2020年高三数学一模二模试卷分析

2020年高三数学一模二模试卷分析
一．试卷知识点整体分布，选填共（65分）大题共（85分）①一模选填结构分析（选择4*10=40分，填空5*5=25分）
一模选填题集合
基础
函数
基础
复数
圆锥
曲线
数列
三视图
与几何
体
不等式
直线
与圆
向量
二项
式定
理
概率
三角
函数
应用
创新
逻辑
推理
合计
东城1112011221012015西城11111111121012115西城21112021120021115海淀1112211111012015朝阳1212220010211015丰台1012123110011115②二模选填结构分析（选择4*10=40分，填空5*5=25分）
二模选填题集合
基础
复数
二项
式定
理
函数
基础
圆锥
曲线
数列
三视图
与几何
体,立
体几何
不等式
直线
与圆
向量
二项
式定
理
概率
三角函数
与解三角
应用
创新
逻辑
推理
合计
东城11031020020032015西城11112111111012015海淀11012130020021115朝阳11111111120022015丰台11022110110021215
③一模大题结构分析（14*5+15*1=85分）
一模解答题立体
几何
三角
函数
（选
择条
件）
数列
（选
择条
件）
概率
统计
圆锥
曲线
函数
导数
综合
创新
合计
东城11011116西城111011116西城210111116海淀11011116朝阳11011116丰台11011116④二模大题结构分析（14*5+15*1=85分）
二模解答题立体
几何
三角条
件选择
数列
条件
选择
概率
统计
圆锥
曲线
函数
导数
综合
创新
合计
东城10111116西城10111116海淀10111116朝阳10111116丰台10111116二.试题新变化
(1) 试题结构10+5+6的试卷结构；
(2)10题和15题难度略有下降，选填题有多题把关的趋势
(3)立体几何的位置和难度下降
(4) 数列或者三角函数，解三角形设了选择项，先选择条件再去做题 (5) 概率题稳中有变 (6) 19,20,21多题把关
三．选填常考部分
（1）集合 （2）复数 （3）二项式定理
（4）函数基础(函数奇偶性，单调性，图像) （5）数列
（6）三视图以及线面平行和垂直的判定 （7）向量（四种题型）
（8）圆锥曲线（只要设计双曲线的性质或者抛物线定义的理解 （9）三角函数与解三角形
（10）不等式（不等式比较大小以及基本不等式的应用） （11）直线和圆（直线方程与圆的方程，位置关系）
（12）创新题目⎪⎪⎩⎪
⎪
⎨⎧+1+1111+11+1应用问题与数学文化
立体几何创新题解析创新题函数创新题
小题突破的关键：
一要注意细节：审题要细，思考问题尽量全面，小题小做。

注意通性通法。

公式和定理要熟记。

二要提升速度：选择填空所用时间不可超过45分钟，不能影响大题答题时间，先做完，再检查！
三要注重方法：平时练习需要多留意，找到方法，学会技巧，时常练习，保持题感！
四 .大题考试题型
①圆锥曲线
②导数
③概率
五. 复习参考题目
（一） 小题参考题目（举例）
1.必考点.（三视图 在正方体里找原图形）
1．某三棱锥的三视图如图所示，则下列说法中：
① 三棱锥的体积为
16
② 三棱锥的四个面全是直角三角形
③
所有正确的说法是 A ① B ①① C ①① D ①①
2．数列考察 （熟记递增递减数列，以及定义的判定和转化能力）
3．已知等比数列{}n a ，①1>q ；②01>a ，1>q ；③1,01><q a ④10,01<<<q a 则能判定数列为递增数列的个数为
A ．1
B 2
C ． 3
D ．4
（9）若数列{}n a 满足1= 2 a
，则“p ∀，r *∈N ，p r p r a a a +=”是“{}n a 为等比数列”的
（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件
（D ）既不充分也不必要条件
主视图左视图
俯视图
3. 函数的综合应用（数形结合思想，注意运动变化中把握不变量的能
力，以及数学建模的能力提升）
4. 立体几何的创新题目
15．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点P 在正方形ABCD 的边界及其内部运动．
平面区域W
由所有满足1A P P 组成，则W 的面积是____；四面体1P A BC -的 体积的最大值是____．
10.设函数⎪⎩
⎪⎨⎧>≤++=0,lg 0
,110)(2x x x x x x f 若关于x 的方程)()(R a a x f ∈=有四个实数解),,4,3,2,1(=i x i 其中
4321x x x x <<<,则))((4321x x x x -+的取值范围是( )
(A)]101,0(
(B)]99,0(
(C)]010,0(
(D)),0(+∞
（15）如图，在等边三角形ABC 中，6AB =.动点P 从点A 出发，沿着此三角形三边逆时针运
动回到A 点，记P 运动的路程为x ，点P 到此三角形中心O 距离的平方为()f x ，给出下列三个结论：
①函数()f x 的最大值为12；
②函数()f x 的图象的对称轴方程为9x =； ③关于x 的方程()3f x kx =+最多有5个实数根. 其中，所有正确结论的序号是.
注：本题给出的结论中，有多个符合题目要求。

全部选对得5分，不选或有错选得0分，
其他得3分。

C
（二）大题参考题目
一. 三角函数(三角函数一是化简问题，二是求最值和求单调区间的步骤，三是图像问题和零点问题） 解三角问题（边角互换问题，注意三角和的关系，和角度的范围的限制）数列问题（熟记公式，掌握求和的常规方法）（14分） 海淀一模
（17）（本小题共14分）
已知函数212()2cos sin f x x x ωω=+． （Ⅰ）求(0)f 的值；
（Ⅱ）从①11ω=，22ω=； ②11ω=，21ω=这两个条件中任选一个，作为题目的已知条
件，求函数()f x 在[2π-
,]6
π
上的最小值，并直接写出函数()f x 的一个周期. 注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分。

朝阳一模
（16）（本小题14分）
已知{}n a 是公差为d 的等差数列，其前n 项和为n S ，且51=a ， ．若存在正整数n ，使得n S 有最小值． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求n S 的最小值．
从①31=-a ，②2=d ，③2=-d 这三个条件中选择符合题意的一个条件，补充在上面问题中并作答．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 3.
二. 立体几何（掌握线面平行和垂直的判定定理和方法，正确建系，掌握线面角，线线角，二面角的范围和公式求法）（14分） 西城二模
16．(本小题满分14分)
如图，在三棱柱ABC—A 1B 1C 1中1,CC ⊥底面,,ABC AC BC D ⊥是A 1C 1的中点，且
1 2.AC BC AA ===
(①)求证：1BC ∥平面AB 1D ；
(①)求直线BC 与平面AB 1D 所成角的正弦值.
海淀（16）
（本小题共14分） 如图，在三棱柱111ABC A B C -中， AB ⊥平面11BB C C ，122AB BB BC ===，13BC =，
（Ⅰ）求证：1C B ⊥平面ABC ； （Ⅱ）求二面角A BC E --的大小.
ABC △中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，设ABC △的面积为S ，已知下列四个
条件中，只能同时满足其中三个 ①1a =；②5cos cos 5A B ==
；③4sin 5C =；④25
S =. （Ⅰ）请指出这三个条件，并说明理由； （Ⅱ）求ABC △的周长.
E
A
三．概率（四种，独立事件的概率，n 次独立重复事件，超几何，古典概率）（14分）
①18．（本小题14分）从某市的中学生中随机调查了部分男生，获得了他们的身高数据，整理得到如下频率分布直方图．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替，估计该市中学生中的全体男生的平均身高；
（Ⅲ）从该市的中学生中随机抽取一名男生，根据直方图中的信息，估计其身高在180 cm 以上的概率．若从全市中学的男生（人数众多）中随机抽取3人，用X表示身高在180 cm 以上的男生人数，求随机变量X的分布列和数学期望EX．
②17．（本小题14分）摩拜单车和ofo小黄车等各种共享单车的普及给我们的生活带来了便利.已知某共享单车的收费标准是：每车使用不超过1小时（包含1小时）是免费的，超过1小时的部分每小时收费1元（不足1小时的部分按1小时计算，例如：骑行2.5小时收费为2元）.现有甲、乙两人各自使用该种共享单车一次.设甲、乙不超过1小时还车的概率分别为
1 4，
1
2
；1小时以上且不超过2小时还车的概率分别为
1
2
，
1
4
；两人用车时间都不会超过3
小时.
（Ⅰ）求甲乙两人所付的车费相同的概率；
E.
（Ⅱ）设甲乙两人所付的车费之和为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望ξ
③海淀一模
科技创新能力是决定综合国力和国际竞争力的关键因素，也是推动经济实现高质量发展的重要支撑，而研发投入是科技创新的基本保障.下图是某公司从2010年到2019年这10年研发投入的数据分布图：Array
其中折线图是该公司研发投入占当年总营收的百分比，条形图是当年研发投入的数值（单位：十亿元）.
（Ⅰ）从2010年至2019年中随机选取一年，求该年研发投入占当年总营收的百分比超过10%的概率；
（Ⅱ）从2010年至2019年中随机选取两个年份，设X表示其中研发投入超过500亿元的年份的个数，求X的分布列和数学期望；
（Ⅲ）根据图中的信息，结合统计学知识，判断该公司在发展的过程中是否比较重视研发，
并说明理由.
四． 圆锥曲线（掌握直线方程设法的三种形式，选择合适的直线方式很重要）（15分）
（1）
（2）
设椭圆2
2:12
x C y +=的右焦点为F ，
过F 的直线l 与C 交于A ，B 两点，点M 的坐标为()2,0. （1）当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程； （2）设O 为坐标原点，证明：OMA OMB ∠=∠.
（3）
海淀一模 已知椭圆22
22:1x y C a b
+=(0)a b >>
，1(,0)A a -，2(,0)A a ，(0,)B b ，
△12A BA 的面积为2. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）设M 是椭圆C 上一点，且不与顶点重合，若直线1A B 与直线2A M 交于点P ，直线1A M
与直线2A B 交于点Q . 求证：△BPQ 为等腰三角形.
已知椭圆2222 1 (0)x y a b a b +=>>的离心率为1
2
，点(0,2)G 与椭圆的左、右顶点可以构成
等腰直角三角形．点C 是椭圆的下顶点，经过椭圆中心O 的一条直线与椭圆交于A ，B 两个点（不与点C 重合），直线CA ，CB 分别与x 轴交于点D ，E ． （1）求椭圆的标准方程；
（2）判断DGE ∠的大小是否为定值，并证明你的结论．
五. 导数（14分）（注意定义域，检查导数的正确性，会讨论不同形式的导函数的正负）
20．已知函数()(1)x f x e a x =-+.
（Ⅰ）若曲线()y f x =在(0,(0))f 处的切线斜率为0，求a 的值； （①）若()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围；
（①）求证：当0a =时，曲线()y f x =(x>0)总在曲线2ln y x =+的上方． 20．（本小题14分）已知函数()cos f x x x a =+，a ∈R . （Ⅰ）求曲线()y f x =在点2
x π
=
处的切线的斜率； （Ⅱ）判断方程()0f x '=（()f x '为()f x 的导数）在区间()0,1内的根的个数，说明理由； （Ⅲ）若函数()sin cos F x x x x ax =++在区间(0,1)内有且只有一个极值点，求a 的取值范围
20. 已知函数2()()e x
f x x a =-，a ∈R ．（Ⅰ）当0a =时，求函数的单调区间；
（Ⅱ）若在区间1,2上存在不相等的实数,m n ,使()()f m f n 成立，求a 的取值范围；
（Ⅲ）若函数()f x 有两个不同的极值点1x ，2x ，求证：212()()4e f x f x -<.
20.设函数()cos )x f x ae x
a R =+∈（ （1）求(0)f 和'(0)f 的值
（2）证明：当1a =时，曲线()(0)y f x x =>的所有点均在直线2y =上方； （3）若()f x 在区间[0,]π内有两个零点，求实数a 的取值范围。

()f x
六. 数列（14分） (考察动手实践和归纳概括的能力)仔细读题
（21）（本小题共14分）
已知数列{}n a 是由正整数组成的无穷数列.若存在常数*k ∈N ，使得212n n n a a ka -+=对任意的*n ∈N 成立，则称数列{}n a 具有性质()k ψ.
（Ⅰ）分别判断下列数列{}n a 是否具有性质(2)ψ；(直接写出结论)
①1n a =；②2n n a =.
（Ⅱ）若数列{}n a 满足1n a +≥(1,2,3,)n a n =，求证：“数列{}n a 具有性质(2)ψ”是“数列{}n a 为常数列”的充分必要条件； （Ⅲ）已知数列{}n a 中11a =，且1(1,2,3,)n n a a n +>=.若数列{}n a 具有性质(4)ψ，求数列
{}n a 的通项公式.。