第二章 解析几何初步 章末复习方案 课件(北师大必修2)

∴直线l的方程为y＝x－2，
即x－y－2＝0； 当k＝－1时，直线l的方程为y＝－x＋b， 把P(8,6)代入得6＝－8＋b，解得b＝14， ∴直线l的方程为y＝－x＋14，即x＋y－14＝0.
综上所述，直线l的方程为x＋y－14＝0或x－y－2＝0.
[借题发挥]
本题法一和法二分别应用了直线方
程的截距式和斜截式来解题，可以看出法一要优于法
3．圆的方程 (1)圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，其中，圆 心是C(a，b)，半径长是r.特别地，圆心在原点的圆的标 准方程为x2＋y2＝r2.
圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)．
(2)由于圆的方程均含有三个参变量(a，b，r或D，E，
F)，而确定这三个参数必须有三个独立的条件．因此，
把②③式代入①式，得
b2＋3b－4＝0，解得b＝1，或b＝－4，
且b＝1，或b＝－4都使得 Δ＝4(b＋1)2－8(b2＋4b－4)＞0成立． 故存在直线l满足题意， 其方程为y＝x＋1，或y＝x－4.
[借题发挥]
本题是一类探索性问题，解答这
类题的思路是先假设存在，再运用直线与圆相交时 满足的几何性质或代数关系作转化，求出所涉及的
1．直线的五种方程 解题时要根据题目条件灵活选择，注意其适用条件：
点斜式和斜截式不能表示斜率不存在的直线，两点式不
能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴 垂直和过原点的直线，一般式虽然可以表示任何直线， 但要注意A2＋B2≠0，必要时要对特殊情况进行讨论．
2．距离问题 距离包括平面两点间的距离、空间两点间的距离、 点到直线的距离和两平行线间的距离． 学习时要注意特殊情况下的距离公式，并注意利 用它的几何意义，解题时往往将代数运算与几何图形 直观分析相结合．
(2)由A1A2＋B1B2＝0得a＋a＝0. ∴a＝0.
[借题发挥]
设l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋
B2y＋C2＝0.
(1)l1∥l2⇔A1B2＝A2B1且B1C2≠B2C1； (2)l1与l2重合⇔A1B2＝A2B1且B1C2＝B2C1； (3)l1与l2相交⇔A1B2≠A2B1； (4)l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.
法二：设所求直线 l 的方程为 y＝kx＋b(k≠0，b≠0)， b 令 x＝0，得 y＝b；令 y＝0，得 x＝－k. ∵直线与两条坐标轴围成等腰直角三角形， b ∴|b|＝|－k|. ∵b≠0，∴k＝± 1.
当k＝1时，直线l的方程为y＝x＋b， 把P(8,6)代入得6＝8＋b，解得b＝－2，
时解题时若用到直线的斜率，则要注意斜率不存在的情
况也可能符合题意．
5．常用的直线系和圆系 (1)平行于已知直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程是： Ax＋By＋λ＝0(λ是参数，且λ≠C)．
Baidu Nhomakorabea
(2)垂直于已知直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程是：
Bx－Ay＋λ＝0(λ是参数)．
(3)过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圆C2：x2
＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程是：x2＋y2＋ D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ为参数， 且λ ≠0)． (4)过直线l：Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)与圆
C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)的交点的
圆系方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0，λ 是待定的系数．
[借题发挥]
求倾斜角的范围，应先求出斜率
的范围然后根据倾斜角和斜率的关系及倾斜角的范 围即可解出相应的答案．
1．点 P(x，y)在以 A(－3,1)，B(－1,0)，C(－2,0)为顶点的 y－2 △ABC 的内部运动(不包含边界)，则 的取值范围 x－1 是
1 A.2，1 1 C.4，1 1 B.2，1 1 D.4，1
(2)当直线与圆相交时，圆的半径长、弦心距、弦长
的一半构成直角三角形． (3)当直线与圆相切时，经常涉及圆的切线． ①若切线所过点(x0，y0)在圆x2＋y2＝r2上，则切线 方程为x0x＋y0y＝r2；若点(x0，y0)在圆(x－a)2＋(y－b)2 ＝r2上，则切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2. ②若切线所过点(x0，y0)在圆外，则切线有两条．此
③关于直线 y＝x
即 x，y 对调；
④关于直线 y＝－x
以－y代换x， 对称，方法 以－x代换y，
即 x，y 对调之后加负号．
[例 1] 取值范围．
求直线 ax＋ 3y＋2＝0(－1≤a≤1)的倾斜角的
[解]
3 3 3 ∵直线的斜率 k＝－ a，∴－ ≤k≤ ， 3 3 3
3 π 当 0≤k≤ 时，直线的倾斜角 α 满足 0≤α≤ . 3 6 3 5π 当－ ≤k<0 时，直线的倾斜角 α 满足 ≤α<π， 3 6 π 5π ∴直线的倾斜角的取值范围是[0， ]∪[ ，π)． 6 6
参数，最后通过验证来说明其是否存在．
4．已知过点M(－3，－3)的直线l被圆x2＋y2＋4y－21＝0
所截得的弦长为4，求直线l的方程． 解：将圆的方程写成标准形式，得 x2＋(y＋2)2＝25，
如图，因为直线 l 被圆所截得的弦长是 4 5， 所以弦心距为 4 52 5 － ＝ 5， 2
2
y＝x＋b， 由 2 2 x ＋y －2x＋4y－4＝0，
消去 y，得 2x2＋2(b＋1)x＋b2＋4b－4＝0. 1 2 所以 x1＋x2＝－(b＋1)，x1x2＝ (b ＋4b－4)，② 2 y1y2＝(x1＋b)(x2＋b)＝x1x2＋b(x1＋x2)＋b2 1 2 ＝ (b ＋4b－4)－b2－b＋b2 2 1 2 ＝ (b ＋2b－4)， 2 ③
3．已知直线(a＋2)x＋(1－a)y－3＝0与(a－1)x＋
(2a＋3)y＋2＝0互相垂直，则a的值为________． 解析：由(a＋2)(a－1)＋(1－a)(2a＋3)＝0. 即(a－1)(a＋1)＝0，a＝±1. 答案：1或－1
[例4]
已知圆C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0，是否存
即圆心到所求直线 l 的距离为 5.
因为直线l过点M(－3，－3)，易见，当直线l与x轴垂直
时不合题意，所以斜率存在，所以可设所求直线l的方
程为y＋3＝k(x＋3)，即kx－y＋3k－3＝0. 根据点到直线的距离公式，得到圆心到直线l的距离
∵O 是 P1P2 的中点，∴x1＋x2＝0， 6 6 1 即 － ＝0，解得 k＝－ . 6 3－5k 4＋k 当斜率不存在时，直线 l 是 y 轴，它和两已知直 6 线的交点分别是(0，－6)和(0，－ )，显然不满足中 5 点是原点的条件． 1 ∴所求的方程为 y＝－ x. 6
法二：设过原点的直线 l 交已知两直线于 P1，P2，且 O 为 P1，P2 的中点，∴P1 与 P2 关于原点对称． 若设 P1(x0，y0)，则 P2(－x0，－y0)，
6．对称问题
对称问题，是高考的热点之一，也是重要的数学思 想方法．一般来说，对称问题可分为四个类型：①点关 于点的对称；②点关于直线的对称点；③直线关于直线 的对称直线；④直线关于点的对称直线．归根结底，都 可转化为点关于点的对称．
(1)中心对称． ①点的中心对称： 若点 M(x1，y1)关于 P(a，b)的对称点为 N(x，y)，
三个独立的条件可以确定一个圆．
(3)求圆的方程常用待定系数法，此时要善于 根据已知条件的特征来选择圆的方程．如果已知圆
心或半径长，或圆心到直线的距离，通常可用圆的
标准方程；如果已知圆经过某些点，通常可用圆的 一般方程．
4．直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系有三种：相交、相离、相切， 其判断方法有两种：代数法(通过解直线方程与圆的方程 组成的方程组，根据解的个数来判断)、几何法(由圆心到 直线的距离d与半径长r的大小关系来判断)． (1)当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最大距离 为d＋r，最小距离为d－r，其中d为圆心到直线的距离．
②直线的轴对称： 主要方法：在已知直线上任取两点，利用点的 轴对称，求出对称点，再由两点式写出对称直线的
方程．
特殊情况：①关于 x
x不变， 轴对称，方法 以－y代换y；
②关于 y
以－x代换x， 轴对称，方法 y不变； 以y代换x， 对称，方法 以x代换y，
二，涉及直线与两条坐标轴围成的三角形的面积或周 长的与截距有关的问题时，设截距式较简单，但要注 意截距式应用的前提是截距存在且不为0.
2．一条直线被两条直线l1：4x＋y＋6＝0和l2：3x－5y－6
＝0截得的线段的中点恰好是坐标原点，求直线l的方
程．
解：法一：当直线的斜率存在时，设 l 的方程为 y＝kx， 且 l 与已知两直线的交点分别为 P1(x1，y1)，P(x2，y2)， y1＝kx1， y2＝kx2， 则 4x1＋y1＋6＝0， 3x2－5y2－6＝0， x ＝ －6 ， 1 4＋k 由此解得 6 x2＝3－5k.
4x ＋y ＋6＝0， 0 0 ∴ －3x0＋5y0－6＝0.
① ②
①＋②得 x0＋6y0＝0. ∴点 P1(x0，y0)，P2(－x0，－y0)都满足方程 x＋6y＝0， ∵过两点的直线有且只有一条，且该直线过原点， ∴所求直线 l 的方程即为 x＋6y＝0.
[例3]
已知直线l1：x＋ay－2a－2＝0，l2：ax
(
)
y－2 解析：令 k＝ ，则 k 可以看成过 x－1 点 D(1,2)和 (x，y)的直线斜率，显然 kAD 是最小值，kBD 是最大值．由于不 包含边界， 所以
1 k∈4，1.
答案：D
[例2]
[解]
直线l过点P(8,6)，且与两条坐标轴围成等腰
法一： 直线 l 与两条坐标轴围成的三角形为
x＝2a－x ， 1 则由中点坐标公式可得 y＝2b－y1.
②直线的中心对称： 主要方法：在已知直线上取两点，根据点的中心对称 的方法求出对称点，再由两对称点确定对称直线；或者求 出一个对称点再利用对称直线与原直线平行求方程．
(2)轴对称． ①点的轴对称： 点 A(x0，y0)关于直线 l：Ax＋By＋C＝0 对称点 y－y0 A · B＝－1AB≠0， － x－x0 B(x，y)可由方程组 y＋y0 x＋x0 A· 2 ＋B· 2 ＋C＝0 求得．
直角三角形，求直线l的方程．
等腰直角三角形，必须且只需直线 l 在两条坐标轴上 的截距的绝对值相等且不为 0， x y x y 故设直线 l 的方程为a＋a＝1 或a＋ ＝1(a≠0)， －a x y 当直线 l 的方程为a＋a＝1 时， 8 6 把 P(8,6)代入得a＋a＝1，解得 a＝14，
∴直线 l 的方程为 x＋y－14＝0； x y 当直线 l 的方程为a＋ ＝1 时， －a 8 6 把 P(8,6)代入得a－a＝1，解得 a＝2， ∴直线 l 的方程为 x－y－2＝0. 综上所述，直线 l 的方程为 x＋y－14＝0 或 x－y－2＝0.
＋y－1－a＝0.
(1)若l1∥l2，试求a的值；
(2)若l1⊥l2，试求a的值．
[解]
l1：x＋ay－2a－2＝0，
l2：ax＋y－1－a＝0. (1)由 A1B2－A2B1＝0 得 a2－1＝0，解得 a＝± 1. 又 A1C2－A2C1≠0， 即－1－a－a(－2a－2)≠0,2a2＋a－1≠0， 1 解得 a≠－1，且 a≠ . 2 综上所述，a＝1.
在斜率为1的直线l，使以l被圆C截得的弦AB为直径的 圆过原点；若存在，求出直线l的方程；若不存在，说 明理由．
[解]
假设存在斜率为 1 的直线 l，满足题意，
则 OA⊥OB， 设直线 l 的方程是 y＝x＋b，其与圆 C 的交点 A，B y1 y2 的坐标分别为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 · ＝－1， x1 x2 即 x1x2＋y1y2＝0.①