多个样本均数比较的方差分析

第三节 随机区组设计资料的方差分析
一、随机区组设计
• 又称为配伍组设计，是配对设计的扩展。
具体做法是：先按影响试验结果的非处理
因素（如性别、体重、年龄、职业、病情
、病程等）将受试对象配成区组，再分别
将各区组内的受试对象随机分配到各处理
或对照组。
• 特点：
随机分配的次数要重复多次，每次随机分配 都对同一个区组内的受试对象进行，且各个处理 组受试对象数量相同。区组内均衡。 在进行统计分析时，将区组变异离均差平方和 从完全随机设计的组内离均差平和中分离出来， 从而减小组内离均差平方和(误差平方和)，提高 了统计检验效率。
C (324.30) 2 /120 876.42 SS总 958.52 876.42=82.10 ， 总 =120－1=119
(102.91)2 (81.46)2 (80.94)2 (58.99)2 SS组间 876.42 32.16 30 30 30 30 组间 4 1 3
第四讲 多个样本均数比较的方差分析
第一节 方差分析的基本思想 及其应用条件
一、基本思想 • 根据资料设计的类型及研究目的，可
将总变异分解为两个或多个部分，每
个部分的变异可由某因素的作用来解
释。通过比较可能由某因素所至的变
异与随机误差，即可了解该因素对测
定结果有无影响。
二、应用条件
• 总体——正态且方差相等
分配结果 丙 乙 甲 甲 丙 乙 丙 乙 甲 乙 丙 甲 乙 甲 丙
二、变异分解
(1) 总变异：反映所有观察值之间的变异,记为SS总
(2) 处理间变异：由处理因素的不同水平作用和随机误差产生
的变异，记为SS处理 (3) 区组间变异：由不同区组作用和随机误差产生的变异，记 为SS区组 (4) 误差变异:完全由随机误差产生的变异,记为SS误差 对总离均差平方和及其自由度的分解，有:
表 4-10 例 4-4 的方差分析表
变异来源 总变异 处理间 区组间 误 差 自由度 14 2 4 8 SS 0.5328 0.2280 0.2284 0.0764 0.1140 0.0571 0.0096 11.88 <0.01 5.95 <0.05 MS F P
据1=2、2=8查附表3的F界值表，得
一、完全随机设计
• 是采用完全随机化的分组方法，将全部试
验对象分配到g个处理组（水平组），各组
分别接受不同的处理，试验结束后比较各
组均数之间的差别有无统计学意义，推论 处理因素的效应。
例4-1 某医生为了研究一种降血脂新药的临 床疗效，按统一纳入标准选择 120名患者，
采用完全随机设计方法将患者等分为 4组进
• H0:μ1= μ2= μ3= μ4 即4个试验组总体均数相等 • H1:4个试验组总体均数不全相等 • α=0.05
X ij 102.91 81.46 80.94 58.99 324.30 X ij2 367.85 233.00 225.54 132.13 958.52
MS组间 F , 1 组间 , 2 组内 MS组内 g ，则 MS组间 , MS组内都为随 如果 1 2 2 机误差 的估计，F值应接近于1。
如果 1, 2 ,
, g 不全相等，F值将明显大于1。
• 用F界值（单侧界值）确定P值。
第二节 完全随机设计资料的方差分析
注意：
方差分析的结果拒绝 H0 ，接受 H1 ，不能说明各 组总体均数间两两都有差别。如果要分析哪些两
组间有差别，可进行多个均数间的多重比较（见
本章第六节）。当 g=2 时，随机区组设计方差分 析与配对设计资料的t 检验等价，有 t F 。
• 随机区组设计确定区组因素应是对试验结果有影 响的非处理因素。区组内各试验对象应均衡，区 组之间试验对象具有较大的差异为好，这样利用 区组控制非处理因素的影响，并在方差分析时将 区组间的变异从组内变异中分解出来。
2 2 i 1 j 1 i 1 j 1
g ni
g ni
C X 总, N 1
i, j 2 ij
N
• 2.组间变异：各处理组由于接受处理的
水平不同，各组的样本均数 (i＝1，2
，…，g)也大小不等，这种变异称为 组间变异。 • 其大小可用各组均数与总均数的离均 差平方和表示，记为SS组间 。
• 样本——独立、随机
完全随机设计资料的方差分析的基本思想
• 1.总变异：全部测量值大小不同，这种变异 称为总变异。 • 总变异的大小可以用离均差平方和(SS)表示 ，即各测量值与总均数差值的平方和，记 为SS总。 • 总变异SS总反映了所有测量值之间总的变异 程度。
• 计算公式为
SS总 X ij X X ij C
计算公式为
SS组内 ( X ij X i )
i 1 j 1
g ni
2
组内 N g
三种变异的关系：
SS总 SS组间 SS组内
总 组间 组内
均方差，均方(MS)。
MS组间 MS组内
SS组间
组间
SS组内
组内
• 计算检验统计量：
i 1
n
g
n
SS处理
j 1
g
处理
SS区组
MS处理 MS误差
( X ij ) C
2 j 1 i 1
区组
SS误差
MS区组 MS误差
差 （n－1） （g－1） SS 总－ SS 处理-－SS 区组
误差
三、分析步骤
• 例4-4 某研究者采用随机区组设计进行实验，比 较三种抗癌药物对小白鼠肉瘤抑瘤效果，先将15 只染有肉瘤小白鼠按体重大小配成5个区组，每个 区组内3只小白鼠随机接受三种抗癌药物(具体分
SS总 SS处理 SS区组 SS误差
总 处理 区组 误差
表4-8 随机区组设计资料的方差分析表
变异来源 总变异 处理间 区组间 误 自由度
g n
SS
MS
F
N－1 g－1 n－1
1 n
1 g
X ij2 C
i 1 j 1
( X ij ) 2 C
组 内
N－ g
SS总 SS组间
SS组内 组内
例4-2 某医生为了研究一种降血脂新药的临
床疗效，按统一纳入标准选择 120名高血脂
患者，采用完全随机设计方法将患者等分
为4组（具体分组方法见例4-1），进行双盲
试验。6周后测得低密度脂蛋白作为试验结
果，见表4-3。问4个处理组患者的低密度脂
蛋白含量总体均数有无差别?
行双盲试验。问如何进行分组？
表 4-2 完全随机设计分组结果 编 号 随机数 序 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 … 119 120
260 873 373 204 056 930 160 905 886 958 … 220 634 24 106 39 15 3 114 13 109 108 117 … 16 75
F0.05(2,8) 4.46, F0.01(2,8) 8.65, F 11.88 F0.01(2,8) , P 0.01。
在α=0.05的水准上，拒绝H0，接受H1，认为三种
不同药物作用后小白鼠肉瘤重量的总体均数不全
相等，即不同药物的抑瘤效果有差别。同理可对
区组间的差别进行检验。
计算公式为
g g
SS组间 ni ( X i X )
2 i 1 i 1
( X ij )
j 1
ni
2
ni
C
组间 g 1
• 3.组内变异：在同一处理组中，虽然每 个受试对象接受的处理相同，但测量 值仍各不相同，这种变异称为组内变 异（误差）。组内变异可用组内各测 量值与其所在组的均数的差值的平方 和表示，记为 SS 组内 , 表示随机误差的 影响。
SS组内 82.10 32.16 49.94 ， 组内 120 4 116 32.16 49.94 MS组间 10.72 ， MS组内 0.43 ， 3 116 10.72 F 24.93 0.43
表4-5 完全随机设计方差分析表
变异来源 总变异 组 间 组 内 自由度 119 3 116 SS 82.10 32.16 49.94 MS 10.72 0.43 F 24.93 P <0.01
2 i 1 j 1
g
n
1 g n 1 2 SS处理 ( X ij ) C (3.072 2.17 2 1.57 2 ) 3.0917 0.2280 n i 1 j 1 5
1 n g SS区组 ( X ij )2 C g j 1 i 1 1 (1.982 1.502 1.052 0.932 1.352 ) 3.0917 0.2282 3
配方法见例4-3),以肉瘤的重量为指标,试验结果见
表4-9。问三种不同的药物的抑瘤效果有无差别？
• H0:μ1= μ2= μ3 ，即三种不同药物作用 后 小白鼠肉瘤重量的总体均数相等 • H1:三种不同药物作用后小白鼠肉瘤重 量的总体均数不全相等
• α=0.05
SS总 X ij C 3.6245 3.0917=0.5328
• 因此，当区组间差别有统计学意义时，这种设计
的误差比完全随机设计小，试验效率得以提高。
百度文库
第六节 多个样本均数间的多重比较
若用两样本均数比较的t 检验进行多重比较 ，将会加大犯Ⅰ型错误（把本无差别的两 个总体均数判为有差别）的概率。
适用条件：
• 当方差分析的结果为拒绝H0，接受H1时，
只说明g个总体均数不全相等。若想进一步 了解哪些两个总体均数不等，需进行多个
样本均数间的两两比较或称多重比较。
常用方法：
• LSD-t检验：适用于一对或几对在专业上有特殊意
义的样本均数间的比较。 • Dunnett- t 检验：适用于g-1个实验组与一个对照 组均数差别的多重比较，检验统计量为t ，亦称t 检验。 • SNK-q检验：适用于多个样本均数两两之间的全 面比较。
分组结果 甲 丁 乙 甲 甲 丁 甲 丁 丁 丁 … 甲 丙
二、变异分解
表 4-4 完全随机设计资料的方差分析表
变异来源 总变异 自由度 N－ 1
g ni i 1 j 1
SS
MS
2
F
X ij C
组 间
g －1

g
( X ij )
j 1
ni
2
i 1
ni
C
SS组间 组间
MS组间 MS组内
按 α=0.05水准，拒绝H0，接受H1，认为4个试验组低
密度脂蛋白总体均数不相等，即不同剂量药物对血脂
中低密度脂蛋白降低影响有差别。
注意：
方差分析的结果拒绝H0，接受H1，不能说明各组 总体均数间两两都有差别。如果要分析哪些两组 间有差别，可进行多个均数间的多重比较（见本 章第六节）。当g=2时，完全随机设计方差分析与 成组设计资料的t 检验等价，有 t F 。
例4-3 如何按随机区组设计，分配5个区组的15只 小白鼠接受甲、乙、丙三种抗癌药物？
表 4-6 区组号 小白鼠 随机数 序 号 1 5 个区组小白鼠按随机区组设计分配结果 1 2 3 4 2 5 6 7 3 8 4 5 9 10 11 12 13 14 15
68 35 26 00 99 53 93 61 28 52 70 05 48 34 56 3 2 1 1 3 2 3 2 1 2 3 1 2 1 3