微分方程模型方法

其中：净吸收量／天＝10467 – 5038 ＝5429（焦／
天)
净输出量／天＝69(焦／公斤·天)×W／(公斤)
3、体重的变化＝／6天9W＝(焦w／天(公) 斤／天) t
dw
t0 dt
对外经济贸易大学 应用数学系
3
单位匹配
有些量是用能量(焦)的形式给出的，而另外一些量是用重量的形式 (公斤)给出，考虑单位的匹配，利用
资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用,
且阻滞作用随人口数量增加而变大
r是x的减函数
假设 r(x) r sx (r, s 0) r~固有增长率(x很小时)
xm~人口容量（资源、环境能容纳的最大数量）
r(xm ) 0
s r r(x) r(1 x )
xm
xm
对外经济贸易大学 应用数学系
wk.baidu.com11
精品课件！
假设以脂肪形式贮藏的热量100%地有效，而1公斤脂肪合 热量41868焦。试研究此人的体重随时间变化的规律．
对外经济贸易大学 应用数学系
2
翻译或转化：
1、“每天”体重的变化＝输入一输出 其中输入指扣除了基本新陈代谢之后的净重量吸收； 输出是进行健身训练时的消耗(WPE)．
2、上述陈述更好的表示结构式： 体重的变化／天=净吸收量／天一WPE／天
一、举例子说明微分方程模型建模步骤
1> 翻译或转化： 2> 匹备物理单位： 3> 建立表达式： 4> 确定条件：
对外经济贸易大学 应用数学系
1
例 某人的食量是10467焦／天，其中5038焦／天用于基本的新 陈代谢(即自动消耗)。在健身训练中，他所消耗的热量大约是69 焦／公斤.天乘以他的体重 (公斤)．
对外经济贸易大学 应用数学系
8
求解
已知量：S(0)=0，S(2)=2，S(4)=3
S(t) k ln(t x0 ) c
S(0) k ln x0 c 0 S(2) k ln(2 x0 ) c 2 S(4) k ln(4 x0 ) c 3
[c,k,x]=solve('k*log(x)+c','k*log(x+2)+c-2','k*log(x+4)+c-3')
对外经济贸易大学 应用数学系
12
精品课件！
对外经济贸易大学 应用数学系
13
阻滞增长模型(Logistic模型) r(x) r(1 x )
xm
指数增 长模型
dx rx dt
dx r(x)x rx(1 x )
dt
xm
dx/dt
x xm
xm/2
0
xm/2 xm x
x0 0
t
x(t)
xm
x(t)~S形曲线,
1 ( xm 1)e rt
x增加先快后慢
x0
对外经济贸易大学 应用数学系
14
x(t) ~时刻t的人口 x(t t) x(t) rt x(t)
dx rx, dt
x(0) x0
x(t) x0 (er )t
与常用公式的一致 x(t) x0 (er )t x0 (1 r)t
? 随着时间增加，人口按指数规律无限增长. 对外经济贸易大学 应用数学系
10
2. 阻滞增长模型(Logistic模型) 人口增长到一定数量后，增长率下降的原因：
请问：雪是从什么时候开始下的？
假设他没有回头清扫落在已扫过的路面上的雪
对外经济贸易大学 应用数学系
6
示意图
1
下雪速度：a(单位)3/小时.面积 铲雪速度：b(单位)3/小时
S(t)：
正午后t小时的铲雪位移
下雪时间： 午前x0
已知量：S(0)=0，S(2)=2，S(4)=3
对外经济贸易大学 应用数学系
>> double([c,k,x])
-0.4404
2.0781
1.2361
对外经济贸易大学 应用数学系
9
案例2 人口指数增长模型
常用的计算公式 今年人口 x0, 年增长率 r
k年后人口
x x (1 r)k
k
0
1.指数增长模型——马尔萨斯提出 (1798)
基本假设 : 人口(相对)增长率 r 是常数
ts=1:90; w0=150; [t,w]=ode45('tizhong',ts,w0);[t,w] plot(t,w,'rd')
[t, w]:
88.0000 140.4736
89.0000 140.3719
90.0000 140.2703
对外经济贸易大学 应用数学系
5
二、案例分析
案例1 一场降雪开始于午前的某个时刻，并持续到下午，雪量稳定。 某人从正午开始清扫某条街的人行道，他的铲雪速度（以 m^3/h度量）和清扫面的宽度均不变。 到下午2点他扫了两个街区，到下午4点他扫了一个街区。
公斤 / 天
焦/天 41868焦 / 公斤
建立表达式
dW (10467 5038) 69 *W
dt
41868
加上初始条件 W(0) 150
>> w=150; (5429-69*w)/41868
ans = -2.3424
对外经济贸易大学 应用数学系
4
求解问题
function dx=tizhong(t,w) dx=((10467-5038)-69*w)/41868;
1
7
模型
t到t+Δt时刻： （1）铲雪容量：b*Δt
（2）忽略Δt下雪量，雪量减少容量：
a (t x0 ) S 下雪速度：a(单位)^3/小时.面积
（3）微分表达式： b * t a *(t x0 ) * S
（4）模型： ds k dt t x0
S(t) k ln(t x0 ) c