近世代数中拉格朗日定理应用汇总

毕业论文
（2016届）
题目拉格朗日定理的若干应用
学院数学计算机学院
专业数学与应用数学
年级2012级
学号***********
学生姓名苗壮
指导教师王伟
2016年5月8 日
摘要
拉格朗日定理是群论中一个非常重要的定理, 通过这个定理还可以得到许多群论中的数量关系,在近世代数中有着广泛的应用.首先介绍了群与子群的定义,其次介绍了子群的陪集和拉格朗日定理;并对拉格朗日定理用两种方法进行证明. 最后,通过讨论相关例题,总结运用拉格朗日定理证明与子群、阶有关的问题一些基本步骤和方法.
关键词：群子群拉格朗日定理陪集
Abstract
Lagrange law is a very important theorem in group theory, many quantitative relationships in group theory can be obtained through it, which is widely utilized in Modern Algebra. The definitions of groups and subgroups are introduced first. Then the coset of subgroup and Lagrange law are introduced and the law are proved on two ways. Finally, by talking about the relevant examples, certain primary methods and steps to use Lagrange law and to prove some problems about subgroups and order are concluded.
Key words: group subgroup Lagrange law coset
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目录
1.引言................................................. 错误!未定义书签。

2.群的基本定义与定理..................................... 错误!未定义书签。

2.1 群的定义 ........................................ 错误!未定义书签。

2.2 子群和子群的陪集 ................................ 错误!未定义书签。

3. 拉格朗日定理.......................................... 错误!未定义书签。

4.拉格朗日定理的应用..................................... 错误!未定义书签。

5.总结................................................... 错误!未定义书签。

参考文献................................................. 错误!未定义书签。

谢辞................................................... 错误!未定义书签。

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1.引言
约瑟夫·拉格朗日(Joseph Lagrange,1736年1月25日－1813年4月11日) ,法国籍意大利裔数学家和天文学家. 拉格朗日曾为普鲁士腓特烈大帝在柏林工作了20年,被腓特烈大帝称作欧洲最伟大的数学家,后受法国国王路易十六的邀请定居巴黎直至去世.拉格朗日一生才华横溢,在数学、物理和天文等领域做出了很多重大的贡献,其中尤以数学方面的成就最为突出. 他的成就包括著名的拉格朗日定理,创立了拉格朗日力学等等.
群论中的Lagrange定理是一个非常基本的结果, 在代数学中有着广泛的应用. 利用这个定理不仅可以弄清一个群的结构, 而且通过这个定理还可以得到许多重要的群论中的数量关系. 本文首先介绍了Lagrange定理,并介绍了这个定理的两个证明,最后通过例题,总结这一定理证明的若干问题的一些基本步骤和方法.
2.群的基本定义与定理
2.1 群的定义
定义 2.1 设G是一个非空集合,对于一个叫做乘法的代数运算来说作成一个群,假如这个运算满足下面的四个条件.
(1) G对于乘法来说是闭的;
(2) 结合律成立,既对G中任意元素,,
a b c都有()()
ab c a bc
=;
(3)G中有元素e,叫做G的单位元,它对G中每一个元素a都有ea a
= ;
(4) 对G中每个元素a,在G中都有1
a-,叫做a的逆元,使1
a a e
-=,则称G对乘法运算作成一个群.
如果对群G中的任意二个元素,a b均有ab ba
=,既G的代数运算满足交换律,则称G为交换群（可换群）或Abel群;否则称G为非交换群（非可换群）或非Abel群. 定义 2.2如果群G可以由一个元素a生成,则称G为由a生成的一个循环群. 记为G a
=,并称a为G的一个生成元. 根据文献[4], 可以得到下面的结论
(1)n阶群G是循环群当且仅当G有n阶元素；
(2) 循环群的子群仍为循环群.
例2.1G是全体整数的集合；G对于普通加法来说作成一个群.
证明直接验证加法满足定义2.1中的条件.
(1) 两个整数相加还是一个整数,G对于普通加法是封闭的;
(2) 对于任意的整数,,
a b c,总有()()
a b c a b c
++=++故结合律成立;
(3) G中有整数0,它是G的单位元. 因为对G中每一个元素a都有0a a
+=;
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(4) 对G中每个元素a,在G中都有一个相反数a-. 它是a逆元,因为=0
a a
+-
（）
因此G对普通加法来作成一个群.
例2.2G为整数集.证明G对运算4
ab a b
=++构成一个群.
证明由于对任意整,a b数4
a b
++为由a与b唯一确定的整数,故所给运算是封闭的.其次
()(4)(4)48
ab c a b c a b c a b c
=++=++++=+++.
同理有
()8
ab c a b c
=+++.
因此,对G中任意元素,,
a b c,有
()(
ab c a bc
=）.
即代数运算满足结合律.
对任意整数a,都有
(-4)-44
a a a
=++=.
故-4a的单位元.
对G中每个元素a,都有
[(-8)][(-8)]44
a a a a
-=+-+=-
即(-8+)a是a的逆元.
因此,整数集G对代数运算4
ab a b
=++作成一个群.
例2.3设G是一个群,而u是G中任意一个固定的元素. 证明G对新运算
ab uab
=
也作成一个群.
证明首先,给出的运算是G的一个代数运算. 其次,对于任意的,,
a b c属于G,可以得到
()()()()()
ab c aub c aub uc au buc a bc
====.
故结合律成立. 又因为对G中任意元a有
11
u a u ua a
--
==
故1
u-a的单位元.此外,对G中任意的元素a,可以得到
()11111
a uau auu a u u
-----
==.
因此()1
uau-是群G关于新运算的单位元.故G对新运算也作成群.
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┊┊┊┊┊┊┊┊2.2 子群和子群的陪集
定义2.2如果群G的一个子集H, 对于G的乘法来说也作成一个群,则称H为G的一个子群.
例2.4 ()()
{}
3
,1,1,2
G S H
==那么H是
3
S的一个子群.
因为
(1) H对于G的乘法来说是闭的
(1)(1)(1),
=(1)(12)(12),
=
(12)(1)(12),
=(12)(12)(1),
=
(2) 结合律对于所有的元都对,对于H的元也对；
(3) ()H
∈
1, ()()()1
1
1=, (12)(12)(1);
=
(4) (1)(1)
=, (12)(12)(1).
=
所以H是G的一个子群
定义 2.3 设H是群G的一个子集,a是G中的一个元素,用a右乘H中一切元素所得的集合记作Ha, 称
{}H
x
xa
Ha∈
=.
为H在G中的一个右陪集.同样可以定义H在G中的左陪集
{}H
x
ax
aH∈
=.
当G是可换群时, H的左右陪集相等.
例 2.5()+
=,Z
G, {}Z
k
km
H∈
=, H是G的子群. 因为G是可换群,H的左右陪集相等,它们是
0{},
1(},
.......,
1{1}.
H H km k Z
H H km k Z
m H m km k Z
+==∈
+==∈
-+=-+∈
例2.6 设
3
{(1),(12),(13),(23),(123),(132),}
S=中子群()()
{}
12
,1
=
H,
则H的左陪集有
(1)(12){(1),(12)},
(13)(123){(13),(123)},
(23)(132){(23),(132)}.
H H H
H H H
H H H
==
==
==
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┊┊┊┊┊┊┊┊H的右陪集有
(1)(12){(1),(12)},
(13)(132){(13),(132)},
(23)(123){(23),(123)}.
H H H
H H H
H H H
==
==
==
一般来说, 陪集aH称为以a为代表元的陪集, 同一个陪集可以有不同的代表元. 有关陪集的性质如下:
定理2.1 一个子群H的右陪集的个数和左陪集的个数相等：它们或者都是无限大,或者都是有限并且相等.
证明我们把H的右陪集所作成的集合叫做,H的左陪集所作成的集合叫做
l
s,由映射
1
:Ha a H
ϕ-
→
是一个r s与l s间的一一映射. 原因如下：
(1) 111111
()
Ha Hb ab H ab ba H a H b
------
=⇒∈⇒=∈⇒=
所以右陪集Ha的象与a的选择无关,ϕ是一个r s与l s的映射；
(2) l s的任意元Ha是r s的元1
Ha-的象,所以ϕ是一个满射；
(3) 111111
()
Ha Hb ab H ab ba H a H b H
------
≠⇒∉⇒=∉⇒≠
r
s与
l
s间既有一一映射存在,定理正确.
定义 2.4一个群G的一个子群H的右陪集(或左陪集)的个数叫做H在G里的指数,记为(:)
G H.
定理2.2一个子群H与H的每一个右陪集Ha之间都存在一个一一映射.
证明定义映射
:,.
H Ha h ha
φ→→
那么φ是H到Ha的一一映射. 因为
(1) H的每一个元h有一个唯一的象ha;
(2) Ha的每一个元ha是H的h的象;
假如
12
h a h a
=,那么
12
h h
=. 证完.
3. 拉格朗日定理
这一节,我们首先叙述拉格朗日定理,之后给这个定理的两种证明方法.
定理3.1（Lagrange）设H是有限群G的一个子群,则
(:).
G H G H
=
从而任何子群的阶和指数都是群G的阶的因数.
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┊┊┊┊┊┊┊┊证明令(:)
G H s
=,且
1
2222
().
i i j i j
a h H a h h i j a h h H a H
-
∈⇒=≠⇒=∈⇒∈
是G关于H的左陪集分解. 由于
:()
i j
a h a h h H
φ→∈
是左陪集
i
a H与
j
a H的一个双射,从而
i j
a H a H
=.
于是
1s
a H a H H
==
因此由
12S
G a H a H a H
=⋃⋃
得到
,
G H s
=
即
(:).
G H G H
=
推论3.1 一个有限群G的任一个元a的阶n都整除G的阶.
证明a生成一个阶数是n的子群,即1
{,,}
n
H e a a-
=,由拉格朗日定理可知一个有限群G的任一个元a的阶n都整除G的阶成立.
下面用集合的方法来证明拉格朗日定理
设n阶群G的子群H的阶为K,证明K n.根据文献[2].
证明设n阶群G的子集H的阶为k, 这k个不同的元素为
12
,,.
k
h h h现在假设
2
a G
∈
而
1
a H
∉. 作k个元素之积:
11121
{,,}.
k
a h a h a h
那么,这K元素互不相同,否则
11
()
i j i j
a h a h i j h h
=≠⇒=.
同时,这个元素属于G而不属于H,否则
1
111
().
i i i j i j
a h H a h h i j a h h H a H
-
∈⇒=≠⇒=∈⇒∈矛盾
取
2
a G
∈,而
2
a H
∉,也不属于
11121
{,,}.
k
a h a h a h
作K个不同元素之积：
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21222
{,,}.
k
a h a h a h
这K个元素互不相同, 否则
11
().
i j i j
a h a h h h i j
=⇒=≠
这K个元素不属于H,否则
1
2222
().
i i j i j
a h H a h h i j a h h H a H
-
∈⇒=≠⇒=∈⇒∈
这K个元素不属于
21222
{,,}
k
a h a h a h,
否则
1111
21121212
(,).
i j j i
a h a h a a h h H a a H a a H
----
=⇒=∈⇒∈∉
.
仿照上述作法,继续作下去,因G的元素的个数有限,假设作到r次为止,于是得到属于G的n个不同元素有
111212122212
{,,,,,,,,}
k k r r r k
G a h a h a h a h a h a h a h a h a h
=.
显然有
(1),
n K r K n
=+.
因此,定理成立.
推论3.2 有限群中每个元素的阶都整除群的阶.
下面叙述拉格朗日定理的逆定理
Sylowp定理设p为素数,G是有限群,则
(1) 设k p G,则G的阶为k p的子群的个数模p同余于1；特别的,G有k p阶子群.
设n
G p m
=,其中1,
n m
p
≥/｜,则G的n p阶子群称为G的Sylowp子群.
(2) Sylowp子群是相互共轭的.
(3) G的任一阶为k p的子群必包含于G的某一Sylowp子群.
(4) 满足上述条件的称作Sylowp子群.
4.拉格朗日定理的应用
例4.1设G是一个有限群又K H G
≤≤, 则
(:)(:)(:)
G H H K G K
=.
证明：由拉格朗日定理知
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(:)(:)
G H G H K G H
=⋅=⋅.
且
(:)
H K H K
=⋅.
将此带入上式并消去H,即得
(:)(:)(:)
G H H K G K
=.
例4.2设H,K是群G的两个有限子群,则
H K
HK
H K
⋅
=
⋂
.
证明由于
H K H
⋂≤.
设
H
m
H K
=
⋂
.
且
1
12
()()(),,,
m i i j
H h H K h H K h H K h H h h K i j
-
=⋂⋃⋂⋃⋃⋂∈∉≠易知
12
,,
m i j
HK h K h K h K h K h K i j
=⋃⋃⋃⋂=∅≠ .
从而
HK m k
=.
即
H K
HK
H K
⋅
=
⋂
.
证完
例4.3设,p q是两个素数且p q
<,则pq阶群,
H K最多有一个q阶子群. 证设,
H K都是G的q阶子群,则由上面的定理知,
2
q
HK
H K
=
⋂
但H K
⋂整除,而q是素数,故1
H K
⋂=或q；若1
H K
⋂=,则
2
HK q pq G
=>=
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┊┊┊┊┊┊┊┊不可能成立. 故H K q
⋂=,从而H K
=.
例 4.4假定a和b是一个群G的两个元,并且ab ba
=,又假定a的阶是m,b的阶是n,并且(,)1
m n=. 证明：ab的阶是mn.
证明：设ab的阶是k,由
ab ba
=
知
1,
a b
-=1
b a
-=.
可得
()mn mn mn
ab a b e
==.
由拉格朗日定理得
k mn.
下面我们反过来证明
mn k.
由
()n n n n
k k k k
e ab a b a
===.
以及a的阶为m,得到m kn.
由题设知(,)1
m n=, 所以m k. 由
()n n n n
k k k k
e ab a b b
===.
以及b的阶为n,得到n km.由题意知(,)1
m n=. 所以n k.
综合上面的讨论可得ab的阶是mn.
例4.5 设H,K分别为群G的两个m与n阶子群. 证明：若(,)1
m n=,则{}
H K e
⋂=. 证由于
,
H K H H K K
⋂≤⋂≤,
故由拉格朗日定理知：
,
H K m H K n
⋂⋂.
故H K
⋂整除(,)
m n.
但是(,)1
m n=, 从而{}
H K e
⋂=.
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┊┊┊┊┊┊┊┊例4.6设G是一个2n阶有限交换群,其中n是一个奇数,证明：群G有且只有一个二阶子群.
证明：只需证明G有且仅有一个2阶元素即可.由于阶数大于2的元素在G中成对出现,而单位元e的阶是1,又
2
G n
=.
故G中必有2阶元素,且有奇数个元素. 设a是G的一个2阶元素,则{,}
H e a
=便是G 的一个2阶子群.
如果G另有2阶元素b a
≠,则{,}
K e b
=便是G的一个异于H的子群. 由于G是交换群,故易知{,,,}
HK e a b ab
=是G的一个4阶子群.
由拉格朗日定理知,
42
HK G n
⇒.
这与n是奇数矛盾. 故G只能有一个2阶元素,即只能有一个2阶子群.
例 4.7设G是群,且,
t
G p m
=,p是素数,p m
/｜,又H,K分别是G的,(0)
t s
p p s t
≤≤阶子群,K H
∉. 证明：乘积HK不是群G的子群.
证明：因为
,,
t s t
H p K p G p m
===
以及
s t
H K p
HK
H K H K
+
⋅
==
⋂⋂
,
故
s t
HK H K p+
⋅⋂=. (1)
又由于p是素数,故HK必为p次方幂,设
,0
r
HK p r s t
=<≤+. (2）
如果乘积HK G
≤,则由拉格朗日定理知
t
HK p m.
但是p m
/｜,故由t
G p m
=知,r t≤.于是由(1)与(2)得到：
()
t r s
s p H H K p-+
=≥⋂=.
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┊┊┊┊┊┊┊┊由此又可以得到t r
=,且
s
H K p K
⋂==.
但是H K K
⋂≤.故得
,
H K K K H
⋂=⊆.
这与题设K H
⊄矛盾. 故HK不是G的子群.
例4.8试求出三次对称群
3
{(1),(12),(13),(23),(123),(132)}
S=
的所有子群. 利用Lagrange定理说明理由.
证明易知
3
S以下六个子集
123
{(1)},{(1),(12)},{(1),(13)},
H H H
===
4563
{(1),(23)},{(1),(123),(132)},
H H H H
===.
对置换乘法都是封闭的,因此都是
3
S的子群.
下面证明2
H=时仅有这六个子群. 设H为
3
S的任意非平凡子群,则由于H是3
6
S=的因数, 故只能
2,3
H=.
当2
H=时，H中除单位元(1)外,另一个元素只能是2阶元. 但
3
S的2阶元只有
三个,即(12）,(13),(23）,因此,H是只能是
234
,,
H H H.
当3
H=时,由Lagrange定理知,H中元素的阶必为3的因素,即只能是1或3.因
此,此时H中除单位元外,另两个元素必定都是3元. 但
3
S中的三阶元有且仅有两个,即
(123）和(132）,因此,此时只能
5
H H
=.
综上所述可知,
3
S有且仅有以上六个子群.
例4.9 证明15阶交换群必为循环群.
证明设G是一个15阶交换群,则除e外G中元素的阶不可能都是3：因若不然, 设
3
a b
==,
且
b a
∉, a b∈
,G
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┊┊┊┊┊┊┊┊则
H a
=,K b
=
是G的两个3阶子群,且其交为e. 由于G可换,故HK G
≤且
9
HK H K
=⋅=.
从而由Lagrange定理得915, 矛盾. 同理,G中除e外不可能都是5阶元素. 因此G中必有3阶元素和5阶元素. 由于G可换,从而G必有15阶元素,即G必为循环群.
例4.10设A和B均为群G的子群,证明
(1) 对G中任意元素g, 总有()
g A B gA gB
⋂=⋂.
(2) 若A和B均有有限的指数, 则()
A B
⋂也有有限的指数.
证明(1) 首先由题可知
(),()
g A B gA g A B gB
⋂⊆⋂⊆,
故()
g A B gA gB
⋂⊆⋂. 另一方面,
若
x gh gA gB
=∈⋂,
则有h A B
∈⋂,从而
()
x gh g A B
=∈⋂.
于是
(),
g A B gA gB g G
⋂=⋂∀∈.
(2) 由(1)表明A B
⋂的任一左陪集是A的一个左陪集和B的一个左陪集之交. 若A和B 均有有限个左陪集,则A B
⋂也只有有限个左陪集. 用〈AB〉表示G的由AB生成的子群. 则
A B
AB AB
A B
≥=
⋂
.
两边同乘以
G
A B
,
得到
AB
G G G G
A B A B A B
≤≤.
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┊┊┊┊┊┊┊┊例 4.11 设P是有限群G的Sylowp子群，H是G的子群，p H. 则存在a G
∈使得1
aPa H
-⋂是H的Sylowp子群.
证因为
p H
故可取到H的Sylowp子群A. 由Sylowp定理知，A含于G的某个Sylowp子群1
aPa-,从而
1
A aPa H
-
∈⋂
是H的阶为p的幂的子群,故
1
aPa H A
-⋂≤
于是
1
A aPa H
-
=⋂.
即1
aPa H
-⋂是H Sylowp子群.
5.总结
以上应用拉格朗日定理解决了关于子群的证明、循环群的证明、与子群有关阶的证明、拉格朗日定理中的公式等方面的数学问题. 我们还可以应用拉格朗日逆定理证明与群相关的问题，在这些应用中,我们从中可以归纳总结出在运用拉格朗日定理解决数学问题时大致的解答思路为：
(1)结合题干找出子群和陪集,以及阶数.
(2)选择恰当的集合以及充分利用拉格朗日定理,从而在定义应用范围内符合拉格朗日定义区间内符合拉格朗日定理中的所有条件.
(3)通过对问题分析，应用已知条件进行推理证明.
(4)灵活地应用拉格朗日公式以及它的公式形式解决问题,另外在应用拉格朗日定理来解决一些典型的数学问题时,不难看到它与其他的方法相比显得比较简洁明了.
在近世代数中，拉格朗日定理涉及到的领域十分丰富. 不仅内容广泛，而且方法灵活多样。

无论问题如何千变万化，全面的思考总是有助于我们创新意识的培养.
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参考文献
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谢辞
经过了半个学期的学习和工作,我终于完成了《拉格朗日定理的若干应用》这篇论文,心里很激动. 这意味着我的大学生涯即将结束. 在大学这个阶段,我在学习上和思想上都有很大的进步，论文写作过程让我受益非浅,这除了自身的努力外,还与王老师和同学的关心、支持和鼓励是分不开的. 在本篇论文的写作过程中,我的导师王伟老师倾注了大量的心血,从选题到开题报告,从写作提纲,到一遍又一遍地指出写作中出现的具体问题,严格把关,循循善诱,给了我很大的帮助,论文的完成让我顺利的上完大学生涯的最后一课,在此,谨向王伟老师表示崇高的敬意和衷心的感谢！。