平面向量中最值、范围问题

平面向量中的最值、范围问题
一、考情分析
平面向量中的范围、最值问题是热点问题,也是难点问题,此类问题综合性强,体现了知识的交汇组合．其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值,比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围的等,解决思路是建立目标函数的函数解析式,转化为求函数的最值,同时向量兼顾“数”与“形”的双重身份,所以解决平面向量的范围、最值问题的另外一种思路是数形结合． 二、经验分享
1.利用平面向量的数量积可以解决几何中的垂直、夹角、长度等问题,即只需将问题转化为向量形式,用向量的运算来求解.如果能够建立适当的直角坐标系,用向量的坐标运算往往更为简捷.1.平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略
2.几何图形中向量的数量积问题是近几年高考的又一热点,作为一类既能考查向量的线性运算、坐标运算、数量积及平面几何知识,又能考查学生的数形结合能力及转化与化归能力的问题,实有其合理之处.解决此类问题的常用方法是：①利用已知条件,结合平面几何知识及向量数量积的基本概念直接求解(较易)；②将条件通过向量的线性运算进行转化,再利用①求解(较难)；③建系,借助向量的坐标运算,此法对解含垂直关系的问题往往有很好效果.
3．坐标是向量代数化的媒介,通过向量的坐标表示可将向量问题转化为代数问题来解决,而坐标的获得通常要借助于直角坐标系. 对于某些平面向量问题, 若能建立适当的直角坐标系,可以使图形中复杂的几何关系转化为简单明朗的代数关系,减少推理过程,有效地降低思维量,起到事半功倍的效果．上面两题都是通过建立坐标系将向量问题转化为函数与不等式问题求解,体现了向量解题的工具性. 三、知识拓展
1．-≤⋅≤a b a b a b . 2．-≤±≤+a b a b a b 四、题型分析
(一) 平面向量数量积的范围问题
已知两个非零向量a 和b ,它们的夹角为θ,cos a b θ⋅⋅叫做a 和b 的数量积(或内积),记作a b ⋅.即a b ⋅=cos a b θ⋅⋅,规定00a ⋅=,数量积的表示一般有三种方法：(1)当已知向量的模和夹角时,可利用定义法求解,即a b ⋅=cos a b θ⋅⋅；(2)当已知向量的坐标时,可利用坐标法求解,即若a ＝(x 1,y 1),b ＝(x 2,y 2),则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2；（3）运用平面向量基本定理,将数量积的两个向量用基底表示后,再运算． 【例1】在边长为2的等边三角形ABC 中,D 是AB 的中点,E 为线段AC 上一动点,则ED EB ⋅的取值范
围为
【分析】利用向量的加法或减法法则,将向量,EB ED 分别表示,结合已知条件设|AE |x =（02x ≤≤）,将ED EB ⋅用变量x 表示,进而转化为二次函数的值域问题．
【点评】将⋅用某个变量表示,转化为函数的值域问题,其中选择变量要有可操作性．
【小试牛刀】【江苏省盐城中学2018届高三上学期期末】已知ABC ∆的周长为6,且,,BC CA AB 成等比数列,则BA BC ⋅的取值范围是______． 【答案】2795⎡-⎢⎣⎭
【解析】因为,,BC CA AB 成等比数列,所以622
a c b
b a
c +-=≤
=
,从而02b <≤,所以()()2
2
222
2
63cos 3272
2
b b a
c b
BA BC ac B b --+-⋅==
==-++,又
()()2
2
22,,4a c b a c b a c ac b -<∴-<+-<,即2390b b +->,353
2b -<≤,故2795
2BA BC -≤⋅<
. (二) 平面向量模的取值范围问题
设(,)a x y =,则2
22a a x y ==+,向量的模可以利用坐标表示,也可以借助“形”,向量的模指的是
有向线段的长度,过可结合平面几何知识求解,尤其注意,如果直接求模不易,可以将向量用基底向量表示再求．
【例2】已知向量,,a b c 满足4,22,a b ==a 与b 的夹角为
4
π
,()()1c a c b -⋅-=-,则c a -的最
大值为 .
【分析】根据已知条件可建立直角坐标系,用坐标表示有关点（向量）,确定变量满足的等式和目标函数的解析式,结合平面几何知识求最值或范围. 【解析】设c OC b OB a OA ===,,；
以OA 所在直线为x,O 为坐标原点建立平面直角坐标系,
4,22,
a b ==a 与b 的夹角为
4
π
,
则A （4,0）,B （2,2）,设C （x,y ） ∵()()1c a c b -⋅-=-, ∴x 2
+y 2
-6x-2y+9=0,
即（x-3）2
+（y-1）2
=1表示以（3,1）为圆心,以1为半径的圆,
c a -表示点
a -的最大值【点评】建立直角坐标系的原则是能准确快捷地表示有关向量或点的坐标,正确找到变量间的关系,以及目标函数代表的几何意义是解题关键．
【小试牛刀】【2018届山东省济南高三上学期期末】已知平面上的两个向量OA 和OB 满足OA a =,
OB b =,且221a b +=, 0OA OB ⋅=,若向量(),R OC OA OB λμλμ=+∈,且
()
()2
2
2221214a b λμ-+-=,则OC 的最大值为__________． 【答案】
3
2
【解析】
因为OA a =, OB b =,且221a b +=, 0OA OB ⋅=,, 1,AB OA OB =⊥,如图,取AB 中点D ,则
()
12OD OA OB =
+, 12OD = , 1122DC OC OD OA OB λμ⎛⎫⎛
⎫∴=-=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭,由
()()2
2
2221214a b λμ-+-=可得22
22
11122a b λμ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
22
2
2211122DC a b λμ⎛⎫⎛
⎫∴=-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭, 1DC ∴=, C ∴在以D 为圆心, 1为半径的圆上, ∴当
O C ，, D 共线时OC 最大, OC ∴的最大值为312OD +=,故答案为3
2
.
(三) 平面向量夹角的取值范围问题
设11(,)a x y =,22(,)b x y =,且,a b 的夹角为θ,则12122
22
2
1
1
22
cos a b a b
x y x y θ⋅=
=
⋅+⋅+．
【例3】已知向量→OA 与→OB 的夹角为θ,→
→
→
→
→
→→-====PQ OB t OQ OA t OP OB OA ,)1(,,1,20t 在时取得最
小值,当01
05
t <<
时,夹角θ的取值范围为________________. 【分析】将PQ 表示为变量t 的二次函数PQ 1)cos 42()cos 45(2+--++=t t θθ,转化为求二次函数的最小值问题,当θ
θ
cos 45cos 210++=
t 时,取最小值,由已知条件0105t <<,得关于夹角θ的不等式,解不等式得解．
【点评】求变量的取值范围、最值,往往要将目标函数用某个变量表示,转化为求函数的最值问题,期间要注
意变量之间的关系,进而得解．
【小试牛刀】已知非零向量,a b 满足2a b = ,若函数3211
().132
f x x a x a bx =+++ 在R 上存在极值,则a 和b 夹角的取值范围为 【答案】,3ππ⎛⎤
⎥⎝⎦
【解析】()'
2f
x x a x a b =++⋅,设a 和b 夹角为θ,因为()f x 有极值,所以2
40a a b ∆=-⋅>,即
2
4cos 0a a b θ∆=-⋅⋅>,即1cos 2θ<
,所以,3πθπ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦
． （四）平面向量系数的取值范围问题
平面向量中涉及系数的范围问题时,要注意利用向量的模、数量积、夹角之间的关系,通过列不等式或等式得系数的不等式,从而求系数的取值范围．
【例4】已知()2,λ=a ,()5,3-=b ,且a 与b 的夹角为锐角,则λ的取值范围是 ．
【分析】
a 与
b 的夹角为锐角等价于0a b ⋅>,且a 与b 不共线同向,所以由0a b ⋅>,得3
10
<λ,再除去a 与b 共线同向的情形．
【解析】由于a 与b 的夹角为锐角,0>⋅∴b a ,且a 与b 不共线同向,由01030>+-⇒>⋅λb a ,解得
310<
λ,当向量a 与b 共线时,得65-=λ,得56-=λ,因此λ的取值范围是3
10
<λ且56-≠λ．
【点评】注意向量夹角与三角形内角的区别,向量夹角的范围是[0,]π,而三角形内角范围是(0,)π,向量夹
角是锐角,则cos 0,θ>且cos 1θ≠,而三角形内角为锐角,则cos 0,θ>．
【小试牛刀】【江苏省泰州中学2018届高三10月月考】如图,在ABC ∆中, 21,3
AB AC BAC π
==∠=. （1）求AB BC ⋅的值；
（2）设点P 在以A 为圆心, AB 为半径的圆弧BC 上运动,且AP x AB y AC =+,其中,x y R ∈.求xy 的取值范围.
【解析】（1）()
AB BC AB AC AB ⋅=⋅- 213
||122
AB AC AB =⋅-=-
-=-. （2）建立如图所示的平面直角坐标,则()131,0,,22B C ⎛⎫
- ⎪ ⎪⎝⎭
.
设()2cos ,sin ,0,
3P πθθθ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
,由AP x AB y AC =+, 得()()13cos ,sin 1,0,2x y θθ⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭
.所以3
cos ,sin 2y x y θθ=-=. 所以323
cos sin ,sin x y θθθ=+
=. 22323121sin cos sin sin2sin 233363
xy πθθθθθ⎛⎫=
+=+=-+ ⎪⎝⎭. 因为270,
,2,3666ππππθθ⎡⎤
⎡⎤∈-∈-⎢⎥⎢⎥⎣⎦
⎣⎦, 所以,当26
2
π
π
θ-=
时,即3
π
θ=
时, xy 的最大值为1；
当26
6
π
π
θ-
=-
或726
6π
πθ-
=
即0θ=或23
π
θ=时, xy 的最小值为0.
五、迁移运用
1．【江苏省常州2018届高三上学期期末】在ABC ∆中, 5AB =, 7AC =, 3BC =, P 为ABC ∆内一点（含边界）,若满足()1
4
BP BA BC R λλ=+∈,则BA BP ⋅的取值范围为________． 【答案】525,
84⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
【解析】由余弦定理,得2225371
cos 2532B +-=
=-⨯⨯,因为P 为ABC ∆内一点（含边界）,且满足()14BP BA BC R λλ=
+∈,所以30,4λ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,则14BA BP BA BA BC λ⎛⎫
⋅=⋅+ ⎪⎝⎭
212515525,44284BA BA BC λλ⎡⎤=
+⋅=-∈⎢⎥⎣⎦
. 2．【江苏省南通市2018届高三上学期第一次调研】如图,已知矩形ABCD 的边长2AB =, 1AD =.点P ,
Q 分别在边BC , CD 上,且45PAQ ︒∠=,则AP AQ ⋅的最小值为_________.
【答案】424-
3．【江苏省如皋市2017--2018学年度高三年级第一学期教学质量调研】已知点P 是边长为3形ABC 内切圆上的一点,则PA PB ⋅的取值范围为_______. 【答案】[]
3,1-
【解析】以正三角形ABC 的中心为原点,以AB 边上的高为y 轴建立坐标系,则())
3,1,3,1A B ---,
正三角形ABC 内切圆的方程为2
2
1x y +=,所以可设()cos ,sin P αα,则
()(
)
3cos 1,3cos 1PA sin PB sin αααα=----=
---，，, 22cos 3sin 21PA PB sin ααα⋅=-+++
[]213,1sin α=-∈-,故答案为[]3,1-.
4．【南京市、盐城市2018届高三年级第一次模拟考试】如图是蜂巢结构图的一部分,正六边形的边长均为1,正六边形的顶点称为“晶格点”．若,,,A B C D 四点均位于图中的“晶格点”处,且,A B 的位置所图所示,则AB CD ⋅ 的最大值为________．
【答案】24
【解析】先建立直角坐标系,由向量投影知AB CD ⋅ 取最大值时
()()()390,5,3,0,,,0,022C D A B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ ,即AB CD ⋅ ()
39345
,3,5242222⎛⎫=--⋅--=+= ⎪ ⎪⎝⎭
5．【江苏省泰州中学2018届高三12月月考】已知单位向量a , b 的夹角为120︒,那么2a xb -（x R ∈）的最小值是__________． 3 【解析】(
)
()
2
2
222244cos1202413a xb a xb
x x x x x -=-=+-︒=++=
++ ∴ 2a xb
-36．【江苏省溧阳市2017-2018学年高三第一学期阶段性调研】扇形AOB 中,弦2AB C =，为劣弧AB 上
的动点, AB 与OC 交于点P ,则·
OP BP 的最小值是_____________________． 【答案】1
4
-
【解析】设弦AB 中点为M,则()
·
OP BP OM MP BP MP BP ⋅=+=⋅ 若,MP BP 同向,则0OP BP ⋅>,若,MP BP 反向,则0OP BP ⋅<, 故OP BP ⋅的最小值在,MP BP 反向时取得,
此时1MP BP +=,则： 2
1
24MP BP OP BP MP BP ⎛⎫+
⎪⋅=-⋅≥-=- ⎪⎝⎭
, 当且仅当12MP BP ==
时取等号,即OP BP ⋅的最小值是1
4
-. 7．【苏北四市（淮安、宿迁、连云港、徐州）2017届高三上学期期中】已知AB 为圆O 的直径,M 为圆O 的弦CD 上一动点,8AB =,6CD =,则MA MB ⋅的取值范围是 ． 【答案】[9,0]- 【解析】
试题分析：2
2
2
16MA MB MO AO MO ⋅=-=-,而
2
22
[,][7,16]O CD MO d r -∈=,所以MA MB ⋅的取值范围是[9,0]-
8．【泰州中学2017届高三上学期期中考试】在ABC ∆中,()
30AB AC CB -=,则角A 的最大值为_________. 【答案】
6
π
9．【泰州中学2017届高三上学期期中考试】在平面内,定点,,,A B C D 满足
,4DA DB DC DA DB DB DC DC DA =====-,动点,P M 满足2,AP PM MC ==,则BM 的最大值是__________.
【答案】321
【解析】
试题分析:设r DC DB DA ===||||||,则4cos cos cos 2
2
2
-===γβαr r r .由题设可知0
120===γβα,
且2282
=⇒=r r .建立如图所示的平面直角坐标系,则)0,6(),0,6(),23,0(C B A -,由题意点P 在
以A 为圆心的圆上,点M 是线段PC 的中点.故结合图形可知当CP 与圆相切时,BM 的值最大,其最大值是123-.
应填答案1.
10．【2017届甘肃天水一中高三12月月考】已知ABC ∆中,过中线AD 的中点E 任作一条直线分别交边
AB ,AC 于M ,N 两点,设AM xAB =,AN y AC =（0xy ≠）,则4x y +的最小值 ．
【答案】
9
4
【解析】由已知可得AB x AM AE ME AD AE AD )4
1
(4212-=-=⇒+==⇒+=
AC y AB x AM AN MN AC +-=-=+,41,由=+⇒=+⇒=--⇒y x y
x y x x
MN ME 44114141
// 4
9)425(41)45(41)11)(4(41=⋅+≥++=++y x x y y x x y y x y x . 11．【2017吉林长春五县高二理上学期期末】已知0m >,0n >,向量(),1,3a m =-与()1,,2b n =垂直,则
mn 的最大值为 ．
【答案】9
【解析】因为向量(),1,3a m =-与()1,,2b n =垂直,所以60a b m n ⋅=+-=,即6m n +=,所以
2
92
(
)m n mn +≤＝,当且仅当3m n ==时取等号,所以mn 的最大值为9,故答案为9. 12．【2017河北武邑中学周考】已知直角梯形ABCD 中,BC AD //,
90=∠ADC ,2=AD ,1=BC ,P 是腰DC 上的动点,则3PA PB +的最小值为________. 【答案】5
【解析】如图所示,以直线,DA DC 分别为,x y 轴建立平面直角坐标系,则(2,0),(1,),(0,),(0,0)A B a C a D ,设(0,)(0)P b b a ≤≤,则(2,),(1,)PA b PB a b =-=-,所以3(1,5,34)PA PB a a b +=--,所以
2325(34)5PA PB a b +=+-≥,所以3PA PB +的最小值为5.
13．【2017学年河北武邑中学周考】在平面直角坐标系中,O 为原点,()0,1-A ,()
3,0B ,()0,3C ,动点D 满足1CD =,则OA OB OD ++的最大值是________. 【答案】17+
【解析】由题意可得,点D 在以(3,0)C 为圆心的单位圆上,设点D 的坐标为(3cos ,sin )θθ+,则
71OA OB OD OA OB OC CD ++≤+++=．
14．【2017届河北武邑中学高三周考】已知向量()1,1OA =,()1,OB a =,其中O 为原点,若向量OA 与OB 的夹角在区间0,
12π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
内变化,则实数a 的取值范围是 ． 3
3a ≤≤【解析】因为),1(),1,1(a OB OA ==,所以a +=⋅1；又θcos 122a +⋅=⋅,故
)
1(21cos 2a a ++=
θ,注意到]12
,
0[π
θ∈,故]1,42
6[
cos +∈θ,即]1,426[)
1(212+∈++a a ,解之得
333a ≤≤；应填答案333
a ≤≤. 15．【2018届辽宁师范大学附属中学高三上学期期末】直角梯形ABCD 中, CB CD ⊥, AD BC ,
ABD 是边长为2的正三角形, P 是平面上的动点, 1CP =,设AP AD AB λμ=+（λ, R μ∈）,则
λμ+的最大值为__________．
【答案】
923
+ 【解析】
以C 为原点, CD 为x 轴, BC 所在直线为y 轴,建立直角坐标系, 1,CP =∴可设
()()()cos ,,1,3,2,0CP sin AD AB αα==-=-, (,3,AC =- (
cos 2,3,AP AC CP sin αα=+=-+因为AP AD AB λμ=+,所以
()()cos 2,32,
3sin ααλμλ-+=--
3
122{
{
33
1312
2
cos sin cos λαλμαλαμαα=
+--=-⇒==-+,
)1
3333cos 222λμαααϕ+=-+-+ 332≤=923+即λμ+的最大值为923+923
+. 16.【2018届湖南师范大学附属中学高三上学期月考】已知向量,a b 夹角为
3
π
, 2b =,对任意x R ∈,有b xa a b +≥-,则()2
a
tb a tb t R -+-
∈的最小值是__________．
【答案】
7 【解析】
向量,a b 夹角为
,23
b π
=,对任意x R ∈,有b xa a b +≥-,两边平方整理可得
()
222220x a ax b a a b +⋅-⋅≥,则()()2
224420a b a a a b ∆=⋅+-⋅≤,即有()220a a b -⋅≤,即
()0a a b ⋅-=,则()
a b a -⊥,由向量,a b 夹角为
,23
b π
=,由2cos
3
a a
b a b π
=⋅=⋅⋅,即有1a =,则
2223a b a b a b -=+-⋅=,画出AO a =, AB b =,建立平面直角坐标系,如图所示,则()()1,0,3,A B ()()
1,0,1,3a b ∴=-=- ()()
2
2
132
a t
b a tb t t
∴-+-=-+
()
2
2
22113421424
t t
t t t t ⎛⎫-+=-++-+
= ⎪⎝⎭
2222
131********t t ⎡⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢-+--++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎣,表示(),0P t 与1313,48M N ⎛⎛ ⎝⎭⎝⎭的距离之和的2倍,当,,M P N 共线时,取得最小值2MN ,即有2
2
113
37224848MN ⎛⎫⎛⎫=-++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
,故答7
. 17．【2018届江苏省泰州中学高三12月月考】在矩形ABCD 中, 3AB =, 1AD =,若M , N 分别在边
BC , CD 上运动（包括端点,且满足
BM CN BC
CD
=
,则AM AN ⋅的取值范围是__________．
【答案】[1,9]
【解析】分别以AB,AD 为x,y 轴建立直角坐标系,则()()(0,03,0,3,1,0,1A B C D ），（）,设()(3,,,1M b N x ）,
因为
BM CN BC
CD
=
,所以33x b -=
,则()3=,1,=3,3x AN x AM -⎛⎫
⎪⎝⎭
,
故()8=
1033AM AN x x ⋅+≤≤,所以8
1193
x ≤+≤,故填[1,9]. 18.【2018届安徽省蒙城“五校”联考】在ABC ∆中,点D 在线段BC 的延长线上,且1
2
BC CD =
,点O 在线段CD 上（与点,C D 不重合）,若()1AO xAB x AC =+-,则x 的取值范围是__________． 【答案】()2,0-
19．【2017届四川双流中学高三训练】已知向量(),2a x =-,(),1b y =,其中x ,y 都是正实数,若a b ⊥,则2t x y =+的最小值是___________． 【答案】4
【解析】由a b ⊥,得0=⋅b a ,即()()21,2,-=⋅-xy y x ,所以2=xy ．又x ,y 都是正实数,所以
422222=⋅=⋅≥+=y x y x t ．当且仅当y x 2=时取得等号,此时2=x ,1=y ,故答案为：4．
20．【2017届江苏南京市盐城高三一模考】在ABC ∆中,已知3AB =,3
C π
=
,则CA CB ⋅的最大值
为 . 【答案】
3
2
【解析】1cos 2CA CB ba C ab ⋅==
,由余弦定理得：2232cos 23
a b ab ab ab ab π
=+-≥-=,所以3
2
CA CB ⋅≤,当且仅当a b =时取等号
21．【2017届浙江杭州地区重点中学高三上学期期中】已知△ABC
中,4AB =,2AC =,|(22)|AB AC λλ+-（R λ∈）的最小值为若P 为边AB 上任意一点,则
PB PC ⋅的最小值是 ．
【答案】94
-
【解析】令()f λ＝2
2
222|(22)|(22)2(22)AB AC AB AC AB AC λλλλλλ+-=+-+-⋅＝2
16λ＋
24(22)λ-＋2(22)8cos A λλ-⋅＝216[(22cos )(2cos 2)1]A A λλ-+-+,当cos 0A =时,()f λ＝
221116(221)16[2()]822λλλ-+=-+≥,因为>所以2
A π
=,则建立直角坐标
系,(0,0)A ,(4,0),(0,2)B C ,设(,0)P x (04)x <<,则(4,0)PB x =-,(,2)PC x =-,所以PB PC ⋅＝
(4)x x --＝2(2)4x --；当cos 0A ≠时,()f λ＝21
16[(22cos )()2
A λ--＋
1cos
]2A +≥88cos 12A +=,解得1cos 2A =,所以3
A π
=,则建立直角坐标系,(0,0)A ,(4,0),B C ,
设(,0)P x (04)x <<,则(4,0)PB x =-,(1PC x =-,所以PB PC ⋅＝(4)(1)x x --＝
259()24x --．综上所述,当52x =时,PB PC ⋅取得最小值94
-．。