1.5 谓词公式

◦ (9) ◦ (10)
S P S
T,(7)(8),拒取式 CP,(1)(9)


在Ls中，把命题分解到原子命题为止，认为原子命 题是不能再分解的，仅仅研究以原子命题为基本单 位的复合命题之间的逻辑关系和推理。这样，有些 推理用命题逻辑就难以确切地表示出来。例如： 所有的人都是要死的， 苏格拉底是人， 所以苏格拉底是要死的。 根据常识，这个推理是正确的。但若用Ls来表示， 设P、Q和R分别表示这三个原子命题，则有 P，QR 然而，(P∧Q)→R并不是永真式，故上述推理形式又 是错误的。一个推理，得出矛盾的结论，问题在哪 里呢?


因此，有必要对原子命题作进一步分析，分析出其 中的个体词，谓词和量词，研究它们的形式结构的 逻辑关系、正确的推理形式和规则，这些正是谓词 逻辑（简称为Lp）的基本内容。
谓词逻辑(一阶谓词演算、一阶逻辑） 是命题逻辑的扩充和发展,其本质同命 题逻辑,是把数学中的逻辑论证加以符 号化,从而推动这个数学分支的发展.
◦ W: 天晴；Q: 下雨；S: 我去看电影；R：我在看书 ◦ H：WQ, WS, SR；C：RQ

解：
◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦
(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11)
R SR S WS W W Q W Q (WQ) (QW) WQ Q RQ


全称量词后跟一个条件式，而特性谓词作为其前件 出现； 存在量词后跟一个合取式，特性谓词作为一个合取 项出现。

谓词前加上了量词，称为谓词的量化。若一个谓词 中所有个体变元都量化了，则该谓词就变成了命题。 这是因为在谓词被量化后，可以在整个个体域中考 虑命题的真值了。

项 原子公式 谓词公式 谓词逻辑的翻译
◦ 例如，令f(x,y)表示x+y，谓词N(x)表示x是自然数，
那么f(2,3)表示个体自然数5，而N(f(2,3))表示5是自
然数。这里函数是就广义而言的，例如P(x):x是教授，
f(x):x的父亲，c:张强，那么P(f(c))便是表示“张强的
父亲是教授”这一命题。

函数的使用给谓词表示带来很大方便。

个体、谓词和量词 谓词公式与翻译 变元的约束 公式解释与类型 等价式和蕴涵式 谓词公式范式 谓词逻辑的推理理论

个体、谓词和量词 谓词公式与翻译

理解基本概念 学会谓词公式符号化的方法

谓词公式符号化
一般来说，反映判断的句子是由主语和谓语两部分 组成的。 例：
合式谓词公式当且仅当由下列规则形成的符号串 ① 原子公式是合式谓词公式； ② 若A是合式谓词公式，则(A)是合式谓词公式； ③ 若A，B是合式谓词公式，则(A∧B)，(A∨B)， (A→B)和(AB)都是合式谓词公式； ④ 若A是合式谓词公式，x是个体变元，则(x)A、 (x)A都是合式谓词公式； ⑤ 仅有有限项次使用①、②、③和④形成的才是合 式谓词公式。
◦ 特别地，当n=0，称为零元谓词。零元谓词是命题， 故命题是n元谓词的一个特殊情况，这样命题与谓词 就得到了统一。

由一个或n个简单命题函数以及逻辑联结词组合而 成的表达式成为复合命题函数。
说明：逻辑联结词、、、、↔ 的意义与命 题演算中的解释相同。
注意： n元谓词不是命题，只有其中的个体变元用 个体常元替代时，才能成为一个命题。但是个体 变元在哪些范围（论域）内取特定的值，对是否 成为命题及命题的真值极有影响。

通常，把一个n元谓词中的每个个体的论域综合在 一起作为它的论域，称为n元谓词的全总论域。定 义了全总论域，为深入研究命题提供了方便。当一 个命题没有指明论域时，一般都从全总论域作为其 论域。而这时又常常要采用一个谓词如P(x)来限制 个体变元x的取值范围，并把P(x)称为特性谓词。

利用n元谓词和它的论域概念，有时还是不能用符 号来很准确地表达某些命题，例如S(x)表示x是大 学生，而x的个体域为某单位的职工，那么S(x)可 表示某单位职工都是大学生，也可表示某单位有一 些职工是大学生，为了避免理解上的歧义，在Lp中， 需要引入用以刻划“所有的”、“存在一些”等表 示不同数量的词，即量词。
为了方便处理数学和计算机科学的逻辑问题及谓词表 示的直觉清晰性，将引进项的概念。 定义 项由下列规则形成： ① 个体常元和个体变元是项； ② 若 f 是 n 元函数，且 t1 ， t2 ， … ， tn 是项，则 f(t1 ， t2，…，tn)是项； ③ 所有项都由①和②生成。

有了项的定义，函数的概念就可用来表示个体常 元和个体变元。
对于给定的命题，当用表示其个体的小写字母和表 示其谓词的大写字母来表示时，规定把小写字母写 在大写字母右侧的圆括号( )内。 例如：

◦ 在命题“张明是位大学生”中，“张明”是个体，“是位大 学生”是谓词，它刻划了“张明”的性质。设S：是位大学 生，c：张明，则“张明是位大学生”可表示为S(c)，或者 写成S(c)：张明是位大学生。
◦ 定义：表示特定的个体 ◦ 表示方法： a，b，c…或带下标的ai，bi，ci…

个体变元
◦ 定义：表示不确定的个体 ◦ 表示方法： x，y，z…或xi，yi，zi…

谓词，当与一个个体相联系时，它刻划了个体性质； 当与两个或两个以上个体相联系时，它刻划了个体 之间的关系。
◦ 谓词常元：表示特定谓词 ◦ 谓词变元：表示不确定的谓词(在此，不做进一步讨论) ◦ 表示方法：大写英文字母，如P, Q, R,…，或其带上、下 标来表示。
例如，用谓词表示命题： 对任意整数x，x2-1=(x+1)(x-1)是恒等式。 令I(x):x是整数，f(x)=x2-1，g(x)=(x+1)(x-1)， E(x,y):x=y，则该命题可表示成： (x)(I(x)E(f(x),g(x)))。

定义 若P(x1，x2，…，xn)是n元谓词，t1，t2，…， tn是项，则称P(t1，t2，…，tn)为Lp中原子谓词公 式，简称原子公式。
◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦
(10) (11) (12) (13) (14) (15)
W WS S SR R RR
P
T,(5)(9),I8 T,(10)(11),I8
P
T,(12)(13),I8 T,(4)(14),矛盾

如果A工作努力,则B或C将生活愉快.如果B生活愉快, 那么A将不努力工作.如果D生活愉快,则C将生活不 愉快.所以如果A努力工作, D则不愉快.
例：R(x)表示“x是大学生” 对于不同的讨论范围： (1) 华北电力大学2005级的学生 (2) 清华附中2004级的理科学生 (3) 北京饭店的旅客 例：(P(x,y)∧P(y,z)→ P(x,z)) 对于不同的解释： (1) P(x,y)解释为“x小于y”，当x,y,z在实数域内取值 (2) P(x,y)解释为“x是y的儿子”，当x,y,z指人 (3) P(x,y)解释为“x距离y10米”， 当x,y,z表示平面上的 物体
授课教师：程文刚 wgcheng@ncepu.edu.cn

命题演算的推理理论
◦ ◦ ◦ ◦ 概念、形式 规则 定律 方法


推证时，只能使用前提、命题定律、蕴涵定律以及 前面每步推证所得结果，除此以外，都不能作为依 据 不能省略步骤（不同于等值演算）


前提：或者是天晴，或者是下雨；如果天晴，我去 看电影；如果我去看电影，我就不看书。 结论：如果我在看书，则天在下雨 符号化：

(1)他是三好学生 (2)7是奇数 (3)每天早晨跑步是好习惯


在谓词演算中，将原子命题分解为个体 和谓词 两 部分。 定义
◦ 个体：原子命题中所描述的对象。它可以是独立存在的东 西,既可以是一个具体的事物，也可以是一个抽象的概念。 ◦ 谓词：用以刻划客体的性质或客体与客体之间的关系。

个体常元
P(附加前提) P T,(1)(2),I9 P T,(3)(4),I9 P T,(6),E12 T,(7),E12 T,(8),I1 T,(5)(9),I8 CP,(1)(10)

解：
◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) WQ WQ (WQ) (QW) QW WS QS SR QR RQ P T,(2),E12 T,(3),I2 P T,(4)(5),I11 P T,(6)(7),I11 T,(8),E11 T,(1),E12
①符号称为全称量词符，用来表达“对所有的”、 “每一个”、“对任何一个”、“一切”等词语； x称为全称量词，称x为指导变元。 ②符号称为存在量词符，用来表达“存在一些”、 “至少有一个”、“对于一些”、“某个”等词 语；x称为存在量词，x称为指导变元。 ③符号!称为存在唯一量词符，用来表达“恰有一 个”、“存在唯一”等词语；!x称为存在唯一量 词，称x为指导变元。 全称量词、存在量词、存在唯一量词统称量词。

问题就在于这类推理中，各命题之间的逻辑关系 不是体现在原子命题之间，而是体现在构成原子 命题的内部成分之间，即体现在命题结构的更深 层次上。对此，Ls是无能为力的。 又例如，考虑下面的语句 P：n是一个正整数； 根据命题的定义可知，P不是一个命题。因为计算 机科学中大多数的语句使用变量，我们必须扩充 逻辑系统以包含这样的语句。
◦ 在命题“武汉位于北京和广州之间”中，武汉、北京和广州 是三个个体，而“…位于…和…之间”是谓词，它刻划了武 汉、北京和广州之间的关系。设P：…位于…和…之间，a： 武汉，b：北京，c：广州，则P(a，b，c)：武汉位于北京和 广州之间。

一个原子命题用一个谓词(如P)和n个有次序的个体 常元(如a1，a2，…，an)表示成P(a1，a2，…，an)， 称它为该原子命题的谓词形式或命题的谓词形式。 注意：个体的次序与事先约定有关，不能随意变动
例 试用量词、谓词表示下列命题：
① ② ③ ④ 所有大学生都热爱祖国； 每个自然数都是实数； 一些大学生有远大理想； 有的自然数是素数。

解 令S(x)：x是大学生，L(x)：x热爱祖国，N(x)： x是自然数，R(x)：x是实数，I(x)：x有远大理想， P(x)：x是素数。 则例中各命题分别表示为： ①(x)(S(x)L(x)) ②(x)(N(x)R(x)) ③(x)(S(x)I(x)) ④(x)(N(x)P(x))

命题符号化
P:A工作努力; Q: B生活愉快； R: C生活愉快； S: D生活愉快；
◦ H1: P(Q R); H2 : Q P; H3 : S R; ◦ C: P S;

解：
◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) P P(Q R) Q R Q P Q Q R R S R P(附加前提) P T,(1)(2),假言推理 P T,(1)(4),拒取式 T,(3),条件转化律 T,(5),(6),假言推理 P

解：
◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (RQ) P(附加前提) (RQ) T,(1),E11 RQ T,(2),E5 R T,(3),I1 Q T,(3),I2 WQ P WQ T,(6),E12 (WQ) (QW) T,(7),E12 QW T,(8),I2

由一个谓词，一些个体所组成的表达式称为简单 命题函数。
◦ 由一个谓词(如P)和n个体变元(如x1，x2，…，xn)组 成的P(x1，x2，…，xn)，称它为n元原子谓词或n元 命题函数，简称n元谓词。个体变元的论述Байду номын сангаас围，称 为个体域或论域。
当n=1时，称一元谓词；当n=2时，称为二元谓词，…。 一元谓词：说明一个个体词的谓词，如：“…是光荣的”、 “…是导体”、“…大于零”、…。 二元谓词：说明两个个体词的谓词，如：“…是…的父亲”、 “…大于…”、“赞扬”、“欣赏”、…。 n元谓词：说明n个个体的谓词。