5.最大公因数和约分

3 的分子和分母只有公因数 1 。 4
分数的分子和分母只有公因数1的 数叫最简分数。
下面的分数哪些是最简分数？ 9/15 7/13 4/18 15/24 6/11 5/16
把
24 化成最简分数： 30
怎么化简？ 用分子和分母的公因数去除。 有没有更简便的方法？ 用最大公因数去除。
化最简分数步骤： 1.找分母和分子的最大公因数， 2.分数的分子和分母同时处以最大公因数， 3.检查是否是最简分数。
练习： 求8251和6105的最大公因数。
最大公因数的实际应用
超 市
长16米 宽12米
问题： 用边长是整分米数的正方形地砖把地面 铺满（使用的地砖都是整块）可以选择 边长是几分米的地砖？边长最大是几分米？
思考：
①地砖的边长必须既是16的因数，又是12的因数。 ②边长最大求的是什么？
练习： 1.铁匠师傅要把一张长18dm，宽是12dm 的长方形铁 皮裁成若干同样大小的小正方形，怎样裁能使得 到的小正方形最大，又不会浪费材料？ 2.五年级三个班分别有24人、36人、42人参加体育 活动，要使他们分成人数相等的小组，但各班不 能打乱班级，每组最多多少人？
①求出 4和8、16和32、17和34 的最大公因数 .
②求出 1和7、8和9、9和16 的最大公因数 . 1和7的最大公因数：1 8和9的最大公因数：1
4和8的最大公因数：4
16和32的最大公因数：16 17和34的最大公因数：17
9和16的最大公因数：1
从这组题 当两个数只有公因 中你发现了什 么？ 数1时，它们的最 从这组题 中你又发现了1。 大公因数也是 什么？
例1
8和12公有的因数是哪几个？ 公有的最大因数是多少？ 方法一：列举法 8和12的公因数有：1,2,4,； 8和12的最大公因数是4. 方法二：集合法 8的因数 12的因数
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8
1,2,4
3,6,12
几个数公有的因数叫做他们的公因数，
公因数中最大的因数叫做最大公因数。
求下列每组数的最大公因数：
18和27 18和24
3.一个最简分数，分子和分母的和是9，这样的最 简真分数有_____个。 4.18时=_____日
5.分母是10的所有最简真分数的和是______. 6.先把下面的分数约分，再按从小到达的顺序排 列。
2 16
42 28
35 56
84 96
9 24
7.分数 的分子、分母同时加上一个数，约 1 分后得 2 ，同时加上的这个数是多少？
当两个数成倍数关 系时，较小的数就 是它们的最大公因 数。
互质数
4 和8
当两个数是倍数关系时， 则最大公因数是较小的数； 当两个数互质时， 则最大公因数是1；
8 和9
12和16 当两个数没有关系时， 用短除法找最大公因数。
知识点 题型 1.两个数的公因数的个数是____的。 （填有限、无限） 2.最小的质数和最小的合数的最大公因数 是________。
方法：①短除法 ②分解质因数法 ③列举法
利用分解质因数的方法，可以比较简便地 求出两个数的最大公因数。例如:
24 = 2×2×2×3
36 = 2×2×3×3 24 和 36 的最大公因数 = 2×2×3 = 12。
公因数和最大公因数之间关系： 所有的公因数都是最大公因数的因数，最大
公因数是它们的倍数。
3.北山小学五（1）班的同学到“夕阳红老年公寓” 义务劳动。男生有15人，女生有20人，把他们分 成劳动小组。如果每组中男生人数相同，女生人 数也相同，最多可以分几组？每组中男生和女生 各有多少人?
运用转化法解决实际问题： 例 张老师给全班同学带来一些糖果。如果把110 块糖果平均分给同学们，则多5块；如果把210 块糖果平均分给同学们，则正好分完；如果把 240块糖果平均分给同学们，则还少5块。张老 师的班级最多有多少名同学？
2012年伦敦奥运会上，
男子400米自由泳游泳奥运会第一枚金牌； 男子200米自由泳银牌；
男子4×200米自由泳接力赛奥运会第一枚奖牌；
男子1500米自由泳决赛中得金牌，刷新该项目新 的世界纪录。
游泳池全长100米，孙杨游了75米， 朴泰桓游了全程的四分之三，谁游得远？
75/100和3/4是一回事吗？
求下列每组数的最大公因数：
4、6和10 18、21和27
方法：短除法
求下列每组数的最大公因数：
8 和9 7和10
互质数：公因数只有1的两个数叫互质数。
小结: ①互质数的两个数可以是质数，可以是合数。 ②相邻的两个数一定是互质数。
判断：互质数的两个数一定是质数。（ ）
两个数是互质数的3种情况： ①两个连续的非0自然数； ②两个不同的质数； ③1和任何数； ④2和任何奇数； ⑤一个质数和一个合数不是倍数关系；
a9 36
9.小明每天的生活非常有规律，每天晚上九 点钟睡觉，早晨6点钟起床，他每天大约有 几分之几的时间处于睡眠状态？
3.1和任何非0自然数的最大公因数是___。
4.两个不同的质数，他们的最大公因数是___。
5.a和b是两个非零自然数，如果a是b的倍数， 那么a和b的最大公因数是______。
6.如果自然数a、b满足a×b=32，那么a和32的 最大公因数是______。
7.A=2×3×7，B=2×5×3，那么A和B的最大公 数是________.
把一个分数化成和它相等，但分子和分母 都比较小的分数叫做约分。
练习：略 知识点题型： 1.一个分数约分后，分数的大小___________. 2.判断 ①最简分数的分子和分母没有公因数。（ ） ②最简分数的分子一定小于分母。( ) ③分子和分母都是奇数，这个分数一定是最 简分数。( ) ④分子和分母是质数，这个分数一定是最 简分数。（ ）
2 3
5 13
8.一个分数的分母减去3得 ，将它的分母加 1 上1，则得 2 。求原分数是多少。 9. 是最简真分数，a可取的整数共有多少 个？
23 30
7.把一个分数约分，用2约2次，用3约1次， 5 得 ，这个分数原来是________。
8
8.
是最简分数，a可取的自然数共有 _______个。
8.按要求写出两个数，使它们的最大公因数是1. （1）两个数都是合数：____和_____;
（2）两个数都是奇数：_____和_____; （3）一个偶数和一个奇数：____和_____.
课外拓展： 运用辗转相除法求两个较大数的最大公因数： 例 求9021和9991的最大公因数
第一步：用最大数除以较小数， 即9991÷9021=1…970 第二步：用上一步中的被除数除以余数，即 9021÷970=9…291 第三步：用上一步中的被除数除以余数，即 970÷291=3…97 第四步：用上一步中的被除数除以余数，即291÷97=3 直到整除为止，最后的一个除数97就是9021和9991的最 大公因数。
小结：明确求最多有多少名同学，就是求相关 数的最大公因数是解决此题的关键。
练习： 把38个苹果和31个梨分给若干个小朋友，使每个 小朋友分得的个数相同，梨的个数也相同。结果 苹果多2个，梨多3个，分到苹果和梨的小朋友最 多是几个人人？每人分得几个苹果和几个梨？
第 30 届 夏 季 奥 林 匹 克 运 动 会