0.
(2)
f ( x, y) d x d y F (,) 1.
(1)
f X ( x) f ( x, y)dy
y
yx
x
dy 2x, x
0 x 1,
0,
其它.
0
1
x
y x
例
fY
4（续）
( y)
f
(
x,
y)dx
1
dx
y
1
dx
y
1 1
y, y,
0 y 1, 1 y 0,
fY ( y)
f ( x, y)d x 0.
得
6( fY ( y)
y y), 0,
0 y 1, 其他.
四、条件密度函数
定义 设二维随机变量( X ,Y ) 的概率密度为
f ( x, y),( X ,Y ) 关于 Y 的边缘概率密度为fY ( y).若
对于固定的 y,
F( x, y) P{X x,Y y} , F( x) P{X x}, P{X x} P{X x,Y } F( x,) FX ( x)
( X ,Y )关于X的边缘分布函数.
定义 设 F ( x, y) 为随机变量( X ,Y ) 的分布函数, 则 F( x, y) P{X x,Y y} . 令 y , 称 P{X x} P{X x,Y } F( x,) 为随机变量( X ,Y ) 关于X的边缘分布函数. 记为 FX ( x) F ( x,). 同理令 x ,
f (x, y)d y
当 0 x 1时,
y y x
fX ( x)
f (x, y)d y
O
x
6d y x2
(1,1)
y x2 x
6( x x2 ).
当 x 0 或 x 1时,
fX ( x)
f ( x, y)d y 0.
y
(1,1)
3o F ( x, y) F ( x 0, y),F ( x, y) F ( x, y 0), 即 F ( x, y) 关于 x 右连续,关于 y 也右连续.
4o 对于任意 ( x1, y1 ),( x2 , y2 ), x1 x2 , y1 y2 , 有 F ( x2 , y2 ) F ( x2 , y1 ) F ( x1, y1 ) F ( x1, y2 ) 0.
(3)
P(X
பைடு நூலகம்
1 |Y
0)
P(X 1 ,Y 2
0)
2
P(Y 0) y
(1
1) 2
1 2
2
3
1 11
4
0
2
yx
11
x
2
例5
设二维随机变量X， Y 服从二元正态分布：
X， Y ~
N
1，
，
2
2，
1
2，
2
r
则X， Y 的联合密度函数为
f x， y
1
2 1 2 1 r 2
exp
2
1
1
r
2
x
1 2
2 1
2rx
1 y
1 2
2
y
2 2
2 2
C
2
0
F
(,)
A
B
2
C
2
0
B
2
,C
2
,
A
1
2
(2) FX (x) F (x,)
1 1 arctan x , x .
2
2
FY ( y) F (, y)
1 1 arctan y , y .
fY ( y) 0, 则称
f ( x, y) 为在Y fY ( y)
y
的条件下 X 的条件概率密度,记为
f (x, y)
f (x y)
.
XY
fY ( y)
同理，
fY X y x
f x， y fX x
称为随机变量Y 在 X x的条件下的 条件密度函数.
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y
yx
0,
其它.
1 | y |, | y | 1
0
1
x
0,
其 它.
y x
(2) 当 | y | 1, f X|Y ( x | y)
f
(
x,
y)
1, 0,
| y | x, 其它.
0
x
1,
f (x, y) fY ( y)
1 1 |
y
|
,
0,
例 4 设随机变量 ( X ,Y )的概率密度为
f
(
x,
y)
1, 0,
| y | x, 0 x 1, 其它.
试求（ ：1）f X ( x), fY ( y) ; (2) f X|Y ( x | y), fY|X ( y | x) ;
1
(3) P( X |Y 0).
2
解：
2
2
(3) P(X 2) 1 P(X 2)
1
1 2
1
arctan
2 2
1/ 4.
二、二维连续型随机变量及其密度函数
1.定义
对于二维随机变量( X ,Y ) 的分布函数 F ( x, y),
如果存在非负的函数 f (x, y) 使对于任意 x, y 有
yx
F ( x, y)
例2 设二维随机变量( X , Y ) 具有概率密度
2e(2 x y) , x 0, y 0,
f (x, y) 0,
其它.
(1) 求分布函数 F ( x, y); (2) 求概率 P{Y X }.
解
(1) F ( x, y)