高考数学一轮复习第二章函数的概念与基本初等函数Ⅰ第二节函数的单调性与最值实用课件理

1 2
(x2－4)的单调递增区间为________．
解析：由 x2－4>0 得 x<－2 或 x>2.又 u＝x2－4 在(－∞，
－2)上为减函数，在(2，＋∞)上为增函数，y＝log
1 2
u
为减函
数，故 f(x)的单调递增区间为(－∞，－2)．
答案：(－∞，－2)
(3)设函数f(x)＝ 10，，xx>＝00，， －1，x<0，
法二(导数法)： f′(x)＝ax′x2－x12－－1a2xx2－1′ ＝ax2－x2－1－122ax2＝a－x2－x2－121＝－axx2－2＋112. ∵a>0，x∈(－1,1)， ∴f′(x)<0. ∴f(x)在(－1,1)上是减函数． [答案] (1)A
[易错提醒]
(1)单调区间是定义域的子集，故求单调区间时应树 立“定义域优先”的原则．
2．函数单调性的性质 (1)若f(x)，g(x)均为区间A上的增(减)函数，则f(x)＋g(x)也
是区间A上的增(减)函数．更进一步，有增＋增→增，增－减→ 增，减＋减→减，减－增→减．
(2)若k>0，则kf(x)与f(x)单调性相同；若k<0，则kf(x)与f(x) 单调性相反．
(3)在公共定义域内，函数y＝f(x)(f(x)≠0)与y＝－f(x)，y＝ f1x单调性相反；函数y＝f(x)(f(x)≥0)与y＝ fx单调性相同．
(2)单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式 表示；如有多个单调区间应分开写，不能用并集符号 “∪”连接，也不能用“或”连接．
函数单调性的应用
应用(一) 比较函数值或自变量的大小
[例 2] 已知函数 f(x)＝log2x＋1－1 x，若 x1∈(1,2)，x2∈(2，
＋∞)，则
()
A．f(x1)<0，f(x2)<0 B．f(x1)<0，f(x2)>0 C．f(x1)>0，f(x2)<0 D．f(x1)>0，f(x2)>0
所以有xx>－08，>0， xx－8≤9，
解得 8<x≤9.
[答案] B
[方法技巧]
g(x)＝x2f(x－1)，
则函数g(x)的单调递减区间为________．
x2，x>1， 解析：由题意知g(x)＝0，x＝1，
－x2，x<1. 函数图象如图所示，由函数图象易得函数g(x)的单调递减区间为 [0,1)． 答案：[0,1)
讲练区 研透高考· 完成情况 [全析考法]
判断函数的单调性
1．复合函数单调性的规律 若两个简单函数的单调性相同，则它们的复合函数为增 函数；若两个简单函数的单调性相反，则它们的复合函数为 减函数．即“同增异减”．
图 象 描 述 自左向右看图象是上升的
自左向右看图象是 下降 的
2.单调区间的定义 若函数y＝f(x)在区间D上是 增函数 或 减函数 ，则 称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间 D叫做函数y＝f(x)的单调区间．
[基本能力]
1．判断题 (1)对于函数f(x)，x∈D，若对任意x1，x2∈D，x1≠x2且(x1 －x2)[f(x1)－f(x2)]>0，则函数f(x)在区间D上是增函数． (√ )
Fra Baidu bibliotek
(2)函数y＝|x|是R 上的增函数．
( ×)
(3)函数y＝1x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)． (× )
2．填空题 (1)设定义在[－1,7]上的函数y＝f(x)的图象如图所示，则函 数y＝f(x)的单调递增区间为________．
答案：[－1,1]，[5,7]
(2)函数f(x)＝log
一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内
定 某个区间D上的任意两个自变量x1，x2
义
当x1<x2时，都有 _f_(_x_1)_<_f_(x_2_)__，那么就说函
当x1<x2时，都有 __f_(_x_1)_>_f_(x_2_)_，那么就说函
数f(x)在区间D上是增函数 数f(x)在区间D上是减函数
(4)奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数 在其关于原点对称的区间上单调性相反．
[例1] (1)(2018·浙江金华十校调研)下列函数中，在区间
(0，＋∞)内单调递减的是
()
A．y＝1x－x
B．y＝x2－x
C．y＝ln x－x
D．y＝ex－x
(2)(2018·广东佛山联考)讨论函数f(x)＝
＝f(x)＋f(y)，f(3)＝1，当 f(x)＋f(x－8)≤2 时，x 的取值范围是
A．(8，＋∞) B．(8,9] C．[8,9]
() D．(0,8)
[解析] 2＝1＋1＝f(3)＋f(3)＝f(9)，由 f(x)＋f(x－8)≤2，可
得 f[x(x－8)]≤f(9)，因为 f(x) 是定义在(0，＋∞)上的增函数，
[解析]
因为函数f(x)＝log2x＋
1 1－x
在(1，＋∞)上为
增函数，且f(2)＝0，
所以当x1∈(1,2)时，f(x1)<f(2)＝0，
当x2∈(2，＋∞)时，f(x2)>f(2)＝0，
即f(x1)<0，f(x2)>0.故选B.
[答案] B
应用(二) 解函数不等式
[例 3] f(x)是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，满足 f(xy)
第二节 函数的单调性与最值
本节主要包括 2 个知识点： 1.函数的单调性； 函数的最值.
突破点(一) 函数的单调性
突破点(二) 函数的最值
01234
全国卷5年真题集中演练——明规律
课时达标检测
01 突破点(一) 函数的单调性
自学区 抓牢双基· 完成情况
[基本知识]
1．单调函数的定义
增函数
减函数
ax x2－1
(a>0)在(－1,1)
上的单调性．
[解析]
(1)对于选项A，y1＝
1 x
在(0，＋∞)内是减函数，
y2＝x在(0，＋∞)内是增函数，则y＝
1 x
－x在(0，＋∞)内是减
函数，故选A.
(2)法一(定义法)： 设－1<x1<x2<1， 则f(x1)－f(x2)＝xa21－x11－x2a2－x21 ＝ax1x22－x12－ax11－xa22x－2x121＋ ax2＝axx221－－x11xx221x－2＋11. ∵－1<x1<x2<1， ∴x2－x1>0，x1x2＋1>0，(x21－1)(x22－1)>0. 又a>0，∴f(x1)－f(x2)>0， 故函数f(x)在(－1,1)上为减函数．