用动态悬挂法测定材料的杨氏模量

YM-2 型杨氏模量实验仪测试台、信号发生器、示波器、米尺、游标卡尺、物理天平、 待测试样。
[实验内容]
1．测量不锈钢试样的长度 l ，直径 d 和质量 m 。 2．测量试样的共振频率。可以先估算出共振频率 f ，以便寻找共振点。因试样共振状
态的建立需要有一个过程，且共振峰十分尖锐。因此在共振点附近调节信号频率时，必须 十分缓慢地进行。
可见试样在作基频振动时，存在两个节点，它们的位置距离端面分别为 0.224 l 和 0.776 l
处。
将第一本征值 K = 4.730 代入式（2），得到自由振动的固有圆频率（基频） l
解出杨氏模量
1
ω
=
⎡( ⎢ ⎣
4.730 4 EJ ρl 4 s
⎤ ⎥ ⎦
2
E = 1.9978 × 10 −3 ρl 4 s ω 2 J
实验 18 用动态悬挂法测定材料的杨氏模量
用静态拉伸法测杨氏模量（见实验三）时，由于拉伸实验载荷大，加载速度慢，存在 驰豫过程，它不能真实地反映材料内部结构的变化；对脆性材料无法用这种方法测量；也 不能测量在不同温度时的杨氏模量。动态法不仅可以克服这些上缺点，而且具有实用价值， 是国家标准指定的一种测量方法。其基本方法是：将一根截面均匀的试样（棒）悬挂在两 只传感器（一只激振，一只拾振）下面，在两端自由的条件下，使其作自由振动。实验时 监测出试样振动时的固有基频，并根据试样的几何尺寸、密度等参数，测得材料的杨氏模 量。
样做就不能激发和拾取试样的振动。因此实际的吊扎位置都要偏离节点。请你用“外延测
量法”准确测定悬线吊扎在试样节点上时的共振频率，并修正你的实验结果。 [思考题]
1．试讨论，试样的长度 l 、直径 d 、质量 m 、共振频率 f 分别应该采用什么规格的
仪器测量？为什么？ 2 在实际测量中，往往会出现几个共振峰，致使真假难分。请列举几种判别真假共振峰
∂x
∂x 3
弯距 即
M = EJ ∂ 2 y = 0 ∂x 2
d3X dx 3
x=0 = 0
d3X dx 3
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x=l = 0
d2X dx 2
x=0 = 0x=0
d2X dx 2
x=l = 0x=0
将通解代入边界条件，得到
cos Kl ⋅ chKl = 1 用数值解法求得本征值 K 和棒长 l 应满足
Kl = 0 、4.730、7.853、10.966、14.137、…
3．室温下不锈钢和铜的杨氏模量分别约为 2 × 10 11 牛顿·米-2和 1.2 × 10 11 牛顿·米-2，
计算测量的百分误差 4．设计性扩展实验内容：根据实验原理，要使试样自由振动就应把悬线吊扎在试样的
节点上（试样在作基频振动时，两个节点的位置距离端面分别为 0.224 l 和 0.776 l 处，但这
= 7.8870 × 10 −2 l 3 m f 2 J
对于圆棒
∫ J = y 2ds = s( d )2 4
式中 d 为圆棒的直径。得到 E = 1.6067 l 3 m f 2 d4
（3）
式中 l 为棒长，d 为棒的直径，m 为棒的质量。如果在实验中测定了试样（棒）在不同 温度下的固有频率 f ，即可计算出试样在不同温度时的杨氏模量 E 。
dt 2
ρs
图 1 原理公式推导用图
这两个线性常数分方程的通解分别为
X ( x ) = B1chKx + B2 shKx + B3 cos Kx + B4 sin Kx T ( t ) = A cos(ωt + ϕ )
于是横振动方程的通解为
y( x ,t ) = ( B1chKx + B2 shKx + B3 cos Kx + B4 sin Kx )A cos(ωt + ϕ )
用分离变量法解该方程。令
y( x ,t ) = X ( x )T ( t )
代入方程（1）得
1 d 4 X = − ρs 1 d 2T
X dx
EJ T dt 2
等式两边分别是 x 和的 t 函数，这只有都等于一个任意常
数时才有可能，设为 K 4 ，得
d4X − K4X = 0 dx 4
d 2T + K 4 EJ T = 0
式中
1
ω
=
⎡ K 4 EJ
⎢ ⎣
ρs
⎤ ⎥ ⎦
2
（2）
称为频率公式。对任意形状的截面，不同边界条件的试样都是成立的。我们只要用特定的
边界条件定出常数 K，代入特定截面的惯量矩 J，就可以得到具体条件下的计算公式了。 如果悬线悬挂在试样的节点附近，则其边界条件为自由端横向作用力
F = − ∂M = − EJ ∂ 3 y = 0 ，
图 3 实验装置
本实验的基本问题是测量试样的共振频率。为了测出该频率，采用图 3 所示实验装置。 由信号发生器输出的等幅正弦波信号，加在传感器 I（激振）上。通过传感 I 把电信号 转变成机械振动，再由悬线把机械振动传给试样，使试样受迫作横振动。试样另一端的悬 线把试样的振动传给传感器Ⅱ（拾振），这时机械振动又转变成电信号。该信号经放大后送 到示波器中显示。 当信号发生器的频率不等于试样的共振频率时，试样不发生共振，示波器上几乎没有信 号波形或波形很小。当信号发生器的频率等于试样的共振频率时，试样发生共振。这时示 波器上的波形突然增大，读出频率，就是该试样在该温度下的共振频率。根据式(3)，即可 计算出该温度下的杨氏模量。如果改变加热炉的温度，可以测出不同温度时的杨氏模量。 [实验仪器]
的方法。
（刘国营）
由于其中一个根“0”相应于静态情况，故将第二根作为第一根记作 K1l 。一般将 K 1l
所对应的频率称为基频频率。在上述 K m l 值中第 1、3、5…个数值对应着“对称形振动”，
第 2、4、6…个数值对应着“反对称形振动”。最低级次的对称形和反对称形振动的波形如 图 2 所示。
(a)
(b)
图 2 最低级次的对称形(a)和反对称形(b)振动的波形
[实验目的] 1． 用动态悬挂法测定金属材料的杨氏模量。 2． 正确判别材料的共振峰值。 3． 培养学生综合应用物理仪器的能力。 4． 设计性扩展实验，培养学生研究探索的科学精神。 [实验原理] 根据棒的横振动方程(见图 1)
∂4 y ∂x 4
+
ρS EJ
•
∂2 y ∂t 2
=
0
（1）
∫ 式中 ρ 为棒的密度， s 为棒的截面积， E 为杨氏模量， J 为惯量矩（ J = y 2ds ）。