合肥一六八中学高三测试数学(理科)试题及参考答案
安徽省合肥市一六八中学2025届高三第二次模拟考试数学试卷含解析
安徽省合肥市一六八中学2025届高三第二次模拟考试数学试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知()A ，)B，P 为圆221x y +=上的动点，AP PQ =，过点P 作与AP 垂直的直线l 交直线QB于点M ，若点M 的横坐标为x ，则x 的取值范围是（ ）A ．1x ≥B ．1x >C ．2x ≥D ．x ≥2．要得到函数12y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，只需将函数23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭图象上所有点的横坐标（ ） A ．伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移4π个单位长度 B ．伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图像向左平移4π个单位长度 C ．缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移524π个单位长度 D ．缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移1124π个单位长度3．已知菱形ABCD 的边长为2，60ABC ∠=︒，则BD CD ⋅=（）A ．4B ．6C ．D ．4．设{1,0,1,2}U =-，集合2{|1,}A x x x U =<∈，则U C A =（ ） A ．{0,1,2}B ．{1,1,2}-C ．{1,0,2}-D ．{1,0,1}-5．已知集合{}2(,)|A x y y x ==，{}22(,)|1B x y x y =+=，则AB 的真子集个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．在直角坐标平面上，点(),P x y 的坐标满足方程2220x x y -+=，点(),Q a b 的坐标满足方程2268240a b a b ++-+=则y bx a--的取值范围是（ ） A ．[]22-,B ．4747,33⎡⎤---+⎢⎥⎣⎦C ．13,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦D ．6767,33⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦7．某医院拟派2名内科医生、3名外科医生和3名护士共8人组成两个医疗分队，平均分到甲、乙两个村进行义务巡诊，其中每个分队都必须有内科医生、外科医生和护士，则不同的分配方案有 A ．72种B ．36种C ．24种D ．18种8．在ABC 中，点P 为BC 中点，过点P 的直线与AB ，AC 所在直线分别交于点M ，N ，若AM AB λ=，(0,0)AN AC μλμ=>>，则λμ+的最小值为（ ）A ．54B ．2C ．3D ．729．已知函数2()2f x x x =-，集合{|()0}A x f x =≤，{}|()0B x f x '=≤，则A B =（ ）A ．[-1,0]B ．[-1,2]C ．[0,1]D ．(,1][2,)-∞⋃+∞10．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．53π B ．43π C ．223π+D ．243π+11．已知复数21aibi i-=-，其中a ，b R ∈，i 是虚数单位，则a bi +=（ ） A ．12i -+B ．1C ．5D 512．下列函数中，图象关于y 轴对称的为（ ） A ．2()1f x x =+B ．727)2(f x x x +-，[]1,2x ∈-C ．si 8)n (f x x =D ．2()x xe ef x x-+=二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
安徽省合肥一六八中学2024届高三下学期检测(一)数学试题
安徽省合肥一六八中学2024届高三下学期检测（一）数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题 1．已知复数5i1iz -=+（i 为虚数单位），则z 的共轭复数z =（ ） A ．23i +B ．24i -C ．33i +D ．24i +2．下列说法中正确的是A ．圆锥的轴截面是等边三角形B ．用一个平面去截棱锥，一定会得到一个棱锥和一个棱台C ．将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周，所围成的几何体是由一个圆台和两个圆锥组合而成D ．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱3．在ABC V 中，若()226c a b =-+，且π3C =，则ABC V 的面积为（ ）A ．BC ．32D 4．ABC V 中，点D 满足4AB DB =u u u r u u u r，点E 满足2CE ED =u u u r u u u r ，则AE =u u u r （ ）A ．2133CA CB -+u u u r u u u r B ．12CA CB -u uu r u u u rC ．5162CA CB -+u uu r u u u rD ．1233CA CB -+u uu r u u u r5．已知α，β为关于x 的实系数方程2450x x -+=的两个虚根，则αβαβ+=+（ ）AB ．CD ．6．一艘海轮从A 处出发， 以每小时 40 海里的速度沿东偏南50o 方向直线航行， 30 分钟后 到达 B 处．在 C 处有一座灯塔， 海轮在 A 处观察灯塔， 其方向是东偏南20o ， 在 B 处观察 灯塔， 其方向是北偏东65o ，那么 B 、C 两点间的距离是（ ）A．B ．C ．D ．7．如图，已知圆O 的半径为2，弦长2AB =，C 为圆O 上一动点，则AC BC ⋅u u u r u u u r的取值范围为（ ）A ．[]0,4B ．5⎡-+⎣C ．6⎡⎣-+D ．7⎡-+⎣8．已知ABC V 的内角A ，B ，C 满足2sin 22sin 214sin cos A B C C +=-，记a ，b ，c 分别为A ，B ，C 所对的边，若sin sin 24ab C C≤≤，则abc 的取值不可能是（ ）A ．7B ．C ．8D ．二、多选题9．已知12,z z 是复数，下列说法正确的是 A ．2211=z z B ．若120z z =，则10z =或20z = C ．1212z z z z +=+D ．若12=z z ，则12=±z z10．ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，则下列命题为真命题的是（ ）A ．若AB >，则sin sin A B >B ．若222sin sin sin A BC +<，则ABC V 是钝角三角形 C ．若cos cos a A b B =，则ABC V 为等腰三角形D ．若8,10,45a c A ===o ，则符合条件的ABC V 有两个11．重庆荣昌折扇是中国四大名扇之一，其精雅宜士人，其华灿宜艳女，深受各阶层人民喜爱.古人曾有诗赞曰：“开合清风纸半张，随机舒卷岂寻常；金环并束龙腰细，玉栅齐编凤翅长”.荣昌折扇平面图为下图的扇形COD ，其中2π3COD ∠=，33OC OA ==，动点P 在»CD 上（含端点），连结OP 交扇形OAB 的弧»AB于点Q ，且O Q x O C y O D =+u u u r u u u r u u u r，则下列说法正确的是（ ）A ．若y x =，则23x y += B ．若2y x =，则0OA OP ⋅=u u u r u u u rC ．2AB PQ ⋅≥-u u u r u u u rD ．112PA PB ⋅≥u u u r u u u r三、填空题12．在平面直角坐标系中，角α的顶点在坐标原点，始边在x 轴的非负半轴，终边过点()2,y -且()tan 2πα-=，则sin α=．13．已知复数z 满足23i 1z --=，则1i z ++的最小值为．14．已知ABC V 是锐角三角形，内角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ．若22a b bc -=，则ba c+的取值范围是.四、解答题 15．计算：(1)()2i11i÷+； (2)3.16．已知a 、b 、c 分别为ABC V 三个内角A 、B 、C 的对边，cos sin 0a C C b c --=. (1)求A ；(2)若2a =，ABC Vb 、c .17．如图：在ABC V 中，已知21,,32AE AB AD AC BD ==u u u r u u u r u u u r u u u r与CE 交于点G ．(1)用向量､u u u r u u u r AB AC 表示向量AG u u u r；(2)过点G 作直线MN ，分别交线段AB AC ､于点M N ､，设AM mAB AN nAC ==u u u u r u u u r u u u r u u u r､，若||6,||4AB AC ==u u u r u u u r ，15AB AC ⋅=u u u r u u u r，当2m n +取得最小值时，求模长MN u u u u r ．18．如图，已知扇形OMN 是一个观光区的平面示意图，其中扇形半径为10米，π3MON ∠=，为了便于游客观光和旅游，提出以下两种设计方案： (1)如图1，拟在观光区内规划一条三角形ABO 形状的道路，道路的一个顶点B 在弧MN 上（不含端点），MOB θ∠=，另一顶点A 在半径OM 上，且//AB ON ，ABO V 的周长为()f θ，求()f θ的表达式并求()f θ的最大值；(2)如图2，拟在观光区内规划一个三角形区域种植花卉，三角形花圃ABC 的一个顶点B 在弧MN 上，另两个顶点A 、C 分别在半径OM 、ON 上，且//AB ON ，AC ON ⊥，求花圃ABC V 面积的最大值．19．函数()y f x =的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数()y f x =为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数()y f x =的图象关于点(),P a b 成中心对称图形的充要条件是函数()y f x a b =+-为奇函数．已知函数()321f x x ax bx =+++．(1)若函数()y f x =的对称中心为()1,2-，求函数()y f x =的解析式．(2)由代数基本定理可以得到：任何一元()*n n ∈N 次复系数多项式()f x 在复数集中可以分解为n 个一次因式的乘积．进而，一元n 次多项式方程有n 个复数根（重根按重数计）．如设实系数一元二次方程22102(00)a x a x a a ++=≠，在复数集内的根为1x ，2x ，则方程22100a x a x a ++=可变形为()()2120a x x x x --=，展开得：()222122120a x a x x x a x x -+=则有()12120212a a x x a a x x ⎧=-+⎨=⎩，即11220122a x x a a x x a ⎧+=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，类比上述推理方法可得实系数一元三次方程根与系数的关系．①若0a =，方程()f x k =在复数集内的根为123,,x x x ，当[]0,1k ∈时，求333123x x x ++的最大值；②若3,2a b =-=-，函数()y f x =的零点分别为123,,x x x ，求222123111x x x ++的值.。
安徽省合肥一六八中学等学校2024届高三上学期名校期末联合测试数学试题及答案
2024届高三名校期末测试数学考生注意：1.试卷分值：150分，考试时间：120分钟.2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答案区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.3.所有答案均要答在答题卡上，否则无效.考试结束后只交答题卡.一､单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.）1.已知集合{}{}{}1,2,3,4,5,2,3,2,U A B xx k k ====∈Z ∣，则U B A ⋂=ð（）A.{}4 B.{}2,4 C.{}1,2 D.{}1,3,52.复数31i i ⎛⎫- ⎪⎝⎭的虚部为（）A.8B.-8C.8iD.8i-3.已知向量()()0,2,1,a b t =-= ，若向量b 在向量a 上的投影向量为12a - ，则ab ⋅= （）A.2B.52-C.-2D.1124.在ABC 中，“π2C =”是“22sin sin 1A B +=”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5.过点()0,2-与圆22410x y x +--=相切的两条直线的夹角为α，则cos α=（）A.4B.14-C.4D.146.,,,,A B C D E 五人站成一排，如果,A B 必须相邻，那么排法种数为（）A.24B.120C.48D.607.若系列椭圆()22*:101,n n n C a x y a n +=<<∈N 的离心率12nn e ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则n a =（）A.114n⎛⎫- ⎪⎝⎭B.112n⎛⎫- ⎪⎝⎭8.已知等差数列{}n a （公差不为0）和等差数列{}n b 的前n 项和分别为n n S T ､，如果关于x 的实系数方程21003100310030x S x T -+=有实数解，那么以下1003个方程()201,2,,1003i i x a x b i -+== 中，有实数解的方程至少有（）个A.499B.500C.501D.502二､多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分，有选错的得0分）9.已知一组数据：12,31,24,33,22,35,45,25,16，若去掉12和45，则剩下的数据与原数据相比，下列结论正确的是（）A.中位数不变B.平均数不变C.方差不变D.第40百分位数不变10.双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>，左､右顶点分别为,,A B O 为坐标原点，如图，已知动直线l 与双曲线C 左､右两支分别交于,P Q 两点，与其两条渐近线分别交于,R S 两点，则下列命题正确的是（）A.存在直线l ，使得AP ∥ORB.l 在运动的过程中，始终有PR SQ=C.若直线l 的方程为2y kx =+，存在k ，使得ORB S 取到最大值D.若直线l 的方程为()2,22y x a RS SB =--= ，则双曲线C 11.如图所示，有一个棱长为4的正四面体P ABC -容器，D 是PB 的中点，E 是CD 上的动点，则下列说法正确的是（）A.直线AE 与PB 所成的角为π2B.ABE 的周长最小值为4+C.如果在这个容器中放入1个小球（全部进入），则小球半径的最大值为3D.如果在这个容器中放入4个完全相同的小球(全部进入），则小球半径的最大值为25三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.小于300的所有末尾是1的三位数的和等于__________.13.已知函数()()ln 11axf x x x =+-+，若()0f x 恒成立，则a =__________.14.已知抛物线2:2(0)C y px p =>，点P 为抛物线上的动点，点4,02p A ⎛⎫- ⎪⎝⎭与点P 的距离AP 的最小值为2，则p =__________.四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤）15.（13分）在ABC 中，,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知4,cos 0b c a C b ==+=.（1）求a ；（2）已知点D 在线段BC 上，且3π4ADB ∠=，求AD 长.16.（15分）甲､乙两人进行射击比赛，每次比赛中，甲､乙各射击一次，甲､乙每次至少射中8环.根据统计资料可知，甲击中8环､9环､10环的概率分别为0.7,0.2,0.1，乙击中8环､9环､10环的概率分别为0.6,0.2,0.2，且甲､乙两人射击相互独立.（1）在一场比赛中，求乙击中的环数少于甲击中的环数的概率；（2）若独立进行三场比赛，其中X 场比赛中甲击中的环数多于乙击中的环数，求X 的分布列与数学期望.17.（15分）如图，圆台12O O 的轴截面为等腰梯形11111,224A ACC AC AA A C ===，B 为底面圆周上异于,A C 的点.（1）在平面1BCC 内，过1C 作一条直线与平面1A AB 平行，并说明理由.（2）设平面1A AB ⋂平面11,,C CB l Q l BC =∈与平面QAC 所成角为α，当四棱锥11B A ACC -的体积最大时，求sin α的取值范围.18.（17分）已知函数()()ln 1f x x ax x =--.（1）当0a <时，探究()f x '零点的个数；（2）当0a >时，证明：()32f x -.19.（17分）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，他的主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书中.阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是已知动点M 与两定点,Q P 的距离之比(0,1),MQ MPλλλλ=>≠是一个常数，那么动点M 的轨迹就是阿波罗尼斯圆，圆心在直线PQ 上.已知动点M 的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为224x y +=，定点分别为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点F 与右顶点A ，且椭圆C 的离心率为12e =.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）如图，过右焦点F 斜率为(0)k k >的直线l 与椭圆C 相交于,B D （点B 在x 轴上方），点,S T 是椭圆C 上异于,B D 的两点，SF 平分,BSD TF ∠平分BTD ∠.①求BS DS的取值范围；②将点S F T ､､看作一个阿波罗尼斯圆上的三点，若SFT 外接圆的面积为81π8，求直线l 的方程.2024届高三名校期末测试·数学参考答案､提示及评分细则1.【答案】A【解析】{}{}{}U 1,2,3,4,5,2,3,1,4,5U A A ==∴= ð，又{}2,B x x k k ==∈Z ∣{}U 4B A ∴⋂=ð.故选：A.2.【答案】B【解析】因为331i (i i)8i i ⎛⎫-=+=- ⎪⎝⎭.故选：B.3.【答案】C【解析】由题b 在a 上的投影向量为()()2cos 0,||a b a ab t a a θ⋅⋅⨯== ，又()10,1,12a t -=∴= ，即()()1,1,01212b a b =∴⋅=⨯+-⨯=-.故选：C.4.【答案】A【解析】在ABC 中，πA B C ++=，则πB C A =--，充分性：当π2C =时，ππ,sin sin cos 22B A B A A ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭，2222sin sin sin cos 1A B A A +=+=，所以“π2C =”是“22sin sin 1A B +=”的充分条件；必要性：当22sin sin 1A B +=时，取ππππ,121222A B A ==+=+，此时满足2222ππsin sin sincos 11212A B +=+=，但ππ32C =≠，所以“π2C =”是“22sin sin 1A B +=”的不必要条件.综上所述，“π2C =”是“22sin sin 1A B +=”的充分不必要条件.故选：A.5.【答案】B【解析】圆22410xy x +--=圆心()2,0C ，半径为r =；设()0,2P -，切线为PA PB ､，则PC PBC == 中，sin2BC PC α==，所以21cos 12sin 24αα=-=-.故选：B.6.【答案】C【解析】将,A B 看成一体，,A B 的排列方法有22A 种方法，然后将A 和B 当成一个整体与其他三个人一共4个元素进行全排列，即不同的排列方式有44A ，根据分步计数原理可知排法种数为2424A A 48=，故选：C.7.【答案】A【解析】椭圆n C 可化为22:111n x y a +=.因为01n a <<，所以离心率12nn ce a⎛⎫=== ⎪⎝⎭，解得：114nn a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.故选：A.8.【答案】D【解析】由题意得：210031003410030S T -⨯ ，其中()110031003502100310032a a S a +==，()110031003502100310032b b T b +==，代入上式得：250250240a b - ，要方程()201,2,3,,1003i i x a x b i -+== 无实数解，则240i i a b -<，显然第502个方程有解.设方程2110x a x b -+=与方程2100310030x a x b -+=的判别式分别为11003Δ,Δ，则()()()22221100311100310031100311003ΔΔ444a b a b a a b b +=-+-=+-+()()()22110035022502502502502242824022a a ab b a b +-⨯=-=- ，等号成立的条件是11003a a =，所以11003Δ0,Δ0<<至多一个成立，同理可证：21002Δ0,Δ0<<至多一个成立，501503Δ0,Δ0<< 至多一个成立，且502Δ0 ，综上，在所给的1003个方程中，无实数根的方程最多501个，故有实数解的方程至少有502个.故选：D.二､多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分）9.【答案】AD【解析】将原数据按从小到大的顺序排列为12,16,22,24,25,31,33,35,45，其中位数为25，平均数是()121622242531333545927++++++++÷=，方差是2222222221824(15)(11)(5)(3)(2)4681899⎡⎤⨯-+-+-+-+-++++=⎣⎦，由40%9 3.6⨯=，得原数据的第40百分位数是第4个数24.将原数据去掉12和45，得16,22,24,25,31,33,35，其中位数为25，平均数是()1861622242531333577++++++÷=，方差是222222217432181131455919167777777749⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯-+-+-+-+++=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，由40%7 2.8⨯=，得新数据的第40百分位数是第3个数24，故中位数和第40百分位数不变，平均数与方差改变，故A ，D 正确，B ，C 错误.故选：AD.10.【答案】BD【分析】根据与渐近线平行的直线不可能与双曲线有两个交点可对A 项判断；设直线:l y kx t =+分别与双曲线联立，渐近线联立，分别求出,P Q 和,R S 坐标，从而可对B C ､项判断；根据2RS SB =，求出b =，从而可对D 项判断.【解析】对于A 项：与渐近线平行的直线不可能与双曲线有两个交点，故A 项错误；对于B 项：设直线:l y kx t =+，与双曲线联立22221y kx tx y ab =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，得：()()22222222220b a k x a ktx a t a b ---+=，设()()1122,,,P x y Q x y ，由根与系数关系得：2222212122222222,a kt a b a t x x x x b a k b a k++==---，所以线段PQ 中点2221212222222,,22x x y y a kta k t N tb a k b a k ⎛⎫++⎛⎫=+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，将直线:l y kx t =+，与渐近线b y x a =联立得点S 坐标为,atbt S b ak b ak ⎛⎫ ⎪--⎝⎭，将直线:l y kx t =+与渐近线b y x a =-联立得点R 坐标为,atbt R b ak b ak -⎛⎫ ⎪++⎝⎭，所以线段RS 中点222222222,a kt a k tM t b a k b a k ⎛⎫+ ⎪--⎝⎭，所以线段PQ 与线段RS 的中点重合，所以2PQ RSPR SQ -==，故B 项正确；对于C 项：由B 项可得22112,,22ORBR ab b R S OB y OB b ak b ak b ak -⎛⎫=⨯=⎪+++⎝⎭ ，因为OB 为定值，当k 越来越接近渐近线b y x a =-的斜率ba-时，2b b ak +趋向于无穷，所以ORB S 会趋向于无穷，不可能有最大值，故C 项错误；对于D 项：联立直线l 与渐近线by xa =，解得2S ，联立直线l 与渐近线by xa =-，解得2R 由题可知，2RS SB = ，所以()2S R B S y y y y -=-即32S R B y y y =+，=，解得b =，所以e =D 项正确.故选：BD.11.【答案】ACD【解析】A 选项，连接AD ，由于D 为PB 的中点，所以,PB CD PB AD ⊥⊥，又,,CD AD D AD CD ⋂=⊂平面ACD ，所以直线PB ⊥平面ACD ，又AE ⊂平面ACD ，所以PB AE ⊥，故A 正确；B 选项，把ACD 沿着CD 展开与平面BDC 在同一个平面内，连接AB 交CD 于点E ，则AE BE +的最小值即为AB 的长，由于4AD CD AC ===，2222221cos 23CD AD AC ADC CD AD ∠+-===⋅，π22cos cos sin 23ADB ADC ADC ∠∠∠⎛⎫=+=-=-⎪⎝⎭，所以222222cos 2221633AB BD AD BD AD ADB ∠⎛⎫=+-⋅=+-⨯⨯-=+ ⎪ ⎪⎝⎭，故AB ABE ==的周长最小值为4+B 错误；C 选项，要使小球半径最大，则小球与四个面相切，是正四面体的内切球，设球心为O ，取AC 的中点M ，连接,BM PM ，过点P 作PF 垂直于BM 于点F ，则F 为ABC 的中心，点O 在PF 上，过点O 作ON PM ⊥于点N ，因为2,4AM AB ==，所以BM ==，同理PM =，则133MF BM ==，故3PF ==，设OF ON R ==，故3OP PF OF R =-=-，因为PNO PFM ∽，所以ON OP FM PM =3233R-=，解得63R =，C正确；D 选项，4个小球分两层（1个，3个）放进去，要使小球半径要最大，则4个小球外切，且小球与三个平面相切，设小球半径为r ，四个小球球心连线是棱长为2r 的正四面体Q VKG -，由C 选项可知，其高为263r ，由C 选项可知，PF 是正四面体P ABC -的高，PF 过点Q 且与平面VKG 交于S ，与平面HIJ 交于Z ，则26,3QS r SF r ==，由C 选项可知，正四面体内切球的半径是高的14，如图正四面体P HIJ -中，,3QZ r QP r ==，正四面体P ABC -高为2633r r r++43=，解得25r =，D 正确.故选：ACD.三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.【答案】3920【解析】小于300的所有末尾是1的三位数是101,111,121,,291 ，是以101为首项，以10为公差的等差数列，所以小于300的所有末尾是1的三位数的和为()202010129139202S ⨯+==，故答案为:3920.13.【答案】1【解析】由题意得()()22111(1)(1)x a af x x x x -'-=-=+++，①当0a 时，()0f x '>，所以()f x 在()1,∞-+上单调递增，所以当()1,0x ∈-时，()()00f x f <=，与()0f x 矛盾；②当0a >时，当()1,1x a ∈--时，()()0,f x f x '<单调递减，当()1,x a ∞∈-+时，()()0,f x f x '>单调递增，所以()()min ()1ln 1f x f a a a =-=--，因为()0f x 恒成立，所以()ln 10a a -- ，记()()()11ln 1,1,ag a a a g a a a-=--=='-当()0,1a ∈时，()()0,g a g a '>单调递增，当()1,a ∞∈+时()()0,g a g a '<单调递减，所以()max ()10g a g ==，所以()ln 10a a -- ，又()ln 10a a -- ，所以()ln 10a a --=，所以1a =.14.【答案】24,12【解析】设()()2222222,,||424428342222p p p p P x y AP x y x x px x p x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+=--+-+=--+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦2234822p x p p⎡⎤⎛⎫=--+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦（i ）当3402p -，即803p < 时，2||AP 有最小值282p p -，即AP2=，解得2p =823+>，故2p =-.（ii ）当3402p -<，即83p >时，2||AP 有最小值242p ⎛⎫- ⎪⎝⎭，即AP 有最小值422p -=，解得4p =或12.综上，p的值为24,12.四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤）15.【答案】（1）a =（2）455【解析】（1）cos 0a C b +=，由余弦定理得22202a b c a b ab+-⋅+=，即22230,4a b c b c +-===，则可得a =；（2）由余弦定理2225cos 25b a c C ab +-===-，3ππsin ,544C ADB ADC ∠∠∴===∴= ，则在ADC 中，由正弦定理可得sin sin AD ACC ADC∠=，sin sin 52AC CAD ADC∠⋅∴==.16.【答案】（1）0.2（2）分布列见解析期望为0.6【解析】（1）设乙击中的环数少于甲击中的环数为事件B ，则事件B 包括：甲击中9环乙击中8环，甲击中10环乙击中8环，甲击中10环乙击中9环，则()0.20.60.10.60.10.20.2P B =⨯+⨯+⨯=.（2）由题可知X 的所有可能取值为0,1,2,3，由（1）可知，在一场比赛中，甲击中的环数多于乙击中的环数的概率为0.2，则()3,0.2X B ~，所以()()0312330C 0.2(10.2)0.512,1C 0.2(10.2)0.384P X P X ==⨯⨯-===⨯⨯-=，()()()22330332C 0.210.20.096,3C 0.2(10.2)0.008P X P X ==⨯⨯-===⨯⨯-=，故X 的分布列为X 0123P0.5120.3840.0960.008所以()30.20.6E X =⨯=.17.【解析】（1）取BC 中点P ，作直线1C P ，直线1C P 即为所求，取AB 中点H ，连接1,A H PH ，则有PH ∥1,2AC PH AC =，如图，在等腰梯形11A ACC 中，1112A C AC =.HP ∴∥1111,,A C HP A C =∴四边形11A C PH 为平行四边形.1C P ∴∥1A H ，又1A H ⊂平面11,A AB C P ⊄平面1A AB ，1C P ∴∥平面1;A AB（2）由题意作BO '⊥平面11A ACC ，即BO '为四棱锥11B A ACC -的高，在Rt ABC 中，22190,22BA BC BA BC ABC BO AC AC AC ∠⋅+=='=，当且仅当BA BC =时取等号，此时点O '为2O 重合，梯形11A ACC 的面积S 为定值，1113B A ACC V S BO -=⋅'，∴当BO '最大，即点O '与2O 重合时四棱椎11B A ACC -的体积最大，又22,2BO AC BO ⊥=，以2O 为原点，射线2221,,O A O B O O 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，在等腰梯形11A ACC 中，111224AC AA A C ===，此梯形的高h =11A C 为OAC的中位线，(()()((()11,2,0,0,0,2,0,,1,,2,2,0O A B C BC AB ∴-=--=-，(()20,,2,0,0BO O A =-=，设,R BQ BO λλ=∈，则()2,22AQ AB BQ AB BO λλ=+=+=-- ，设平面QAC 的一个法向量(),,n x y z = ，则()2202220n O A x n AQ x y z λ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+-+=⎪⎩ ，取111,1),sin cos ,||n BC n n BC n BC λα⋅=-∴===，令1t λ=+，则sin α=0t =时，sin 0α=，当0t ≠时，0sin 4α<=，当且仅当75t =，即25λ=时取等号，综上0sin 4α .18.【解析】（1）()21212ax ax f x ax a x x-++=-+='，定义域为()0,∞+.二次函数221ax ax -++的判别式为28a a +，对称轴为14x =.当0a <时，二次函数221ax ax -++的图象开口向上，①280a a +<，即80a -<<时，()f x '在()0,∞+上无零点；②280a a +=，即8a =-时，()f x '在()0,∞+上有1个零点14；③280a a +>，即8a <-时，()f x '在()0,∞+有2个不同的零点；综上，当80a -<<时，()f x '在()0,∞+上无零点；当8a =-时，()f x '在()0,∞+上有1个零点；当8a <-时，()f x '在()0,∞+有2个不同的零点；（2）由（1）分析知，当0a >时，()f x '在()0,∞+上有1个零点，设零点为0x ，则20012ax ax +=，解得，04a x a=，进一步，当00x x <<时，()0f x '>，当0x x >时，()0f x '<，所以()()()20000000ln 1ln f x f x x ax x x ax ax =--=-+ ()0000011ln ln 22ax ax x ax x +-=-+=+※易证ln 1x x - ，所以()()()()000822133341222222a a a x ax a x +++--+=-==※ .19.【答案】（1）22186x y +=（2）①1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭②22y x =-【解析】（1）方法①特殊值法，令()222,0,22c c M a a -+±=-+，且2a c =，解得22c =.22228,6a b a c ∴==-=，椭圆C 的方程为22186x y +=，方法②设(),M x y，由题意MF MAλ==（常数），整理得：2222222222011c a a c x y x λλλλ--+++=--，故222222220141c a a c λλλλ⎧-=⎪⎪-⎨-⎪=-⎪-⎩，又12c a =，解得：a c ==.2226b a c ∴=-=，椭圆C 的方程为22186x y +=.（2）①由1sin 21sin 2SBFSDF SB SF BSF SB S S SD SD SF DSF ∠∠⋅⋅==⋅⋅ ，又SBF SDF BF S S DF = ，BS BF DSDF∴=（或由角平分线定理得），令BF DFλ=，则BF FD λ=，设()00,D x y ，则有2203424x y +=，又直线l 的斜率0k >，则()0001,B B x x x y y λλλ⎧=+-⎪∈-⎨=-⎪⎩代入2234240x y +-=得：)22200314240x y λλλ⎤+-+-=⎦，即()()01530x λλ+-=，10,,13λλ⎛⎫>∴=⎪⎝⎭.②由（1）知，SB TB BF SDTDDF==，由阿波罗尼斯圆定义知，,,S T F 在以,B D 为定点的阿波罗尼斯圆上，设该圆圆心为1C ，半径为r ，与直线l 的另一个交点为N ，则有BF NB DFND=，即22BF r BF DFr DF-=+，解得：111r BF DF=-.又1281ππ8C S r ==圆，故119r BF DF =∴-=又012DF x ==，0000052111112111933222BF DF DF DF x x x λ--∴-=-===⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.解得：00,,242x y k =-=-∴=∴直线l的方程为22y x =-.。
2021年安徽省合肥168中学高考数学最后一卷(理科)(附答案详解)
2021年安徽省合肥168中学高考数学最后一卷（理科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1. (2021·安徽省合肥市·模拟题)已知集合A ={x|x 2−2x −3≤0}，B ={x|1x ≤1}，则A ∩B =( )A. ⌀B. [1,3]C. [1,0)D. [−1,0)∪[1，3]2. (2021·湖南省永州市·模拟题)已知i 为虚数单位，复数z =(2+i)(1+ai)，a ∈R ，若z ∈R ，则a =( )A. 12B. −12C. 2D. −23. (2021·安徽省合肥市·模拟题)在(2x −1√x )6的展开式中的常数项为( )A. 15B. −15C. 60D. −604. (2021·江苏省无锡市·期中考试)骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A(前轮)，圆D(后轮)的半径均为√3，△ABE ，△BEC ，△ECD 均是边长为4的等边三角形.设点P 为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为( )A. 18B. 24C. 36D. 485. (2021·安徽省合肥市·模拟题)已知实数x ，y 满足{x +y −2≤0x −y ≤0x ≤0，则z =2x +y 的最大值为( )A. 1B. 2C. 3D. 06. (2021·安徽省合肥市·模拟题)已知顶点在原点，始边在x 轴非负半轴的锐角α绕原点逆时针转π3后，终边交单位圆于P(x,√33)，则sinα的值为( )A. √3−3√26B. 3√2−√36C. √3+3√26D. 3√2+√367. (2021·宁夏回族自治区石嘴山市·模拟题)某同学掷骰子5次，并记录了每次骰子出现的点数，得出平均数为2，方差为2.4的统计结果，则下列点数中一定不出现的是( )A. 1B. 2C. 5D. 68. (2021·安徽省合肥市·模拟题)“湖畔波澜飞，耕耘战鼓催”，合肥一六八中学的一草一木都见证了同学们的成长.某同学为了测量澜飞湖两侧C ，D 两点间的距离，除了观测点C ，D 外，他又选了两个观测点P 1，P 2，且P 1P 2=a ，已经测得两个角∠P 1P 2D =α，∠P 2P 1D =β，由于条件不足，需要再观测新的角，则利用已知观测数据和下面三组新观测的角的其中一组，就可以求出C ，D 间距离的有( )组①∠DP 1C 和∠DCP 1；②∠P 1P 2C 和∠P 1CP 2；③∠P 1DC 和∠DCP 1A. 0B. 1C. 2D. 39. (2021·安徽省合肥市·模拟题)已知函数f(x)=e |x|−12，g(x)={12x +1,x ≤0(x −1)lnx,x >0.若关于x 的方程g(f(x))−m =0有四个不同的解，则实数m 的取值集合为( )A. (0,ln22)B. (ln22,1)C. {ln22}D. (0,1)10. (2021·安徽省合肥市·模拟题)《九章算术》中所述“羡除”，是指如图所示五面体ABCDEF ，其中AB//DC//EF ，“羡除”形似“楔体”.“广”是指“羡除”的三条平行侧棱之长a ，b ，c 、“深”是指一条侧棱到另两条侧棱所在平面的距离m 、“袤”是指这两条侧棱所在平行直线之间的距离n(如图).已知a =3，b =2，c =1，m =2，n =1，则此“羡除”的体积为( )A. 2B. 3C. 3√2D. 4√211.(2021·辽宁省抚顺市·模拟题)P为双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)上一点，F1，F2分别为其左、右焦点，O为坐标原点.若|OP|=b，且sin∠PF2F1=3sin∠PF1F2，则C的离心率为()A. √2B. √3C. 2D. √612.(2021·安徽省合肥市·模拟题)已知正四棱柱ABCD−A1B1C1D1，底面边长为4，侧棱长为2√2，平面α为经过A1且与平面AB1D1平行的平面，平面α内一动点P满足到点A1的距离与到直线BD的距离相等，则动点P的轨迹为()A. 圆B. 双曲线C. 两条直线D. 抛物线二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.(2021·安徽省合肥市·模拟题)某班为响应校团委发起的“青年大学习”号召组织了有奖知识竞答活动，第一环节是一道必答题，由甲乙两位同学作答，每人答对的概率均为0.7，两人都答对的概率为0.5，则甲答对的前提下乙也答对的概率是______ .(用分数表示)14.(2021·安徽省合肥市·模拟题)存在函数f(x)，对于任意x∈R都成立的下列等式的序号是______ ．①f(sin3x)=sinx；②f(sin3x)=x3+x2+x；③f(x2+2)=|x+2|；④f(x2+4x)=|x+2|．15.(2021·安徽省合肥市·模拟题)如图，有三根针和套在一根针上的若干金属片，按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上.规则：①每次只能移动1个金属片；②较大的金属片不能放在较小的金属片上面.请你试着推测：把n个金属片从1号针移到3号针，最少需要移动______ 次？16.(2021·安徽省合肥市·模拟题)在钝角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=4，sinA=2sinB−2sinC，则边b的取值范围为______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.(2021·安徽省合肥市·模拟题)已知数列{a n}的前n项和为S n，且a1=a，a n+1=bS n−1，a，b∈R．(1)若{a n}为等比数列，求a，b满足的条件；(2)若a=b=2，设b n=log3a2n，数列{1b n b n+1}的前n项和为T n，证明：13≤T n<12．18.(2021·山东省聊城市·模拟题)2020年是全面建成小康社会之年，是脱贫攻坚收官之年.上坝村是乡扶贫办的科学养鱼示范村，为了调查上坝村科技扶贫成果，乡扶贫办调查组从该村办鱼塘内随机捕捞两次，上午进行第一次捕捞，捕捞到60条鱼，共105kg，称重后计算得出这60条鱼质量(单位kg)的平方和为200.41，下午进行第二次捕捞，捕捞到40条鱼，共66kg.称重后计算得出这40条鱼质量(单位kg)的平方和为117．(1)请根据以上信息，求所捕捞100条鱼儿质量的平均数z−和方差s2；(2)根据以往经验，可以认为该鱼塘鱼儿质量X服从正态分布N(μ,σ2)，用z−作为μ的估计值，用s2作为σ2的估计值.随机从该鱼塘捕捞一条鱼，其质量在[1.21,2.71]的概率是多少？(3)某批发商从该村鱼塘购买了5000条鱼，若从该鱼塘随机捕捞，记ξ为捕捞的鱼儿质量在[1.21,2.71]的条数，利用(2)的结果，求ξ的数学期望．附：(1)数据t1，t2，…，t n的方差s2=1n ∑(ni=1t i−t−)2=1n(∑t i2ni=1−nt−2)，(2)若随机变量X服从正态分布N(μ,σ2)，则P(μ−σ≤X≤μ+σ)=0.6827；P(μ−2σ≤X≤μ+2σ)=0.9545；P(μ−3σ≤X≤μ+3σ)=0.9973．19.(2021·安徽省合肥市·模拟题)如图的三棱台ABC−A1B1C1，AA1⊥平面ABC，A1B1⊥B1C1，AA1=AB=2A1B1=12BC=2．(1)求证：平面BCC1B1⊥平面ABB1A1；(2)若E ，F 分别为AB ，CC 1的中点，求二面角A 1−EF −A 的余弦值．20. (2021·安徽省合肥市·模拟题)已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，过坐标原点且斜率为√22的直线l 被椭圆截得的弦长为2√2，且椭圆C 的短轴长为2．(1)椭圆C 的标准方程；(2)设E 为椭圆C 上任意一点，过焦点F 1，F 2的弦分别为EM ，EN ，设EF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λF 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，EF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =μF 2N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，问λ+μ是否为定值，如果为定值求出该值，如果不是请说明理出．21. (2021·安徽省合肥市·模拟题)已知函数f(x)=xlnx ．(1)求证：f(x)≤ex 2−2x 恒成立；(2)若函数F(x)=f(x)−a 有两个不同零点x 1，x 2，求证：|x 1−x 2|>(e −1)(a +1e )+√e+1e．22. (2021·吉林省白山市·模拟题)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =√32(m +1m )y =12(m −1m )(m 为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos(θ+π4)=√2． (1)求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；(2)已知点P(2,0)，若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求||PA|−|PB||的值．23. (2021·宁夏回族自治区银川市·模拟题)已知函数f(x)=|x +a|−2|x −b|(a >0,b >0)．(1)当a =b =1时，解不等式f(x)>0；(2)若函数g(x)=f(x)+|x −b|的最大值为2，求1a +4b 的最小值．答案和解析1.【答案】D【知识点】交集及其运算【解析】解：集合A={x|x2−2x−3≤0}={x|−1≤x≤3}，B={x|1≤1}={x|x<0或x≥1}，x则A∩B={x|−1≤1<0或1≤x≤3}=[−1,0)∪[1，3]．故选：D．求出集合A，B，由此能求出A∩B．本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】B【知识点】复数的四则运算【解析】解：因为z=(2+i)(1+ai)=2−a+(2a+1)i∈R，所以2a+1=0，．故a=−12故选：B．先利用复数的乘法运算求出z，然后由实数的定义求解即可．本题考查了复数的乘法运算以及复数的定义的应用，考查了化简运算能力，属于基础题．3.【答案】C【知识点】二项式定理【解析】解：展开式的通项为T=(−1)r26−r C6r x6−3r2r+1=0得r=4令6−3r2∴展开式中的常数项为4C64=60故选：C．利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令通项中的x的指数为0，求出r的值，将r的值代入通项求出展开式中的常数项．求二项展开式的各项系数和问题一般通过观察给二项式中的x赋值求出各项系数和；求二项展开式的特定项问题一般利用的工具是二项展开式的通项公式．4.【答案】C【知识点】函数y =A sin(ωx +φ)的图象与性质、向量的数量积 【解析】解：据题意：圆D(后轮)的半径均为√3，△ABE ，△BEC ，△ECD 均是边长为4的等边三角形．点P 为后轮上的一点，如图建立平面直角坐标系：则A(−8,0)，B(−6,2√3)，C(−2,2√3).圆D 的方程为x 2+y 2=3，可设P(√3cosα,√3sinα)， 所以AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(6,2√3)，BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3cosα+6,√3sinα−2√3)． 故AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =6sinα+6√3cosα+24=12(12sinα+√32cosα)+24=12sin(α+π3)+24≤12+24=36．故选：C ．根据题意建立平面直角坐标系，然后将涉及到的点的坐标求出来，其中P 点坐标借助于三角函数表示，则所求的结果即可转化为三角函数的最值问题求解．本题考查数量积的运算、三角函数的性质在实际问题中的应用，同时考查了学生的数学建模的核心素养．属于中档题．5.【答案】B【知识点】简单的线性规划【解析】解：由约束条件作出可行域如图，由图可知，A(0,2)，化z =2x +y 为y =−2x +z ，由图可知，当直线y =−2x +z 过A 时， 直线在y 轴上的截距最大，z 有最大值为2． 故选：B ．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是中档题．6.【答案】C【知识点】任意角的三角函数【解析】解：由题意，根据三角函数的定义，可得sin(α+π3)=√33，∵x 2+(√33)2=1，∴x =±√63． 由于x =cos(α+π3)，5π6>α+π3>π4，∴x <√33，∴x =−√63，∴sinα=sin[(α+π3)−π3]=sin(α+π3)cos π3−cos(α+π3)sin π3=√33⋅12+√63⋅√32=√3+3√26，故选：C ．由题意，根据三角函数的定义，即可求解sinα的值． 本题主要考查了三角函数的定义，属于中档题．7.【答案】D【知识点】众数、中位数、平均数、方差与标准差 【解析】解：若出现点数6，则(6−2)25=3.2，根据方差的计算公式可知，方差大于2.4， 若出现点数1，2，5时，则分别有(1−2)25=1.8<2.4，(2−2)25=0<2.4，(5−2)25=0.2<2.4，故均可以．所以一定不出现的是点数6．故选：D．利用方差的计算公式进行分析求解即可．本题考查了方差的理解和应用，主要考查了方差的计算公式的运用，属于基础题．8.【答案】D【知识点】解三角形的实际应用【解析】解：在△P1P2D中，已知P1P2=a，∠P1P2D=α，∠P2P1D=β，由正弦定理可得P1D，P2D及∠P1DP2．①中，给出∠DP1C和∠DCP1，由CDsin∠DP1C =DP1sin∠DCP1，可得CD=DP1⋅sin∠DP1Csin∠DCP1，故由①可求得CD；②中，给出∠P1P2C和∠P1CP2，由P1P2sin∠P1CP2=P1Csin∠P1P2C，得P1C=P1P2⋅sin∠P1P2Csin∠P1CP2，由∠P1P2C和∠P1CP2，可得∠P2P1C，减去β可得∠DP1C，在△DP1C中，由余弦定理可得CD，故由②可求得CD；③中条件∠P1DC，利用三角形内角和定理，可化为与①等价问题，也可求得CD．所以可求出C，D间距离的有3组．故选：D．由题意结合三角形内角和定理以及正线、余弦定理，逐一分析三个条件即可得出结论．本题考查了三角形的解法与应用问题，也考查了运算求解能力与推理判断能力，是中档题．9.【答案】A【知识点】函数的零点与方程根的关系【解析】解：设t=f(x)，方程g(f(x))−m=0有四个不同的解，∵f(−x)=e|−x|−12=e|x|−12=f(x)，∴t=f(x)为偶函数，且当x>0时，f(x)=e x−12为增函数，则当x≤0时，t=f(x)为减函数，∴t min=f(0)=e0−12=12，即t≥12，当x >0时，g(x)=(x −1)lnx ，则g′(x)=lnx +1x (x −1)=lnx −1x +1， 另g′(x)=0，解得x =1，所以当x ∈(0,1)时，g′(x)<0，g(x)为减函数， 当x ∈(1,+∞)时，g′(x)>0，g(x)为增函数， 又g(12)=−12ln 12=ln22，作出g(x)在x >0时的图像，如图所示：由图可知，当m ∈(0,ln22)时，y =g(t)，t ≥12的图像与y =m 图像有2个交点，作出t =f(x)的图像，如下：此时y =t 1与y =t 2分别与y =f(x)有2个交，即g(f(x))−m =0有4个不同的解， 故实数m 的取值范围为(0,ln22)，故选：A ．设t =f(x)，根据f(x)的解析式，求出t 的最小值，利用导数判断g(x)的单调性，结合t 的范围，作出g(t)的图像，根据图象结合g(f(x))−m =0有4个不同的解，求出m 的范围．本题考查利用函数性质，利用导数研究函数的单调性，方程根与图像交点个数之间的联系，考查转化思想，数形结合思想，属于中档题．10.【答案】A【知识点】圆柱、圆锥、圆台的侧面积、表面积和体积【解析】解：如图，在AB上取点G，在CD上取点H，使BG=CH=EF=1，连接GH，GE，EH，则AG=2，DH=1，∴此“羡除”的体积为：V=V E−AGHD+V EHG−FBC=13×1+22×1×2+12×2×1×1=2．故选：A．在AB上取点G，在CD上取点H，使BG=CH=EF=1，连接GH，GE，EH，则AG=2，DH=1，则此“羡除”的体积为V=V E−AGHD+V EHG−FBC．本题考查“羡除”的体积的求法，考查三棱锥、三棱柱的体积公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．11.【答案】B【知识点】双曲线的性质及几何意义【解析】解：由sin∠PF2F1=3sin∠PF1F2，以及正弦定理可得|PF1|=3|PF2|，因为|PF1|−|PF2|=2a，所以|PF1|=3a，|PF2|=a，因为|OF2|=c，|OP|=b，所以∠OPF2=π2，所以cos∠OF2P=ac，在△F1F2P中，cos∠F1F2P=a2+(2c)2−(3a)22a⋅2c =cos∠OF2P=ac．化简可得c=√3a，所以C的离心率e=ca=√3．故选：B．sin∠PF2F1=3sin∠PF1F2利用正弦定理可得|PF1|=3|PF2|，结合双曲线的定义，结合余弦定理转化求解双曲线的离心率即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，三角形的解法，余弦定理以及正弦定理的应用，是中档题．12.【答案】D【知识点】面面平行的判定、简单多面体（棱柱、棱锥、棱台）及其结构特征【解析】解：抛物线的定义，平面内到一个定点和到一条定直线(直线不经过定点)距离相等的点的轨迹叫做抛物线，以BD为定直线，点A1为焦点，∵动点P到直线BD的距离与P到A1的距离相等，∴动点P的轨迹符合抛物线的定义，设y2=2px(x>0)，∵底面边长为4，侧棱长为2√2，∴A1到BD的距离为p=√8+8=4，∴y2=8x．故选：D．结合抛物线的定义，可知动点P的估计是一条抛物线，即可求解．本题考查了抛物线定义的应用，需要学生有一定的空间想象能力，属于中档题．13.【答案】57【知识点】相互独立事件同时发生的概率【解析】解：设事件A表示“甲答对”，事件B表示“乙答对”，则P(A)=0.7，P(AB)=0.5，∴甲答对的前提下乙也答对的概率是：P(B|A)=P(AB)P(A)=0.50.7=57．故答案为：57．设事件A表示“甲答对”，事件B表示“乙答对”，则P(A)=0.7，P(AB)=0.5，利用条件概率能求出甲答对的前提下乙也答对的概率．本题考查概率的求法，考查条件概率等基础知识，考查推理论证能力，是基础题．14.【答案】④【知识点】函数的基本概念【解析】解：①令x=0时，f(0)=0；当x=π3时，f(0)=√32，与函数定义矛盾，不符合；②令x=0时，f(0)=0；当x=π3时，f(0)=(π3)3+(π3)2+π3，与函数定义矛盾，不符合；③当x=−2时，f(6)=0，当x=2时，f(6)=4，与函数定义矛盾，不符合；④令x+2=t，则f(t2−4)=|t|，令t2−4=m∈[−4,+∞)，∴t=±√m+4，∴f(m)=√m+4(m≥−4)，∴f(x)=√x+4(x≥−4)，符合．故答案为：④．令x=0、π3可判断①②；令x=−2可判断③；用换元法，令x+2=t，再令t2−4=m，可判断D．本题考查函数概念及构成要素，考查数学运算能力及抽象能力，属于中档题．15.【答案】2n−1【知识点】合情推理（归纳、类比推理）【解析】解：设ℎ(n)是把n个盘子从1柱移到3柱过程中移动盘子的最少次数，当n=1时，ℎ(1)=1，当n=2时，小盘→2柱，大盘→3柱，小盘从2柱→3柱，完成，即ℎ(2)=3=22−1，当n=3时，小盘→3柱，中盘→2柱，小盘从3柱→2柱，[用ℎ(2)种方法把中、小两盘移到2柱，大盘3柱，再用ℎ(2)种方法把中、小两盘从2柱3柱，完成]，即ℎ(3)=ℎ(2)×2+1=3×2+1=7=23−1，ℎ(4)=ℎ(3)×2+1=7×2+1=15=24−1，…，以此类推，ℎ(n)=ℎ(n−1)×2+1=2n−1，故答案为：2n−1．根据移动方法与规律发现，随着盘子数目的增多，都是分两个阶段移动，用盘子数目减1的移动次数都移动到2柱，然后把最大的盘子移动到3柱，再用同样的次数从2柱移动到3柱，从而完成，然后根据移动次数的数据找出总的规律求解即可．本题考查了归纳推理、图形变化的规律问题，根据题目信息，得出移动次数分成两段计数是解题的关键．16.【答案】(3,√7+1)∪(5,+∞)【知识点】正弦定理【解析】解：因为a =4，sinA =2sinB −2sinC ， 所以由正弦定理可得a =2b −2c =4，可得2=b −c ， ①当A 为钝角时，{−1<cosA =b 2+c 2−162bc<0a +c >b b <a，即{−1<1−6b 2−2b <0b >3b <4，解得{b <√7+1b >3；②当B 为钝角时，{−1<cosB =a 2+c 2−b 22ac<0a +c >bb >a，即{−1<5−b 2b−4<0b >4，解得b >5；综上，可得b 的取值范围为(3,√7+1)∪(5,+∞)． 故答案为：(3,√7+1)∪(5,+∞)．由已知利用正弦定理可得2=b −c ，分类讨论，利用余弦定理，三角形两边之和大于第三边即可求解．本题考查余弦定理及三角形两边之和大于第三边等知识在解三角形中的应用，考查了转化思想和分类讨论思想，属于中档题．17.【答案】(1)解：n ≥2时，a n+1=bS n −1，a n =bS n−1−1，两式相减：a n+1=(b +1)a n ， ∵{a n }为等比数列，∴a n+1=(b +1)a n ，n ∈N ∗，b ≠−1， ∴a 2=(b +1)a 1，又∵a 2=bS 1−1=ba 1−1， ∴(b +1)a 1=ba 1−1， ∴a =−1且b ≠−1． (2)证明：若a =b =2， 由(1)可得a n+1=3a n ，n ≥2， 又a 2=bS 1−1=ba 1−1=3， ∴a 2a 1=32≠3，∴数列{a n }是从第二项开始为等比数列， ∴a n ={2,n =13n−1,n ≥2，∴a 2n =32n−1，∴b n =log 3a 2n =2n −1，∴T n =∑1(2k−1)(2k+1)n k=1=∑12nk=1(12k−1−12k+1)=12(1−12n+1)，∴T 1=13≤T n <12．【知识点】数列求和方法【解析】(1)由a n+1=bS n−1，再写一式，两式相减，可得a n+1=(b+1)a n，根据{a n}为等比数列，可求得a2=(b+1)a1以及b≠−1，再由a n+1=bS n−1求出a2=ba1−1，从而可求出a的值，即可得结论；(2)求出数列{a n}的通项公式，从而可求得b n，利用裂项相消法即可求得T n，从而证得结论．本题主要考查数列递推式的应用，数列的求和，考查逻辑推理与运算求解能力，属于中档题．18.【答案】解：(1)z−=105+6660+40=1.71，s2=200.41+117100−1.712=0.25．(2)该鱼塘鱼儿质量X～N(μ,σ2)，其中μ=1.71，σ2=0.25，所以P(1.21≤X≤2.71)=P(μ−σ≤X≤μ+2σ)=0.6827+0.95452=0.8186．(3)由题意可知ξ～B(5000,0.8186)，所以ξ的数学期望为E(ξ)=5000×0.8186=4093．【知识点】离散型随机变量的期望与方差、正态曲线及其性质【解析】(1)由平均数公式和方差公式直接求解．(2)该鱼塘鱼儿质量X～N(μ,σ2)，由此能求出结果．(3)由ξ～B(5000,0.8186)，能求出ξ的数学期望为E(ξ)．本题考查平均数、方差、概率、数学期望的求法，考查二项分布的性质等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是中档题．19.【答案】解：(1)证明：∵AA1⊥平面ABC，∴AA1⊥BC，由三棱台的性质，A1B1//AB，B1C1//BC，∵A1B1⊥B1C1，∴AB⊥BC，又AA1∩AB=A，AA1、ABC平面ABB1A1，∴BC⊥平面ABB1A1，∵BC⊂平面BCC1B1，∴平面BCC1B1⊥平面ABB1A1．(2)如图，以B为坐标远点，BA为x轴，BC为y轴，以过B垂直于平面ABC的直线为z轴，建立空间直角坐标系．B(0,0，0)，A(2,0，0)，C(0,4，0)，E(1,0，0)，A 1(2,0，2)，F(12,3，1)， 设平面A 1EF 的法向量为n⃗ =(x,y ，z)， A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0，−2)，A 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(−32,3，−1)， 则{n ⃗ ⋅A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−x −2z =0n ⃗ ⋅A 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−32x +3y −z =0，取y =2，得n ⃗ =(6,2，−3)， 设平面AEF 的法向量为m⃗⃗⃗ =(a,b ，c)， AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0，0)，AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−32,3，1)， 则{m ⃗⃗⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =−a =0m ⃗⃗⃗ ⋅AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =−32a +3b +c =0，取b =1，得m ⃗⃗⃗ =(0,1，−3)， 设二面角A 1−EF −A 的平面角为θ， 则cosθ=|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=11√1070，∴二面角A 1−EF −A 的余弦值为11√1070．【知识点】利用空间向量求线线、线面和面面的夹角、面面垂直的判定【解析】(1)推导出AA 1⊥BC ，AB ⊥BC ，从而BC ⊥平面ABB 1A 1，由此能证明平面BCC 1B 1⊥平面ABB 1A 1．(2)以B 为坐标远点，BA 为x 轴，BC 为y 轴，以过B 垂直于平面ABC 的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A 1−EF −A 的余弦值．本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.【答案】解：(1)设椭圆方程为x 2a 2+y 2=1，将直线方程y =√22x 代入椭圆方程C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，解得{x 2=2a 2a 2+2y 2=a 2a 2+2， 由题x 2+y 2=2，所以a 2=4，所以椭圆方程为x 24+y 2=1．(2)设E(x 0,y 0)，M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，由已知可得x 024+y 02=1，且F 1(−√3,0)，F 2(√3,0)，当y 0≠0时，设直线EF 1：x =x 0+√3y 0y −√3，代入x 24+y 2=1中，整理得：[(x 0+√3)2+4y 02]y 2−2√3(x 0+√3)y 0y −y 02=0，所以y 0y 1=022√3x +7，y 1=02√3x +7， ∵EF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λF 1M −，∴y 0+λy 1=0，∴λ=−y 0y 1=2√3x 0+7；同理λ=7−2√3x 0，∴λ+μ=14，当y 0=0时，经检验有λ+μ=14，综上λ+μ=14为定值．【知识点】直线与椭圆的位置关系 【解析】(1)设椭圆方程为x 2a2+y 2=1，将直线方程y =√22x 代入椭圆方程，结合x 2+y 2=2推出a ，然后求解椭圆方程．(2)设E(x 0,y 0)，M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，由已知可得x 024+y 02=1，求出焦点坐标，求出直线EF 1的方程，代入椭圆方程，结合向量关系，转化求解λ+μ的值即可．本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，是难题．21.【答案】证明：(1)∵证不等式⇔lnx ≤ex −2，即证明：ex −lnx −2≥0，∴设g(x)=ex −lnx −2(x >0)，g′(x)=e −1x =ex−1x，∴当x ∈(0,1e )时单减，x ∈(1e ,+∞)时单增， ∴g(x)≥g(1e )=1+lne −2=0．(2)∵f′(x)=1+lnx ，∴f(x)在x ∈(0,1e )↓，在x ∈(1e ,+∞)↑，由第(1)知：当x ∈(0,1e )时，抛物线y =ex 2−2x 位于曲线y =f(x)上方， 设直线y =a 与抛物线y =ex 2−2x(x ∈(0,1e ))交点横坐标为t ， ∴t =1−√1+aee=1e −√e +1e.不妨设x 1<x 2，根据题意并结合f(x)图像知0<x 1<t <1e <x 2<1， ∴|x 1−x 2|=x 2−x 1>x 2−t =x 2−1e +√e+1e，∴要证|x 1−x 2|>(e −1)(a +1e)+√e+1e，只要证：x 2−1e >(e −1)(a +1e )，即x 2>(e −1)a +1， ∵f(x 2)=a ，∴上述不等式即为：x 2>(e −1)f(x 2)+1⇔(e −1)ln 1x 2−1x 2+1>0.……(∗)设F(x)=(e −1)lnx −x +1，x ∈[1,e]， ∴F(1)=F(e)=0，且F′(x)=e−1x−1，∴F(x)在x ∈(1,e −1)↑，在x ∈(e −1,e)↓， ∴F(x)>0对∀x ∈(1,e)成立，因为1<1x 2<e ，∴F(1x 2)>0，即不等式(∗)成立，根据上面分析知不等式成立．【知识点】利用导数研究闭区间上函数的最值【解析】(1)证不等式⇔lnx ≤ex −2，即证明：ex −lnx −2≥0，设g(x)=ex −lnx −2(x >0)，利用导数研究函数的单调性极值与最值即可证明结论．(2)由第(1)知：当x ∈(0,1e )时，抛物线y =ex 2−2x 位于曲线y =f(x)上方，设直线y =a 与抛物线y =ex 2−2x(x ∈(0,1e ))交点横坐标为t.不妨设x 1<x 2，根据题意并结合f(x)图像知，要证结论成立，只要证：x 2−1e >(e −1)(a +1e )，即x 2>(e −1)a +1，通过转化，利用导数研究函数的单调性极值与最值即可证明结论．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、等价转化方法，考查了推理能力，属于中档题．22.【答案】解：(1)曲线C 的参数方程为{x =√32(m +1m )①y =12(m −1m)②(m 为参数)， 所以①2−②2，得x 23−y 2=1．直线l 的极坐标方程为ρcos(θ+π4)=√2， 根据{x =ρcosθy =ρsinθx 2+y 2=ρ2，整理成直角坐标方程为x −y −2=0．(2)过点P(2,0)的直线的参数方程为{x =2+√22t y =√22t (t 为参数)，代入x 23−y 2=1，得到t 2−3√2t −1=0，所以||PA|−|PB||=|t1+t2|=3√2．【知识点】简单曲线的极坐标方程、曲线的参数方程【解析】(1)直接利用转换关系，将参数方程转换为普通方程，极坐标方程转换为直角坐标方程；(2)利用一元二次方程根和系数关系式，求出结果．本题考查的知识要点：参数方程转换为普通方程，极坐标方程转换为直角坐标方程、一元二次方程根和系数关系式，考查运算能力，属于基础题．23.【答案】解：(1)当a=b=1时，f(x)=|x+1|−2|x−1|，①当x≤−1时，f(x)=−(x+1)+2(x−1)=x−3>0，∴x>3，∴无解，②当−1<x<1时，f(x)=(x+1)+2(x−1)=3x−1>0，∴13<x<1，③当x≥1时，f(x)=(x+1)−2(x−1)=−x+3>0，∴1≤x<3，综上所述：不等式f(x)>0的解集为(13,3)．(2)g(x)=)=|x+a|−2|x−b|+|x−b|=|x+a|−|x−b|，∵|x+a|−|x−b|≤|(x+a)−(x−b)|=|a+b|，∴g(x)max|=|a+b|=2，∵a>0，b>0，∴a+b=2，∴1a +4b=(1a+4b)(a+b)×12=(ba+4ab+5)×12≥(2√4+5)×12=92，当且仅当ba =4ab，即b=2a时取等号，∴1a +4b的最小值为92．【知识点】不等式和绝对值不等式【解析】(1)代入a，b的值得到f(x)的分段函数的形式，通过讨论x的范围得到关于x 的不等式组，解出即可．(2)根据绝对值不等式的性质得到a+b=2，结合基本不等式的性质即可求解．本题考查了解绝对值不等式问题，考查基本不等式的性质，考查分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．。
合肥一六八中学2023届高三数学最后一卷详版答案
合肥一六八中学2023届高考全真模拟详解答案一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1． 答案A3． 答案：B6．答案C 解：令()11sin sin 2sin 323y f x x x x ==++，求导得()cos cos2cos3cos cos2cos2cos sin 2sin f x x x x x x x x x x =++=++-' ()()()2cos 12sin cos 21cos 12cos cos 2x x x x x x =-++=+，当],0[π∈x 时，由0)(='x f 解得43,32,4πππ=x由于()()123100,,0,042342f f f f f ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫====>= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 结合图像，只有C 选项满足. 故选：C7. 答案：B 。
详解： 因为点E 、F 分别为BC 和CD 的中点,421)21(2=+⋅=+⋅=⋅AB AD AB AB AD AB AF AB ，所以2=⋅AD AB ，又23)21()21(=-⋅+=⋅AB AD AD AB BF AE ，所以选B 。
8. 答案：B 。
详解：由题意，当[)1,2x ∈时，故()()()11112322f x f x x =-=--，当[)2,3x ∈时，故()()()11112524f x f x x =-=--⋅⋅⋅，可得在区间[)(),1n n n Z +∈上，()()11122122n n f x x n ⎡⎤=--+≤⎣⎦， 所以当4n ≥时,323)(≤x f ，作函数()y f x =的图象，如图所示，当7,42x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，由829,4172,323)721(81)(==-=--=x x x x f二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9． 答案：ACA 、根据分层抽样，抽取25人作为样本，则抽取的样本中男生有1650032025=⨯，A 正确 B 、样本学生的身高均值4.170164500180174500320=⨯+⨯，B 错误 C 、抽取的样本的方差为[16+（174﹣170.4）2]+×[30+（164﹣170.4）2]=44.08；C 正确D 、因为抽样中未按比例进行分层抽样，所以总体中每个个体被抽到的可能性不完全相同，因而样本的代表性差，所以作为总体的估计不合适．D 错误。
2024学年合肥一六八中学高三月考(八)数学试题试卷
2024学年合肥一六八中学高三月考（八）数学试题试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数，其中04?,?04b c ≤≤≤≤，记函数满足条件：(2)12{(2)4f f ≤-≤为事件A ，则事件A发生的概率为 A ．14B ．58C ．38D ．122．下列说法正确的是（ ）A ．“若1a >，则1a >”的否命题是“若1a >，则21a <”B ．在ABC 中，“A B >”是“sin sin A B >”成立的必要不充分条件 C ．“若tan 1α≠，则4πα≠”是真命题D ．存在0(,0)x ∈-∞，使得0023x x <成立 3．执行如图所示的程序框图若输入12n =，则输出的n 的值为（ ）A ．32B ．2C ．52D ．34．已知函数13()sin cos 22f x x x =+，将函数()f x 的图象向左平移(0)m m >个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是（ ） A ．6πB ．4π C ．3π D ．2π 5．已知函数()()()1sin,13222,3100x x f x f x x π⎧-≤≤⎪=⎨⎪-<≤⎩，若函数()f x 的极大值点从小到大依次记为12,?··n a a a ，并记相应的极大值为12,,?··n b b b ，则()1niii a b =+∑的值为（ ）A ．5022449+B ．5022549+C ．4922449+D ．4922549+6．如图所示的程序框图，当其运行结果为31时，则图中判断框①处应填入的是（ ）A ．3?i ≤B ．4?i ≤C ．5?i ≤D ．6?i ≤7．已知实数x ，y 满足约束条件2202202x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，则22x y +的取值范围是（ ）A ．25,225⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．4,85⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．2,85⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[]1,88．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积（ ）A ．623+B ．622+C ．442+D ．443+9．已知复数，则的共轭复数在复平面对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限10．已知复数z 满足()125z i ⋅+=（i 为虚数单位），则在复平面内复数z 对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限11．5()(2)x y x y +-的展开式中33x y 的系数为( ) A ．－30 B ．－40C ．40D ．5012．已知π3π,22α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()3tan π4α-=-，则sin cos αα+等于（ ）．A ．15±B ．15-C ．15D ．75-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
安徽省合肥一六八中学2023届高三最后一卷数学试题
安徽省合肥一六八中学2023届高三最后一卷数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________二、多选题9．某学校高三年级学生有500人，其中男生320人，女生180人.为了获得该校全体高三学生的身高信息，现采用分层抽样的方法抽取样本，并观测样本的指标值（单位：（1）已知()80,1,1,1,0,1,1,1a S =Î，则a 的深度为__________.（2）n S 中深度为()*N ,d d d n Σ的数组个数为__________.(1)求数列{}na 的通项公式；(2)求证：1211a a +++L 18．法国著名军事家拿破仑边为边向外构造三个等(1)若点G 为半圆弧CD 的中点，(2)是否存在G点，使得直线若不存在，请说明理由.20．已知双曲线2222:x y C a b-=上一点，点A 关于原点O 的对称点为骰子向上的面出现的点数X 的平均信息量()222log 3 1.59,log 5 2.32,log 7 2.81»»»；(2)设某信道的输入变量X 与输出变量Y 均取值0，1.满足：()()()0,1001(01,01)P X p Y X p Y X p p w w ========<<<<∣∣.试回答以下问题：①求()0P Y =的值；②求该信道的信道疑义度()H Y X ∣的最大值.若点G为半圆弧CD的中点，则所以90Ð=°，即EC^ECG因为//BF EC，所以BF CG^^，又BF BC所以BF^平面,BCG BFÌ20．(1)3(2)2=±±或210y x=±±y x【分析】（1）充分理解题意，利用随机变量X的平均信息量定义解决本小题；（2）由全概率和条件概率公式解决本小题.【详解】（1）设X表示扔一非均匀股子点数，则。
安徽省合肥市一六八中学高三数学理测试题含解析
安徽省合肥市一六八中学高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若的三个内角A、B、C满足,则（）A．一定是锐角三角形 B．一定是直角三角形C．一定是钝角三角形 D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形参考答案：C2. 设定义在上的函数的反函数为，且对于任意，都有，则（）A B CD参考答案：答案：A3. 已知A、B、C是平面上不共线的三点，O是三角形ABC的重心，动点满足=(++),则点一定为三角形ABC的 ( )A．AB边中线的中点 B．AB边中线的三等分点 (非重心）C．重心 D．AB边的中点参考答案：B4. 若,则下列不等式:①;②;③;④中,正确的不等式有( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个参考答案：B略5. 已知甲：x≥0 , 乙：|x-1|<1．则甲是乙的（）A．必要非充分条件 B．充分非必要条件．C．即不必要也不充分条件 D．充要分条件．参考答案：A6. 已知函数. 设关于x的不等式的解集为A, 若, 则实数a的取值范围是A、 B、 C、D、参考答案：【知识点】特殊值法；分类讨论；M2【答案解析】A 解析：解：取,(1)x<0时，解得，(2) 时，解得;(3) 时，解得.综上知，时，，符合题意，排除B、D；，取时，f（x）=x|x|+x，∵f（x+a）＜f（x），∴（x+1）|x+1|+1＜x|x|，（1）x＜-1时，解得x＞0，矛盾；（2）-1≤x≤0，解得x＜0，矛盾；（3）x＞0时，解得x＜-1，矛盾；综上，a=1，A=?，不合题意，排除C，故选A．【思路点拨】我们可以直接取特殊值，根据已知进行分类讨论.7. 双曲线（）的焦点坐标为…… ……（）（A）. （B）.（C）. （D）.参考答案：B因为，所以，，即为，所以双曲线的焦点在轴上，所以，即，所以焦点坐标为，选B.8. 已知集合M={x|x2﹣4x＜0}，N={x|m＜x＜5}，若M∩N={x|3＜x＜n}，则m+n等于（）A．9 B．8 C．7 D．6参考答案：C【考点】交集及其运算．【分析】求出集合的等价条件，根据集合的基本运算进行求解即可．【解答】解：M={x|x2﹣4x＜0}={x|0＜x＜4}，∵N={x|m＜x＜5}，∴若M∩N={x|3＜x＜n}，则m=3，n=4，故m+n=3+4=7，故选：C9. 一个四面体的顶点在空间直角坐标系中的坐标分别是(1，0，1)，(1，l，0)， (0，1,0)， (1，1，1)，则该四面体的外接球的体积为A. B． C.D．参考答案：A10. 随机变量～，则等于B (A)(B)(C)(D)参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 如图，在三棱锥中，已知，，设，则的最小值为 .参考答案：试题分析：设，，，∵，∴，又∵，∴，∴，∴，当且仅当时，等号成立，即的最小值是．考点：1．空间向量的数量积；2．不等式求最值．【思路点睛】向量的综合题常与角度与长度结合在一起考查，在解题时运用向量的运算，数量积的几何意义，同时，需注意挖掘题目中尤其是几何图形中的隐含条件，将问题简化，一般会与函数，不等式等几个知识点交汇，或利用向量的数量积解决其他数学问题是今后考试命题的趋势．本题中，向量和立体几何结合在一起，突破口在于利用.12. 已知函数的图象为C，关于函数f（x）及其图象的判断如下：①图象C关于直线x=对称；②图象C关于点对称；③由y=3sin2x得图象向左平移个单位长度可以得到图象C；④函数f（x）在区间（﹣）内是增函数；⑤函数|f（x）+1|的最小正周期为π．其中正确的结论序号是．（把你认为正确的结论序号都填上）参考答案：②⑤【考点】正弦函数的图象．【分析】根据三角函数的图象与性质，对题目中的命题进行分析、判断，即可得出正确的命题序号．【解答】解：函数，对于①，f（）=3sin（2×+）=﹣不是最值，∴f（x）的图象C不关于直线x=对称，①错误；对于②，f（）=3sin（2×+）=0，∴f（x）的图象C关于点对称，②正确；对于③，由y=3sin2x的图象向左平移个单位长度，得到y=3sin[2（x+）]=3sin（2x+）的图象，不是图象C，③错误；对于④，x∈（﹣，）时，2x+∈（，），∴函数f（x）=3sin（2x+）在区间（﹣）内不是增函数，④错误；对于⑤，|f（x+π）+1|=|3sin（2x+2π+）+1|=|3sin（2x+）+1|=|f（x）+1|，∴|f（x）+1|的最小正周期为π，⑤正确．综上，正确的结论序号是②⑤．故答案为：②⑤．【点评】本题考查了三角函数的图象和性质及其变换的应用问题，是综合性题目．13. 已知直线：，直线：分别与曲线与相切，则.参考答案：14. 函数，其中，若动直线与函数的图像有三个不同的交点，它们的横坐标分别为，则是否存在最大值？若存在，在横线处填写其最大值；若不存在，直接填写“不存在”______________参考答案：115. 已知，，则= ▲．参考答案：-7略16. 已知四而体ABCD的顶点都在球O的球面上，AD=AC=BD=2，CD=2 ,BDC=90 平面ADC平面BDC，则球O的体积为_______．参考答案：17. 如图4，点是圆上的点，且，则圆的面积等于____________．参考答案：8π略三、解答题：本大题共5小题，共72分。
合肥一六八中学高三测试 数学(理科)试题及参考答案
X 一六八中学高三测试 数学〔理科〕真题本卷子分第二卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两局部。
总分值150分，考试时间120分钟。
第一卷 选择题〔共50分〕一、选择题〔本大题共10小题，每题5分，共50分.每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.〕1．在复平面内，复数1zi+所对应的点为(2,1)-，i 是虚数单位，则z =〔 〕 A ．3i --B ．3i -+C ．3i -D ．3i +2．已知全集U R =，{|239}xA x =<≤，1{|2}2B y y =<≤，则有〔 〕 A ．AB B ．A B B =C ．()R A B ≠∅D ．()R A B R =3． “1m =±〞是“函数22()log (1)log (1)f x mx x =++-为偶函数〞的〔 〕 A ．充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件500位老年人，结果如下： 由22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++算得22500(4027030160)9.96720030070430K ⨯⨯-⨯==⨯⨯⨯ 附表：参照附表，则以下结论正确的选项是〔 〕①有99%以上的把握认为“该地区的老年人是否需要志愿者提供援助与性别无．②有99%以上的把握认为“该地区的老年人是否需要志愿者提供援助与性别有．③采纳系统抽样方法比采纳简单随机抽样方法更好； ④采纳分层抽样方法比采纳简单随机抽样方法更好 A ．①③ B ．①④ C ．②③ D ．②④5．阅读右图所示的程序框图，假设8,10m n ==，则输出的S 的值等于〔 〕 A ．28 B ．36 C ．45 D ．1203.841 6.635 10.828k 2() 0.050 0.010 0.001P K k ≥6．已知直线l的参数方程为1cos sin x t y t αα=+⎧⎪⎨=⎪⎩(t 为参数，α为直线l 的倾斜角)，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为4sin()3πρθ=+，直线l 与圆C 的两个交点为,A B ，当||AB 最小时，α的值为〔 〕 A ．4πα=B ．3πα=C ．34πα=D ．23πα=7．已知一三棱锥的三视图如下图，那么它的体积为〔 〕 A ．13 B ．23 C ．1 D ．28．已知数列{}n a 的各项均为正数，12a =，114n n n n a a a a ++-=+，假设数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和为5，则n =〔 〕A ．35B ．36C ．120D ．1219．已知不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤+≥-1210y x y x y x 表示的平面地域为D ，假设D 内存在一点00(,)P x y ,使001ax y +<，则a 的取值范围为〔 〕A ．(,2)-∞B ．(,1)-∞C ．(2,)+∞D ．(1,)+∞10．已知2,0()2, 0ax x x f x x x ⎧+>=⎨-≤⎩，假设不等式(2)()f x f x -≥对一切x R ∈恒成立，则a 的最大值为〔 〕A ．716-B ．916-C ．12-D ．14- 主视图侧视图俯视图第二卷 非选择题〔共100分〕二、填空题〔本大题共5小题，每题5分，共25分.把答案填写在横线上〕11．已知||2=a ，||1=b ，2-a 与13b 的夹角为3π，则|2|+=a b ． 12．将曲线1:C 2sin(),04y x πωω=+>向右平移6π个单位后得到曲线2C ，假设1C 与2C 关于x 轴对称，则ω的最小值为_________.13．分别在区间[0,1]、[1,]e 上任意选取一个实数a b 、，则随机事件“ln a b ≥〞的概率为_________. 14．已知M N 、为抛物线24y x =上两个不同的点，F 为抛物线的焦点．假设线段MN 的中点的纵坐标为2，||||10MF NF +=，则直线MN 的方程为_________.15．已知()f x 是定义在R 上函数，()f x '是()f x 的导数，给出结论如下： ①假设()()0f x f x '+>，且(0)1f =，则不等式()xf x e -<的解集为(0,)+∞；②假设()()0f x f x '->，则(2015)(2014)f ef >； ③假设()2()0xf x f x '+>，则1(2)4(2),n n f f n N +*<∈；④假设()()0f x f x x'+>，且(0)f e =，则函数()xf x 有极小值0； ⑤假设()()xe xf x f x x'+=，且(1)f e =，则函数()f x 在(0,)+∞上递增．其中全部正确结论的序号是 ．三、解答题〔本大共6小题，共75分。
安徽省合肥一六八中学2024届高三最后一卷数学试题(含部分答案)
合肥一六八中学2024届高三最后一卷数学试题本试卷共4页，19题。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知抛物线方程，则其焦点坐标为（ ）A ．B ．C ．D ．2．2024届高三某次联考中对尖端生采用屏蔽措施，某校历史方向有五名屏蔽生总分在前9名，现在确定第一、二、五名是三位同学，但不是第一名，两名同学只知道在6至9名，且的成绩比好，则这5位同学总分名次有多少种可能（ ）A ．6B ．12C ．24D ．483．已知“正项数列满足”，则“”是“数列为等比数列”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件4．函数（为自然函数的底数）的图像大致为（ ）A ．B．2:4C y x =()0,1()0,210,8⎛⎫ ⎪⎝⎭10,16⎛⎫⎪⎝⎭A B C D E 、、、、A B C 、、A D E 、D E {}n a 14nn n a a +⋅=212a a ={}n a ()()2e cos 2e e 1x xx f x =-eC ．D ．5．已知角的对边分别为满足，则角的最大值为（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知事件满足：，则（ ）A ．B ．C ．D ．7．某停车场在统计停车数量时数据不小心丢失一个，其余六个数据分别是10，8，8，11，16，8，若这组数据的平均数、中位数、众数成等差数列，则丢失数据的所有可能值的和为（ ）A ．21B ．24C ．27D ．328．已知函数（不恒为零），其明为的异函数，对于任羍的，满足，且，则（ ）A ．B ．是偶函数C ．龹于直线对称D ．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．下列说法正确的是（ ）A ．复数（为虚数单位）的虚部为B ．已知复数，若，则C ．若，则的最小值为1D ．已知复数，复数的虚部不为0，则10．如图，在边长为1的正方体中，点为线段上的动点，则（）A B C 、、a b c 、、2sin sin sin b A Ca c B+=-B π6π4π32π3,A B ()()()241,,355P B P A B P B A ===()P A =34291323()f x ()f x ()f x '()f x ,x y ∈R ()()()()22f x y f x y f x f y +-=-()()11,20f f ==()01f =()f x ()1f x '+1x =81()1k f k =-=-∑1ii iz +=-i 2-12,z z 22120z z +=120z z ==1,z z =∈C 2z -12,z z 2z 1122z z z z =1111ABCD A B C D -P 1ACA ．不存在点，使得B ．的最小值为C ．当时，D ．若平面上的动点满足，则点的轨迹是直线的一部分11．已知函数在上有且仅有5个零点，则（ ）A ．在上有且仅有3个极大值点B ．在上有且仅有2个极小值点C ．当时，的取值范围是D ．当时，图像可能关于直线对称三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．在四边形中，，且，则______．13．设是定义在上的函数，为其导函数，且满足，则函数在处的切线方程为______．14．如图，已知圆和椭圆四，点，，直线交轴于，直线平行轴交于（点在轴上方），，直线交于多一点于，直线交轴于点，则椭圆的长轴长为______．P 1AP CD ⊥1D P AP ⋅ 13-1123A P AC = 1D P AP⊥ ABCD M 1π6MD C ∠=M ()()πsin 0,0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫⎛⎫=+>∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭[]0,2π()f x ()0,2π()f x ()0,2ππ5ϕ=ω1229,510⎡⎫⎪⎢⎣⎭π5ϕ=()f x π2x =ABCD 2BC AD =1,AD CD AD CD ==⊥AA BD ⋅= ()f x ()0,+∞()f x '()()()252210,13x f x xf x f -+-==⎡⎤⎣⎦')f222:O x y a +=2222:1(0)x y C a b a b+-=>>()()0,,0,A a B b -()()1,0,,0,0,2a D H a B b ⎛⎫- ⎪⎝⎭AP x D PQ y C Q Q x TK KH =BK C M 1B M x (3,0)N四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）某高校强基计划入围有3道面试题目，若每位面试者共有三次机会，一旦某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第3次为止．李想同学答对每道题目的概率都是0.6，假设对抽到的不同题目能否答对是独立的．（1）求李想第二次答题通过面试的概率；（2）求李想最终通过面试的概率。
安徽合肥一六八中学2025届高三压轴卷数学试卷含解析
安徽合肥一六八中学2025届高三压轴卷数学试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．一个由两个圆柱组合而成的密闭容器内装有部分液体，小圆柱底面半径为1r ，大圆柱底面半径为2r ，如图1放置容器时，液面以上空余部分的高为1h ，如图2放置容器时，液面以上空余部分的高为2h ，则12h h =（ ）A ．21r rB ．212r r ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．321r r ⎛⎫ ⎪⎝⎭D 21r r 2．设(1)1i z i +⋅=-，则复数z 的模等于( ) A 2 B ．2C ．1D 33．已知复数z 534i=+，则复数z 的虚部为（ ） A ．45B ．45-C ．45iD ．45-i 4．ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若1a =，30B =︒，27cos C -=ABC 的面积为（ ） A ．32B 3C 7D ．725．函数()1cos f x x x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭（x ππ-≤≤且0x ≠）的图象可能为（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知实数x ，y 满足10260x x y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则22z x y =+的最大值等于( )A ．2B ．22C ．4D ．87．设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线()220y px p =>上任意一点，M 是线段PF 上的点，且2PM MF =,则直线OM 的斜率的最大值为( ) A 3B ．23C ．22D ．18．《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍.其中记载有求“囷盖”的术：“置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一”.该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积2136V L h ≈的近似公式.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3.那么近似公式23112V L h ≈相当于将圆锥体积公式中的圆周率近似取为（ ） A ．227B ．15750C ．289D ．3371159．已知函数2ln(2),1,()1,1,x x f x x x -⎧=⎨-+>⎩若()0f x ax a -+恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．[0,1]C ．[1,)+∞D ．[0,2]10．已知(0,)απ∈，且tan 2α=，则cos2cos αα+=（ ）A ．2535- B ．535- C ．535+ D ．2535+ 11．已知函数31()sin ln 1x f x x x x +⎛⎫=++ ⎪-⎝⎭，若(21)(0)f a f ->，则a 的取值范围为（ ）A ．1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭B ．()0,1C ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭D ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭12．给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面相互平行； ②若一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面相互垂直； ③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直． 其中，为真命题的是( )A ．①和②B ．②和③C ．③和④D ．②和④ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2024-2025学年安徽省合肥一六八中学高三上学期10月段考数学试题及答案
合肥一六八中学2025届高三10月段考试卷数学考生注意：1．试卷分值：150分，考试时间：120分钟．2．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答案区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．3．所有答案均要答在答题卡上，否则无效．考试结束后只交答题卡．一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．已知集合{A x x =<，1ln 3B x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭，则A B = （ ）A ．{x x <B ．{x x <C ．{0x x <<D ．{0x x <<2．设a ，b 均为单位向量，则“55a b a b -=+”是“a b ⊥ ”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知数列{}n a 满足()111n n a a +-=，若11a =-，则10a =（ ）A ．2B ．－2C ．－1D ．124．已知实数a ，b ，c 满足0a b c <<<，则下列不等式中成立的是（ ）A ．11a b b a+>+B ．22a b aa b b+<+C ．a b b c a c<--D ．ac bc>5．已知a ∈R ，2sin cos αα+=，则tan 2α=（ ）A ．43B ．34C ．43-D ．34-6．10名环卫工人在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距15米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，现将树坑从（1）到（10）依次编号，为使每名环卫工人从各自树坑前来领取树苗所走的路程总和最小，树苗可以放置的两个最佳坑位的编号为（ ）A ．（1）和（10）B ．（4）和（5）C ．（5）和（6）D ．（4）和（6）7．设0.1e1a =-，111b =，ln1.1c =，则（ ）A ．b c a<<B ．c b a<<C ．a b c<<D ．a c b<<8．定义在R 上的奇函数()f x ，且对任意实数x 都有()302f x f x ⎛⎫--+=⎪⎝⎭，()12024e f =．若()()0f x f x '+->，则不等式()11ex f x +>的解集是（ ）A ．()3,+∞B ．(),3-∞C ．()1,+∞D ．(),1-∞二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分）9．已知O 为坐标原点，点()1cos1,sin1P ，()2cos 2,sin 2P -，()3cos3,sin 3P ，()1,0Q ，则（）A ．12OP OP = B ．12QP QP =C ．312OQ OP OP OP ⋅=⋅ D ．123OQ OP OP OP ⋅=⋅ 10．三次函数()32f x x ax =++叙述正确的是（ ）A ．当1a =时，函数()f x 无极值点B ．函数()f x 的图象关于点()0,2中心对称C ．过点()0,2的切线有两条D ．当a <－3时，函数()f x 有3个零点11．已知()2sin 2f x x =+，对任意的π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都存在2π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()()123f x f x α=+成立，则下列选项中，α可能的值是（ ）A ．3π4B ．4π7C ．6π7D ．8π7三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12．已知复数1+与3i 在复平面内用向量OA 和OB 表示（其中i 是虚数单位，O 为坐标原点），则OA与OB夹角为______．13．函数2x y m m =-+在(],2-∞上的最大值为4，则m 的取值范围是______．14．设a 、b 、[]0,1c ∈，则M ______．四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（13分）已知ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，cos sin 0a C C b c --=．（1）求角A ；（2）已知8b =，从下列三个条件中选择一个作为已知，使得ABC △存在，并求出ABC △的面积．条件①：2cos 3B =-；条件②：7a =；条件③：AC ．（注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．）16．（15分）某地区上年度天然气价格为2.8元/3m ，年用气量为3m a ．本年度计划将天然气单价下调到2.55元/3m 至2.75元/3m 之间．经调查测算，用户期望天然气单价为2.4元/3m ，下调单价后新增用气量和实际单价与用户的期望单价的差成反比（比例系数为k ）．已知天然气的成本价为2.3元/3m ．（1）写出本年度天然气价格下调后燃气公司的收益y （单位：元）关于实际单价x （单位：元/3m ）的函数解析式；（收益=实际用气量×（实际单价－成本价））（2）设0.2k a =，当天然气单价最低定为多少时，仍可保证燃气公司的收益比上年度至少增加20%?17．（15分）已知函数()824x x xa f x a +⋅=⋅（a 为常数，且0a ≠，a ∈R ），且()f x 是奇函数．（1）求a 的值；（2）若[]1,2x ∀∈，都有()()20f x mf x -≥成立，求实数m 的取值范围．18．（17分）已知函数()()2ln f x x x =-（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）求函数()f x 在()()22e ,ef 处切线方程；（3）若()f x m =有两解1x ，2x ，且12x x <，求证：2122e e x x <+<．19．（17分）（1）若干个正整数之和等于20，求这些正整数乘积的最大值．（2）①已知12,,,n a a a ⋅⋅⋅，都是正数，求证：12n a a a n++⋅⋅⋅+≥；②若干个正实数之和等于20，求这些正实数乘积的最大值．合肥一六八中学2025届高三10月段考试卷·数学参考答案、提示及评分细则题号1234567891011答案DCCBBCACACABDAC一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．【答案】D【解析】131ln 0e 3x x <⇒<<，∵23e 2<，∴661132e 2⎛⎫⎛⎫<⇒< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故选D ．2．【答案】C【解析】∵“55a b a b -=+ ”，∴平方得222225102510a b a b a b a b +-⋅=++⋅，即200a b ⋅= ，则0a b ⋅= ，即a b ⊥，反之也成立．故选C ．3．【答案】C 【解析】因为111n na a +=-，11a =-，所以212a =，32a =，41a =-，所以数列{}n a 的周期为3，所以101a =-．故选C ．4．【答案】B【解析】对于A ，因为0a b <<，所以11a b >，所以11a b b a+<+，故A 错误；对于B ，因为0a b <<，所以()()()()222220222a b b a a b a b a b a a b b a b b a b b+-++--==<+++，故B 正确；对于C ，当2a =-，1b =-，1c =时，13b a c =-，1a b c =-，b aa cb c<--，故C 错误；对于D ，因为a b <，0c >，所以ac bc <，故D 错误．故选B ．5．【答案】B【解析】2sin cos αα+=，则()252sin cos 2αα+=，即2254sin 4sin cos cos 2αααα++=，可得224tan 4tan 15tan 12ααα++=+，解得tan 3α=-或13．那么22tan 3tan 21tan 4ααα==-．故选B ．6．【答案】C【解析】设树苗可以放置的两个最佳坑位的编号为x ，则各位同学从各自树坑前来领取树苗所走的路程总和为：1152151015S x x x =-⨯+-⨯+⋅⋅⋅+-⨯．若S 取最小值，则函数()()()()22222221210101101210y x x x x x =-+-+⋅⋅⋅+-=-+++⋅⋅⋅+也取最小值，由二次函数的性质，可得函数()2222101101210y x x =-+++⋅⋅⋅+的对称轴为 5.5x =，又∵x 为正整数，故5x =或6．故选C 7．【答案】A【解析】构造函数()1ln f x x x =+，0x >，则()211f x x x'=-，0x >，当()0f x '=时，1x =，01x <<时，()0f x '<，()f x 单调递减；1x >时，()0f x '>，()f x 单调递增．∴()f x 在1x =处取最小值()11f =，∴1ln 1x x>-，（0x >且1x ≠），∴101ln1.111111>-=，∴c b >；构造函数()1e 1ln x g x x -=--，1x >，()11ex g x x-'=-，∵1x >，1e1x ->，11x<，∴()0g x '>，()g x 在()1,+∞上递增，∴()()10g x g >=，∴ 1.11e 1ln1.1-->，即0.1e 1ln1.1->，∴a c >．故选A ．8．【答案】C【解析】因为()f x 是奇函数，所以()f x '是偶函数，因为()()0f x f x '+->，所以()()0f x f x '+>，令()()e x g x f x =，()()()e 0xg x f x f x ''=+>⎡⎤⎣⎦，()g x 在R 上单调递增．又因为()302f x f x ⎛⎫--+=⎪⎝⎭且()f x 是奇函数，所以()f x 的周期为3，()12024e f =，则()12ef =，所以()212e e e g =⨯=，则不等式()()()()111e 1e 12ex x f x f x g x g ++>⇒+>⇒+>，因为()g x 在R 上单调递增，所以12x +>，即1x >．故选C ．二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分）9．【答案】AC【解析】∵()1cos1,sin1P ，()2cos 2,sin 2P -，()()()3cos 12,sin 12P ++，()1,0Q ，∴()1cos1,sin1OP = ，()2cos 2,sin 2OP =- ，()()()3cos 12,sin 12OP =++ ，()1,0OQ = ，()1cos11,sin1QP =- ，()2cos 21,sin 2QP =-- ，易知121OP OP == ，故A 正确；∵1QP = ，2QP = ，∴12QP QP ≠ ，故B 错误；()3cos 12cos1cos 2sin1sin 2OQ OP ⋅=+=- ，12cos1cos 2sin1sin 2OP OP ⋅=- ，∴312OQ OP OP OP ⋅=⋅ ，故C 正确；1cos1OQ OP ⋅= ，23cos 2cos3sin 2sin 3cos5cos1OP OP ⋅=-=≠ ，故D 错误．故选AC ．10．【答案】ABD【解析】对于A ：1a =，()32f x x x =++，()2310f x x '=+>，()f x 单调递增，无极值点，故A 正确；对于B ：因为()()4f x f x +-=，所以函数()f x 的图象关于点()0,2中心对称，故B 正确；对于C ：设切点()()1,x f x ，则切线方程为()()()111y f x f x x x '-=-，因为过点()0,2，所以()()()112f x f x x '-=-，331111223x ax x ax ---=--，解得10x =，即只有一个切点，即只有一条切线，故C 错误；对于D ：()23f x x a '=+，当3a <-时，()0f x '=，x =，当,x ⎛∈-∞ ⎝时，()0f x '>，()f x 单调递增，当x ⎛∈ ⎝时，()0f x '<，()f x 单调递减，当x ⎫∈+∞⎪⎪⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增，()f x 有极大值为20f ⎛=> ⎝，所以若函数()f x 有3个零点，()f x 有极小值为20f =+<，得到3a <-，故D 正确．故选ABD ．11．【答案】AC【解析】∵π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴[]1sin 0,1x ∈，∴()[]12,4f x ∈，∵对任意的1π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都存在2π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()()123f x f x a =+成立，∴()2min 23f x α+≤，()2max 43f x α+≥，∴()2sin 2f x x =+，∴()2min 2sin 3x α+≤-，()2max 1sin 3x α+≥-，sin y x =在π3π,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减．在3π,2π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增．当3π4α=时，23π5π,44x α⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，()2max 3π1sin sin 043x α+=>>-，()2min5πsin sin 4x α+==23<-，故A 正确，当4π7α=时，24π15π,714x α⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，()2max 15π7π12sin sin sin 14623x α+=>=->-，故B 错误，当6π7α=时，26π19π,714x α⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，()2max 6π1sin sin 073x α+=>>-，()2min 19πsin sin 14x α+=<4π2sin33=<-，故C 正确，当8π7α=时，28π23π,714x α⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，()2max 8π9π1sin sin sin 783x α+=<=<-．故错误．故选AC ．三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12．【答案】π6【解析】由题知(OA = ，()0,3OB = ，cos ,OA OB OA OB OA OB⋅==⋅π6AOB ∠=．故本题答案为π6．13．【答案】(],2-∞【解析】当0m ≤时，函数2x y m m =-+的图象是由2xy =向上平移m 个单位后，再向下平移m 个单位，函数图象还是2xy =的图象，满足题意，当02m <≤时，函数2x y m m =-+图象是由2xy =向下平移m 个单位后，再把x 轴下方的图象对称到上方，再向上平移m 个单位，根据图象可知02m <≤满足题意，2m >时不合题意．故本题答案为(],2-∞．14．3【解析】不妨设01a b c ≤≤≤≤，则M =，≤=∴33M =+≤+≤，当且仅当b a c b -=-，0a =，1c =，即0a =，12b =，1c =时，等号成立．3+．四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．【解析】（1）因为cos sin 0a C C b c +--=，由正弦定理得sin cos sin sin sin 0A C A C B C +--=．即：()sin cos sin sin sin 0A C A C A C C +-+-=，()sin cos sin sin 0sin 0A C A C C C --=>cos 1A A -=，即π1sin 62A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为0πA <<，所以ππ66A -=，得π3A =；（2）选条件②：7a =．在ABC △中，由余弦定理得：2222cos a b c bc A =+-，即222π7816cos3c c =+-⋅．整理得28150c c -+=，解得3c =或5c =．当3c =时，ABC △的面积为：1sin 2ABC S bc A ==△，当c=5时，ABC △的面积为：1sin 2ABC S bc A ==△，选条件③：AC，设AC 边中点为M ，连接BM，则BM =，4AM =，在ABM △中，由余弦定理得2222cos BM AB AM AB AM A =+-⋅⋅，即2π21168cos3AB AB =+-⋅．整理得2450AB AB --=，解得5AB =或1AB =-（舍）．所以ABC △的面积为1sin 2ABC S AB AC A =⋅⋅=△．16．【解析】（1）()2.32.4k y a x x ⎛⎫=+-⎪-⎝⎭，[]2.55,2.75x ∈；（2）由题意可知要同时满足以下条件：()()[]0.2 2.3 1.2 2.8 2.32.42.55,2.75a a x a x x ⎧⎛⎫+-≥-⎪⎪-⎝⎭⎨⎪∈⎩，∴2.6 2.75x ≤≤，即单价最低定为2.6元/3m ．17．【解析】（1）()1122x x f x a =⨯+，因为()f x 是奇函数，所以()()f x f x -=-，所以11112222x x x x a a⎛⎫⨯+=-⨯+ ⎪⎝⎭，所以111202x xa ⎛⎫⎛⎫++=⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以110a +=，1a =-；（2）因为()122x x f x =-，[]1,2x ∈，所以22112222x x xx m ⎛⎫-≥- ⎪⎝⎭，所以122x x m ≥+，[]1,2x ∈，令2xt =，[]1,2x ∈，[]2,4t ∈，由于1y t t=+在[]2,4单调递增，所以117444m ≥+=．18．【解析】（1）()f x 的定义域为()0,+∞，()1ln f x x '=-，当()0f x '=时，e x =，当()0,e x ∈时，()0f x '>，当()e,x ∈+∞时，()0f x '<，故()f x 在区间()0,e 内为增函数，在区间()e,+∞为减函数；（2）()2e 0f =，()22e 1ln e 1f '=-=-，所以()()22e ,ef 处切线方程为：()()201e y x -=--，即2e 0x y +-=；（3）先证122e x x +>，由（1）可知：2120e e x x <<<<，要证12212e 2e x x x x +>⇔>-，也就是要证：()()()()21112e 2e f x f x f x f x <-⇔<-，令()()()2e g x f x f x =--，()0,e x ∈，则()()()2ln 2e 2ln e 2e e 0g x x x '=--≥--=，所以()g x 在区间()0,e 内单调递增，()()e 0g x g <=，即122e x x +>，再证212e x x +<，由（2）可知曲线()f x 在点()2e ,0处的切线方程为()2e x x ϕ=-，令()()()()()222ln e 3ln e m x f x x x x x x x x ϕ=-=---+=--，()2ln m x x '=-，∴()m x 在e x =处取得极大值为0，故当()0,e x ∈时，()()f x x ϕ<，()()12m f x f x ==，则()()2222e m f x x x ϕ=<=-，即22e m x +<，又10e x <<，()()111111112ln 1ln m f x x x x x x x x ==-=+->，∴2122e x x m x +<+<．19．【解析】（1）将20分成正整数1,,n x x ⋅⋅⋅之和，即120n x x =+⋅⋅⋅+，假定乘积1n p x x =⋅⋅⋅已经最大．若11x =，则将1x 与2x 合并为一个数1221x x x +=+，其和不变，乘积由122x x x =增加到21x +，说明原来的p 不是最大，不满足假设，故2i x ≥，同理()21,2,,i x i n ≥=⋅⋅⋅．将每个大于2的22i i x x =+-拆成2，2i x -之和，和不变，乘积()224i i i x x x -≤⇒≤．故所有的i x 只能取2，3，4之一，而42222=⨯=+，所以将i x 取2和3即可．如果2的个数≥3，将3个2换成两个3，这时和不变，乘积则由8变成9，故在p 中2的个数不超过2个．那只能是202333333=++++++，最大乘积为6321458⨯=；（2）①证明：先证：1ex x -≥．令()1e x f x x -=-，则()1e 1x f x -'=-，()10f '=，且()()10f x f ≥=，1-≥1,2,,i n =⋅⋅⋅，1111--≥=，1n ≥0n ≥，∴12n a a a n++⋅⋅⋅+≥②让n 固定，设n 个正实数1,,n x x ⋅⋅⋅之和为20，120n x x n n +⋅⋅⋅+≤=，1220nn p x x x n ⎛⎫=⋅⋅⋅≤ ⎪⎝⎭，要是20nn ⎛⎫ ⎪⎝⎭最大，20ln nn ⎛⎫⎪⎝⎭最大即可，令()()20ln ln 20ln tg t t t t ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，其中*t ∈N ，()20ln ln e g t t '=-，∴7t ≤时，()g t 单调递增，8t ≥时，()g t 单调递减，而()()()()87787ln 207ln 78ln 208ln 8ln 8ln 7200g g -=---=-⨯>，所以这些正实数乘积的最大值为7207⎛⎫⎪⎝⎭．。
2024学年合肥一六八中学高三月考(八)数学试题试卷
2024学年合肥一六八中学高三月考（八）数学试题试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数，其中04?,?04b c ≤≤≤≤，记函数满足条件：(2)12{(2)4f f ≤-≤为事件A ，则事件A发生的概率为 A ．14B ．58C ．38D ．122．下列说法正确的是（ ）A ．“若1a >，则1a >”的否命题是“若1a >，则21a <”B ．在ABC 中，“A B >”是“sin sin A B >”成立的必要不充分条件 C ．“若tan 1α≠，则4πα≠”是真命题D ．存在0(,0)x ∈-∞，使得0023x x <成立 3．执行如图所示的程序框图若输入12n =，则输出的n 的值为（ ）A ．32B ．2C ．52D ．34．已知函数13()sin cos 22f x x x =+，将函数()f x 的图象向左平移(0)m m >个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是（ ） A ．6πB ．4π C ．3π D ．2π 5．已知函数()()()1sin,13222,3100x x f x f x x π⎧-≤≤⎪=⎨⎪-<≤⎩，若函数()f x 的极大值点从小到大依次记为12,?··n a a a ，并记相应的极大值为12,,?··n b b b ，则()1niii a b =+∑的值为（ ）A ．5022449+B ．5022549+C ．4922449+D ．4922549+6．如图所示的程序框图，当其运行结果为31时，则图中判断框①处应填入的是（ ）A ．3?i ≤B ．4?i ≤C ．5?i ≤D ．6?i ≤7．已知实数x ，y 满足约束条件2202202x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，则22x y +的取值范围是（ ）A ．25,225⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．4,85⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．2,85⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[]1,88．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积（ ）A ．623+B ．622+C ．442+D ．443+9．已知复数，则的共轭复数在复平面对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限10．已知复数z 满足()125z i ⋅+=（i 为虚数单位），则在复平面内复数z 对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限11．5()(2)x y x y +-的展开式中33x y 的系数为( ) A ．－30 B ．－40C ．40D ．5012．已知π3π,22α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()3tan π4α-=-，则sin cos αα+等于（ ）．A ．15±B ．15-C ．15D ．75-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
安徽省合肥市一六八中学2020届高三数学上学期第四次模拟考试试题理含解析
综上：x的取值X围是 .
故选：B
【点睛】本题考查了抽象函数不等式，要根据区间单调性不同分情况求解，考查了分类讨论思想，属于中档题.
前 项和为 ，且满足 ， ，则使 最大项的 为（ ）
A. 10B. 19C. 20D. 11
【答案】B
【解析】
【分析】
由已知可得 ； ，问题得解.
【详解】由等差数列的性质可知：
为等差数列，且满足 ，则数列 的前11项和为（ ）
A. 40B. 45C. 50D. 55
【答案】Dຫໍສະໝຸດ 【解析】【分析】根据等差数列下标和性质，以及前 项和性质，即可求解.
【详解】因为数列 为等差数列，故
等价于 ，故可得 .
又根据等差数列前 项和性质 .
故选：D.
【点睛】本题考查等差数列通项公式的性质，以及前 项和的性质，属基础题.
（2）建立空间直角坐标系，有已知可得 ，即 ，问题得解.
【详解】（1） 在平面 上的射影为 ，
平面 ，
又 平面 ，
又平行四边形 中， ，
，且
平面
又 平面 ，
设 ，则
当 ，即 时 取得最大值
（2）由（1）知锐二面角 即
以O为原点建立如下空间坐标系
则
于是 ，
由 ，得
即
解得 ，又 为锐角，
【点睛】本题考查了线面垂直的证明，求三棱锥的体积以及空间向量的应用，考查了逻辑推理能力，属于中档题.
【点睛】本题考查了递推作差法求数列通项公式，考查了分组求和法和错位相减法求数列前n项和，考查了计算能力，属于中档题.
19.如图，平行四边形 中， ， ， ，沿 将 折起，且 在平面 上 射影为 .
（1）求三棱锥 的体积最大值.
安徽省合肥一六八中学高三年级理科数学第六次周测试卷
语文课本中的文章都是精选的比较优秀的文章,还有不少名家名篇。如果有选择循序渐进地让学生背诵一些优秀篇目、精彩段落,对提高学生的水平会大有裨益。现在,不少语文教师在分析课文时,把文章解体的支离破碎,总在文章的技巧方面下功夫。结果教师费劲,学生头疼பைடு நூலகம்分析完之后,学生收效甚微,没过几天便忘的一干二净。造成这种事倍功半的尴尬局面的关键就是对文章读的不熟。常言道“书读百遍,其义自见”,如果有目的、有计划地引导学生反复阅读课文,或细读、默读、跳读,或听读、范读、轮读、分角色朗读,学生便可以在读中自然领悟文章的思想内容和写作技巧,可以在读中自然加强语感,增强语言的感受力。久而久之,这种思想内容、写作技巧和语感就会自然渗透到学生的语言意识之中,就会在写作中自觉不自觉地加以运用、创造和发展。
安徽省合肥一六八中学(东校区)2024届高三下学期最后一卷(三模) 数学试卷【含答案】
2024届东区高三最后一卷数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}{}2N 2150,sin A x x x B y y x =∈--≤==，则A B = （）A ．{}11x x -≤≤B ．{}0,1C ．{}1,0,1-D ．{}22．设,,αβγ是三个不同平面，且,l m αγβγ== ，则αβ∥是l m 的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．函数()24x f x x-=的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．4．已知π31sin ,ln ,522a b c ===，则（）A ．a b c >>B ．c a b>>C ．c b a>>D ．a c b>>5．已知2sin 1αα=+，则πsin 26α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A ．18-B ．78-C ．34D ．786．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项11a =-，且满足()122n n nS a n S -+=≥，则6S =（）A ．13B ．37C ．717D ．17417．已知12,F F 分别为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点，点A 是C 上一点，点B 满足1223BF BF =-，1214120F AF F AB ∠=∠=︒，则C 的离心率为（）AB C D 8．设a ∈R ，函数()1221,0,0x x f x x ax x -⎧-≥⎪=⎨-+<⎪⎩，若函数()()y f f x =恰有5个零点，则实数a 的取值范围为（）A ．()2,2-B ．()0,2C ．[)1,0-D ．(),2-∞-二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．若12,z z 是复数，则下列命题正确的是（）A ．1212z z z z ⋅=⋅B ．若2121z z z =，则12z z +是实数C ．若1212z z z z -=+，则120z z =D ．方程211560z z -+=在复数集中有6个解10．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，M 分别为线段1AD ，1A C 的中点，点N 在线段11B C 上，且[]()1110,1B N B C λλ=∈，则（）A ．平面EMN 截正方体得到的截面多边形是矩形B ．平面1AD M ⊥平面1AB CC ．存在λ，使得平面EMN ⊥平面1AB CD ．当13λ=时，平面EMN 11．已知函数()(),f x g x 的定义域为(),g x 'R 为()g x 的导函数，且()()80f x g x '+-=，()()2680f x g x '----=，若()g x 为偶函数，则下列一定成立的（）A ．()40g '=B ．()()1316f f +=C ．()20246f =D ．20241()18000n f n ==∑三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．北京时间2024年4月26日5时04分，神舟十七号航天员乘组（汤洪波，唐胜杰，江新林3人）顺利打开“家门”，欢迎远道而来的神舟十八号航天员乘组（叶光富、李聪、李广苏3人）入驻“天宫”．随后，两个航天员乘组拍下“全家福”，共同向全国人民报平安．若这6名航天员站成一排合影留念，叶光富不站最左边，汤洪波不站最右边，则不同的排法有．13．已知函数()21cos cos (0)2f x x x x ωωωω=++>在区间[)0,π上只有一个零点和两个最大值点，则ω的取值范围是．14．已知曲线C 的方程为24y x =，过()2,0M 作直线与曲线C 分别交于A B 、两点．过A B 、作曲线C 的切线，设切线的交点为()00,N x y ．则2200008421x y x y ++-+的最小值为．四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字、说明证明过程或演算步骤．15．如图，某人开车在山脚下水平公路上自A 向B 行驶，在A 处测得山顶P 处的仰角30PAO ∠=︒，该车以45km /h 的速度匀速行驶4分钟后，到达B 处，此时测得仰角45PBO ∠=︒，且3cos 3AOB ∠=.(1)求此山的高OP 的值；(2)求该车从A 到B 行驶过程中观测P 点的仰角正切值的最大值．16．如图一：等腰直角ABC 中AC AB ⊥且2AC =，分别沿三角形三边向外作等腰梯形222333,,ABB A BCC B CAA C 使得22232π1,3AA BB CC CAA BAA ===∠=∠=，沿三边,,AB BC CA 折叠，使得232323,,A A B B C C ，重合于111,,A B C ，如图二(1)求证：111AA B C ⊥．(2)求直线1CC 与平面11AA B B 所成角θ的正弦值．17．在2024年高考前夕，合肥一六八中学东校区为了舒展年级学子身心，缓解学子压力，在一周内（周一到周五）举行了别开生面“舞动青春，梦想飞扬”的竞技活动，每天活动共计有两场，第一场获胜得3分，第二场获胜得2分，无论哪一场失败均得1分，某同学周一到周五每天都参加了两场的竞技活动，已知该同学第一场和第二场竞技获胜的概率分别为(01)p p <<、23，且各场比赛互不影响．(1)若13P =，记该同学一天中参加此竞技活动的得分为ξ，求ξ的分布列和数学期望；(2)设该同学在一周5天的竞技活动中，恰有3天每天得分不低于4分的概率为()f p ，试求当p 取何值时，()f p 取得最大值．18．已知动点P 与定点(),0A m 的距离和P 到定直线2n x m=的距离的比为常数m n ，其中0,0m n >>，且m n ≠，记点P 的轨迹为曲线C ．(1)求C 的方程，并说明轨迹的形状；(2)设点(),0B m -，若曲线C 上两动点,M N 均在x 轴上方，AM BN ，且AN 与BM 相交于点Q ．当4m n ==时，（ⅰ）求证：11AM BN+为定值（ⅱ）求动点Q 的轨迹方程．19．把满足任意,R x y ∈总有()()()()2f x y f x y f x f y ++-=的函数称为和弦型函数.(1)已知()f x 为和弦型函数且()514f =，求()()0,2f f 的值；(2)在（1）的条件下，定义数列：()()()21n a f n f n n +=+-∈N ，求122024222log log log 333a a a++⋅⋅⋅⋅⋅⋅的值；(3)若()g x 为和弦型函数且对任意非零实数t ，总有()1g t >．设有理数12,x x 满足21x x >，判断()2g x 与()1g x 的大小关系，并给出证明．1．B【分析】先求出集合,A B ，再根据交集的定义即可得解.【详解】{}{}25N 2150N 30,1,2,32A x x x x x ⎧⎫=∈--≤=∈-≤≤=⎨⎬⎩⎭，{}[]sin 1,1B y y x ===-，所以{}0,1A B = .故选：B.2．A【分析】利用面面平行的性质定理，及它们之间的推出关系，即可以作出判断.【详解】由于αβ∥，,l m αγβγ== ，由平面平行的性质定理可得：l m ，所以αβ∥是l m 的充分条件；但当lm ，,l m αγβγ== ，并不能推出αβ∥，也有可能,αβ相交，所以αβ∥是l m 的不必要条件；故选:A.3．D【分析】根据函数奇偶性、在()2,∞+上的单调性、函数值()1f 的正负情况依次判断和排除ABC ，即可得解.【详解】由题()f x 定义域为()(),00,∞∞-⋃+关于原点对称，且()()()2244x x f x f x xx----==-=--，故()f x 是奇函数，故A 错；当2x >时，()22444x x f x x xx x--===-，又y x =是增函数，4y x=-在()2,∞+上是增函数，故()4f x x x=-在()2,∞+上是增函数，故BC 错；故选：D.4．D【分析】利用正弦函数的单调性可得a c >，利用导数可证不等式ln 1(1)x x x <->成立，故可判断b c <，故可得三者大小关系.【详解】ππ1sinsin 562a c =>==，设()ln 1,1f x x x x =+->，则()10xf x x-'=<，故()f x 在()1,+∞上为减函数，故()()10f x f <=即ln 1(1)x x x <->，所以33ln 122b c =<-=，故a c b >>，故选：D.5．D【分析】先由辅助角公式得π1sin 34α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，再利用诱导公式和余弦二倍角公式即可求解.【详解】由2sin 1αα=+得sin cos αα⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭14122，即π1sin 34α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以2πππππ7sin 2sin 2cos 212sin 623238αααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=-=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故选：D 6．D【分析】借助n a 与n S 的关系并化简可得112n n S S -=+，结合111S a ==-，逐项代入计算即可得解.【详解】由()122n n n S a n S -+=≥可得111122n n n n n n S S S S S S ---+=-⇒=+，所以11a =-可得21112S S ==+，34562345111317117,,,2327217241S S S S S S S S ========++++.故选：D 7．B【详解】根据题意，过点1F 作12//F D AF ，交AB 的延长线于点D ，由双曲线的定义结合余弦定理代入计算，再由离心率的计算公式，即可得到结果.【分析】由1214F AF F AB ∠=∠=120 ，得290BAF ∠=︒，130F AB ∠=︒．因为1223BF BF =- ，所以点B 在线段12F F 上，且1232F B BF =．如图，过点1F 作12//F D AF ，交AB 的延长线于点D ，则1F D AD ⊥，所以2111,2AF B DF B AF F D = ∽，所以221123AF BF DF BF ==．设22AF m =，则13F D m =，所以16AF m =．由双曲线的定义可知12622AF AF m m a -=-=，所以2a m =，则21,3AF a AF a ==．设()()12,0,,0F c F c -，则122F F c =．在12AF F △中，由余弦定理，得222121212122cos F F AF AF AF AF F AF =+-∠，即222214923132c a a a a a ⎛⎫=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，所以22134c a =，则132e =（负值已舍去）．故选：B ．【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于结合双曲线的定义以及余弦定理代入计算.8．D【分析】设()t f x =，可确定当0x ≥时，函数的零点个数，继而作出()y f x =的大致图像，考虑0x <时的图象情况，分类讨论，将零点问题转化为函数图象的交点问题，数形结合，即可解决.【详解】设()t f x =，当0x ≥时，()121x f x -=-，此时0t ≥，由()0f t =得1t =，即()1211x f x -=-=，解得0x =或2x =，所以()()y f f x =在[)0,∞+上有2个零点；0x <时，若()20,a f x x ax ≥=-+，对称轴为2ax =，函数()y f x =的大致图象如图：此时()20f x x ax =-+<，即0t <，则()0f t <，所以()0f t =无解，则()t f x =无零点，()()y f f x =无零点，综上，此时()()y f f x =只有两个零点，不符合题意，若0a <，此时()f x 的大致图象如下：令20t at -+=，解得0t a =<（0=t 舍去），显然()f x a =在(),0∞-上存在唯一负解，所以要使()()y f f x =恰有5个零点，需12a f ⎛⎫> ⎪⎝⎭，即22142a a -+>，解得2a <-，所以(),2a ∞∈--．故选：D【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：（1）直接法:直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法:先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决;（3）数形结合法:先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.9．AD【分析】根据复数运算对选项进行分析，从而确定正确选项.【详解】对于A ，由复数共轭的性质知，设12i,i,z a b z c d a b c d =+=+∈R 、、、，则()()()()()()1212i,i i i z z ac bd ad bc z z a b c d ac bd ad bc ⋅=--+⋅=--=--+，所以1212z z z z ⋅=⋅，选项A 正确；对于B ，当10z =时满足题设等式，但12z z +不一定为实数，故B 错误；对于C ：()()1212,i i z z z z a c b d a c b d -=+-+-=+++，整理得2222()()()()a c b d a c b d -+-=+++，故2222ac bd ac bd --=+，整理得0ac bc +=，与120z z =不等价，故C 错误；对于D ，211560z z -+=可化为2(i)60a b +-+=，即()222i 60a b ab -+-+=，所以222060ab a b =⎧⎪⎨--=⎪⎩，当0a =时，2||560b b +-=，解得1b =±；当0b =时，2560a a -+=，解得2a =±或3a =±；所以复数集中原方程有6个解，选项D 正确；故选：AD 10．ABC【分析】根据题意，由面面平行的判定定理即可判断A ，由面面垂直的判定定理即可判断BC ，由条件求得NH 的长，即可判断D.【详解】如图，连接1A D ，1BC ，1B C ，则11A D AD E ⋂=，由正方体的性质可得点E 是侧面11ADD A 的中心，点M 是正方体的中心，所以连接EM 并延长交侧面11BCC B 于点P ，则点P 是侧面11BCC B 的中心，且PE AB ．设平面EPN 交11A D 于点F ，交AD 于点G ，交BC 于点H ，连接NF ，GH ，因为平面//ABC 平面1111D C B A ，所以GH NF ∥，GH NF =．因为PE AB ，AB ⊂平面ABCD ，所以PE ∥平面ABCD ，又GH Ì平面ABCD ，所以PE GH ∥，所以AB GH ∥，易知AB HN ⊥，所以GH HN ⊥，所以平面EMN 截正方体得到的截面多边形NFGH 是矩形，A 正确；因为点M 是正方体的中心，所以1D ，M ，B 三点共线，所以平面1AD M 即为平面11ABC D ，因为11BC B C ⊥，1AB B C ⊥，1AB BC B =I ，AB ，1BC ⊂平面11ABC D ，所以1B C ⊥平面11ABC D ，又1B C ⊂平面1AB C ，所以平面1AB C ⊥平面11ABC D ，即平面1AB C ⊥平面1AD M ，B 正确；当1λ=时，点N 与点1C 重合，平面EMN 即为平面11ABC D ，由B 选项可知平面1AB C ⊥平面11ABC D ，即平面1AB C ⊥平面EMN ，C 正确；当13λ=时，12433C N BH BC ===，则12433FD AG AD ===，又2GH =，NH =所以截面多边形NFGH 的面积为210410233⨯=，D 错误．故选:ABC ．11．AB【分析】由()g x 是偶函数可得()g x '是奇函数，()00g '=，进而结合已知证明()g x '是周期函数，且周期为4即可判断A 选项；对已知条件分别令1x =和5x =得并联立方程即可判断B 选项；根据()()2024202480f g '+-=，()g x '是周期函数求解即可判断C ；根据()()()202420242024111820248n n n f n g n g n ===⎡⎤='-=⨯-⎣⎦'∑∑∑，结合()g x '的周期性求解即可.【详解】解：由()g x 是偶函数，则()()g x g x -=，两边求导得()()g x g x '--='，所以()g x '是奇函数，故()00g '=．对于A ，由()()80f x g x -'+=，得()()2280f x g x -'-+-=，所以()()282f x g x -=--'，代入()()2680f x g x ----='，得()()82680g x g x ''-----=，又因为()g x '是奇函数，所以()()()266g x g x g x -=--'='-'，()()6266g x g x +-=+'-'，即()()4g x g x +'='，所以()g x '是周期函数，且周期为()()4,040g g ='='，故A 正确；对选项B ，令1x =得，()()1180f g +'-=，令5x =得，()()3180f g -'-=，故()()1316f f +=，故B 正确；对于C ：令2024x =，得()()2024202480f g '+-=，因为()g x '是周期函数，且周期为4，()()()2024450544g g g =⨯+='''所以()()2024480f g '+-=，因为()40g '=，所以()20248f =，故C 错误；对于D ：由()()80f x g x -'+=得()()8f x g x =-'，()()()202420242024111820248n n n f n g n g n ===⎡⎤='-=⨯-⎣⎦'∑∑∑，由A 选项知()()26g x g x -=-'-'，令3x =得()()13g g '=-'，故()()130g g ''+=，因为()g x '是周期函数与奇函数，且周期为4，所以()()()222g g g =-=-'''，即()20g '=，因为()40g '=，所以()()()()12340g g g g ''''+++=所以()()()()()()20242024112024816192506123416192n n f n g n g g g g =='''''⎡⎤=⨯-=-⨯+++=⎣⎦∑∑故D 错误．故选：AB【点睛】方法点睛：函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题.12．504【分析】本题考查排列中分类加法计数原理和分步乘法计数原理.根据题目要求，分两类进行讨论，第一类叶光富在最右侧，第二类叶光富不在最右侧.然后根据分类加法计数原理相加即可得到答案.【详解】根据叶光富不站最左边，可以分为两种情况：第一种情况：叶光富站在最右边，此时剩余的5人可以进行全排列，共有55A 120=种排法.第二种情况：叶光富不站在最右边，根据题目条件叶光富不站最左边，此时叶光富有4种站法.根据题目条件汤洪波不站在最右边，可知杨洪波只有4种站法.剩余的4人进行全排列,共有4444A 384⨯⨯=种排法，由分类加法计数原理可知，总共有120384504+=种排法．故答案为：50413．75,63⎛⎤ ⎥⎝⎦【分析】先将()f x 化简为πsin 216x ω⎛⎫++ ⎪⎝⎭，再根据()f x 在区间[)0,π上只有一个零点和两个最大值点，结合正弦型三角函数的处理办法求出ω的取值范围.【详解】()21cos cos 2f x x x x ωωω=++12cos212x x ωω=++πsin 216x ω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，由[)0,πx ∈，0ω>，得πππ2,2π666x ωω⎡⎫+∈+⎪⎢⎣⎭，()0f x =时，πsin 216x ω⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，()f x 最大时，πsin 26x ω⎛⎫+ ⎪⎝⎭也最大，若()f x 在区间[)0,π上只有一个零点和两个最大值点，则只需5ππ7π2π262ω<+≤，解得7563ω<≤．故答案为：75,63⎛⎤⎥⎝⎦.14．5【分析】根据题意，写出过,A B 两点的切线方程，根据其都过N ，进而求得AB 方程，结合其过点M ，求得02x =-，即为N 的轨迹方程，再求目标式的最小值即可.【详解】设,A B 两点坐标为()()2233,,,x y x y，故过A 点的切线方程为：2222=+y y x x ，又其过点()00,N x y ，则200222y y x x =+；同理，过B 点的切线方程为：3322y y x x =+，又其过点()00,N x y ，则300322y y x x =+；由200222y y x x =+以及300322y y x x =+可得，AB 方程为：0022yy x x =+，根据题意可得，AB 过点()2,0M ，则0240x +=，即02x =-，故动点N 的轨迹方程为：2x =-；则2200008421x y x y ++-+()220049255y y y =-+=-+≥，当且仅当02y =取得等号.下证：过抛物线24y x =上的一点()11,x y 的切线方程为：1122y y x x =+：当10y =时，10x =，也即过原点作抛物线切线，显然其为0x =，满足1122y y x x =+；当10y ≠时，对24y x =求导可得24yy '=，即y '2y=，故过点()11,x y 的切线的斜率为12k y =，则过点()11,x y 的切线方程为：()1112y y x x y -=-，211122y y y x x -=-，又2114y x =，则切线方程为：1122y y x x =+；综上所述：过抛物线24y x =上的一点()11,x y 的切线方程为：1122y y x x =+.故答案为：5.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键，一是，能够准确写出过抛物线上一点的切线方程，在小题中可直接使用二级结论，从而加快解题速度；二是，根据题意，求出切点弦方程，进而求得N 点的轨迹方程；属综合困难题.15．(1)2【分析】（1）设km OP x =，由锐角三角函数表示出AO 、BO ，再在AOB 中利用余弦定理计算可得；（2）设C 是线段AB 上一动点，连接,OC PC ，即可得到点C 处观测P 点的仰角为PCO ∠，且tan PCO ∠=OC 的最小值，即可得解.【详解】（1）设km OP x =，在PAO 中，因为tan PO PAO AO ∠=，所以tan 30xAO ==︒，同理，在PBO 中，tan 45xBO x ==︒，在AOB 中，由余弦定理得22222cos 6AB AO BO AO BO AOB x =+-⋅∠=，由445360AB =⨯=，所以296x =，解得2x =（负值已舍去），所以此山的高OP为2km ；（2）由（1）得3232BO AO AB ===，设C 是线段AB 上一动点，连接,OC PC ，则在点C 处观测P 点的仰角为PCO ∠，且6tan 2PO PCO OC OC∠==，因为3cos 3AOB ∠=-，0<πAOB ∠<，所以sin 3AOB ∠=，当OC AB ⊥时，OC 最短，记最小值为d ，由11sin 22AOB S AO BO AOB AB d =⋅∠=⋅△，即163261322232d ⨯⨯=⨯，解得22d =，所以6tan 2PCO OC ∠=≤所以该车从A 到B 行驶过程中观测P16．(1)证明见解析【分析】（1）补全图形得到三棱锥-P ABC ，由线面垂直证得111AA B C ⊥；（2）思路一：建立空间直角坐标系，运用向量求解线面角；思路二：等体积法求得C 到平面PAB 的距离，再用几何法求得线面角.【详解】（1）延长11,AA CC 交于点1,P 过1C 作1C M AC ⊥于M ，过1A 作1A N AC ⊥于N ，又四边形11AA C C 为等腰梯形，则111π2cos 13A C AC AA =-=，则112AC AC =，又11//AC AC ，所以111P A AA =，1C 为1PC 的中点，延长11,AA BB 交于点2P ，则211P A AA =，1B 为2P B 的中点，则1121P A P A =，1P ∴与2P 重合于点P ，-P ABC 为三棱锥，设O 为BC 中点，等腰直角ABC 中,AC AB AO BC =∴⊥，又 1C 为PC 的中点，1B 为PB 的中点，111CC BB ==，∴2PB PC ==，PO BC ∴⊥，又,,AO PO O AO PO =⊂ 平面PAO BC ∴⊥平面PAO ，又1AA ⊂平面PAO ，111111,//,BC AA BC B C B C AA ∴⊥∴⊥ .（2）方法一：2222,,,BC PB PC PB PC BC PC PB ====∴+=∴⊥ O为中点，12PO BC ∴==又222122,,AO PA AA PO AO PA PO AO ===∴+=∴⊥ ，以O 为坐标原点，,,OA OB OP 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则)()((),,,0,AB P C，(CP ∴=，(AP =，(0,BP = ，设平面PAB 的法向量为(),,n x y z = ，则00AP n BP n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩00⎧+=⎪⇒⎨+=⎪⎩，取1x =，则()1,1,1n =，所以sin cos ,CP n θ==所以直线1CC 与平面11AA B B 所成角θ的正弦值为63.方法二：222222222,2,,,BC PB PC PB PC BC PC PB =+===∴+=∴⊥ O 为中点，122PO BC ∴==PO BC ⊥，又22212,22,,AO PA AA PO AO PA PO AO ===∴+=∴⊥ ，又BC AO O ⋂=，,BC AO ⊂平面ABC ，∴PO ⊥平面ABC ，2PA PB AB ===，PAB 为等边三角形，设C 到平面PAB 的距离为h ，,P ABC C PAB V V --= ∴1111π22222sin 32323h ⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯，266sin 33h h PC θ∴=∴==.所以直线1CC 与平面11AA B B 所成角θ6.17．(1)分布列见解析，103(2)35【分析】（1）根据题意得到ξ可能的取值，求出对应的概率，进而得到分布列和期望；（2）先求出一天得分不低于4分的概率，再用二项分布的概率公式求出()f p ，利用导数即可求得()f p 取最值时p 的值.【详解】（1）由题可知，ξ的可能取值为2,3,4,5．因为13P =，所以()()2122242,3339339P P ξξ==⨯===⨯=，()()1111224,5339339P P ξξ==⨯===⨯=，故ξ的分布列为：ξ2345P29491929ξ的数学期望()241210234599993E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=.（2）设一天得分不低于4分为事件A ，则()2133P A p p p =⨯+⨯=，则()332325(1)10(1),01f p C p p p p p =-=-<<，则()()()()223230(1)20110135f p p p p p p p p =---=--'，当305p <<时，()0f p '>；当315p <<时，()0f p '<所以()f p 在30,5⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在3,15⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，故当35p =时，()f p 取得最大值．18．(1)答案见解析(2)（i ）证明见解析；（ⅱ）221(0)9x y y +=>【分析】（1）设(),P x y ，由题意可得222221x y n n m +=-，结合椭圆、双曲线的标准方程即可求解；（2）设点()()()112233,,,,,M x y N x y M x y '，其中120,0y y >>且32x x =-，23y y =-.（ⅰ）由AM BN 可知,,M A M'三点共线且BN AM ='，设直线MM '的方程为x ty =+联立C的方程，利用韦达定理表示出11AM BN+，化简计算即可得证；（ⅱ）由椭圆的定义及平行线对应线段成比例性质可得()8AM BN BQ AM BN-⋅=+，()8BN AM AQ AM BN-⋅=+，化简AQ BQ+结合（i ）可得6AQ BQ +=，从而可得点Q 的轨迹方程.【详解】（1）设点(),P x y m n =，即222()m x m y x n n ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭，经化简，得C 的方程为222221x y n n m +=-，当m n <时，曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆；当m n >时，曲线C 是焦点在x 轴上的双曲线．（2）当4m n ==时，由（1）可知C的方程为()()221,,168x y A B +-，设点()()()112233,,,,,M x y N x y M x y '，其中120,0y y >>且32x x =-，23y y =-（i ）证明：因为AM BN=因此，,,M A M '三点共线，且BN AM =='=，设直线MM '的方程为x ty =+C 的方程，得()22280t y ++-=，0∆>，则131322428,22y y y y t t +==++，由（1）可知113224,422AM x BN AM x ==-==-'，所以1313131344222222112222x x ty ty AM BN AM BN AM BN ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++=⋅--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()21321313442221142t y y t y y t y y ⎛⎫-⋅- ⎪++==++（定值），（ⅱ）由椭圆定义8BQ QM MA ++=，得8QM BQ AM =--，8,AM QM BQ AMAM BN BNBQBQ--∴==，解得()8AM BNBQ AM BN-⋅=+，同理可得()8BN AMAQ AM BN-⋅=+，所以()()88BN AM AM BN AQ BQ AM BNAM BN-⋅-⋅+=+++()82AM BN AM BNAM BN+-⋅=+2882611AM BN=-=-=+．所以，点Q 在以点A B 、为焦点长轴长为6的椭圆上，由于点M N 、均在x 轴上方，所以动点Q 的轨迹方程为221(0)9x y y +=>【点睛】方法点睛:求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关.（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.19．(1)()01f =；()2187f =(2)2047276(3)()()21g x g x >，证明见解析【分析】（1）利用所给定义，使用赋值法分别令1,0x y ==、1,1x y ==代入计算即可得解；（2）令,1x n y ==代入计算可得12n n a a -=，即可得其通项公式，结合对数运算与等差数列求和公式计算即可得解；（3）令12,a b x x N N ==，数列{}n C 满足n n C g N⎛⎫= ⎪⎝⎭，从而只需证明数列{}n C 为递增数列即可得证.【详解】（1）令1,0x y ==，则()()()()11210+=f f f f ，可得()01f =，令1,1x y ==，则()()()()20211f f f f +=，则()2187f =；（2）令,1,x n y n +==∈N ，则()()()()()511212f n f n f n f f n ++-==，()()()()21221f n f n f n f n +-=--⎡⎤⎣⎦，即12n n a a -=，又13a =，所以数列n a 为以2为公比，3为首项的等比数列，即13.2n n a -=，则202412222log log log 012023333a a a++⋅⋅⋅⋅⋅⋅=++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+()020232026=20442727+=⨯；（3）由题意得：函数()f x 定义域为R ，定义域关于原点对称，令0,x y =为任意实数，则()()()()()202f y f y f f y f y +-==，即()()()g f y f y x =-，是偶函数，21,x x 为有理数，不妨设121212,p px x q q ==，令N 为21,x x ，分母的最小公倍数，且12,,,a bx x a b N N==均为自然数，且a b <，设()1,01n n n C g g g N N -⎛⎫⎛⎫==< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则01c c <，令1,n x y N N ==，则112n n n g g g N N N +-⎛⎫⎛⎫⎛⎫+> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即112n n n C C C +-+>，()1112n n n n n n n C C C C C C C +-->-=+->，故数列{}n C 单调递增，则()()21g x g x >，又()g x 是偶函数，所以有()()21g x g x >.【点睛】关键点点睛：根据递推关系的特点，灵活应用特殊值法求函数值及函数关系，最后一问需根据有理数的性质：令12,a b x x N N ==，将问题转化为判断n nC g N⎛⎫= ⎪⎝⎭的增减性.。
2024届合肥一六八中学数学高三第一学期期末学业质量监测试题含解析
2024届合肥一六八中学数学高三第一学期期末学业质量监测试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知(),A A A x y 是圆心为坐标原点O ，半径为1的圆上的任意一点，将射线OA 绕点O 逆时针旋转23π到OB 交圆于点(),B B B x y ，则2AB yy +的最大值为（ ）A ．3B ．2C ．3D ．52．双曲线的离心率为，则其渐近线方程为 A ．B ．C ．D ．3．已知双曲线22221x y a b-= (a>0，b>0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线l 与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率e 的取值范围是（ ） A ．[2,)+∞B ．(1,2),C ．(2,)+∞D ．(1,2]4．,,a b αβαβ//////，则a 与b 位置关系是 ( ) A ．平行 B ．异面C ．相交D ．平行或异面或相交5．已知向量0,2a ，()23,b x =，且a 与b 的夹角为3π，则x =（ ）A ．-2B ．2C ．1D ．-16．要得到函数32sin 2y x x =-的图像，只需把函数sin 232y x x =的图像（ ）A ．向左平移2π个单位 B ．向左平移712π个单位 C ．向右平移12π个单位D ．向右平移3π个单位 7．设2log 3a =，4log 6b =，0.15c -=，则（ ） A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．c b a >>8．若函数2sin(2)y x ϕ=+的图象过点(,1)6π，则它的一条对称轴方程可能是（ ）A ．6x π=B ．3x π=C ．12x π=D ．512x π=9．从某市的中学生中随机调查了部分男生，获得了他们的身高数据，整理得到如下频率分布直方图：根据频率分布直方图，可知这部分男生的身高的中位数的估计值为 A ．171.25cm B ．172.75cm C ．173.75cmD ．175cm10．已知三棱锥P ABC -中，ABC ∆是等边三角形，43,25,AB PA PC PA BC ===⊥，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为（ ） A ．25πB ．75πC ．80πD ．100π11．20201i i=-（ ） A ．22B ． 2C ．1D ．1412．已知盒中有3个红球，3个黄球，3个白球，且每种颜色的三个球均按A ，B ，C 编号，现从中摸出3个球（除颜色与编号外球没有区别），则恰好不同时包含字母A ，B ，C 的概率为（ ） A ．1721B ．1928C ．79D ．2328二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
安徽省合肥一六八中学2025届高三六校第一次联考数学试卷含解析
安徽省合肥一六八中学2025届高三六校第一次联考数学试卷注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图，四边形ABCD 为正方形，延长CD 至E ，使得DE CD =，点P 在线段CD 上运动.设AP x AB y AE =+，则x y +的取值范围是（ ）A ．[]1,2B ．[]1,3C ．[]2,3D ．[]2,42．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1AB AC ==，12BC AA ==，点,E O 分别是线段1,C C BC 的中点，1113A F A A =，分别记二面角1F OB E --，1F OE B --，1F EB O --的平面角为,,αβγ，则下列结论正确的是（ ）A ．γβα>>B ．αβγ>>C ．αγβ>>D ．γαβ>>3．已知函数()1xf x xe-=，若对于任意的0(0,]x e ∈，函数()20()ln 1g x x x ax f x =-+-+在(0,]e 内都有两个不同的零点，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(1,]eB ．2(,]e e e-C ．22(,]e e e e-+ D ．2(1,]e e-4．已知实数,x y 满足约束条件30202x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则3z x y =+的最小值为（ ）A ．-5B ．2C ．7D ．115．已知函数()2ln 2xx f x ex a x=-+-（其中e 为自然对数的底数）有两个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．21,e e⎛⎤-∞+ ⎥⎝⎦B ．21,e e ⎛⎫-∞+⎪⎝⎭ C ．21,e e⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D ．21,e e⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭6．已知复数，则的共轭复数在复平面对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7．()()52122x x --的展开式中8x的项的系数为（ ）A ．120B ．80C ．60D ．408．若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线与直线6310x y -+=垂直，则该双曲线的离心率为（ ）A ．2B ．52C ．102D ．239．已知函数()2ln 2,03,02x x x x f x x x x ->⎧⎪=⎨+≤⎪⎩的图像上有且仅有四个不同的关于直线1y =-对称的点在()1g x kx =-的图像上，则k 的取值范围是( ) A ．13(,)34B ．13(,)24C ．1(,1)3D ．1(,1)210．台球是一项国际上广泛流行的高雅室内体育运动，也叫桌球（中国粤港澳地区的叫法）、撞球（中国地区的叫法）控制撞球点、球的旋转等控制母球走位是击球的一项重要技术，一次台球技术表演节目中，在台球桌上，画出如图正方形ABCD ，在点E ，F 处各放一个目标球，表演者先将母球放在点A 处，通过击打母球，使其依次撞击点E ，F 处的目标球，最后停在点C 处，若AE =50cm ．EF =40cm ．FC =30cm ，∠AEF =∠CFE =60°，则该正方形的边长为（ ）A ．2cmB ．2cmC ．50cmD ．6cm11．甲、乙、丙、丁四人通过抓阄的方式选出一人周末值班（抓到“值”字的人值班）.抓完阄后，甲说：“我没抓到.”乙说：“丙抓到了.”丙说：“丁抓到了”丁说：“我没抓到."已知他们四人中只有一人说了真话，根据他们的说法，可以断定值班的人是（ ） A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁12．方程2(1)sin 10x x π-+=在区间[]2,4-内的所有解之和等于( ) A ．4B ．6C ．8D ．10二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
合肥一六八中学2025届高三一诊考试数学试卷含解析
合肥一六八中学2025届高三一诊考试数学试卷考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。
选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{}{}3,*,2,*n M x x n N N x x n n N ==∈==∈，将集合M N ⋃的所有元素从小到大一次排列构成一个新数列{}n c ，则12335...c c c c ++++=（ ）A ．1194B ．1695C ．311D ．1095 2．已知三棱锥D ABC -的外接球半径为2，且球心为线段BC 的中点，则三棱锥D ABC -的体积的最大值为（ ）A ．23B ．43C ．83D ．163 3．已知复数为纯虚数(为虚数单位)，则实数（ ） A ．-1 B ．1 C ．0 D ．24．已知数列{}n a 中，112,()1,n n n a n a a a n N *+=-=+∈ ，若对于任意的[]*2,2,a n N ∈-∈，不等式21211n a t at n +<+-+恒成立，则实数t 的取值范围为（ ） A ．(][),21,-∞-⋃+∞B ．(][),22,-∞-⋃+∞C ．(][),12,-∞-⋃+∞D ．[]2,2- 5．已知函数在上的值域为，则实数的取值范围为（ ） A ． B ． C ． D ． 6．设集合{}2320M x x x =++>，集合1{|()4}2x N x =≤ ，则 M N ⋃=（ ） A ．{}2x x ≥- B ．{}1x x >- C ．{}2x x ≤- D ．R7．已知等比数列{}n a 满足21a =，616a =，等差数列{}n b 中54b a =，n S 为数列{}n b 的前n 项和，则9S =（ ）A ．36B ．72C ．36-D ．36±8．某学校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是17.5，30]，样本数据分组为17.5，20），20，22.5），22.5,25），25，27.5），27.5，30）.根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（ ）A ．56B ．60C ．140D ．1209．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，且公比为2，则n S 与n a 的关系正确的是（ ）A ．41n n S a =-B ．21n n S a =+C ．21n n S a =-D ．43n n S a =-10．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为（ ）A ．24πB ．28πC ．32πD ．36π11．已知F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，过点F 且斜率为1的直线交抛物线于A ，B 两点，则||FA|﹣|FB||的值等于（） A ．82B ．8 C ．2 D ．412．若x 、y 满足约束条件220100xy x y y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，则32z x y =+的最大值为（ ）A ．5B ．9C ．6D ．12二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
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合肥一六八中学高三测试 数学（理科）试题本试卷分第Ⅱ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
满分150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷 选择题（共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．在复平面内，复数1zi+所对应的点为(2,1)-，i 是虚数单位，则z =（ ） A ．3i -- B ．3i -+ C ．3i - D ．3i +2．已知全集U R =，{|239}xA x =<≤，1{|2}2B y y =<≤，则有（ ）A ．A B B ．A B B = C ．()R A B ≠∅ D ．()R A B R =3． “1m =±”是“函数22()log (1)log (1)f x mx x =++-为偶函数”的（ ） A ．充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件4．为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下： 由22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++算得22500(4027030160)9.96720030070430K ⨯⨯-⨯==⨯⨯⨯附表：参照附表，则下列结论正确的是（ ）①有99%以上的把握认为“该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别无．关”②有99%以上的把握认为“该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有．关”③采用系统抽样方法比采用简单随机抽样方法更好； ④采用分层抽样方法比采用简单随机抽样方法更好 A ．①③ B ．①④ C ．②③ D ．②④5．阅读右图所示的程序框图，若8,10m n ==，则输出的S 的值等于（ ） A ．28 B ．36 C ．45 D ．1206．已知直线l 的参数方程为1cos sin x t y t αα=+⎧⎪⎨=⎪⎩(t 为参数，α为直线l 的倾斜角)为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为4sin()3πρθ=+，直线l 与圆C 的两个交点为,A B ，当||AB 最小3.841 6.635 10.828k 2() 0.050 0.010 0.001P K k ≥时，α的值为（ ） A ．4πα=B ．3πα=C ．34πα=D ．23πα=7．已知一三棱锥的三视图如图所示，那么它的体积为（ ） A ．13B ．23C ．1D ．2`8．已知数列{}n a 的各项均为正数，12a =，114n n n n a a a a ++-=+，若数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和为5，则n =（ ）A ．35B ．36C ．120D ．1219．已知不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤+≥-1210y x y x y x 表示的平面区域为D ，若D 内存在一点00(,)P x y ,使001ax y +<，则a 的取值范围为（ ）A ．(,2)-∞B ．(,1)-∞C ．(2,)+∞D ．(1,)+∞10．已知2,0()2, 0ax x x f x x x ⎧+>=⎨-≤⎩，若不等式(2)()f x f x -≥对一切x R ∈恒成立，则a 的最大值为（ ）A ．716-B ．916-C ．12-D ．14-/第Ⅱ卷 非选择题（共100分）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填写在横线上） 11．已知||2=a ，||1=b ，2-a 与13b 的夹角为3π，则|2|+=a b ．12．将曲线1:C 2sin(),04y x πωω=+>向右平移6π个单位后得到曲线2C ，若1C 与2C 关于x 轴对称，则ω的最小值为_________.13．分别在区间[0,1]、[1,]e 上任意选取一个实数a b 、，则随机事件“ln a b ≥”的概率为_________. 14．已知M N 、为抛物线24y x =上两个不同的点，F 为抛物线的焦点．若线段MN 的中点的纵坐标为2，||||10MF NF +=，则直线MN 的方程为_________.15．已知()f x 是定义在R 上函数，()f x '是()f x 的导数，给出结论如下： ①若()()0f x f x '+>，且(0)1f =，则不等式()xf x e -<的解集为(0,)+∞； ②若()()0f x f x '->，则(2015)(2014)f ef >； ③若()2()0xf x f x '+>，则1(2)4(2),n n f f n N +*<∈；④若()()0f x f x x'+>，且(0)f e =，则函数()xf x 有极小值0； ⑤若()()xe xf x f x x'+=，且(1)f e =，则函数()f x 在(0,)+∞上递增．其中所有正确结论的序号是 ．三、解答题（本大共6小题，共75分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
） 16．（本小题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，1)cos 2cos a B b A c -=， （Ⅰ）求tan tan AB的值；（Ⅱ）若a =4B π=，求ABC ∆的面积．—17．（本小题满分12分）一个盒子里装有编号为1、2、3、4、5的五个大小相同的小球，第一次从盒子里随机抽取2个小球，记下球的编号，并将小球放回盒子，第二次再从盒子里随机抽取2个小球，记下球的编号．（Ⅰ）求第一次或第二次取到3号球的概率；（Ⅱ）设ξ为两次取球时取到相同编号的小球的个数，求ξ的分布列与数学期望．[18．（本小题满分12分） 已知函数32()31f x ax x =-+. （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）证明：当2a <-时，()f x 有唯一的零点0x ，且01(0,)2x ∈．19．（本小题满分13分）在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，//AB DC ，2ABC π∠=，AD =33AB DC ==．（Ⅰ）在棱PB 上确定一点E ，使得//CE 平面PAD ；（Ⅱ）若PA PD ==PB PC =，求直线PA 与平面PBC 所成角的大小．…20．（本小题满分13分）ABCDP椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，直线:1l x my =-经过点1F 与椭圆C 交于点M ，点M 在x 轴的上方．当0m =时，1||2MF =． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若点N 是椭圆C 上位于x 轴上方的一点， 12//MF NF ，且12123MF F NF F S S ∆∆=，求直线l 的方程．]21．（本小题满分13分） 设1()1f x x =+，数列{}n a 满足：112a =，1(),n n a f a n N *+=∈． （Ⅰ）若12,λλ为方程()f x x =的两个不相等的实根，证明：数列12n n a a λλ⎧⎫-⎨⎬-⎩⎭为等比数列；（Ⅱ）证明：存在实数m ，使得对n N *∀∈，2121222n n n n a a m a a -++<<<<．合肥一六八中学高三测试 数学（理科）试题参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） ￥1．D 解析：本题考查复数的点的表示与复数的乘法运算．21zi i=-+，(1)(2)3z i i i =+-=+，选D ．2．A 解析：本题考查集合的关系与运算．3(log 2,2]A =，1(,2]2B =，∵331log 2log 2>=，∴A B ，选A ．3．B 解析：本题考查充分、必要条件的判定与函数的奇偶性的判定．当1m =时，()f x 为偶函数，当1m =-时，()f x 不是偶函数；当()f x 为偶函数时，由11()()22f f =-可求得1m =，∴“1m =±”是“函数()f x 为偶函数”的必要不充分条件，选B ．4．D 解析：本题考查独立性检验与统计抽样调查方法．由于9.967 6.635>，所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关，②正确；该地区老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样方法比采用简单随机抽样方法更好，④正确，选D ．5．C 解析：本题考查程序框图中的循环结构．121123mnn n n n m S C m---+=⋅⋅⋅⋅=，当8,10m n ==时，82101045m n C C C ===，选C ．6．A 解析：本题考查直线的参数方程、圆的极坐标方程及其直线与圆的位置关系．在直角坐标系中，圆C 的方程为22((1)4x y +-=，直线l 的普通方程为tan (1)y x α=-，直线l 过定点M ，∵||2MC <，∴点M 在圆C 的内部．当||AB 最小时，直线l ⊥直线MC ，1MC k =-，∴直线l 的斜率为1，∴4πα=，选A ．7． B 解析：本题考查三视图与几何体的体积的计算．如图该三棱锥是边长为2的正方体1111ABCD A B C D -中的一个四面体1ACED ,其中11ED =，∴该三棱锥的体积为112(12)2323⨯⨯⨯⨯=，选B ．8．C 解析：本题考查等差数列的定义通项公式与“裂项法”求数列的前n 项和．由114n n n na a a a ++-=+得2214n n a a +-=，∴{}2n a 是等差数列，公差为4，首项为4，∴244(1)4n a n n =+-=，由0na >得n a=1112n n a a +==+，∴数列11nn a a +⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n项和为11111)(1)52222n +++==，∴120n =，选C ． 9．A 解析：本题考查线性规划中最值的求法．平面区域D 如图所示，先求z ax y =+的最小值，当12a ≤时，12a -≥-，z ax y =+在点1,0A （）取得最小值a ；当12a >时，12a -<-，z ax y =+在点11,33B （）取得最小值1133a +．若D 内存在一点00(,)P x y ,使001ax y +<，则有z ax y =+的最小值小于1，∴121a a ⎧≤⎪⎨⎪<⎩或1211133a a ⎧>⎪⎪⎨⎪+<⎪⎩，∴2a <，选A ． CA 1C10．C 解析： 当0a >(如图1)、0a =(如图2)时，不等式不可能恒成立；当0a <时，如图3，直线2(2)y x =--与函数2y ax x =+图象相切时，916a =-，切点横坐标为83，函数2y ax x =+图象经过点(2,0)时，12a =-，观察图象可得12a ≤-，选C ．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分。