圆锥曲线齐次式与点乘双根法(2)

4n 8m 0 所以 n 2m
4 8n
圆锥曲线齐次式与点乘双根法
1 而 mx' ny ' 1 mx ' ( 2m) y ' 1 mx 2my 1 0 .所以 k=
2
平移变换，斜率不变，所以直线
1 AB 斜Байду номын сангаас为定值 .
2
二，点乘双根法
例 4 ：设椭圆中心在原点 O ，长轴在 x 轴上，上顶点为 A ，左右顶点分别为 F1, F2 ，线段 OF1, OF2 中点分别为 B1, B2 ，且 △AB1B2 是面积为 4 的直角三角形 .
圆于 A, B 两点，证明：直线 AB 斜率为定值 .
解：以点 P 为坐标原点，建立新的直角坐标系 x ' py ' ，如图所示：
圆锥曲线齐次式与点乘双根法
旧坐标
新坐标
( x, y) ( x ', y ')
即 (2,1) (0,0)
x' x 2
所以
y' y 1
A A' B B'
原来 kPA kPB 0
整理成关于 x , y x, y 的齐次式： (2 2b2n2 ) y2 (1 2m2b2 ) x2 4mnb2 xy 0 ，进而两边 同时除以 x 2 ，则
(2 2b 2n2 )k 2 4mnb 2k 1 2m2b2 0
1 2m2b2 k1k 2 2 2b2 n2
1 2m2b 2
因为 OQ1 OQ2 OQ1 OQ2 所以 k1k2
圆锥曲线齐次式与点乘双根法
一，圆锥曲线齐次式与斜率之积（和）为定值
x2 y2 例 1 ： Q1,Q2 为椭圆 2b 2 b 2 1 上两个动点，且 OQ1 OQ2 ，过原点 O 作直线 Q1Q2 的垂 线 OD ，求 D 的轨迹方程 .
解法一（常规方法） ：设 Q1(x1, y1), Q2 ( x2, y2) ， D ( x0, y0 ) ,设直线 Q1Q2 方程为 y kx m ，
y2
1，设直线 l 不经过点 P (0,1) 的直线交于 A, B 两点，若直线 PA, PB
4
圆锥曲线齐次式与点乘双根法
的斜率之和为 1 ，证明：直线 l 恒过定点 .
解：以点 P 为坐标原点，建立新的直角坐标系 x ' py ' ，如图所示：
旧坐标
新坐标
( x, y) ( x ', y ')
即 (0,1) (0,0)
2
1
x'
而 mx' ny ' 1 ( n ) x ' ny ' 1 n( x ' y ')
1 0 对于任意 n 都成立 .
2
2
x' y' 0 则： x '
10 2
x' 2
，故对应原坐标为
y' 2
x2 所以恒过定点 (2, 1) .
y1
x2
例 3 ：已知椭圆
8
y2 1 ，过其上一定点 P(2,1) 作倾斜角互补的两条直线，分别交于椭 2
1， 2
2b 2n2
1
3 2b2( m2 n2 )
又因为直线 Q1Q2 方程等价于为 y y0
x0 ( x x0 ) ，即 y y0
x0 x y0
x0 2 y0
y0 对比于
x0 mx ny 1 ，则 x02 y02
m 代入 中，化简可得： x02
y02
2 b2 .
y0 x0 2 y0 2
n
3
x2
例 2 ：已知椭圆
y0
代入 中，化简可得： x0 2 m
y02
2 b2. 3
y0
解法二（齐次式） ：
mx ny 1
设直线 Q1Q2 方程为 mx ny 1 ，联立 x2 y2
2
21
2b b
mx ny 1
x2 y2
2
210
2b b
x2 2b 2
y2 b2
( mx
ny)2
x2 0 化简可得 : 2b 2
y2 b2
m2x2 n 2 y2 2mnxy 0
y1 1 y2 1 0 则转换到新坐标就成为： x1 2 x2 1
y1 ' y2 ' 0 x1 ' x2 '
即 k1 ' k2 ' 0
设直线 AB 方程为： mx' ny ' 1
原方程： x2 4 y2 8 则转换到新坐标就成为： ( x ' 2)2 4( y ' 1)2 8
展开得： x '2 4y '2 4x' 8y ' 0
联立
y kx m x 2 y 2 化简可得 : 2b 2 b2 1
(2b2k2 b2 ) x2 4kmb2 x 2b2 (m2 b2 ) 0 ，所以
2b2 (m2 b2 )
b 2( m2 2b 2k 2)
x1x2
2 2 2 , y1 y2
22
2
2b k b
2b k b
因为 OQ1 OQ2 所以
2b 2( m2 b 2 ) b 2 (m2 2b 2k 2 ) 2( m2 b2 ) m2 2b 2k 2
x1x2 y1 y2
2b2k 2 b2
2b 2k 2 b 2
2k 2 1
2k 2 1 =0
3m2 2b2 (1 k 2)
又因为直线 Q1Q2 方程等价于为 y y0
x0 ( x x0 ) ，即 y y0
x0 x y0
x0 2 y0
y0 对比于
圆锥曲线齐次式与点乘双根法
x0 k
y
y0
kx m ，则 x02
构造齐次式： x '2 4 y '2 4x '(mx ' ny ') 8y '(mx' ny ') 0
整理为： y '2 (4 8n) x ' y '(4n 8m) (1 4m) x'2 0
两边同时除以 x '2 ，则 (4 8n)k '2 (4n 8m)k ' 1 4m 0
所以 k1 ' k2 '
（1 ）求其椭圆的方程
（2 ）过 B1 作直线 l 交椭圆于 P,Q 两点，使 PB2 QB2 ，求直线 l 的方程 .
x2 y2
解：（ 1 ）
1
20 4
（2 ）易知：直线 l 不与轴垂直，则设直线 l 方程为： y k( x 2) ， P( x1, y1), Q( x2 , y2 )
x' x
所以
y' y 1
A A' B B'
原来 kPA kPB
1
y1 1 y2 1
1 则转换到新坐标就成为： y1 ' y2 '
1
x1
x2
x1 ' x2 '
即k1 ' k2 ' 1
设直线 l 方程为： mx ' ny ' 1
圆锥曲线齐次式与点乘双根法
原方程： x2 4y2 4 则转换到新坐标就成为： x' 2 4( y ' 1)2 4
展开得： x '2 4y '2 8y ' 0
构造齐次式： x '2 4 y '2 8y '(mx' ny ') 0
整理为： (4 8n) y '2 8mx' y' x'2 0
两边同时除以 x '2 ，则 (4 8n)k '2 8mk' 1 0
所以 k1 ' k2 '
8m 4 8n
1 1所以 2m 2n 1 m n