数项级数的概念与基本性质

8.1数项级数的概念与基本性质教学目的理解级数的概念和基本性质教学重点级数的基本性质，收敛的必要条件，几何级数教学难点有穷项相加与无穷项相加的差异教学过程1.导入以前我们学习的加法是将有限个数相加，这种加法易于计算但无法满足应用的需要．在许多技术问题中常要求我们将无穷多个数相加，这种加法叫做无穷级数．无穷级数是表示函数、研究函数性质以及进行数值计算的一种工具．无穷级数分为常数项级数和函数项级数，常数项级数是函数项级数的特殊情况，是函数项级数的基础． 2.讲授新课2.1常数项级数的概念定义8.1 设给定数列}{n a ，我们把形如 ∑∞==++++121n nn aa a a （8.1.1）的式子称为一个无穷级数，简称级数．其中第n 项n a 称为级数∑∞=1n na的通项（或一般项）．如果级数中的每一项都是常数，我们称此级数为数项级数.例如， 等差数列各项的和+-+++++++])1([)2()(1111d n a d a d a a 称为算术级数．等比数列各项的和+++++-112111n q a q a q a a称为等比级数，也称为几何级数．级数11n n ∞=∑ =111123n +++++ 称为调和级数．级数（8.1.1）的前n 项和为：121nn k k k S a a a a ===+++∑ ，称n S 为级数∑∞=1n na的前n 项部分和，简称部分和．2.2常数项级数收敛与发散定义8.2 若级数(8.1.1)的部分和数列}{n S 的极限存在， 即 S S n n =∞→lim (常数)则称极限S 为无穷级数∑∞=1n na的和．记作++++==∑∞=n n n a a a a S 211此时称级数∑∞=1n na收敛；如果数列}{n S 没有极限，则称级数∑∞=1n na发散，这时级数没有和．显然，当级数收敛时，其部分和n S 是级数和S 的近似值，它们之间的差++=-=++21n n n n a a S S r叫做级数的余项．用近似值n S 代替S 所产生的误差是这个余项的绝对值，即误差为||n r ．例１ 讨论几何级数+++++=∑∞=-n n n aq aq aq a aq211的敛散性，其中0≠a ，q 是公比．结论：几何级数∑∞=-11n n aq，当1||<q 时收敛，且qaaq n n -=∑∞=-111；1||≥q 时发散． 例2 判别无穷级数++++⋅+⋅=+∑∞=)1(1321211)1(11n n n n n 的敛散性． 例3 证明级数+++++=∑∞=n n n 3211发散．2.3收敛级数的基本性质 性质8.1 若s an n=∑∞=1,σ=∑∞=1n nb，则级数σ±=±∑∞=s b a n n n 1)(．性质8.2 若∑∞=1n na收敛，k 为非零常数，则级数∑∞=1n nka也收敛，且有∑∑∞=∞==11n n n na k ka．性质8.3 若级数∑∞=1n na收敛，则0lim =∞→n n a .性质8.3表明，0lim =∞→n n a 是级数收敛的必要条件．因此，如果级数的通项不趋于0，则该级数一定发散；若该级数的通项趋于0，则该级数可能收敛，也可能发散．例4 已知级数为++++++12735231n n ， 讨论其敛散性．注意：性质8.3只是级数收敛的必要条件，并非充分条件．例如调和级数+++++=∑∞=n n n 13121111， n a n 1=，01lim lim ==∞→∞→n a n n n ，但它是发散的.3.小结 3.1无穷级数∑∞=1n nu＝ +++++n u u u u 321其中n u 叫通项．3.2部分和n nk kn u u u us +++==∑= 211，当s s n n =∞→lim 存在时级数收敛，否则发散．3.3四条基本性质：性质1-4．3.4收敛的必要条件．4.布置习题(略)8.2正项级数及其审敛法教学目的理解正项级数的概念和性质教学重点正项级数的各种审敛法，几何级数与P-级数教学难点比较判别法教学过程1.复习 1.1问题⑴级数就是无穷多项相加吗? ⑵级数收敛的必要条件?⑶算术级数、等比级数、调和级数的敛散性 1.2讲解作业 2.讲授新课级数的问题，首先是敛散性问题.一般来说，根据级数收敛与发散的定义、性质只能判别出少数级数的敛散性，因此还必须建立其他的判别法.下面将分别给出正项级数、任意项级数的敛散性判别法.首先，来研究正项级数及其敛散性的判别法.2.1正项级数的定义定义8.3 若数项级数∑∞=1n nu的一般项0≥n u （ ,2,1=n ），则称数项级数∑∞=1n nu为正项级数．正项级数是很重要的一类数项级数，下面我们给出两种常用的判定正项级数收敛或发散的法则，这些法则都给出了级数收敛的充分条件． 2.2比较判别法定理8.1（比较判别法） 设∑∞=1n nu和∑∞=1n nv是两个正项级数，若n n cv u ≤（1,2,;n =c 为大于零的常数）则（1）当∑∞=1n nv收敛时，∑∞=1n nu也收敛；（2）当∑∞=1n nu发散时，∑∞=1n nv也发散．注意：定理8.1告诉我们：只需与已知敛散性的正项级数作比较，便可判定正项级数的敛散性．通常我们选用几何级数和下面的-p 级数作为判定正项级数敛散性的比较对象．级数+++++p p p n131211（常数0>p ） 称为-p 级数，-p 级数当1≤p 时发散，当1>p 时收敛（证明从略）．调和级数即为1p =时的情形．例5 判定下列级数的敛散性：(1)∑∞=11n n；(2)∑∞=11n nn． 2.3比值判别法比较审敛法是通过与某个已知敛散性的级数比较对应项的大小，来判断给定级数的敛散性，但有时不易找到作为比较对象的已知级数，这就提出了一个问题，能否从级数本身直接判别级数的收敛性呢？达朗贝尔找到了比值审敛法．定理8.2（比值判别法，又称达朗贝尔判别法） 若正项级数∑∞=1n nu（0>n u ）的后项与前项之比值的极限等于ρ，即ρ=+∞→nn n u u 1lim，则（1）1<ρ时，级数收敛；（2）1>ρ（或∞=ρ）时，级数发散； （3）1=ρ时，不能判断级数的敛散性．例6 判别下列级数的敛散性：(1)∑∞=122n n n ； (2)∑∞=1!n n n n ．２.４课堂练习⑴利用比较判别法，判断下列级数的敛散性： ① ++++7151311；② +-++++1253321n n ． ⑵利用比值判别法，判断下列级数的敛散性：①∑∞=123n n n ；②∑∞=1!1n n ．3.小结⑴正项级数的概念；⑵比较审敛法、比值审敛法 4.布置习题(略)8.3任意项级数及其审敛法教学目的理解变号级数的概念和性质教学重点交错级数的审敛法，绝对收敛与条件收敛教学难点绝对收敛与条件收敛教学过程1.复习复习正项级数比较审敛法、比值审敛法 2.讲授新课2.1绝对收敛级数与条件收敛级数设),3,2,1( =n u n 为任意实数，则级数∑∞=1n nu称为任意项级数．为了判定任意项级数∑∞=1n nu的收敛性，通常先考察其各项的绝对值组成的正项级数∑∞=1n nu的收敛性．定理8.3 若绝对值级数∑∞=1n nu收敛，则级数∑∞=1n nu必定收敛．注：由于∑∞=1||n nu总是正项级数，因此定理8.3 使得一大类级数的收敛性问题转化为正项级数的收敛性问题．定义8.4 若级数∑∞=1||n n u收敛，则称原级数∑∞=1n n u 绝对收敛．若级数∑∞=1||n n u 发散，而级数∑∞=1n nu收敛，则称级数∑∞=1n nu为条件收敛．例7 判断级数∑∞=1!n nn a （a 为任意常数）的敛散性． 注意：定理8.3的逆定理并不成立．即绝对收敛的级数一定收敛，但收敛级数却不一定绝对收敛．2.2交错级数及其审敛法定义8.5 若级数的各项符号正负相间，即∑∞=+-=+-+-114321)1(n n n u u u u u ，或 ∑∞=-=+-+-1321)1(n n nu u u u ，则称此级数为交错级数，其中0>n u （ ,2,1=n ）． 由于级数∑∑∞=∞=+--=-111)1()1(n n n n n nu u ，所以下面只讨论∑∞=+-11)1(n n n u 的敛散性．定理8.4（莱布尼兹判别法） 若交错级数∑∞=+-11)1(n n n u ，0>n u ，1,2,n = ，满足条件：（1）1+≥n n u u ，1,2,n = ；（2）0lim =∞→n n u ，则级数∑∞=+-11)1(n n n u 收敛，且其和1u S ≤．例8 判断级数∑∞=-1)1(n nn 的敛散性．解 此交错级数1n u n =，111n u n +=+，满足（1）111+>n n （1,2,n = ）（2）01)1(lim lim =-=∞→∞→nu n n n n 由莱布尼兹判别法知，级数收敛．又由于(1)1n n u n n -==，而调和级数11n n∞=∑发散，故原级数是条件收敛．此例也说明，定理8.3的逆定理不成立． 3.小结⑴任意项级数的M 判别法 ⑵绝对收敛与条件收敛⑶交错级数与莱布尼茨判别法 (另提行)4.布置习题(略)第6章7份 第7章3份 第8章6份 第9章4份8.4幂级数及其收敛性教学目的理解幂级数的概念；求简单幂级数的收敛半径及收敛区间．教学重点幂级数的收敛性教学难点幂级数的收敛性教学过程1.导入上一节学习了常数项级数的概念及敛散性的判别方法，常数项级数是函数项级数的特例，那么什么是函数项级数呢？ 2.讲授新课2.1函数项级数的概念若给定一个定义在区间I 上的函数列)(1x u ，)(2x u ，…，)(x u n ，… 则由此函数列构成的表达式121()()()()nnn u x u x u x u x ∞==++++∑ （8.2.1）称为定义在I 上的函数项级数，)(x u n 称为一般项或通项．对每一确定的点I x ∈0，都对应一个数项级数121()()()()nnn u x u x u x u x ∞==++++∑ （8.2.2）若数项级数（8.2.2）收敛，则称0x 为函数项级数（8.2.1）的收敛点．若数项级数（8.2.2）发散，则称0x 为函数项级数（8.2.1）的发散点．函数项级数（8.2.1）的收敛点的全体称为它的收敛域，发散点的全体称为它的发散域．对于收敛域内的任意一个数x ，函数项级数成为一个收敛域内的数项级数，因此，有一个确定的和()x S ．这样，在收敛域上，函数项级数的和是关于x 的函数()x S ，通常称()x S 为函数项级数的和函数，记作()()∑∞==1n n x u x S ．其中x 是收敛域内的任意一点．将函数项级数的前n 项和记作()x S n ，则在收敛域上有()()x S x S n n =∞→lim ．函数项级数中最简单、最重要的一类，就是我们下面要讨论的幂级数． 2.2幂级数及其收敛性定义8.6 形如+++++=∑∞=n n n n nx a x a x a a x a22100（8.2.3）的级数称为幂级数，其中0a ，1a ，…，n a ，…称为幂级数的系数．对幂级数，我们首先要考虑的也是它的收敛性问题，首先介绍如下定理． 定理8.5 若ρ=+∞→||lim 1nn n a a ， 其中n a ，1+n a 是幂级数∑∞=0n n nx a相邻两项的系数，则(1)当0=ρ时，幂级数∑∞=0n n nx a在任何()+∞∞-∈,x 处收敛；(2)当+∞=ρ时，幂级数∑∞=0n n nx a仅在0=x 收敛；(3)当ρ为不等于的常数时，幂级数∑∞=0n nn x a 在⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈ρρ1,1x 内收敛，在⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-∈,11,ρρ x 内发散． 0≠ρ时，令ρ1=R ，并规定：0=ρ时，+∞=R ；+∞=ρ，0=R ．R 称为幂级数∑∞=0n n nx a的收敛半径；区间()R R ,-称为幂级数的收敛区间． R 为正常数时，幂级数在收敛区间的端点处R x ±=可能收敛，也可能发散；R x >时，幂级数发散．如果收敛半径R 为正数，那么在求幂级数收敛域时，要注意考察端点处的敛散性，所得收敛域有四种：[,]R R -、(,]R R -、[,)R R -、(,)R R -，它们通常都称为幂级数的收敛区间.例1 求幂级数∑∞=--11)1(n nn nx 的收敛半径与收敛区间． 例2 求幂级数∑∞=12n nn x 的收敛区间．例3 求幂级数∑∞=0!n nn x 的收敛区间．练一练求下列幂级数的收敛区间：(1)∑∞=1n nnx ； (2)∑∞=1!n n x n ．3.小结⑴幂级数的概念； ⑵收敛半径1limnn n a R a →∞+=，收敛区间注意讨论端点； 4.布置习题(略)8.5幂级数的性质教学目的理解幂级数的性质，会幂级数的主要运算.教学重点幂级数的4条性质(包括在收敛区间内可逐项求导和逐项积分).教学难点收敛区间内可逐项求导和逐项积分.教学过程1.复习1.1幂级数的概念. 1.2收敛半径1limnn n a R a →∞+=，收敛区间讨论端点. 2.讲授新课2.1幂级数的性质性质8.4 若幂级数∑∞=0n nnx a与∑∞=0n n n x b 的收敛半径分别为1R 和2R ，则∑∑∑∞=∞=∞=+=+0)(n nn n n nn n nn x b a x b x a 的收敛半径等于1R 和2R 中的较小的一个．性质8.5 设幂级数∑∞=0n nnx a的收敛半径为R （0>R ），则其和函数∑∞==0)(n n n x a x S 在区间),(R R -内连续．性质8.6 设幂级数∑∞=0n n nx a的收敛半径为R （0>R ），则其和函数)(x S 在),(R R -内可导，且有逐项求导公式：∑∑∞=-∞=='='010)()(n n n n nn x na x a x S ，其中R x <||，且逐项求导后所得的幂级数和原级数有相同的收敛半径．性质8.7 设幂级数的收敛半径为R （0>R ），则其和函数)(x S 在区间),(R R -内可积，且有逐项积分公式：∑∑⎰⎰∑⎰∞=+∞=∞=+===011)()(n n n n xnn xn nn xx n a dx x a dx x a dx x S ，其中R x <||，且逐项积分后所得的幂级数与原级数有相同的收敛半径． 2.2利用性质求幂级数的收敛区间和和函数例4 求幂级数∑∞=-11n n nx的收敛区间及和函数．解11lim ||lim 1=+==∞→+∞→n n a a n nn n ρ，收敛半径11==ρR ，又1±=x 时，所得的级数发散，因此收敛区间为)1,1(-．设和函数∑∞=-=11)(n n nxx S ，由性质8.7xxx dx nx dx nxdx x S n n n xn xn n x-====∑∑⎰⎰∑⎰∞=∞=-∞=-1)()(11111，)1,1(-∈x ， 两边对x 求导得 2)1(1)1()(x x x x S -='-=，)1,1(-∈x ． 课堂练习：⑴求幂级数101n n x n +∞=+∑的和函数．解 设和函数为)(x s ，即)(x s ＝∑∞=++011n n n x ． 两端求导，并注意到)1,1(,1112-∈+++++=-x x x x xn ． 可得1001()()11n n n n x s x x n x +∞∞==''===+-∑∑． 上式两端从0到x 积分，得01()(0)d ln(1)1xs x s x x x -==---⎰， (1,1)x ∈-. 由于(0)0s =．又当1x =-时，10(1)1n n n +∞=-+∑收敛，所以 ∑∞=++011n n n x =)1,1[)1ln(-∈--x x ． ⑵求幂级数21(1)21n n n x n +∞=-+∑的和函数，并求级数01(1)21n n n ∞=-+∑的和． 解略3.小结幂级数的性质，特别是逐项微分和逐项积分性质.4.布置习题(略)8.6函数展开成幂级数教学目的函数能展开为幂级数的条件；泰勒级数的概念．5个重要的初等函数的幂级数展开式及它们的收敛区间；将简单的初等函数展开为x 的幂级数．教学重点函数展开成泰勒级数；间接展开法.教学难点函数展开成泰勒级数.教学过程1.导入前面讨论了幂级数的收敛域及其和函数的求法，但在实际问题中往往会提出相反的问题：对于已知函数)(x f ，能否用幂级数来表示? 下面将讨论这个问题．2.讲授新课2.1泰勒级数⑴泰勒展开式若函数)(x f 在点0x 的某一邻域内具有直到)1(+n 阶的导数，则对此邻域内任意x 有+-''+-'+=200000)(!2)())(()()(x x x f x x x f x f x f()()()()()()()10100!1!++-++-+n n n n x x n f x x n x f ξ. （8.3.1） 称(8.3.1)为)(x f 的泰勒展开式或泰勒公式，其中ξ在0x ，x 之间，且()()()()()101!1++-+=n n n x x n f x R ξ 称为)(x f 的n 阶泰勒余项． n n x x n x f x x x f x x x f x f x f )(!)()(!2)())(()()(00)(200000-++-''+-'+≈ ． (8.3.2) 在泰勒展开式中，当00=x 时，记x θξ=，10<<θ，公式（8.3.1）成为()()()()11)(2!1!)0(!2)0()0()0(++++++''+'+=n n n n x n x f x n f x f x f f x f θ (8.3.3) 称(8.3.3)为)(x f 的麦克劳林展开式．⑵泰勒级数若)(x f 在点0x 的某邻域内具有各阶导数)(x f '，)(x f ''，…，)()(x fn ，…，此时我们可让多项式（8.3.1）的项数趋于无穷而构成幂级数 +-++-''+-'+n n x x n x f x x x f x x x f x f )(!)()(!2)())(()(00)(200000 （8.3.4） 幂级数（8.3.4）称为函数)(x f 的泰勒级数．定理8.６ 设函数)(x f 在点0x 的某一邻域)(0x U 内具有各阶导数，则)(x f 在该邻域内能展开成泰勒级数的充分必要条件是)(x f 的泰勒公式中的余项)(x R n 当∞→n 时的极限为零.即0)(lim =∞→x R n n （)(0x U x ∈）． 在（8.3.4）式中，若00=x ，可得 +++''+'+=n n x n f x f x f f x f !)0(!2)0()0()0()()(2 （8.3.5） 级数（8.3.5）称为函数)(x f 的麦克劳林级数．函数)(x f 的麦克劳林级数是x 的幂级数，若)(x f 能展开成x 的幂级数，则展开式是唯一的，就是)(x f 的麦克劳林级数．2.2函数展开成幂级数⑴直接展开法利用麦克劳林公式将)(x f 展开成x 的幂级数，其步骤如下：①求出)(x f 的各阶导数)(x f '，)(x f ''，…，)()(x fn ，…，如果)(x f 在0=x 处的某阶导数不存在，则)(x f 不能展开成幂级数；②求出函数及其各阶导数在0=x 处的值： )0(f ，)0(f '，)0(f ''，…，)0()(n f ，…；③写出函数)(x f 的幂级数并求出收敛半径R ；④考察),(R R x -∈时，余项)(x R n 的极限1)1()!1()(lim )(lim ++∞→∞→+=n n n n n x n f x R ξ （ξ在0与x 之间）． 是否为零.如果为零，则级数（8.3.6）收敛，且和函数就是)(x f ．即+++''+'+=n n x n f x f x f f x f !)0(!2)0()0()0()()(2． ),(R R x -∈ 如果极限不为零，则级数（8.3.6）的和函数就不是)(x f ，即)(x f 不能展开成x 的幂级数．例1 将函数x e x f =)(展开成x 的幂级数．例2 将函数x x f sin )(=展开成x 的幂级数．例3 函数m x x f )1()(+=（其中m 为任意常数）展开成x 的幂级数．⑵间接展开法通常利用几何级数、x e 、x sin 、()mx +1的幂级数展开式，根据函数幂级数展开式的唯一性，通过代数运算或求导、求积分运算将函数)(x f 展开成幂级数，这种方法称为间接展开法．例4 将x211-展开为x 的幂级数． 例5 将函数x x f cos )(=展开为x 的幂级数．例6 将)1ln()(x x f +=展开为x 的幂级数．3.小结⑴泰勒系数与泰勒级数；⑵函数的泰勒级数展开式（主要掌握间接展开）；4.布置习题(略)。