2018届中考数学复习专题题型(七) 圆的有关计算与证明

（2017浙江衢州第19题）如图，AB 为半圆O 的直径，C 为BA 延长线上一点，CD 切半圆O 于点D 。

连结OD ，作BE ⊥CD 于点E ，交半圆O 于点F 。

已知CE=12，BE=9[来源:学#科#网Z#X#X#K]
（1）求证：△COD ∽△CBE ；
（2）求半圆O 的半径r 的长
：
试题解析： （1）∵CD 切半圆O 于点D ，
∴CD ⊥OD ，
∴∠CDO=90°，
∵BE ⊥CD ，
∴∠E=90°=∠CDO ，
又∵∠C=∠C ，
∴△COD ∽△CBE ．
（2）在Rt △BEC 中，CE=12，BE=9，
∴22CE BE +=15，
∵△COD ∽△CBE ． ∴OD OC BE BC
=，即15915r r -=， 解得：r=
458． 考点：1. 切线的性质；2.相似三角形的判定与性质.
2.（2017山东德州第20题）如图，已知Rt ΔABC,∠C=90°，D 为BC 的中点.以AC 为直径的圆O 交AB 于点E.
（1）求证：DE 是圆O 的切线.
(2)若AE:EB=1:2,BC=6，求AE 的长.
(1)如图所示，连接OE，CE
∵AC是圆O的直径
∴∠AEC=∠BEC=90°
∵D是BC的中点
∴ED＝1
2
BC＝DC
∴∠1=∠2
∵OE=OC
∴∠3=∠4
∴∠1+∠3=∠2+∠4,即∠OED=∠ACD ∵∠ACD=90°
∴∠OED=90°,即OE⊥DE
又∵E是圆O上的一点
∴DE是圆O的切线.
考点：圆切线判定定理及相似三角形
3.（2017甘肃庆阳第27题）如图，AN 是⊙M 的直径，NB ∥x 轴，AB 交⊙M 于点C ．
（1）若点A （0，6），N （0，2），∠ABN=30°，求点B 的坐标；
（2）若D 为线段NB 的中点，求证：直线CD 是⊙M 的切线．
（1）∵A 的坐标为（0，6），N （0，2），
∴AN=4，
∵∠ABN=30°，∠ANB=90°，
∴AB=2AN=8，
∴由勾股定理可知：NB=2243AB
AN -=，
∴B （43，2）．
（2）连接MC ，NC
∵AN 是⊙M 的直径，
∴∠ACN=90°，
∴∠NCB=90°，
在Rt △NCB 中，D 为NB 的中点，
∴CD=12
NB=ND ， ∴∠CND=∠NCD ，
∵MC=MN ，
∴∠MCN=∠MNC ， ∵∠MNC+∠CND=90°，
∴∠MCN+∠NCD=90°，
即MC ⊥CD ．
∴直线CD 是⊙M 的切线．
考点：切线的判定；坐标与图形性质．
4.（2017广西贵港第24题）如图，在菱形ABCD 中，点P 在对角线AC 上，且PA PD =，
O 是PAD ∆的外
接圆.
（1）求证：AB 是O 的切线；
（2）若28,tan 2
AC BAC =∠=求O 的半径. 【答案】(1)证明见解析；（236． （1）连结OP 、OA ，OP 交AD 于E ，如图，
∵PA=PD ，
∴弧AP=弧DP ，
∴OP ⊥AD ，AE=DE ，
∴∠1+∠OPA=90°，
∵OP=OA ，
∴∠OAP=∠OPA ，
∴∠1+∠OAP=90°，
∵四边形ABCD 为菱形，
∴∠1=∠2，
∴∠2+∠OAP=90°，
∴OA ⊥AB ，
∴直线AB 与⊙O 相切；
（2）连结BD ，交AC 于点F ，如图，
∵四边形ABCD 为菱形，
∴DB 与AC 互相垂直平分，
∵AC=8，tan ∠
∴AF=4，tan ∠DAC=DF
AF
∴
∴
∴
在Rt △PAE 中，tan ∠1=PE AE =2，
∴
设⊙O 的半径为R ，则OE=R OA=R ，
在Rt △OAE 中，∵OA 2=OE 2+AE 2，
∴R 2=（R 2+2，
∴R=4，
即⊙O 的半径为4．
考点：切线的判定与性质；菱形的性质；解直角三角形．
5.（2017贵州安顺第25题）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线于点E，连接BE．
（1）求证：BE与⊙O相切；
（2）设OE交⊙O于点F，若DF=1，BC=2 3，求阴影部分的面积．
【答案】(1)证明见解析；（2）43﹣4
3
π．
（1）证明：连接OC，如图，
∵CE为切线，
∴OC⊥CE，
∴∠OCE=90°，
∵OD⊥BC，
∴CD=BD，
即OD垂中平分BC，
∴EC=EB ，
在△OCE 和△OBE 中
OC OB OE OE EC EB ⎧=⎪=⎨⎪=⎩
，
∴△OCE ≌△OBE ，
∴∠OBE=∠OCE=90°，
∴OB ⊥BE ，
∴BE 与⊙O 相切；
（2）解：设⊙O 的半径为r ，则OD=r ﹣1，
在Rt △OBD 中，BD=CD=12BC=3
， ∴（r ﹣1）2+（3）2
=r 2，解得r=2， ∵tan ∠BOD=BD OD
=3， ∴∠BOD=60°，
∴∠BOC=2∠BOD=120°，
在Rt △OBE 中，BE=3OB=23，
∴阴影部分的面积=S 四边形OBEC ﹣S 扇形BOC
=2S △OBE ﹣S 扇形BOC
=2×12
×2×23﹣21202360π⨯⨯
343
π． 考点：切线的判定与性质；扇形面积的计算．
6.（2017湖北武汉第21题）如图，ABC ∆内接于O ，,AB AC CO =的延长线交AB 于点D ．
（1）求证AO平分BAC
∠；
（2）若
3
6,sin
5
BC BAC
=∠=，求AC和CD的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）310；90 13
.
（2）过点C作CE⊥AB于E
∵sin∠BAC=3
5
,设AC=5m，则CE=3m
∴AE=4m，BE=m
在RtΔCBE中，m2+(3m)2=36
∴m=310
5
，
∴AC=310
延长AO交BC于点H，则AH⊥BC，且BH=CH=3，过点O作OF⊥AH交AB于点F，
∵∠HOC=∠BAC
∴OH=4，OC=5 ∴AH=9
∴tan∠BAH=1 3
∴OF=
1
3AO=
5
3
∵OF∥BC
∴OF DO
BC DC
，即
5
DC-5
3=
6DC
∴DC=90 13
.
考点：1.全等三角形的判定与性质；2.解直角三角形；3.平行线分线段成比例.
7.（2017湖南怀化第23题）如图，已知BC是O
⊙的直径，点D为BC延长线上的一点，点A为圆上一点，且AB AD，AC CD.
(1)求证：ACD BAD
△∽△；
(2)求证：AD是O
⊙的切线.
试题解析：（1）∵AB=AD，
∴∠B=∠D，
∵AC=CD，
∴∠CAD=∠D，
∴∠CAD=∠B，
∵∠D=∠D，
∴△ACD∽△BAD；
（2）连接OA，
∵OA=OB，
∴∠B=∠OAB，
∴∠OAB=∠CAD，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC=90°，
∴OA⊥AD，
∴AD是⊙O的切线．
考点：相似三角形的判定与性质；切线的判定．
11.（2017江苏盐城第25题）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边AB在y轴上，边AC与x轴交于点D，AE平分∠BAC交边BC于点E，经过点A、D、E的圆的圆心F恰好在y轴上，⊙F与y轴相交于另一点G．
（1）求证：BC是⊙F的切线；
（2）若点A、D的坐标分别为A（0，-1），D（2，0），求⊙F的半径；
（3）试探究线段AG、AD、CD三者之间满足的等量关系，并证明你的结论．
【答案】（1）证明见解析；（2）⊙F的半径为5
2
；（3）AG=AD+2CD．证明见解析.
试题解析：（1）连接EF ，
∵AE 平分∠BAC ，
∴∠FAE=∠CAE ，
∵FA=FE ，
∴∠FAE=∠FEA ，
∴∠FEA=∠EAC ，
∴FE ∥AC ，
∴∠FEB=∠C=90°，即BC 是⊙F 的切线；
（2）连接FD ，
设⊙F 的半径为r ，
则r 2=（r-1）2+22，
解得，r=52，即⊙F 的半径为52
； （3）AG=AD+2CD ．
证明：作FR ⊥AD 于R ，
则∠FRC=90°，又∠FEC=∠C=90°，
∴四边形RCEF 是矩形，
∴EF=RC=RD+CD ，
∵FR ⊥AD ，
∴AR=RD ，
∴EF=RD+CD=12
AD+CD ， ∴AG=2FE=AD+2CD ．.
考点：圆的综合题．
13.（2017甘肃兰州第27题）如图，ABC △内接于O ⊙，BC 是O ⊙的直径，弦AF 交BC 于点E ，延长BC 到点D ，连接OA ，AD ，使得FAC AOD ∠∠，D BAF ∠∠.
(1)求证：AD 是O ⊙的切线；
(2)若O ⊙的半径为5，2CE ，求EF 的长.
（1）由BC 是⊙O 的直径，得到∠BAF+∠FAC=90°，等量代换得到∠D+∠AOD=90°，于是得到结论；
（2）连接BF ，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．
（2）连接BF ，
∴∠FAC=∠AOD ，
∴△ACE ∽△DCA ， ∴AC AE CE OC OA AC
==， ∴2
55AC
AE
AC ==，
∴10，
∵∠CAE=∠CBF ，
∴△ACE ∽△BFE ，
∴AE BE CE EF
=，
∴108
EF
=，
∴EF=810
．
考点：切线的判定与性质；相似三角形的判定与性质．
14.（2017贵州黔东南州第21题）如图，已知直线PT与⊙O相切于点T，直线PO与⊙O相交于A，B两点．（1）求证：PT2=PA•PB；
（2）若PT=TB=3，求图中阴影部分的面积．
（1）证明：连接OT．
∵PT是⊙O的切线，
∴PT⊥OT，
∴∠PTO=90°，
∴∠PTA+∠OTA=90°，
∵AB是直径，
∴∠ATB=90°，
∴∠TAB+∠B=90°，
∵OT=OA，
∴∠OAT=∠OTA，
∴∠PTA=∠B，∵∠P=∠P，
∴△PTA∽△PBT，
∴PT PA PB PT
=，
∴PT2=PA•PB．
（2）∵TP=TB=3，
∴∠P=∠B=∠PTA，
∵∠TAB=∠P+∠PTA，
∴∠TAB=2∠B，
∵∠TAB+∠B=90°，
∴∠TAB=60°，∠B=30°，
∴tanB=
3 AT
TB
=
∴AT=1，
∵OA=OT，∠TAO=60°，∴△AOT是等边三角形，
∴S阴=S扇形OAT﹣S△AOT=
2
2
60133
1
360464
ππ
⨯
-⨯=-.
考点：相似三角形的判定与性质；切线的性质；扇形面积的计算．
16.（2017四川泸州第24题）如图，⊙O与Rt△ABC的直角边AC和斜边AB分别相切于点C、D，与边BC相交于点F，OA与CD相交于点E，连接FE并延长交AC边于点G．
（1）求证：DF∥AO；
（2）若AC=6，AB=10，求CG的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）2.
（1）证明：连接OD．
∵AB与⊙O相切与点D，又AC与⊙O相切与点，
∴AC=AD，∵OC=OD，
∴OA⊥CD，
∴CD⊥OA，
∵CF是直径，
∴∠CDF=90°，
∴DF⊥CD，
∴DF∥AO．
（2）过点作EM⊥OC于M，∵AC=6，AB=10，
∴，∴AD=AC=6，
∴BD=AB-AD=4，
∵BD2=BF•BC，
∴BF=2，
∴CF=BC-BF=6．OC=1
2
CF=3，
∴，∵OC2=OE•OA，
∴，
∵EM∥AC，
∴
1
5 EM OM OE
AC OC OA
===，
∴OM=3
5
，EM=
6
5
，FM=OF+OM=
18
5
，
∴
3.63
65 EM FM
CG FC
===，
∴CG=5
3
EM=2．
考点：切线的性质．
17.（2017四川宜宾第23题）如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，AD平分∠CAE交⊙O于点D，且AE ⊥CD，垂足为点E．
（1）求证：直线CE是⊙O的切线．（2）若BC=3，CD=32，求弦AD的长．
（1）证明：连结OC，如图，
∵AD平分∠EAC，
∴∠1=∠3，
∵OA=OD，
∴∠1=∠2，
∴∠3=∠2，
∴OD∥AE，
∵AE⊥DC，
∴OD⊥CE，
∴CE是⊙O的切线；
（2）∵∠CDO=∠ADB=90°，
∴∠2=∠CDB=∠1，∵∠C=∠C，
∴△CDB∽△CAD，
∴CD CB BD CA CD AD
==，
∴CD2=CB•CA，
∴（22=3CA，∴CA=6，
∴AB=CA﹣BC=3，
322
62
BD
AD
==,设2，AD=2K，
在Rt△ADB中，2k2+4k2=5，
∴k=30
6
，
∴AD=30
3
．
考点：切线的判定与性质．
18.（2017新疆建设兵团第22题）如图，AC为⊙O的直径，B为⊙O上一点，∠ACB=30°，延长CB至点D，使得CB=BD，过点D作DE⊥AC，垂足E在CA的延长线上，连接BE．
（1）求证：BE是⊙O的切线；
（2）当BE=3时，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）证明见解析；（2）333
-
22 ．
（1）如图所示，连接BO，
∵∠ACB=30°，
∴∠OBC=∠OCB=30°，
∵DE⊥AC，CB=BD，
∴Rt△DCE中，BE=1
2
CD=BC，
∴∠BEC=∠BCE=30°，
∴△BCE中，∠EBC=180°﹣∠BEC﹣∠BCE=120°，∴∠EBO=∠EBC﹣∠OBC=120°﹣30°=90°，
∴BE是⊙O的切线；
（2）当BE=3时，BC=3，
∵AC为⊙O的直径，
∴∠ABC=90°，
又∵∠ACB=30°，
∴AB=tan30°×BC=3， ∴AC=2AB=23，AO=3，
∴阴影部分的面积=半圆的面积﹣Rt △ABC 的面积=
12π×AO 2﹣12AB ×BC=12π×3﹣12×3×3=333-22π． 考点：切线的判定与性质；扇形面积的计算．
1. (2017北京第24题)如图，AB 是O 的一条弦，E 是AB 的中点，过点E 作EC OA ⊥于点C ，过点B 作O 的切线交CE 的延长线于点D .
（1）求证：DB DE =；
（2）若12,5AB BD ==，求O 的半径.
（1）证明：∵DC ⊥OA, ∴∠1+∠3=90°, ∵BD 为切线，∴OB ⊥BD, ∴∠2+∠5=90°, ∵OA=OB, ∴∠1=∠2，∵∠3=∠4，∴∠4=∠5，在△DEB 中, ∠4=∠5，∴DE=DB.
(2)作DF ⊥AB 于F,连接OE,∵DB=DE, ∴EF=12
BE=3，在 RT △DEF 中，EF=3，DE=BD=5，EF=3 , ∴22534-=∴sin ∠DEF=DF DE = 45 , ∵∠AOE=∠DEF, ∴在RT △AOE 中，sin ∠AOE=45
AE AO = , ∵AE=6, ∴AO=
152. 考点：圆的性质，切线定理，三角形相似，三角函数
2. (2017天津第21题)已知AB 是⊙O 的直径，AT 是⊙O 的切线，0
50=∠ABT ，BT 交⊙O 于点C ，E 是AB 上一点，延长CE 交⊙O 于点D .
（1）如图①，求T ∠和CDB ∠的大小；
（2）如图②，当BC BE =时，求CDO ∠的大小.
：(1)如图，连接AC,21世纪教育网
∵AB 是⊙O 的直径，AT 是⊙O 的切线，
∴AT ⊥AB,即∠TAB=90°.
∵050=∠ABT ，
∴∠T=90°-∠ABT=40°
由AB 是⊙O 的直径，得∠ACB=90°，
∴∠CAB=90°-∠ABC=40°
∴∠CDB=∠CAB=40°;
（2）如图，连接AD,
在△BCE 中，BE=BC ，∠EBC=50°，
∴∠BCE=∠BEC=65°,
∴∠BAD=∠BCD=65°
∵OA=OD
∴∠ODA=∠OAD=65°
∵∠ADC=∠ABC=50°
∴∠CDO=∠ODA-∠ADC=15°.
3. (2017福建第21题)如图，四边形ABCD 内接于O ，AB 是O 的直径，点P 在CA 的延长线上，45CAD ∠=．
（Ⅰ）若4AB =，求弧CD 的长；
（Ⅱ）若弧BC =弧AD ，AD AP =，求证：PD 是O 的切线．
（Ⅰ）连接OC ，OD ，∵∠COD=2∠CAD ，∠CAD=45°，∴∠COD=90°，∵AB=4，∴OC=12 AB=2，∴CD 的长=902180
π⨯⨯ =π； （Ⅱ）∵BC =AD ，∴∠BOC=∠AOD ，∵∠COD=90°，∴∠AOD=1802COD ︒-∠ =45°，∵OA=OD ，∴∠ODA=∠OAD ，∵∠AOD+∠ODA+∠OAD=180°，∴∠ODA=1802
AOD ︒-∠=67.5°，∵AD=AP ，∴∠ADP=∠APD ，∵∠CAD=∠ADP+∠APD ，∠CAD=45°，∴∠ADP=
12
∠CAD=22.5°，∴∠ODP=∠ODA+∠ADP=90°，又∵OD 是半径，∴PD 是⊙O 的切线.
4. (2017河南第18题)如图，在ABC ∆中， AB AC =，以AB 为直径的⊙O 交AC 边于点D ，过点C 作//CF AB ，与过点B 的切线交于点F ，连接BD .
（1）求证：BD BF =；
（2）若10AB =，4CD =，求BC 的长.
(1)∵AB AC =
∴∠ABC=∠ACB
∵//CF AB
∴∠ABC=∠FCB
∴∠ACB=∠FCB ，即CB 平分∠DCF
∵AB 为⊙O 直径
∴∠ADB=90°，即BD AC ⊥
∵BF 为⊙O 的切线
∴BF AB ⊥
∵//CF AB
∴BF CF ⊥
∴BD=BF
考点：圆的综合题.
6. （2017湖南长沙第23题）如图，AB 与⊙O 相切于C ，OB OA ,分别交⊙O 于点E D ,，CD CE =．
（1）求证：OB OA =；
（2）已知34=AB ，4=OA ，求阴影部分的面积．
【答案】（1）证明见解析（2）
2=233
S π-阴影
试题解析：（1）连接OC ，则OC ⊥AB
∵CD CE =
∴∠AOC=∠BOC
在△AOC 和△BOC 中，
90AOC BOC OC OC
OCA OCB ⎧∠
=∠⎪=⎨⎪∠=∠=⎩
∴△AOC ≌△BOC （ASA ） ∴AO=BO
（2）由（1）可得AC=BC=
12AB=3∴在Rt △AOC 中，OC=2
∴∠AOC=∠BOC=60° ∴11==232=2322BOC S BC OC ⋅⨯△26022==3603
S ππ⨯⨯扇形BOC ∴2==233
BOC S S S π-△阴影扇形BOC
考点：1、切线的性质，2、三角形的面积，3、扇形的面积
7. （2017山东临沂第23题）如图，BAC ∠的平分线交ABC 的外接圆于点D ，ABC ∠的平分线交AD 于点E .
（1）求证：DE DB =；
（2）若90BAC ∠=︒，4BD =，求ABC 外接圆的半径.
【
试题解析：（1）AD 平分BAC ∠，BE 平分ABC ∠，,BAD CAD ABE CBE ∴∠=∠∠=∠，又
BED ABE BAD ∠=∠+∠，DBE DBC CBE ∠=∠+∠，DBC DAC ∠=∠,BED DBE ∴∠=∠.DE DB ∴=.
（2）解：连接CD ，90BAC ∠=，BC ∴是圆的直径.90BDC ∴∠=，
90BDC ∴∠=.BAD CAD ∠=∠，BD CD ∴=，BD CD ∴=，BCD ∴∆是等腰直角三角形.4BD =，42BC ∴=.ABC ∴∆的外接圆的半径为22.
考点：1、三角形的外接圆的性质，2、圆周角定理，3、三角形的外角性质，4、勾股定理
8. (2017四川泸州第24题)如图，⊙O 与ABC Rt ∆的直角边AC 和斜边AB 分别相切于点;,D C 与边BC 相交于点F ,OA 与CD 相交于点E ，连接FE 并延长交AC 边于点G .
（1）求证：DF //AO
（2）若,10,6==AB AC 求CG 的长.
（1）证明：AB 与⊙O 相切与点D
BDF BCD ∠=∠∴ （弦切角定理）
又AC 与⊙O 相切与点C
由切线长定理得：;,DAO CAO AD AC ∠=∠=
AO CD ⊥∴
,
;BDF DAO DAO CAO BCD ∠=∠∴∠=∠=∠∴ 即：DF//AO
（2）：过点E 作OC EM ⊥与M
88
,622=-=∴==AC AB BC AB AC
4,6=-=∴==AD AB BD AC AD
∴由切割线定理得：BC BF BD ⋅=2,解得：;2=BF
;32
1,6===-=∴FC OC BF BC FC 21世纪教育网 5322=+=∴OC AC OA 由射影定理得：5
53,2=⋅=OE OA OE OC 解之得： 235;5
366.3;518;56,53;5
1==∴===∴=+===∴===∴
EM CG FC FM CG EM OM OF FM EM OM OA OE OC OM AC EM 9. (2017山东滨州第23题)（本小题满分10分）
如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线交BC于点F，交△ABC的外接圆⊙O于点D；连接BD，过点D作直线DM，使∠BDM＝∠DAC．
（1）求证：直线DM是⊙O的切线；
（2）求证：DE2＝DF·DA．
【答案】详见解析.
试题解析：
证明：（1）如图1，连接DO，并延长交⊙O于点G，连接BG；
∵点E是△ABC的内心，∴AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC．21世纪教育网
∵∠G＝∠BAD，∴∠MDB＝∠G，21世纪教育网
∵DG为⊙O的直径，∴∠GBD＝90°，∴∠G＋∠BDG＝90°．
∴∠MDB＋∠BDG＝90°．∴直线DM是⊙O的切线；
（2）如图2，连接BE．
∵点E是△ABC的内心，
∴∠ABE＝∠CBE，∠BAD＝∠CAD．
∵∠EBD＝∠CBE＋∠CBD，∠BED＝∠ABE＋∠BAD，∠CBD＝∠CAD．
∴∠EBD＝∠BED，
∴DB＝DE．
∵∠CBD＝∠BAD，∠ADB＝∠ADB，
∴△DBF∽△DAB，
∴BD2＝DF·DA．
∴DE2＝DF·DA．
10. (2017辽宁沈阳第22题)如图，在ABC
∆中，以BC为直径的O交AC于点E，过点E做EF AB
⊥于点F，延长EF交CB的延长线于点G，且2
ABG C
∠=∠.
（1）求证：EF是O的切线；
（2）若
3
sin
5
EGC
∠=，O的半径是3，求AF的长.
【答案】（1）详见解析；（2）24
5
.
试题解析：
(1)连接OE，
则2
EOG C
∠=∠,
∵2
ABG C
∠=∠
∴ABG EOG
∠=∠
∴//
AB OE
∵EF AB
⊥
∴0
90
AFE
∠=
∴0
90 GEO AFE
∠=∠=
∴OE EG
⊥
又∵OE是O的半径∴EF是O的切线；
（2）∵2ABG C ∠=∠，∵ABG C A ∠=∠+∠
∴C A ∠=∠
∴BA=BC
又O 的半径为3，
∴OE=OB=OC
∴BA=BC=2×3=6
在Rt △OEG 中，sin ∠EGC=OE OG ，即335OG = ∴OG=5
在Rt △FGB 中，sin ∠EGC=
BF GB ，即352FB = ∴BF=65
∴AF=AB-BF=6-
65=245. 考点：圆的综合题.
13. (2017山东菏泽第22题)如图，AB 是⊙O 的直径，PB 与⊙O 相切于点B ，连接PA 交⊙O 于点C .连接BC .
（1）求证：CBP BAC ∠=∠；
（2）求证：PA PC PB ⋅=2；
（3）当3,6==CP AC 时，求PAB ∠sin 的值.
【答案】(1)详见解析；（2）详见解析；（3）3.
【解析】
试题分析：（1）根据直径所对的圆周角为直角、切线的性质定理、同角的余角相等，即可证得
CBP BAC ∠=∠；（2）先证△PB ∽C △ABP ，根据相似三角形的性质即可得结论； （3）利用PA PC PB ⋅=2，得33=PB ，从而求PAB ∠sin =3
试题解析：
【解】
（1）∵AB 是⊙O 的直径
∴∠ACB=90°
∴∠A+∠ABC=90°
∵PB 与⊙O 相切于点B
∴∠CBP+∠ABC=90°
∴CBP BAC ∠=∠
(2)∵CBP BAC ∠=∠，∠P=∠P
∴△PB ∽C △ABP
∴BP
PC AP PB = ∴PA PC PB ⋅=2
（3）∵3,6==CP AC
∴AP=9
∵PA PC PB ⋅=2
∴33=PB
∴PAB ∠sin =33
39==AP PB 14. (2017浙江金华第22题)如图，已知：AB 是
O 的直径，点C 在O 上，CD 是O 的切线，AD CD ⊥于点,D E 是AB 延长线上的一点，CE 交O 于点F ，连接,OC AC ．
(1)求证：AC 平分DAO ∠．
(2)若105DAO ∠=，30E ∠=．
①求OCE ∠的度数．
②若O 的半径为22，求线段EF 的长．
【答案】(1)详见解析；（2）①∠OCE=45°；②23-2.
（1）解：∵直线与⊙O 相切，
∴OC ⊥CD ；
又∵AD ⊥CD,
∴AD//OC,
∴∠DAC=∠OCA;
又∵OC=OA,
∴∠OAC=∠OCA,
∴∠DAC=∠OAC;
∴AC 平分∠DAO.
（2）解：①∵AD//OC ，∠DAO=105°,
∴∠EOC=∠DAO=105°;
∵∠E=30°,
∴∠OCE=45°.
②作OG ⊥CE 于点G,可得FG=CG,
∵OC=22,∠OCE=45°.
∴CG=OG=2,
∴FG=2;
∵在RT △OGE 中，∠E=30°，
∴GE=23,
∴EF=GE-FG=23-2.
15. （2017浙江湖州第21题）（本小题8分）
如图，O 为Rt C ∆AB 的直角边C A 上一点，以C O 为半径的O 与斜边AB 相切于点D ，交OA 于点E ．已知C 3B =C 3A =．
（1）求D A 的长；
（2）求图中阴影部分的面积．
【答案】（132）6
π （1）在Rt △ABC 中，22AC BC +223(3)+3∵BC ⊥OC
∴BC 是⊙O 的切线
∵AB 是⊙O 的切线
∴3
∴3（2）在Rt △ABC 中，sinA=
31223BC AB == ∴∠A=30°
∵AB 切⊙O 于点D
∴OD ⊥AB
∴∠AOD=90°-∠A=60° ∵tan =tan 30OD A AD = 33∴OD=1 ∴2601==3606
S ππ⨯阴影 考点：1、切线的性质，2、勾股定理，3、解直角三角形，4、扇形的面积
16. （2017浙江台州第22题） 如图，已知等腰直角三角形ABC ，点P 是斜边BC 上一点（不与,B C 重合），PE 是ABP ∆的外接圆⊙O 的直径.
（1）求证：APE
∆是等腰直角三角形；
（2）若⊙O的直径为2，求22
+的值.
PC PB
【答案】（1）证明见解析（2）4
（1）证明：∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠C=∠ABC=45°,
∴∠PEA=∠ABC=45°
又∵PE是⊙O的直径，
∴∠PAE=90°,
∴∠PEA=∠APE=45°,
∴△APE是等腰直角三角形.
（2）∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AC=AB,
同理AP=AE,
又∵∠CAB=∠PAE=90°,
∴∠CAP=∠BAE,
∴△CPA≌△BAE,
∴CP=BE,
在Rt△BPE中，∠PBE=90°,PE=2,
∴PB2+BE2=PE2,
∴CP2+PB2=PE2=4.
考点：1、全等三角形的判定与性质，2、等腰三角形的判定与性质，3、勾股定理，4、圆心角、弧、弦的关系，5、等腰直角三角形
14．（2017四川省南充市）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径作⊙O交AB于点D，E为BC的中点，连接DE并延长交AC的延长线于点F．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若CF=2，DF=4，求⊙O直径的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）6．
【解析】
试题分析：（1）连接OD、CD，由AC为⊙O的直径知△BCD是直角三角形，结合E为BC的中点知∠CDE=∠DCE，由∠ODC=∠OCD且∠OCD+∠DCE=90°可得答案；
（2）设⊙O的半径为r，由OD2+DF2=OF2，即r2+42=（r+2）2可得r=3，即可得出答案．
试题解析：（1）如图，连接OD、CD．∵AC为⊙O的直径，∴△BCD是直角三角形，∵E为BC的中点，∴BE=CE=DE，∴∠CDE=∠DCE，∵OD=OC，∴∠ODC=∠OCD，∵∠ACB=90°，∴∠OCD+∠DCE=90°，∴∠ODC+∠CDE=90°，即OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线；
（2）设⊙O的半径为r，∵∠ODF=90°，∴OD2+DF2=OF2，即r2+42=（r+2）2，解得：r=3，∴⊙O的直径为6．
考点：切线的判定与性质．
15．（2017四川省广安市）如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD与直径AB相交于点F．点E在⊙O外，做直线AE，且∠EAC=∠D．
（1）求证：直线AE是⊙O的切线．
（2）若∠BAC=30°，BC=4，cos∠BAD=3
4
，CF=
10
3
，求BF的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）521
．
（1）连接BD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，即∠ADC+∠CDB=90°，∵∠EAC=∠ADC，∠CDB=∠BAC，∴∠EAC+∠BAC=90°，即∠BAE=90°，∴直线AE是⊙O的切线；
（2）∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB=90°，Rt △ACB 中，∠BAC=30°，∴AB=2BC=2×4=8，由勾股定理得：AC=2284-=43
，Rt △ADB 中，cos ∠BAD=34=AD AB ，∴34=8
AD ，∴AD=6，∴BD=2286- =27，∵∠BDC=∠BAC ，∠DFB=∠AFC ，∴△DFB ∽△AFC ，∴BF BD FC AC =，∴271043
3
BF =，∴BF=5219．
考点：1．切线的判定与性质；2．解直角三角形．。