北师大版数学4.2.2 最大值、最小值问题 教案 (北师大选修1-1)
高中数学 4.2.2最大值、最小值问题第2课时课件 北师大版选修1-1
课堂典例探究
面积、容积最大问题
已知圆柱的表面 积为定值S，当圆柱的容积V最大时，圆柱的高 h的值为________．
[答案]
6πS 3π
[分析] 将容积V表示为高h或底半径r的函数，运用导数求 最值．由于表面积S＝2πr2＋2πrh，此式较易解出h，故将V的表 达式中h消去可得V是r的函数．
ห้องสมุดไป่ตู้3．实际优化问题中，若只有一个极值点，则极值就是 _最__值__．
4．解决优化问题的基本思路：
根据课程标准的规定，有关函数最大值、最小值的实际问 题一般指的是单峰函数，也就是说在实际问题中，如果遇到函 数在区间内只有一个点使f′(x)＝0，且该函数在这点有极大(小) 值，那么不与端点值比较，就可以知道这就是最大(小)值.
某集团为了获得更大的利益，每年要投入一定 的资金用于广告促销．经调查，每年投入广告费 t(百万元)可增 加销售额约为－t2＋5t(百万元)(0≤t≤5)
(1)若该公司将当年的广告费控制在三百万元之内，则应投 入多少广告费，才能使该公司由此获得的收益最大？
(2)现该公司准备共投入 300 万元，分别用于广告促销和技 术改造．经预测，每投入技术改造费 x(百万元)，可增加的销售 额约为－13x3＋x2＋3x(百万元)．请设计一个资金分配方案，使 该公司由此获得的收益最大？(注：收益＝销售额－投入)．
又 r＝
6Sπ，∴h＝2
6Sπ＝
6πS 3π .
即当圆柱的容积 V 最大时，圆柱的高 h 为
6πS 3π .
[方法规律总结] 1.利用导数解决实际问题中的最值的一 般步骤：
(1)分析实际问题中各量之间的关系，找出实际问题的数学 模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y＝f(x)；
高中数学新北师大版精品教案《北师大版高中数学选修1-1 2.2最大值、最小值问题》
《函数不等式的证明》教学设计汪南南（安徽省阜阳市第三中学）一、考纲解读函数与导数几乎处于全国卷高考压轴题位置，而其中频频涉及的“不等式证明”让学生颇感到困难，但不管问题的种类、解题的思想方法如何千变万化、其精髓还是构造辅助函数，转化为单调性和最值问题，构造的核心在于学生的优化思维和转化思维的培养。
二、教学目标1会利用导数作为工具,证明函数不等式;2灵活构造函数,结合放缩和函数的最值达到证明目的；3构造函数的过程当中，培养学生的优化意识和转化意识。
三、教学重难点1利用导数解决函数不等式证明问题的基本方法；2对不等式进行灵活的变形或者放缩。
四、教学过程设计1.课堂引入证明下列不等式：（2021全国Ⅱ理22）当1x >-时，证明：11x x ex --≥+ （阜阳二模理21）证明：ln 2x x e -<-【设计意图】设计意图：基于在一轮复习当中，理科A 班学生基本掌握了解决函数不等式证明问题的基本方法：直接构造、不等式放缩（“隔板法”）、两个函数的最大和最小的比较等，但是对这些方法当中的核心问题：“如何构造最优的函数”还是不够熟练，所以通过上述两个熟悉的问题意在达到以下几个目的： 1回顾证明函数不等式的方法2培养学生处理问题的优化意识3回顾高中几个重要的函数不等式比如问题1：学生是直接构造函数()11x x g x e x -=--+，还是先通过化简构造()1x g x e x =--。
比如问题2：对于出现ln x 与x e ，是否会想到借助常见不等式ln 1x x ≤-，1x e x ≥+等进行简单的放缩。
比如问题2：对于不等式ln 2xx e +≤，如何变形？是两边同乘、同除、同加还是同减，可以实现构造两个函数并利用一个函数的最小值与另一个函数的最大值进行比较，例如构造()()ln 2,x x e g x h x x x+==，从而证明()()max min g x h x ≤即可。
北师大版数学高二-选修1教案 4.2.2最大值、最小值问题
第四课时 4.2.2最大值、最小值问题学习目的：⒈使学生理解函数的最大值和最小值的概念，掌握可导函数)(x f 在闭区间[]b a ,上所有点（包括端点b a ,）处的函数中的最大（或最小）值必有的充分条件；⒉使学生掌握用导数求函数的极值及最值的方法和步骤学习重点：利用导数求函数的最大值和最小值的方法．学习难点：函数的最大值、最小值与函数的极大值和极小值的区别与联系． 一.知识回顾 一、函数极值的定义一般地，设函数y=f(x)在x=x0及其附近有定义，如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值都大，我们就说f(x0)是函数的一个极大值,记作y 极大值=f(x0)，x0是极大值点.如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值都小，我们就说f(x0)是函数的一个极小值,记作y 极小值=f(x0)，x0是极小值点.极大值与极小值统称为极值. 注 意:1、在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量x 的值，极值指的是函数值y.2、极值是一个局部概念，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小,并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小.3、函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个.4、极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值.二、求函数f(x)的极值的步骤:(1)求导数f′(x);(2)求方程f′(x)=0的根(x 为极值点.)(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查f ′(x )在方程根左右的值的符号，求出极大值和极小值.注意:如果函数f(x)在x0处取得极值,意味着0)(x f 0='反之不一定成立！！！ 如y=x 3二.新课探究[]()?,,,133.1大值、极小值吗你能找出它的极图象的上函数观察区间如图x f y b a =-()()()()()()()是极大值的极小值是函数我们发现观察图象642531,,,,,,,x f x f x f x f y x f x f x f =()[]?,大值、最小值吗上的最在区间你能找出函数探究b a x f y =()[]()().,,,133.13x f a f b a x f y 最小值是上最大值是在区间函数可以看出从图=-x133.1-图[]()[]?,?,,,,153.1143.1么什最大值和最小值分别是如果有小值吗上有最大值、最它们在的图象上的函数观察中、在图b a x f y b a =--[]().,,,最大值和最小值那么它必有不断的曲线续图象是一条连的上函数如果在区间一般地x f y b a = ().,,,,153.1143.1与最小值可以求出函数的最大值就比较连同端点的函数值进行所有极值的只要把函数不难看出中的例子以及函数极值、图结合图x f y =--一、最值的概念(最大值与最小值))x153.1-图如果在函数定义域I内存在x0,使得对任意的x∈I,总有f(x) ≤f(x0),则称f(x0)为函数f(x)在定义域上的最大值.最值是相对函数定义域整体而言的.注意:1.在定义域内, 最值唯一;极值不唯一;2.最大值一定比最小值大.抽象概括：函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的，函数的极值可以有多个，但最值只能有一个；极值只能在区间内取得，最值则可以在端点取得；有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值.二.如何求函数的最值?(1)利用函数的单调性;如:求y=2x+1在区间[1,3]上的最值.(2)利用函数的图象;如:求y=(x－2)2+3在区间[1,3]上的最值.(3)利用函数的导数;利用导数求函数f(x)在区间[a,b]上最值的步骤:(1)求f(x)在区间[a,b]内极值(极大值或极小值)(2)将y=f(x)的各极值与f (a)、f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值例题分析：例1.求函数f(x)=x2-4x+3在区间[-1，4]内的最大值和最小值。
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第2课时导数与函数的极值、最值谢伟最新考纲1了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间其中多项式函数不超过三次；2了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值其中多项式函数不超过三次；会求闭区间上函数的最大值、最小值其中多项式函数不超过三次；3会用导数解决实际问题．知识梳理1．函数的单调性与导数的关系函数＝f在某个区间内可导，则：1如果f′>0，那么函数＝f在这个区间内单调递增；•2如果f′0•2f′>0是f为增函数的充要条件．•3对可导函数f，f′0＝0是0为极值点的充要条件．•4函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值．考点一用导数研究函数的极值多维探究命题角度一根据函数图象判断极值【例1－1】 设函数f 在R 上可导，其导函数为f ′，且函数＝1－f ′的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是A ．函数f 有极大值f 2和极小值f 1B ．函数f 有极大值f －2和极小值f 1C ．函数f 有极大值f 2和极小值f －2D ．函数f 有极大值f －2和极小值f 2解析 由图可知，当x <－2时，1－x >3，此时f ′(x )>0；当－2<x <1时，0<1－x <3，此时f ′(x )<0； 当1<x <2时，－1<1－x <0，此时f ′(x )<0；由此可以得到函数f (x )在x ＝－2处取得极大值，在x ＝2处取得极小值．当x >2时，1－x <－1，此时f ′(x )>0， 答案 D考点一 用导数研究函数的极值多维探究【例1－2】已知函数f (x )＝x －a ln x ，求当a =1时的极值．解 由f ′(x )＝1－a x ＝x －a x，x >0知：当a=1时，令f ′(x )＝0，解得x ＝1.又当x ∈(0，1)时，f ′(x )<0；当x ∈(1，＋∞)，f ′(x )>0，从而函数f (x )在x ＝1处取得极小值，且极小值为f (1)＝1－ln 1=1，无极大值．命题角度二 求函数的极值考点一 用导数研究函数的极值多维探究 【例1－3】已知关于x 的函数f (x )＝－13x 3＋bx 2＋cx ＋bc 在x ＝1处有极值－43，试求b ，c 的值． 解 ∵f ′(x )＝－x 2＋2bx ＋c ，由f (x )在x ＝1处有极值－43，可得⎩⎪⎨⎪⎧f ′(1)＝－1＋2b ＋c ＝0，f （1）＝－13＋b ＋c ＋bc ＝－43. 若b ＝1，c ＝－1，则f ′(x )＝－x 2＋2x －1＝－(x －1)2≤0，f (x )没有极值． 若b ＝－1，c ＝3，则f ′(x )＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋3)(x －1)． 当x 变化时，f (x )与f ′(x )的变化情况如下表：命题角度三 已知极值求参数 解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，c ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－1，c ＝3.若b ＝－1，c ＝3，则f ′(x )＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋3)(x －1)． 当x 变化时，f (x )与f ′(x )的变化情况如下表：∴当x ＝1时，f (x )有极大值－43，满足题意．故b ＝－1，c ＝3为所求．↘↗↘规律方法考点一 用导数研究函数的极值多维探究(1)求函数f (x )极值的步骤：①确定函数的定义域；②求导数f ′(x )；③解方程f ′(x )＝0，求出函数定义域内的所有根；④列表检验f ′(x )在f ′(x )＝0的根x 0左右两侧值的符号．如果左正右负，那么f (x )在x 0处取极大值；如果左负右正，那么f (x )在x 0处取极小值．(2)可导函数y ＝f (x )在点x 0处取得极值的充要条件是f ′(x 0)＝0，且在x 0左侧与右侧f ′(x )的符号不同．应注意，导数为零的点不一定是极值点．对含参数的求极值问题，应注意分类讨论．考点二 利用导数求函数的最值【训练2】设函数f (x )＝a ln x －bx 2(x >0)，若函数f (x )在x ＝1处与直线y ＝－12相切，(1)求实数a ，b 的值；(2)求函数f (x )在⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1e ，e 上的最大值． 解 (1)由f (x )＝a ln x －bx 2，得f ′(x )＝a x －2bx (x >0)．∵函数f (x )在x ＝1处与直线y ＝－12相切．∴⎩⎪⎨⎪⎧f ′（1）＝a －2b ＝0，f （1）＝－b ＝－12， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝12.解 (2)由(1)知f (x )＝ln x －12x 2，则f ′(x )＝1x －x ＝1－x 2x ，当1e≤x ≤e 时，令f ′(x )>0，得1e<x <1，令f ′(x )<0，得1<x <e ，∴f (x )max ＝f (1)＝－12.∴f (x )在⎝⎛⎭⎪⎪⎫1e ，1上单调递增，在(1，e)上单调递减， 求函数f (x )在[a ，b ]上的最大值和最小值的步骤： (1)求函数在(a ，b )内的极值；(2)求函数在区间端点的函数值f (a )，f (b )；(3)将函数f (x )的各极值与f (a )，f (b )比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值． 规律方法考点二 利用导数求函数的最值思想方法1．利用导数研究函数的单调性、极值、最值可列表观察函数的变化情况，直观而且条理，减少失分．2．求极值、最值时，要求步骤规范、表格齐全；含参数时，要讨论参数的大小．3．可导函数y ＝f (x )在点x 0处取得极值的充要条件是f ′(x 0)＝0，且在x 0左侧与右侧f ′(x )的符号不同．4．若函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有极值，那么y ＝f (x )在(a ，b )内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值．易错防范1．求函数单调区间与函数极值时要养成列表的习惯，可使问题直观且有条理，减少失分的可能．2．求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论．3．解题时要注意区分求单调性和已知单调性的问题，处理好f′(x)＝0时的情况；区分极值点和导数为0的点.。
北师大版选修2《最大值、最小值问题》教案及教学反思
北师大版选修2《最大值、最小值问题》教案及教学反思简介《最大值、最小值问题》是高中数学必修课中重要的一节内容，也是高考数学必考点之一。
本文将分享一份北师大版选修2《最大值、最小值问题》的教案，并对教学进行反思和总结。
教学目标1.理解最大值、最小值的概念；2.掌握求解一元函数最值的一般方法；3.拓展应用：分析实际问题中最大值、最小值的应用场景。
教学准备1.PPT课件，并预留练习环节；2.打印“最值练习题”一套；3.准备白板和黑板笔。
教学过程第一步：引入新知识PPT中展示几个实际问题，如：一张矩形纸的一角剪去后，如何让剩下的部分的面积最大？又如：投资几个项目，如何使收益最大？引导学生思考这些问题下的“最大值”、“最小值”等概念。
第二步：讨论和概念阐释教师和学生共同讨论，发现实际问题中常涉及到“最大值”和“最小值”概念。
在讨论的过程中，引导学生记住以下几个关键点：1.最大值即为函数取得的“最大值”；2.最小值即为函数取得的“最小值”；3.定义域和取值域决定了函数值域，函数的最值只在定义域范围内取得。
第三步：解题方法深入1.确定函数的定义域和取值域；2.化简并求导，得到导函数；3.把导函数的零点(或极值点，或边界点)代入原函数得最小值和最大值。
在第三步中，教师应给予学生许多实例的练习机会。
同时，也可以要求学生自己带着问题上来，进行现场求解练习。
不断练习，才能不断提高。
第四步：拓展应用引导学生思考实际问题在最值问题中的应用，如优化设计、生产成本等，进一步帮助学生理解应用最值问题的实际意义和重要性。
教学反思本节课的教学反思主要从以下几个方面进行总结：1.教学设计方面：本课程通过实例引导学生思考，结合偏向应用的教学方法，让学生从理论、实际问题之间的联系角度理解课程内容，提高学习效率，提高课程的授课质量。
2.教学效果：由于课前布置作业，课上带着问题进行一一解答，并有大量且易于理解的例子进行演示和铺垫，使学生能够充分掌握最值问题的相关知识，简单而言，就是“听一次会一次”。
(教师用书)高中数学 4.2.2 最大值、最小值问题课件 北师大版选修1-1
又 f(－1)＝－7a－29，f(2)＝－16a－29，f(2)>f(－1)， 所以当 x＝2 时，函数在[－1，2]上取得最大值，则 f(2) ＝－16a－29＝3，解得 a＝－2. 综上可得，a＝2，b＝3 或 a＝－2，b＝－29.
1 2
.本题关键是正确的确定最值． .已知函数最值求参数的步骤：
1
.当函数多项式的次数大于 2 或用传统方法不易求最
值时，可考虑用导数的方法求解． 2 .比较极值与端点函数值大小时，有时需要利用作差源自或作商，甚至需要分类讨论．
本例中函数解析式变为 f(x)＝x3－3x2＋6x－2，试求最 值．
【解】 f′(x)＝3x2－6x＋6＝3(x－1)2＋3>0， 所以函数 f(x) 在区间[－2，2]上是增加的，从而 f(x)在区间[－2，2]上的最 大值为 f(2)＝6，最小值为 f(－2)＝－34.
最值问题的实际应用
某商品每件成本 9 元，售价 30 元，每星期卖出 432 件．如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出 的商品件数与商品单价的降低额 x(单位：元，0≤x≤21)的平 方成正比．已知商品单价降低 2 元时，每星期多卖出 24 件． (1)将一个星期的商品销售利润表示成 x 的函数； (2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？
由上表可知，当 x＝0 时，f(x)取得极大值，也就是函数 f(x)在[－1，2]上的最大值，则 f(0)＝3，即 b＝3. 又 f(－1)＝－7a＋3，f(2)＝－16a＋3，f(2)<f(－1)， 所以当 x＝2 时，函数 f(x)在[－1，2]上取得最小值，则 f(2)＝－16a＋3＝－29，解得 a＝2. ②当 a<0 时，同理可得，当 x＝0 时，f(x)取得极小值， 也就是函数 f(x)在[－1，2]上的最小值，则 f(0)＝－29，即 b ＝－29.
2022年 高中数学新北师大版精品教案《北师大版高中数学选修1-1 2.2最大值、最小值问》
利用导数研究函数图像阜阳三中李晶晶教学目标：1知识目标：能探索并应用函数的单调性与导数的关系求函数的单调区间，进而能由导数信息绘制函数大致图象。
2能力目标：培养学生的观察能力、归纳能力，增强数形结合的思维意识。
3情感目标：通过在教学过程中让学生多观察、多动手、勤思考、善总结，引导学生养成自主学习的学习习惯。
教学重点：探索并应用函数单调性与导数的关系画函数图像教学难点：利用导数信息绘制函数的大致图象。
教学方法：“诱思探究〞法教学手段：多媒体课件等辅助手段教学过程：一、回忆与思考创设问题情境1．到目前为止，我们学过判断函数的单调性有哪些方法？〔引导学生答复“定义法〞，“图象法〞。
〕2．比方，要判断的单调性，如何进行？〔引导学生回忆分别用定义法、图象法完成。
〕3．还有没有其它方法？4．给出引例1：函数的图像与函数的图像有三个交点，那么实数的取值范围为_____以问题形式复习相关的旧知识，同时引出新问题：如何画出函数图像？学生答复以下问题转化为有两个根，即是函数图像与函数图像有两个交点，激发学生疑惑，？继续抛出问题2、问题3：如何画出函数，的图像，利用考试中出现的问题继续激疑，进一步激发学生兴趣二、合作学习探索新知抛出问题4：利用导数及相关函数性质作出函数的图像由学生画图，并归纳出作图的方法与关键问题5：尝试作出以下函数图像1． 2 3归纳总结作图的关键〔1〕定义域〔2〕函数性质〔3〕特殊点〔特殊线、端点值〕特别注意：1、导数与函数的单调性的关系2、极限思想3、洛必达法那么的正确使用三、指导应用鼓励创新问题6：利用所学方法，解决问题1,问题2,问题3，并用多媒体几何画板进行检验四：当堂检测：画出以下函数图像1 2 3让学生感受归纳的作图方法五．小结：练习完毕，让学生自己总结本节课所学的主要内容。
最后老师提问学生：通常对于哪些函数我们用“导数法〞来判断它们的单调性比拟简便？六．作业设计板书设计效果分析现代数学教学观念要求学生从“学会〞向“会学〞转变，本课从函数单调性与导数关系的发现到应用都有意识地营造一个较为自由的空间，让学生能主动地去观察、猜想、发现、验证，积极地动手、动口、动脑，使学生在学知识的同时形成方法。
高中数学4.2.2最大值、最小值值问题二 教案 (北师大选修1-1)
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2 最大值、最小值值问题教学过程：一、创设情境，铺垫导入1．问题情境:在日常生活、生产和科研中，常常会遇到求什么条件下可以使材料最省、时间最少、效率最高等问题，这往往可以归结为求函数的最大值与最小值．如图,有一长80cm，宽60cm的矩形不锈钢薄板，用此薄板折成一个长方体无盖容器,要分别过矩形四个顶点处各挖去一个全等的小正方形，按加工要求,长方体的高不小于10cm且不大于20cm．设长方体的高为xcm，体积为V cm3．问x为多大时,V最大?并求这个最大值．解：由长方体的高为xcm，可知其底面两边长分别是（80－2x）cm，（60－2x）cm,(10≤x≤20).所以体积V与高x有以下函数关系V=（80－2x）(60－2x）x=4(40－x）（30－x)x.2．引出课题：分析函数关系可以看以实例引发思考，有利于学生感受到数学来源于现实生活,培养学生用数学的意识，同时营造出宽松、和谐、积极主动的课堂氛围,在新旧知识的矛盾冲突中，激发起学生的探究热情．通过运用几何画板演示，增强直观性，帮助学生迅速准确地发现相关的数量关系．提出问题后，引导学生发现，所列函数的最大值是以前学习过三、指导应用，鼓励创新例2如图,有一长80cm,宽60cm的矩形不锈钢薄板，用此薄板折成一个长方体无盖容器，要分别过矩形四个顶点处各挖去一个全等的小正方形，按加工要求,长方体的高不小于10cm不大于20cm,设长方体的高为xcm,体积为V cm3．问x为多大时，V最大?并求这个最大值．分析：建立V与x的函数的关系后，问题相当于求x为何值时,V最小，可用本节课学习的导数法加以解决．“问起于疑,疑源于思",思考题的研究，旨在培养学生的探究意识及创新精神,提高学生分析和解决问题的能力．例题2则让学生认识到现实生活中蕴含着大量的数学信息．教学环节教学内容设计意图本节课旨在加强学生运用导数的基本思想去分析和解决问题的意识和能力，即利用导数知识求闭区间上可导的连续函数的最值，这是导数作为数学工具的具体体现．1．由于学生对极限和导数的知识学习还谈不上深入熟练，因此教学中从直观性和新旧知识的矛盾冲突中激发学生的探究热情，充分利用学生已有的知识体验和生活经验，遵循学生认知的心理规律，努力实现课程改革中以“学生的发展为本”的基本理念．2．关于教学过程，对于本节课的重点：求闭区间上连续,开区间上可导的函数的最值的方法和一般步骤，必须让学生在课堂上就能掌握．对于难点:求最值问题的优化方法及相关问题,层层递进逐步提出，让学生带着问题走进课堂，师生共同探究解决，知识的建构过程充分调动学生的主观能力性．3．在教学手法上，制作CAI课件辅助教学,使得数学知识让学生更易于理解和接受；课堂教学与现代教育技术的有机整合，大大提高了课堂教学效率．4．关于教学法，为充分调动学生的学习积极性，让学生能够主动愉快地学习,本节课始终贯彻“教师为主导、学生为主体、探究为主线、思维为核心”的数学教学思想,引导学生主动参与到课堂教学全过程中．。
2022年 高中数学新北师大版精品教案《北师大版高中数学选修1-1 2.2最大值、最小值问》9
普通高中课程标准实验教科书数学选修1-14.2.2最大值、最小值问题(第一课时〕江西省赣州市兴国县平川中学黄金瑞【教学内容解析】本节主要研究闭区间上的连续函数最大值和最小值的求法和实际应用，分两课时，这里是第一课时，它是在学生已经会求某些函数的最值，并且已经掌握了性质：“如果f(x)是闭区间[a，b]上的连续函数，那么f(x)在闭区间[a,b]上有最大值和最小值〞，以及会求可导函数的极值之后进行学习的，学好这一节，学生将会求更多的函数的最值，运用本节知识可以解决科技、经济、社会中的一些如何使本钱最低、产量最高、效益最大等实际问题，这节课集中表达了数形结合、理论联系实际等重要的数学思想方法，学好本节，对于进一步完善学生的知识结构，培养学生用数学的意识都具有极为重要的意义。
【教学目标】1、知识与技能目标（1）进一步明确闭区间上的连续函数在上必有最大、最小值（2）理解闭区间上的连续函数的最值存在的可能位置（3）掌握利用导数求上述函数的最大值与最小值的方法和步骤2、过程和方法目标〔1〕在学习中，观察、归纳、表述、交流、合作，最终形成认识〔2〕通过利用导数求上述函数的根本过程和步骤的形成，培养学生的数学能力3、情感、态度和价值观〔1〕认识数学与生活的关系和数学在实用性方面的巨大力量，进而对数学中蕴涵的理性美产生发自内心的欣赏情感〔2〕通过利用导数解决最值问题的过程，认识到导数方法的作用【教学重点、教学难点】1、教学重点：会求闭区间上的连续函数的最大值和最小值2、教学难点：(1)闭区间上的连续函数的最值只可能存在于极值点处或区间端点处；(2)理解方程的解，包含有指定区间内全部可能的极值点．【教学过程设计】一、问题引入问题1：如图，比拟函数的极大值与极小值的大小，并谈谈你对极值这一概念的理解。
抽象概括：如果在函数定义域I内存在x0,使得对任意的x∈I,总有__________,那么称f(x0)为函数f(x)在定义域上的最大值.如果在函数定义域I内存在x0,使得对任意的x∈I,总有____________,那么称f(x0)为函数f(x)在定义域上的最小值.函数的________与___________统称为最值.二、课堂探究问题2：函数在其定义域内是否有最值？在区间[0.5,3]上呢？问题3：如图为y ＝f(x)，x ∈[a ，b]的图像.〔1〕.观察[a ，b]上函数y ＝f(x)的图像，试找出它的极大值、极小值.〔2〕.结合图像判断，函数y ＝f(x)在区间[a ，b]上是否存在最大值，最小值？假设存在，可能在什么地方取到？〔3〕.函数y ＝f(x)区间[a ，b]上的最大〔小〕值一定是某极值吗？〔4〕.怎样确定函数f(x)在[a ，b]上的最小值和最大值？ xa b x 1 x 5 x 2 x 3 x 4 yo求函数y = f (x) 在[a,b]上的最大值与最小值的步骤：(1) 求函数y = f (x) 在( a, b ) 内的极值;(2) 将函数y = f (x) 的各极值点与端点处的函数值f (a), f (b) 比拟, 其中最大的一个是最大值, 最小的一个是最小值.三、题型探究例1 求函数f(x)=x3-2x2+5在区间[-2，2]上的最大值和最小值.分析：①先求导②解方程③列表，比拟函数值④下结论，得到最值变式1：求函数f(x)=x3-2x2+5在区间(-2，2]上的最大值和最小值.变式2：求函数f(x)=x3-2x2+5在区间[1，2]上的最大值和最小值.变式3：求函数f(x)=x3-2x2+5在区间[3，4]上的最大值和最小值.例2 一边长为48cm的正方形铁皮，四角各截去一个大小相同的小正方形，然后折起，可以做成一个无盖长方体容器，所得容器的容积V〔单位：cm3〕是关于截去的小正方形的边长x〔单位:cm〕的函数.(1)随着x的变化，容积V(2)容器的容积最大？最大容积是多少？xx分析：实际生活的最优化问题→用函数表示的数学问题→用导数解决数学问题→最优化问题的答案→实际生活的最优化问题四、稳固新知1、求函数f(x)=12x-x3在区间[-3,3]上的最值2、求函数f(x)=x3-3x2+6x-2在区间[-1,1]上的最值五、课堂总结（1）本节课学到了什么？（2）本节课用到了哪些数学思想方法？（3）本节课的感悟六、课后作业课本P93 A组2、4。
高中数学4.2.2最大值、最小值值问题教案(北师大选修1-1)
4.2.2 最大值、最小值值问题教学过程：一、复习引入：1.极大值： 一般地，设函数f(x)在点x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有f(x)＜f(x 0)，就说f(x 0)是函数f(x)的一个极大值，记作y 极大值=f(x 0)，x 0是极大值点2.极小值：一般地，设函数f(x)在x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有f(x)＞f(x 0).就说f(x 0)是函数f(x)的一个极小值，记作y 极小值=f(x 0)，x 0是极小值点3.极大值与极小值统称为极值注意以下几点：（ⅰ）极值是一个局部概念由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小（ⅱ）函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个（ⅲ）极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示，1x 是极大值点，4x 是极小值点，而)(4x f >)(1x f （ⅳ）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点二、讲解新课：1.函数的最大值和最小值观察图中一个定义在闭区间[]b a ,上的函数)(x f 的图象．图中)(1x f 与3()f x 是极小值，2()f x 是极大值．函数)(x f 在[]b a ,上的最大值是)(b f ，最小值是3()f x ．一般地，在闭区间[]b a ,上连续的函数)(x f 在[]b a ,上必有最大值与最小值． 说明：⑴在开区间(,)a b 内连续的函数)(x f 不一定有最大值与最小值．如函数xx f 1)(=在),0(+∞内连续，但没有最大值与最小值；⑵函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．⑶函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，是)(x f 在闭区间[]b a ,上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．(4)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个⒉利用导数求函数的最值步骤:由上面函数)(x f 的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．设函数)(x f 在[]b a ,上连续，在(,)a b 内可导，则求)(x f 在[]b a ,上的最大值与最小值的步骤如下：⑴求)(x f 在(,)a b 内的极值；⑵将)(x f 的各极值与)(a f 、)(b f 比较得出函数)(x f 在[]b a ,上的最值三、讲解范例：例1求函数5224+-=x x y 在区间[]2,2-上的最大值与最小值例2已知x,y 为正实数，且满足22240x x y -+=，求xy 的取值范围例3.设213a <<,函数323()(11)2f x x ax b x =-+-≤≤的最大值为1,求常数a,b例4已知23()log x ax bf x x++=,x ∈(0,+∞).是否存在实数a b 、,使)(x f 同时满足下列两个条件：（1）)(x f )在（0，1）上是减函数，在［1，+∞)上是增函数；（2）)(x f 的最小值是1，若存在，求出a b 、，若不存在，说明理由. 四、课堂练习：1．下列说法正确的是( )A.函数的极大值就是函数的最大值B.函数的极小值就是函数的最小值C.函数的最值一定是极值D.在闭区间上的连续函数一定存在最值2.函数y =f (x )在区间［a ,b ］上的最大值是M ，最小值是m ,若M =m ,则f ′(x ) ( ) A.等于0 B.大于0 C.小于0 D.以上都有可能3.函数y =234213141x x x ++，在［－1，1］上的最小值为( ) A.0B.－2C.－1D.12134.函数y =122+-x x x 的最大值为( )。
数学北师大版选修1-1导学案-4.2.2最大值最小值问题
§1. §4.2.2最大值与最小值[学习目标]1. 知道函数最值的概念，会从几何直观理解函数的最值与其导数的关系，并会灵活应用；2．会求闭区间],[b a 上函数)(x f 的最大值和最小值.一、知识记忆与理解[问题探究]阅读教材P90-92，完成以下问题. 1．最大值与最小值的概念：2．最值与极值的区别与联系：3．求解函数最值的步骤是：[预习检测]1.函数[])2,0(43)(3∈-=x x x x f 的最大值是 （ ） A ．1 B ．2 C ．0 D ．-12.求函数10451223-+-=x x x y 在区间[]10,0上的最大值和最小值。
二、思维探究与创新[问题探究]1.求函数的最值.探究一：求下列函数的最值.（1）[]2,1,12)(23-∈+-=x x x x f ；（2）[]π2,0,sin 21)(∈+=x x x x f .变式1:求函数[]5,2),3()(2∈-=x x e x f x 的最值.整理 反思2.利用最值求参数的值 探究二：已知函数,6-)(23b ax ax x f +=[]2,1-∈x 的最大值为3，最小值为29-，求b a ,的值；变式2: 已知函数a x x x f +-=2362)(在[]2,2-上有最小值37-，求a 的值及)(x f 在[]2,2-上的大值.[总结归纳]1.会求函数的最值；2.能利用最值解决含参问题。
三、技能应用与拓展[当堂检测]1.函数593)(23+--=x x x x f 在区间[]4,4-上的最大值是 ( )A ．10 B.-71 C ．-15 D.-22 2．已知函数m x x x f +-=2362)(（m 为常数）在[]2,2-上有最大值3，那么此函数在[]2,2-上的最小值为 （ ）A ．-5 B.-11 C ．-29 D.-373.函数a x x x x f +--=23)(在区间[]2,0上的最大值是3，则=a . 4.求函数xe xx f =)(在[]4,2∈x 上的最小值.[拓展延伸][]北京.2017已知函数x x ex f x-=cos )(.(1) 求曲线)(x f y =在点))0(,0(f 处的切线方程；(2) 求函数)(x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上的最大值和最小值.整理 反思。
北师大版数学高二选修1-1 4.2.2最大值、最小值问题2 课件
利用导数求f(x)在[a,b]上的最值的步骤:
1. 求导数； 2. 解方程； ３. 列表;
４. 求出f(a) , f(b)和各个极值； ５. 将上述各值比较，最大的就是最大值， 最小的就是最小值.
课堂练习
1、下列结论中,正确的是(Ｄ )
(A) 在区间［ａ,ｂ］上，函数的极大值就是最大值； (B) 在区间［ａ,ｂ］上，函数的极小值就是最小值； (C) 在区间［ａ,ｂ］上，函数的最大值、最大值在ｘ＝ａ，
ｘ＝ｂ处取到； (D) 在区间［ａ,ｂ］上，函数的极大（小）值可能就是最大
（小）值．
B 2. y x 2cosx,x [0, π ]取最(大3值, 3时) ,x ( )
2
33
A.0 B. π C. π
D. π
6
3
2
3. 求y x2 4x 6在区间[1,5]上的最大 值的最大值 .
解： y' 2x 4, 由2x 4 0 得 x 2，
复习导入
利用导数求极值的步骤？
本节关注: 利用导数能否解决最值问题?如果能， 怎么求最值.
探求新知：
1.最值的定义
函数y=f(x)在区间[a,b]上的最大值点x0指 的是：函数在这个区间上所有点的函数值 都不超过f(x0). f(x0)称为函数y=f(x)在区间[a,b]上的最大值.
函数y=f(x)在区间[a,b]上的最小值点x0指 的是：函数在这个区间上所有点的函数值 都不小于f(x0). f(x0)称为函数y=f(x)在区间[a,b]上的最小值. 函数的最大值和最小值通称为函数的最值.
预习下节内容.
利用导数求函数极值的步骤：
（1） 求导数f/(x)； （2） 解方程 f/(x)=0; （3） 列表，分析方程f/(x)=0的根左右
高中数学：4.2.2最大值、最小值值问题二教案(北师大选修1-1)
最大值、最小值值问题教课过程：教课教学内容设计意图环节1．问题情境：在平时生活、生产和科研中，经常会碰到求什么以实例引起思虑，有益条件下能够使资料最省、时间最少、效率最高等问题，这常常能够于学生感觉到数学根源于归纳为求函数的最大值与最小值．现实生活，培育学生用数学如图 ,有一长 80cm,宽 60cm的意识，同时创造出宽松、的矩形不锈钢薄板 ,用此薄板折和睦、踊跃主动的讲堂氛成一个长方体无盖容器,要分别围，在新旧知识的矛盾矛盾过矩形四个极点处各挖去一个一中，激倡始学生的研究热全等的小正方形，按加工要求 ,、情．创长方体的高不小于 10cm且不大于设20cm．设长方体的高为xcm,体积情经过运用几何画板演境为 Vcm3．问 x 为多大时 ,V 最大 ?，示 , 增强直观性 ,帮助学生迅铺并求这个最大值．垫速正确地发现有关的数目解：由长方体的高为xcm，导可知其底面两边长分别是关系．提出问题后 ,指引学生入发现 ,所列函数的最大值是（ 80－ 2x）cm，（ 60－ 2x） cm,(10≤ x≤ 20).从前学习过的方法所不可以所以体积 V 与高 x 有以下函数关系解决的 ,由此引出新课 ,使学V=（80 －2x）（ 60－2x） x生深感持续学习新知识的=4（ 40－x）（ 30－ x） x.必需性 ,为进一步的研究作好铺垫 .2 ．引出课题：剖析函数关系能够看出，从前学过的方法在这个问题中较难凑效，这节课我们将学习一种很重要的方法，来求某些函数的最值．1．我们知道，在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在 [a，b] 上必有最大值与最小值．问题 1：假如是在开区间（a， b）上状况怎样？问题 2：假如 [a，b]上不连续必定还成立吗？2．如图，在闭区间[a， b]上函数 f(x)有哪些极植点？经过对已有有关知识的回首和深入剖析，引领学生到达新知识的生成场景中．学生在合作沟通的研究气氛中思虑、怀疑、聆听、表述，体验到成功的愉悦，学会学习、学会集作．二在闭区间 [a，b] 上函数 f(x)的最大值、最小值分别是什么？分别、合在哪处获得？作学3．以上剖析，说明求函数f(x)在闭区间 [a， b]上最值的要点是习什么？，探归纳：设函数 f(x)在 [a,b]上连续，在 (a,b)内可导，求 f (x)在 [a,b]索上的最大值与最小值的步骤以下：新（ 1）求 f (x)在 (a,b)内的极值；知（ 2）将 f (x)的各极值与 f (a)、 f (b)比较，此中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．教课教学内容环节在整个新知形成过程中，教师的身份一直是启迪者、鼓舞者和指导者，以提升学生抽象归纳、剖析归纳及语言表述等基本的数学思想能力．深入对观点意义的理解：极值反应函数的一种局部性质，最值则反应函数的一种整体性质．设计意图例 1求函数y= x4－ 2 x2＋5在区间[－2，2]上的最大值与最小值．解：y′ =4 x3－4x令 y′ =0，有 4 x3－ 4x=0，解得： x=－1,0,1当 x 变化时， y′， y 的变化状况以下表：x－ 2 (-2,-1)－ 1(-1,0)0(0,1)1(1,2)2y′—0＋0－0＋↘↗↘↗y1345413从上表可知，最大值是13，最小值是 4．二思虑 1：求函数 f(x)在 [a,b]上最值过程中，判断极值常常比较麻、合烦，我们有没有方法简化解题步骤？作设函数 f(x)在 [a,b]上连续，在 (a,b)内可导，求 f(x)在 [a,b] 上的最学大值与最小值的步骤能够改为：习（ 1）求 f(x)在 (a,b)内导函数为零的点，并计算出其函数值；，探（ 2）将 f(x)的各导数值为零的点的函数值与f(a)、f(b)比较，其索中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．新解法 2：y′ =4 x3－ 4x知令 y′ =0，有 4x3－ 4x=0，解得： x=－ 1,0,1．x=－ 1 时， y=4,x=0 时， y=5,x=1 时， y=4．又 x=－ 2 时， y=13，为新知的发现确立基础后，提出教课目的，让学生带着问题走进讲堂，既明确了学习目的，又激倡始学生的求知热忱．解决例 1 的方法其实不独一，还能够转变为学生熟知的二次函数问题；而本节课则是利用导数法求解，这类方法更具一般性，是本节课学习的要点．数学最踊跃的成分是问题，提出问题并解决问题是数学教课的灵魂，思虑 1的目的是优化导数法求最大、最小值的解题过程．x=2 时， y=13．∴所求最大值是13，最小值是4．实时稳固要点内容，做讲堂练习：到讲堂上就能掌握．同时强求以下函数在所给区间上的最大值与最小值：调规范的书写和正确的运（ 1） y=x－ x3,x∈ [0,2]算，培育学生谨慎仔细的数（ 2） y=x3＋x2－x， x∈ [－ 2,1]学学习习惯．教课教学内容环节例 2 如图 ,有一长 80cm,宽 60cm的矩形不锈钢薄板,用此薄板折三成一个长方体无盖容器,要分别、指过矩形四个极点处各挖去一个导全等的小正方形，按加工要求,应用长方体的高不小于10cm不大于，鼓20cm,设长方体的高为 xcm,体积励创为 Vcm3．问 x 为多大时 ,V 最大 ?新并求这个最大值．剖析：成立 V 与 x 的函数的关系后，问题相当于求x 为什么值时，V 最小，可用本节课学习的导数法加以解决．四讲堂小结：、归1．在闭区间 [a,b]上连续的函数 f(x)在 [a,b] 上必有最大值与最小纳小值 ;结，反馈2．求闭区间上连续函数的最值的方法与步骤;回授3．利用导数求函数最值的要点是对可导函数使导数为零的点的判断 .设计意图“问起于疑，疑源于思”，思虑题的研究，旨在培育学生的研究意识及创新精神，提升学生剖析和解决问题的能力．例题 2 则让学生认识到现实生活中包含着大批的数学信息．经过讲堂小结，深入对知识理解，完美认识构造，意会思想方法，增强感情体验，提升认识能力．课外作业有益于教师发现教课中的不足，实时调控．作业部署： P1391、 2、 3【教课方案说明】本节课旨在增强学生运用导数的基本思想去剖析和解决问题的意识和能力，即利用导数知识求闭区间上可导的连续函数的最值，这是导数作为数学工具的详细表现．1．因为学生对极限和导数的知识学习还谈不上深入娴熟，所以教课中从直观性和新旧知识的矛盾矛盾中激发学生的研究热忱，充足利用学生已有的知识体验和生活经验，按照学生认知的心理规律，努力实现课程改革中以“学生的发展为本”的基本理念．2．对于教课过程，对于本节课的要点：求闭区间上连续，开区间上可导的函数的最值的方法和一般步骤，一定让学生在讲堂上就能掌握．对于难点：求最值问题的优化方法及有关问题，层层递进逐渐提出，让学生带着问题走进讲堂，师生共同研究解决，知识的建构过程充足调换学生的主观能力性．3．在教课手法上，制作CAI课件协助教课，使得数学知识让学生更易于理解和接受；课堂教课与现代教育技术的有机整合，大大提升了讲堂教课效率．4．对于教课法，为充足调换学生的学习踊跃性，让学生能够主动快乐地学习，本节课始终贯彻“教师为主导、学生为主体、研究为主线、思想为中心”的数学教课思想，指引学生主动参加到讲堂教课全过程中．。
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高中数学：4.2.2 最大值、最小值问题 教案 （北师大选修1-1）
教学过程：
一、复习引入：
1.极大值： 一般地，设函数f(x)在点x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有f(x)＜f(x 0)，就说f(x 0)是函数f(x)的一个极大值，记作y 极大值=f(x 0)，x 0是极大值点
2.极小值：一般地，设函数f(x)在x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有f(x)＞f(x 0).就说f(x 0)是函数f(x)的一个极小值，记作y 极小值=f(x 0)，x 0是极小值点
3.极大值与极小值统称为极值注意以下几点：
（ⅰ）极值是一个局部概念由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小
（ⅱ）函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个
（ⅲ）极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示，1x 是极大值点，4x 是极小值点，而)(4x f >)(1x f （ⅳ）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点
而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点
二、讲解新课： 1.函数的最大值和最小值
观察图中一个定义在闭区间[]b a ,上的函数)(x f 的图象．图中)(1x f 与3()f x 是极小值，2()f x 是极大值．函数)(x f 在[]b a ,上的最大值是)(b f ，最小值是3()f x ． 一般地，在闭区间[]b a ,上连续的函数)(x f 在[]b a ,上必有最大值与最小值． 说明：⑴在开区间(,)a b 内连续的函数)(x f 不一定有最大值与最小值．如函数x
x f 1)(=
在),0(+∞内连续，但没有最大值与最小值；
⑵函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．
⑶函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，是)(x f 在闭区间[]b a ,上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．
(4)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个
⒉利用导数求函数的最值步骤:
由上面函数)(x f 的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．
设函数)(x f 在[]b a ,上连续，在(,)a b 内可导，则求)(x f 在[]b a ,上的最大值与最小值的步骤如下：⑴求)(x f 在(,)a b 内的极值；
⑵将)(x f 的各极值与)(a f 、)(b f 比较得出函数)(x f 在[]b a ,上的最值
三、讲解范例：
例1求函数522
4
+-=x x y 在区间[]2,2-上的最大值与最小值
例2已知x,y 为正实数，且满足22
240x x y -+=，求xy 的取值范围
例3.设
213a <<,函数323
()(11)2
f x x ax b x =-+-≤≤的最大值为1,求常数a,b
例4已知2
3
()log x ax b
f x x
++=,x ∈(0,+∞).是否存在实数a b 、,使)(x f 同时满足下列两个条件：（1）)(x f )在（0，1）上是减函数，在［1，+∞)上是增函数；（2）)(x f 的最小值是1，若存在，求出a b 、，若不存在，说明理由. 四、课堂练习：
1．下列说法正确的是( )
A.函数的极大值就是函数的最大值
B.函数的极小值就是函数的最小值
C.函数的最值一定是极值
D.在闭区间上的连续函数一定存在最值
2.函数y =f (x )在区间［a ,b ］上的最大值是M ，最小值是m ,若M =m ,则f ′(x ) ( ) A.等于0 B.大于0 C.小于0 D.以上都有可能
3.函数y =2
342
13141x x x ++，在［－1，1］上的最小值为( ) A.0
B.－2
C.－1
D.12
13
4.函数y =122+-x x x 的最大值为( )。
A.3
3
B.1
C.
2
1
D.
2
3 5.设y =|x |3,那么y 在区间［－3，－1］上的最小值是( ) A.27 B.－3 C.－1 D.1
6.设f (x )=ax 3－6ax 2+b 在区间［－1，2］上的最大值为3，最小值为－29，且a >b ,则( ) A.a =2,b =29 B.a =2,b =3 C.a =3,b =2 D.a =－2,b =－3 五、小结 ：
⑴函数在闭区间上的最值点必在下列各种点之中：导数等于零的点，导数不存在的点，区
间端点；
⑵函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，是)(x f 在闭区间[]b a ,上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件；
⑶闭区间[]b a ,上的连续函数一定有最值；开区间),(b a 内的可导函数不一定有最值，若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值.。