内切球与外接球求法(经典习题)

一、球与棱柱的组合体问题

1. （2007天津理•12）一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱

的长分别为1，2，3，则此球的表面积为 ．

答案 14π

2.（2006山东卷）正方体的内切球与其外接球的体积之比为 ( )

A . 1∶3

B . 1∶3

C . 1∶33

D . 1∶9

答案 C

3.已知正方体外接球的体积是π3

32，那么正方体的棱长等于（ ） A.22 B.332 C.324 D.3

34 4.(吉林省吉林市2008届上期末)设正方体的棱长为233

，则它的外接球的表面积为（ ） A ．π38

B ．2π

C ．4π

D ．π3

4

答案C

5.（2007全国Ⅱ理•15）一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2 cm 的球面上。如果正四

棱柱的底面边长为1 cm ，那么该棱柱的表面积为 cm 2.

答案 2+

6.（2008海南、宁夏理科）一个六棱柱的底面是正六边

形，其侧棱垂直底面．已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为

98，底面周长为3，则这个球的体积为 ．

答案 3

4π 7．（2012辽宁文）已知点P,A,B,C,D 是球O 表面上的点,PA ⊥平面ABCD,四边形

ABCD 是边长为形

.若则△OAB 的面积为______________.

二、锥体的内切球与外接球

8.（辽宁省抚顺一中2009届高三数学上学期第一次月考）

棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个

球面上，若过该球球心的一个截面如图，则图中

三角形(正四面体的截面)的面积是 . 答案

9.（2006辽宁）如图，半径为2的半

球内有一内接正六棱锥 P ABCDEF -，则此正六棱锥的侧面积是________． 答案

F

10. （陕西理•6）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大

圆上，则该正三棱锥的体积是（ ）

A ．

4

33 B ．33 C ． 43 D ．123 答案 B 11.（2009枣庄一模）一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体外接球的表面积为 （ ）

A ．π3

B ．π2

C ．316π

D ．以上都不对

答案C

12．正三棱柱111ABC A B C -内接于半径为2的球， 若22的边长为ABC ∆，则正三棱柱的体积为 ．答案 8

2014高三补充题：

（1）已知长方体的一个顶点上的三条棱长分别是h ,8,4，且它的8个顶点都在同一个球面上，这个球面的

表面积为100π，则________=h （答：52）

（2）三棱锥ABC P -的四个顶点都在半径为4的球面上，且三条侧棱

两两互相垂直，则该三棱锥侧面积的最大值为__________(答案：32)

（3）一个空间几何体的三视图如图所示，且这个空间几何体的所有顶点

都在同一个球面上，则这个球的表面积是 .（答：16π）

（4）在三棱柱111C B A ABC -中，侧棱1AA 垂直底面，,1,30,9000==∠=∠BC BAC ACB

且三棱柱 111C B A ABC -的体积为3，则三棱柱111C B A ABC -的外接球表面积为______（答：16π）

(5) 在四面体ABCD 中，,5,4,6======BC AD BD AC CD AB

则四面体ABCD 的外接球表面积为______(答：即长方体的外接球表面积：2

77π) （6）四棱锥ABCD P -的底面是边长为24的正方形，侧棱长都等于54，则经过该棱锥五个顶点的

球面面积为________（答：100π）

（7）正三角形ABC 的边长为2，将它沿高AD 翻折，使点B 与点C 间的距离为1，此时四面体ABCD

外接球表面积为______(答：3

13π) （8）已知O 的直径,4=PQ C B A ,,是球O 球面上的三点，ABC ∆是正三角形，且

,300=∠=∠=∠CPQ BPQ APQ 则三棱锥ABC P -的体积为（ B ） A.433 B.439 C.233 D.4

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(9)(长春第四次调研试题)已知空间4个球，它们的半径分别为2,2,3,3，，每个球都与其他三个球外切，

另有一个小球与这4个球都外切，则这个小球的半径为（ B ） A.117 B.116 C.115 D .114 （10）（辽、哈、东北师大一联模）球O 的球面上有四点,,,,C B A S 其中C B A O ,,,四点共面，ABC ∆是

边长为2的正三角形，面SAB ⊥面ABC ,则棱锥ABC S -的体积的最大值为（D ）

A. 3

B.3

1 C.23 D.33 (11) （快乐考生预测卷一）已知正方体1111D C B A ABCD -的各顶点都在同一个球面上，若四面体

11CD B A -的表面积为83， 则球的体积为_________（答：π34）

(1２)（快乐考生预测卷四）如图，一个几何体三视图的正视图和侧视图为边长

为２锐角６０0

的菱形，则此几何体的内切球表面积为（ ）

A. π8

B.π4

C.π3

D.π2

（１３）（快乐考生预测卷五）在平行四边形ABCD 中，0=⋅→→BC AB ，622

2=+→→BD AB ，若将ABD ∆沿BD 折成直二面角C BD A --，则三棱锥BCD A -外接球的表面积为________（答：６π）

（１４）已知矩形ABCD 的顶点都在半径为４的球O 的球面上，且,32,6==BC AB 则棱锥ABCD O -的体积为________（答：38）

(15)点A,B,C,D 在同一个球的球面上，,2,2==

=AC BC AB 若四面体ABCD 体积的最大值为32，则这个球的表面积为 (答：C)

A.6125π

B.π8 C 425π D.1625π