高等代数第3章第3节n阶行列式
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5
a11 a12 ⋯ a1n a21 a22 ⋯ a2 n ⋮ ⋮ ⋮ an1 an 2 ⋯ ann
其中
j1 j2 ⋯ jn
=
j1 j2 ⋯ jn
∑
(−1)π ( j1 j2⋯ jn ) a1 j1 a2 j2 ⋯ anjn .
∑
表示对所有 n 级排列j1 j2 … jn求和．
行列式有时也简记为det(aij)或| aij |，这里数aij称为行 列式的 元素 ，称 列式的元素 元素，称 (−1)π ( j1 j2⋯ jn ) a1 j1 a2 j2 ⋯ anjn 一般项 ． 为行列式的 为行列式的一般项 一般项．
6
说明： 1．n 阶行列式是 n! 项的代数和，且冠以正号的项 和冠以负号的项（不包括元素本身所带的符号）各占一 半，因此，行列式实质上是一种特殊定义的数； 2． a1 j1 a2 j2 ⋯ anjn 的符号为 (−1)π ( j1 j2⋯ jn )（不包括元素 本身所带的符号）； 3．一阶行列式| a | = a，不要与绝对值记号相混淆. 如 |－1| = －1．
18
(7) 下列各项中，( D )为某五阶行列式中带有正号的 项．
(A) a13a44 a32 a41a55 ; (B) a21a32 a41a15a54 ; (C) a31a25a43a14 a52 ; (D) a15a31a22 a44 a53 .
分析： 选择（D）
19
注意： 用行列式定义求值时，应 用行列式定义求值时，应注意： (1) n阶行列式展开式中共有n!项，但如果某项中至 少有一个元素为零，则该项为零．因此首先要将含零元 素的项排除，只考虑那些非零项； (2) n阶行列式各项均为n个元素连乘积，且这n个元 素要取自不同的行不同的列，即一项中的元素不能取自 同行或同列； (3) n阶行列式共有n2个元素，如果其非零元素的个 数小于n，则行列式的值必为零； (4) 若行列式中有某一行（或列）的元素全为零， 那么行列式的值必为零．
an1
16
填空题 例： 例：填空题 (1) 在五阶行列式中，项 a12a31a54a43a25 的符号应冠 以 正 ； (2) 在四阶行列式中，带负号且包含因子 a23 和 a31 的 a14a23a31a42 项为 ； (3) 已知 a12a3i a61a5k a43a25 是六阶行列式中带负号的 项，则i = 6 ，k = 4 ． (4) 如果在 n 阶行列式中，冠以负项的个数为偶数， 0 那么此行列式的值为 ．
a11 a12 ⋯ a1n a21 a22 ⋯ a2 n ⋮ ⋮ ⋮ an1 an 2 ⋯ ann
列．它表示 称为n阶行列式, 其中横排称为 行, 竖排称为 竖排称为列 其中横排称为行 所有可能取自不同行不同列的 n 个元素乘积 a1 j1 a2 j2 ⋯ anjn 的代数和. 各项的符号是： 当该项元素的行标按自然数 顺序排列后, 若对应的列标 j1 j2 … jn 构成的排列是偶排 列则取正号, 是奇排列则取负号, 即
第3章 行列式
3.3 n 阶行列式
1
内容分布 一、n 阶行列式的定义 二、行列式的性质 利用行列式的性质计算行列式 三、 三、利用行列式的性质计算行列式 目的 教学 教学目的 掌握和理解 n 阶行列式的定义；会利用定义计算一 些特殊的行列式；掌握和理解行列式的性质；熟练掌握 利用性质计算及证明行列式的技巧． 重点、难点 利用定义计算行列式；利用性质熟练计算及证明行 列式．
0 0
(2) 下三角形行列式 （主对角线上侧元素都为0）
a11 0 a21 a22 D= ⋮ ⋮ an1 an 2
⋮ ⋯ ann
= a11a22 ⋯ ann
15
a11
(3) D =
a22
⋱
= a11a22 ⋯ ann
ann
a1n
(4) D =
a2,n−1
⋰
= (−1)
n ( n −1) 2
a1na2,n−1 ⋯ an1
17
(6) 在函数
x x 1 0 1 x 2 3 f ( x) = 2 3 x 2 1 1 2 x
中，x3 的系数是 －1 ．
分析：根据行列式的定义，仅当a12a21a33a44四个元素 相乘才能出现 x3 项， 故有 (−1)π (2134) a12 a21a33a44 = − x 3 故含 x3 的系数为－1．
12
计算行列式 例： 例：计算行列式
a11 a12 a21 0 D= 0 a32 0 0
分析：
0 a23 a33 0
0 0 0 a44
D = (−1)π (1324) a11a23a32a44 + (−1)τ (2134) a12a21a33a44
= −a11a23a32 a44 −a12 a21a33a44
∴ D = −1
11
用行列式定义计算行列式 例： 例：用行列式定义计算行列式 0 1 0 ⋯ 0 0 2 ⋯ 0 0
D= ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ n −1 n 0 0 ⋯ 0
分析：
D = (−1)π (23⋯n1) a12a23 ⋯ an−1,nan1
∵ π (23⋯ n1) = n − 1 ∴ D = (−1) n−1 n!
=
=
j1 j2 ⋯ jn
∑
(−1)π ( j1 j2⋯ jn ) a1 j1 a2 j2 ⋯ anjn .
j1 j2 ⋯ jn i1i2 ⋯in
∑
(−1)π ( i1i2⋯in )+π ( j1 j2⋯ jn ) ai1 j1 ai2 j2 ⋯ ain jn
=
i1i2 ⋯in
∑
(−1)π ( i1i2⋯in ) ai11ai2 2 ⋯ ain n
∑
例： 3 2 8
D = 1 5 6 = 105 + 32 + 108 − 360 − 72 − 14 = −201 9 4 7
3 1 9 D T = 2 5 4 = 105 + 108 + 32 − 360 − 14 − 72 = −201 8 6 7
∴ D = DT 行列式中行与列地位相同，对行成 命题3.3.1说明： 说明：行列式中行与列地位相同，对行成 立的性质对列也成立，反之亦然．
a1 j1 a2 j2 a3 j3 , 其中j1 j2 j3是1,2,3的一个排列． 其任一项可写成：
3.（每项的符号规律） 当 j1 j2 j3是偶排列时， 项 a1 j1 a2 j2 a3 j3 取正号； 当 j1 j2 j3是奇排列时， 项 a1 j1 a2 j2 a3 j3 取负号．
4
定义1 由 n2 个元素 aij (i, j = 1, 2, …, n)组成的记号
18! ≈ 6.4 × 10
15
21
二、行列式的性质
定义 将行列式D的行与列互换后得到的行列式，称 ，记为DT或D′．即如果 为D的转置行列式 转置行列式，记为
a11 a12 ⋯ a1n a21 a22 ⋯ a2 n D= ⋮ ⋮ ⋮ an1 an 2 ⋯ ann a11 a21 ⋯ an1 a12 a22 ⋯ an 2 T D = ⋮ ⋮ ⋮ a1n a2 n ⋯ ann
3
观察三阶行列式 a11 a12 a13 D = a21 a22 a23 = a11a22 a33 + a12 a23a31 + a13a21a32 a31 a32 a33 −a13a22 a31 − a12 a21a33 − a11a23 a32 寻找 规律 ： 寻找规律 规律： 1. 三阶行列式是 3！项的代数和． 2. 每一项都是取自不同行、不同列的 3 个元素的乘积．
⋯ a1n ⋮ ⋯ a jn → i 行 ⋮ ⋯ a in → j行 ⋮ ⋯ a nn
25
由行列式定义可知，D中任一项可以写成
(−1)
因为
π ( k1⋯ki ⋯k j ⋯kn )
a1k1 ⋯ aiki ⋯ a jk j ⋯ ankn
(1)
a1k1 ⋯ aiki ⋯ a jk j ⋯ ankn = a1k1 ⋯ a jk j ⋯ aiki ⋯ ankn
则 bij = a ji (i , j = 1, 2,⋯ , n). 又由行列式定义，有
DT =
j1 j2 ⋯ jn
∑
(−1)π ( j1 j2⋯ jn ) b1 j1 b2 j2 ⋯ bnjn
π ( j1 j2 ⋯ jn ) − a j11a j2 2 ⋯ a jnn = D ( 1)
23
=
j1 j2 ⋯ jn
2
一、 n 阶行列式的定义
观察二阶行列式 a11 a12 = a11a22 − a12 a21 D= a21 a22 寻找 规律 ： 寻找规律 规律： 1. 二阶行列式是 2！项的代数和． 2. 每一项都是取自不同行、不同列的 2 个元素的乘积． 其任一项可写成：a1 j1 a2 j2 , 其中j1 j2是1, 2的一个排列． 3.（每项的符号规律） 当 j1 j2是偶排列时， 项 a1 j1 a2 j2 取正号； 当 j1 j2是奇排列时， 项 a1 j1 a2 j2 取负号．
22
则
命题3.3.1 行列式与它的转置行列式相等，即 D = DT． 证明： 设
a11 a12 ⋯ a1n a21 a22 ⋯ a2 n D= , ⋮ ⋮ ⋮ an1 an 2 ⋯ ann
b11 b12 ⋯ b1n b21 b22 ⋯ b2 n T D = ⋮ ⋮ ⋮ bn1 bn 2 ⋯ bnn
9
确定下列16个元素皆不相同的四阶行列式 例： 例：确定下列 1 3 4 −5 −6 5 7 8 −1 −7 0 6 2
−2 −3 −4
中 8 ⋅ (−5) ⋅ (−2) ⋅ 6 一项前面应冠以什么符号？ 分析： 8 ⋅ 6 ⋅ (−2) ⋅ (−5) 对应的元素字符为
a13a24 a32 a41
13
例1 计算四阶行列式 a 0 0 c D= 0 e g 0 分析：
0 d f 0
b 0 0 h
D = acfh − adeh + bdeg − bcfg
14
四个结论
(1) 上三角形行列式 （主对角线下侧元素都为0）
a11 a12 0 a22 D= ⋮ ⋮ 0 0
⋯ ⋯ ⋱ ⋯
⋯ ⋯ ⋱
a1n a2 n = a11a22 ⋯ ann ⋮ ann
24
命题3.3.2 交换一个行列式的两行（或两列），行列 式改变符号． 证明： 设 交换D的i、j 两行，得 a11 a12 ⋯ a1n
⋮ ⋮ ⋮ a i 1 a i 2 ⋯ a in D= ⋮ ⋮ ⋮ a j 1 a j 2 ⋯ a jn ⋮ ⋮ ⋮ an1 an 2 ⋯ ann
a11 a12 ⋮ ⋮ a j1 a j 2 D1 = ⋮ ⋮ ai 1 ai 2 ⋮ ⋮ an1 an 2
(−1)π ( i1i2⋯in )+π ( j1 j2⋯ jn )
即行列式的一般项为 (−1)π ( i1i2⋯in )+π ( j1 j2⋯ jn ) ai1 j1 ai2 j2 ⋯ ain jn
8
由此，得行列式的等价定义
a11 a12 ⋯ a1n a21 a22 ⋯ a2 n ⋮ ⋮ ⋮ an1 an 2 ⋯ ann
20
行列式性质引言
行列式的计算是一个重要的问题，也是一个很麻烦的问 题．n 阶行列式一共有 n! 项，计算它就需要做 n!×(n-1) 个 乘法．当n 较大时，n! 是一个相当大的数字，直接从定义来 计算行列式几乎是不可能的事． 如对于一个18阶行列式，假定计算作一次乘法运算的时 间需要 10-6 秒，即百万分之一秒，则利用行列式的定义直接 计算 18 阶行列式的值需要的时间（以每天工作8小时计）竞 多达200年！ 因此有必要进一步讨论行列式的性质．利用这些性质可 以化简行列式的计算．
故此项的符号
(−1)π (3421) = (−1)5 = −1
10
故应冠以负号．
例： 用行列式的定义计算行列式 例：用行列式的定义计算行列式 0 1 0 1
D=
1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 1
分析：
D = (−1)π (4123) a14a21a32a43
∵ π (4123) = 3
7
引理3.3.1 从 n 阶行列式的第i1, i2, …, in 行和第 j1, j2, … , jn 列取出元素作乘积 ai1 j1 ai2 j2 ⋯ ain jn 这里i1 i2 … in 和 j1 j2 … jn 都是1, 2, …, n行这 n 个数码的 排列．那么这一项在行列式中的符号是
a11 a12 ⋯ a1n a21 a22 ⋯ a2 n ⋮ ⋮ ⋮ an1 an 2 ⋯ ann
其中
j1 j2 ⋯ jn
=
j1 j2 ⋯ jn
∑
(−1)π ( j1 j2⋯ jn ) a1 j1 a2 j2 ⋯ anjn .
∑
表示对所有 n 级排列j1 j2 … jn求和．
行列式有时也简记为det(aij)或| aij |，这里数aij称为行 列式的 元素 ，称 列式的元素 元素，称 (−1)π ( j1 j2⋯ jn ) a1 j1 a2 j2 ⋯ anjn 一般项 ． 为行列式的 为行列式的一般项 一般项．
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说明： 1．n 阶行列式是 n! 项的代数和，且冠以正号的项 和冠以负号的项（不包括元素本身所带的符号）各占一 半，因此，行列式实质上是一种特殊定义的数； 2． a1 j1 a2 j2 ⋯ anjn 的符号为 (−1)π ( j1 j2⋯ jn )（不包括元素 本身所带的符号）； 3．一阶行列式| a | = a，不要与绝对值记号相混淆. 如 |－1| = －1．
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(7) 下列各项中，( D )为某五阶行列式中带有正号的 项．
(A) a13a44 a32 a41a55 ; (B) a21a32 a41a15a54 ; (C) a31a25a43a14 a52 ; (D) a15a31a22 a44 a53 .
分析： 选择（D）
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注意： 用行列式定义求值时，应 用行列式定义求值时，应注意： (1) n阶行列式展开式中共有n!项，但如果某项中至 少有一个元素为零，则该项为零．因此首先要将含零元 素的项排除，只考虑那些非零项； (2) n阶行列式各项均为n个元素连乘积，且这n个元 素要取自不同的行不同的列，即一项中的元素不能取自 同行或同列； (3) n阶行列式共有n2个元素，如果其非零元素的个 数小于n，则行列式的值必为零； (4) 若行列式中有某一行（或列）的元素全为零， 那么行列式的值必为零．
an1
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填空题 例： 例：填空题 (1) 在五阶行列式中，项 a12a31a54a43a25 的符号应冠 以 正 ； (2) 在四阶行列式中，带负号且包含因子 a23 和 a31 的 a14a23a31a42 项为 ； (3) 已知 a12a3i a61a5k a43a25 是六阶行列式中带负号的 项，则i = 6 ，k = 4 ． (4) 如果在 n 阶行列式中，冠以负项的个数为偶数， 0 那么此行列式的值为 ．
a11 a12 ⋯ a1n a21 a22 ⋯ a2 n ⋮ ⋮ ⋮ an1 an 2 ⋯ ann
列．它表示 称为n阶行列式, 其中横排称为 行, 竖排称为 竖排称为列 其中横排称为行 所有可能取自不同行不同列的 n 个元素乘积 a1 j1 a2 j2 ⋯ anjn 的代数和. 各项的符号是： 当该项元素的行标按自然数 顺序排列后, 若对应的列标 j1 j2 … jn 构成的排列是偶排 列则取正号, 是奇排列则取负号, 即
第3章 行列式
3.3 n 阶行列式
1
内容分布 一、n 阶行列式的定义 二、行列式的性质 利用行列式的性质计算行列式 三、 三、利用行列式的性质计算行列式 目的 教学 教学目的 掌握和理解 n 阶行列式的定义；会利用定义计算一 些特殊的行列式；掌握和理解行列式的性质；熟练掌握 利用性质计算及证明行列式的技巧． 重点、难点 利用定义计算行列式；利用性质熟练计算及证明行 列式．
0 0
(2) 下三角形行列式 （主对角线上侧元素都为0）
a11 0 a21 a22 D= ⋮ ⋮ an1 an 2
⋮ ⋯ ann
= a11a22 ⋯ ann
15
a11
(3) D =
a22
⋱
= a11a22 ⋯ ann
ann
a1n
(4) D =
a2,n−1
⋰
= (−1)
n ( n −1) 2
a1na2,n−1 ⋯ an1
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(6) 在函数
x x 1 0 1 x 2 3 f ( x) = 2 3 x 2 1 1 2 x
中，x3 的系数是 －1 ．
分析：根据行列式的定义，仅当a12a21a33a44四个元素 相乘才能出现 x3 项， 故有 (−1)π (2134) a12 a21a33a44 = − x 3 故含 x3 的系数为－1．
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计算行列式 例： 例：计算行列式
a11 a12 a21 0 D= 0 a32 0 0
分析：
0 a23 a33 0
0 0 0 a44
D = (−1)π (1324) a11a23a32a44 + (−1)τ (2134) a12a21a33a44
= −a11a23a32 a44 −a12 a21a33a44
∴ D = −1
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用行列式定义计算行列式 例： 例：用行列式定义计算行列式 0 1 0 ⋯ 0 0 2 ⋯ 0 0
D= ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ n −1 n 0 0 ⋯ 0
分析：
D = (−1)π (23⋯n1) a12a23 ⋯ an−1,nan1
∵ π (23⋯ n1) = n − 1 ∴ D = (−1) n−1 n!
=
=
j1 j2 ⋯ jn
∑
(−1)π ( j1 j2⋯ jn ) a1 j1 a2 j2 ⋯ anjn .
j1 j2 ⋯ jn i1i2 ⋯in
∑
(−1)π ( i1i2⋯in )+π ( j1 j2⋯ jn ) ai1 j1 ai2 j2 ⋯ ain jn
=
i1i2 ⋯in
∑
(−1)π ( i1i2⋯in ) ai11ai2 2 ⋯ ain n
∑
例： 3 2 8
D = 1 5 6 = 105 + 32 + 108 − 360 − 72 − 14 = −201 9 4 7
3 1 9 D T = 2 5 4 = 105 + 108 + 32 − 360 − 14 − 72 = −201 8 6 7
∴ D = DT 行列式中行与列地位相同，对行成 命题3.3.1说明： 说明：行列式中行与列地位相同，对行成 立的性质对列也成立，反之亦然．
a1 j1 a2 j2 a3 j3 , 其中j1 j2 j3是1,2,3的一个排列． 其任一项可写成：
3.（每项的符号规律） 当 j1 j2 j3是偶排列时， 项 a1 j1 a2 j2 a3 j3 取正号； 当 j1 j2 j3是奇排列时， 项 a1 j1 a2 j2 a3 j3 取负号．
4
定义1 由 n2 个元素 aij (i, j = 1, 2, …, n)组成的记号
18! ≈ 6.4 × 10
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二、行列式的性质
定义 将行列式D的行与列互换后得到的行列式，称 ，记为DT或D′．即如果 为D的转置行列式 转置行列式，记为
a11 a12 ⋯ a1n a21 a22 ⋯ a2 n D= ⋮ ⋮ ⋮ an1 an 2 ⋯ ann a11 a21 ⋯ an1 a12 a22 ⋯ an 2 T D = ⋮ ⋮ ⋮ a1n a2 n ⋯ ann
3
观察三阶行列式 a11 a12 a13 D = a21 a22 a23 = a11a22 a33 + a12 a23a31 + a13a21a32 a31 a32 a33 −a13a22 a31 − a12 a21a33 − a11a23 a32 寻找 规律 ： 寻找规律 规律： 1. 三阶行列式是 3！项的代数和． 2. 每一项都是取自不同行、不同列的 3 个元素的乘积．
⋯ a1n ⋮ ⋯ a jn → i 行 ⋮ ⋯ a in → j行 ⋮ ⋯ a nn
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由行列式定义可知，D中任一项可以写成
(−1)
因为
π ( k1⋯ki ⋯k j ⋯kn )
a1k1 ⋯ aiki ⋯ a jk j ⋯ ankn
(1)
a1k1 ⋯ aiki ⋯ a jk j ⋯ ankn = a1k1 ⋯ a jk j ⋯ aiki ⋯ ankn
则 bij = a ji (i , j = 1, 2,⋯ , n). 又由行列式定义，有
DT =
j1 j2 ⋯ jn
∑
(−1)π ( j1 j2⋯ jn ) b1 j1 b2 j2 ⋯ bnjn
π ( j1 j2 ⋯ jn ) − a j11a j2 2 ⋯ a jnn = D ( 1)
23
=
j1 j2 ⋯ jn
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一、 n 阶行列式的定义
观察二阶行列式 a11 a12 = a11a22 − a12 a21 D= a21 a22 寻找 规律 ： 寻找规律 规律： 1. 二阶行列式是 2！项的代数和． 2. 每一项都是取自不同行、不同列的 2 个元素的乘积． 其任一项可写成：a1 j1 a2 j2 , 其中j1 j2是1, 2的一个排列． 3.（每项的符号规律） 当 j1 j2是偶排列时， 项 a1 j1 a2 j2 取正号； 当 j1 j2是奇排列时， 项 a1 j1 a2 j2 取负号．
22
则
命题3.3.1 行列式与它的转置行列式相等，即 D = DT． 证明： 设
a11 a12 ⋯ a1n a21 a22 ⋯ a2 n D= , ⋮ ⋮ ⋮ an1 an 2 ⋯ ann
b11 b12 ⋯ b1n b21 b22 ⋯ b2 n T D = ⋮ ⋮ ⋮ bn1 bn 2 ⋯ bnn
9
确定下列16个元素皆不相同的四阶行列式 例： 例：确定下列 1 3 4 −5 −6 5 7 8 −1 −7 0 6 2
−2 −3 −4
中 8 ⋅ (−5) ⋅ (−2) ⋅ 6 一项前面应冠以什么符号？ 分析： 8 ⋅ 6 ⋅ (−2) ⋅ (−5) 对应的元素字符为
a13a24 a32 a41
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例1 计算四阶行列式 a 0 0 c D= 0 e g 0 分析：
0 d f 0
b 0 0 h
D = acfh − adeh + bdeg − bcfg
14
四个结论
(1) 上三角形行列式 （主对角线下侧元素都为0）
a11 a12 0 a22 D= ⋮ ⋮ 0 0
⋯ ⋯ ⋱ ⋯
⋯ ⋯ ⋱
a1n a2 n = a11a22 ⋯ ann ⋮ ann
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命题3.3.2 交换一个行列式的两行（或两列），行列 式改变符号． 证明： 设 交换D的i、j 两行，得 a11 a12 ⋯ a1n
⋮ ⋮ ⋮ a i 1 a i 2 ⋯ a in D= ⋮ ⋮ ⋮ a j 1 a j 2 ⋯ a jn ⋮ ⋮ ⋮ an1 an 2 ⋯ ann
a11 a12 ⋮ ⋮ a j1 a j 2 D1 = ⋮ ⋮ ai 1 ai 2 ⋮ ⋮ an1 an 2
(−1)π ( i1i2⋯in )+π ( j1 j2⋯ jn )
即行列式的一般项为 (−1)π ( i1i2⋯in )+π ( j1 j2⋯ jn ) ai1 j1 ai2 j2 ⋯ ain jn
8
由此，得行列式的等价定义
a11 a12 ⋯ a1n a21 a22 ⋯ a2 n ⋮ ⋮ ⋮ an1 an 2 ⋯ ann
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行列式性质引言
行列式的计算是一个重要的问题，也是一个很麻烦的问 题．n 阶行列式一共有 n! 项，计算它就需要做 n!×(n-1) 个 乘法．当n 较大时，n! 是一个相当大的数字，直接从定义来 计算行列式几乎是不可能的事． 如对于一个18阶行列式，假定计算作一次乘法运算的时 间需要 10-6 秒，即百万分之一秒，则利用行列式的定义直接 计算 18 阶行列式的值需要的时间（以每天工作8小时计）竞 多达200年！ 因此有必要进一步讨论行列式的性质．利用这些性质可 以化简行列式的计算．
故此项的符号
(−1)π (3421) = (−1)5 = −1
10
故应冠以负号．
例： 用行列式的定义计算行列式 例：用行列式的定义计算行列式 0 1 0 1
D=
1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 1
分析：
D = (−1)π (4123) a14a21a32a43
∵ π (4123) = 3
7
引理3.3.1 从 n 阶行列式的第i1, i2, …, in 行和第 j1, j2, … , jn 列取出元素作乘积 ai1 j1 ai2 j2 ⋯ ain jn 这里i1 i2 … in 和 j1 j2 … jn 都是1, 2, …, n行这 n 个数码的 排列．那么这一项在行列式中的符号是