2018届中考数学复习专题题型(七) 圆的有关计算与证明
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（2017浙江衢州第19题）如图，AB 为半圆O 的直径，C 为BA 延长线上一点，CD 切半圆O 于点D 。连结OD ，作BE ⊥CD 于点E ，交半圆O 于点F 。已知CE=12，BE=9[来源:学#科#网Z#X#X#K]
（1）求证：△COD ∽△CBE ；
（2）求半圆O 的半径r 的长
：
试题解析： （1）∵CD 切半圆O 于点D ，
∴CD ⊥OD ，
∴∠CDO=90°，
∵BE ⊥CD ，
∴∠E=90°=∠CDO ，
又∵∠C=∠C ，
∴△COD ∽△CBE ．
（2）在Rt △BEC 中，CE=12，BE=9，
∴22CE BE +=15，
∵△COD ∽△CBE ． ∴OD OC BE BC
=，即15915r r -=， 解得：r=
458． 考点：1. 切线的性质；2.相似三角形的判定与性质.
2.（2017山东德州第20题）如图，已知Rt ΔABC,∠C=90°，D 为BC 的中点.以AC 为直径的圆O 交AB 于点E.
（1）求证：DE 是圆O 的切线.
(2)若AE:EB=1:2,BC=6，求AE 的长.
(1)如图所示，连接OE，CE
∵AC是圆O的直径
∴∠AEC=∠BEC=90°
∵D是BC的中点
∴ED＝1
2
BC＝DC
∴∠1=∠2
∵OE=OC
∴∠3=∠4
∴∠1+∠3=∠2+∠4,即∠OED=∠ACD ∵∠ACD=90°
∴∠OED=90°,即OE⊥DE
又∵E是圆O上的一点
∴DE是圆O的切线.
考点：圆切线判定定理及相似三角形
3.（2017甘肃庆阳第27题）如图，AN 是⊙M 的直径，NB ∥x 轴，AB 交⊙M 于点C ．
（1）若点A （0，6），N （0，2），∠ABN=30°，求点B 的坐标；
（2）若D 为线段NB 的中点，求证：直线CD 是⊙M 的切线．
（1）∵A 的坐标为（0，6），N （0，2），
∴AN=4，
∵∠ABN=30°，∠ANB=90°，
∴AB=2AN=8，
∴由勾股定理可知：NB=2243AB
AN -=，
∴B （43，2）．
（2）连接MC ，NC
∵AN 是⊙M 的直径，
∴∠ACN=90°，
∴∠NCB=90°，
在Rt △NCB 中，D 为NB 的中点，
∴CD=12
NB=ND ， ∴∠CND=∠NCD ，
∵MC=MN ，
∴∠MCN=∠MNC ， ∵∠MNC+∠CND=90°，
∴∠MCN+∠NCD=90°，
即MC ⊥CD ．
∴直线CD 是⊙M 的切线．
考点：切线的判定；坐标与图形性质．
4.（2017广西贵港第24题）如图，在菱形ABCD 中，点P 在对角线AC 上，且PA PD =，
O 是PAD ∆的外
接圆.
（1）求证：AB 是O 的切线；
（2）若28,tan 2
AC BAC =∠=求O 的半径. 【答案】(1)证明见解析；（236． （1）连结OP 、OA ，OP 交AD 于E ，如图，
∵PA=PD ，
∴弧AP=弧DP ，
∴OP ⊥AD ，AE=DE ，
∴∠1+∠OPA=90°，
∵OP=OA ，
∴∠OAP=∠OPA ，
∴∠1+∠OAP=90°，
∵四边形ABCD 为菱形，
∴∠1=∠2，
∴∠2+∠OAP=90°，
∴OA ⊥AB ，
∴直线AB 与⊙O 相切；
（2）连结BD ，交AC 于点F ，如图，
∵四边形ABCD 为菱形，
∴DB 与AC 互相垂直平分，
∵AC=8，tan ∠
∴AF=4，tan ∠DAC=DF
AF
∴
∴
∴
在Rt △PAE 中，tan ∠1=PE AE =2，
∴
设⊙O 的半径为R ，则OE=R OA=R ，
在Rt △OAE 中，∵OA 2=OE 2+AE 2，
∴R 2=（R 2+2，
∴R=4，
即⊙O 的半径为4．
考点：切线的判定与性质；菱形的性质；解直角三角形．
5.（2017贵州安顺第25题）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线于点E，连接BE．
（1）求证：BE与⊙O相切；
（2）设OE交⊙O于点F，若DF=1，BC=2 3，求阴影部分的面积．
【答案】(1)证明见解析；（2）43﹣4
3
π．
（1）证明：连接OC，如图，
∵CE为切线，
∴OC⊥CE，
∴∠OCE=90°，
∵OD⊥BC，
∴CD=BD，
即OD垂中平分BC，
∴EC=EB ，
在△OCE 和△OBE 中
OC OB OE OE EC EB ⎧=⎪=⎨⎪=⎩
，
∴△OCE ≌△OBE ，
∴∠OBE=∠OCE=90°，
∴OB ⊥BE ，
∴BE 与⊙O 相切；
（2）解：设⊙O 的半径为r ，则OD=r ﹣1，
在Rt △OBD 中，BD=CD=12BC=3
， ∴（r ﹣1）2+（3）2
=r 2，解得r=2， ∵tan ∠BOD=BD OD
=3， ∴∠BOD=60°，
∴∠BOC=2∠BOD=120°，
在Rt △OBE 中，BE=3OB=23，
∴阴影部分的面积=S 四边形OBEC ﹣S 扇形BOC
=2S △OBE ﹣S 扇形BOC
=2×12
×2×23﹣21202360π⨯⨯
343
π． 考点：切线的判定与性质；扇形面积的计算．
6.（2017湖北武汉第21题）如图，ABC ∆内接于O ，,AB AC CO =的延长线交AB 于点D ．