北师大版数学4.2.2 最大值、最小值问题 教案 (北师大选修1-1)

高中数学：4.2.2 最大值、最小值问题 教案 （北师大选修1-1）

教学过程：

一、复习引入：

1.极大值： 一般地，设函数f(x)在点x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有f(x)＜f(x 0)，就说f(x 0)是函数f(x)的一个极大值，记作y 极大值=f(x 0)，x 0是极大值点

2.极小值：一般地，设函数f(x)在x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有f(x)＞f(x 0).就说f(x 0)是函数f(x)的一个极小值，记作y 极小值=f(x 0)，x 0是极小值点

3.极大值与极小值统称为极值注意以下几点：

（ⅰ）极值是一个局部概念由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小

（ⅱ）函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个

（ⅲ）极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示，1x 是极大值点，4x 是极小值点，而)(4x f >)(1x f （ⅳ）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点

而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点

二、讲解新课： 1.函数的最大值和最小值

观察图中一个定义在闭区间[]b a ,上的函数)(x f 的图象．图中)(1x f 与3()f x 是极小值，2()f x 是极大值．函数)(x f 在[]b a ,上的最大值是)(b f ，最小值是3()f x ． 一般地，在闭区间[]b a ,上连续的函数)(x f 在[]b a ,上必有最大值与最小值． 说明：⑴在开区间(,)a b 内连续的函数)(x f 不一定有最大值与最小值．如函数x

x f 1)(=

在),0(+∞内连续，但没有最大值与最小值；

⑵函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．

⑶函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，是)(x f 在闭区间[]b a ,上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．

(4)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个

⒉利用导数求函数的最值步骤:

由上面函数)(x f 的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．

设函数)(x f 在[]b a ,上连续，在(,)a b 内可导，则求)(x f 在[]b a ,上的最大值与最小值的步骤如下：⑴求)(x f 在(,)a b 内的极值；

⑵将)(x f 的各极值与)(a f 、)(b f 比较得出函数)(x f 在[]b a ,上的最值

三、讲解范例：

例1求函数522

4

+-=x x y 在区间[]2,2-上的最大值与最小值

例2已知x,y 为正实数，且满足22

240x x y -+=，求xy 的取值范围

例3.设

213a <<,函数323

()(11)2

f x x ax b x =-+-≤≤的最大值为1,求常数a,b

例4已知2

3

()log x ax b

f x x

++=,x ∈(0,+∞).是否存在实数a b 、,使)(x f 同时满足下列两个条件：（1）)(x f )在（0，1）上是减函数，在［1，+∞)上是增函数；（2）)(x f 的最小值是1，若存在，求出a b 、，若不存在，说明理由. 四、课堂练习：

1．下列说法正确的是( )

A.函数的极大值就是函数的最大值

B.函数的极小值就是函数的最小值

C.函数的最值一定是极值

D.在闭区间上的连续函数一定存在最值

2.函数y =f (x )在区间［a ,b ］上的最大值是M ，最小值是m ,若M =m ,则f ′(x ) ( ) A.等于0 B.大于0 C.小于0 D.以上都有可能

3.函数y =2

342

13141x x x ++，在［－1，1］上的最小值为( ) A.0

B.－2

C.－1

D.12

13

4.函数y =122+-x x x 的最大值为( )。A.3

3

B.1

C.

2

1

D.

2

3 5.设y =|x |3,那么y 在区间［－3，－1］上的最小值是( ) A.27 B.－3 C.－1 D.1

6.设f (x )=ax 3－6ax 2+b 在区间［－1，2］上的最大值为3，最小值为－29，且a >b ,则( ) A.a =2,b =29 B.a =2,b =3 C.a =3,b =2 D.a =－2,b =－3 五、小结 ：

⑴函数在闭区间上的最值点必在下列各种点之中：导数等于零的点，导数不存在的点，区

间端点；

⑵函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，是)(x f 在闭区间[]b a ,上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件；

⑶闭区间[]b a ,上的连续函数一定有最值；开区间),(b a 内的可导函数不一定有最值，若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值.