第32讲 薛定谔方程 一维势阱

一维晶格中电子的势能曲线
如果直接用此曲线表示的 势能代入薛定谔方程中，就形 成一个相当困难的数学问题。
第二次简化：
x0
xa
用平均势能代替晶格势能
这一步的实质是不考虑电 子间、电子与晶格离子间的相 互作用，这样的电子就相当于 理想气体分子－自由电子气。
x0
xa
U
第三次简化： 将平均势能作为零势能 将表面势能视为无限大
n ( x)
16 E1
2 nπ n ( x) sin x a a
n2 E1
n 1 ， 2，
0 xa
2 h En n2 2 2 8 ma
9 E1
4 E1 E1 0
a
x
2 d V. 阱中波函数及相关结果的分析 x k 2 x 0 dx 2 ①比较经典的驻波方程
可得
An a / 2
结果： 一维无限深势阱中粒子的波函数
0 n ( x) 2 nπ a sin a x
( x 0, x a ) n 1， 2， (0 x a )
为了深刻理解量子力学基本原理，要对上述结果作一个全 面讨论。同时也验证一下，在极限情况下它能否回到经典理论 的结果。（因为这个模型太抽象，不可能用实验直接验证）
n En (2n 1) E1 2 1 / a
给定 a时. n 越大，ΔE 越大。
En n2 E1
比较氢原子的能级结构
E1 En 2 n
(b) Emin 0
2ma 2 2 2 2 c 1.9732 1014 3.142 估算 E1 2 2 2m c a 2 0.511 106 a 2 4 9 1020 3.6 1019 eV 2 2 a 1 a 2 20 2 则 E1 36eV a 10 m 若 a = 1nm
nπ 8 m k E 2 h a
2 2 2 h En n2 2 2 8 ma
由边界条件，波函数在 x = a 处连续
2
nπ k a
n 1,2
n ≠ 0！
能量是量子化的!
n = 0，相当于E = 0，这意 味着阱中处处找不到粒子。
nπ x 量子数为 n 的定态波函数记为 n ( x ) An sin a a 2 2 2 nπ 由归一化条件 | n ( x ) | dx An sin ( x ） dx 1 - 0 a
或
Fra Baidu bibliotek
2 2 2 8 2 m x 2 y 2 z 2 ( x, y, z ) h2 E E p ( x, y, z ) 0
引入算符 上式记为
2 2 2 2 2 2 x y z
2
——拉普拉斯算符
8 2 m x, y, z 2 E E p x , y, z 0 h
——势场中粒子的一维含时薛定谔方程
2 ＝-i E t h
E = Ek+Ep
p Ek 2m
2
2 4 2 p2 ＝ 2 2 x h
3. 定态薛定谔方程 若粒子的势能Ep与时间无关,仅是坐标的函数,在 数学上就可以对波函数分离变量，即
( x, t ) ( x ) f (t )
②比较经典粒子的能量 经典力学的结果： (a ) E 0 量子力学的结果：
(b) Emin 0
(a ) E 0
能量是量子化的
En n2 E1
考察相邻能级差
n 1,2
En En1 En
h2 E1 2 2 8 ma
[(n 1)2 n2 ]E1
n (2n 1) E1 2 1 / a
y ( x, t ) 2 A cos(
2

x
2 1
2
)cos( t
2 1
2
)
若这个驻波是在两端固定的弦线产生的 2 1 则 y (0, t ) 0 (2n 1) 2 2 2 y ( x , t ) 2 A sin x cos( t ) 则 2 n 2 y (a , t ) 0 则 a n 即 a n y ( x , t ) 2 A sin x cos( t ) 所以 a n y ( x ) A sin x a 这与 n ( x ) 的形式完全相同，可见德布罗意的猜测是 对的。能量量子化是物质波在空间受到限制的结果。
h2 2 ( x, t ) h ( x, t ) E p ( x, t ) i 代入 2 2 8 m x 2 t
得
h2 2 ( x ) h f (t ) 2 f (t ) E p ( x ) f (t ) i ( x) 2 8 m x 2 t
作如下运算：
2 2 2 i ( Et px ) 2 4 2 p2 4 p h ＝ 0e ＝ 2 2 2 x h h
p2 自由粒子的能量等于其动能, 即 E = Ek, 而 Ek 2m 2 2 h ( x, t ) h ( x, t ) 非相对论 i
0 0
量子力学的结果： P ( x ) ( x )
2
2 2 n sin ( x) a a
n = 1 ，粒子出现在阱底中部的 概率最大，两端的概率为零。
2 1( x) x
a x 2
0
当系统处于激发态，n = 2,3 … 粒子在阱中的分布出现起伏
随着量子数n的增大（激发能级高），概率密度 曲线的峰值增多，同时峰值间距缩小。 当量子数 n 很大时，相邻峰值间距很小，几乎连 成一片，就非常接近均匀分布了。
势能零点的选取有任意性。
x0
xa
II. 势能函数
0 (0 x a ) U ( x) ( x 0 , x a )
d 2 ( x ) 8 2 m III. 薛定谔方程 2 ( E p E ) ( x ) 2 dx h
由于阱外发现粒子 的概率为零，所以阱外 波函数必为零。
2
比较谐振动方程
d2x 2 x0 2 dt
定态薛定谔方程特解为 ( x ) A cos(kx )
由边界条件，波函数在 x = 0 处连续，
有 因此 有 由于 所以
(0) A cos 0
(2n 1)

2
( x ) A sin kx
(a ) A sin ka 0
8 2 m x 2 2 t
——自由粒子的一维含时薛定谔方程
2. 势场中粒子的一维含时薛定谔方程
非自由粒子
若粒子在势能为Ep的力场中运动，则只要将能量 E用Ek+Ep替代，可得
h2 2 ( x, t ) h ( x, t ) 2 E p ( x, t ) i 2 8 m x 2 t
2
5. 薛定谔方程应用于一维无限深势阱中的粒子 到目前为止，我们有了两条关于微观粒子的基 本原理： ①微观粒子的状态（量子态）用波函数描写； 波函数的意义用概率解释， 波函数满足：归一化条件， 标准条件。 ②微观粒子状态的变化遵循薛定谔方程。 薛定谔方程是否正确，这要由实验验证。可将 薛定谔方程用于某量子系统，进行分析并作出逻辑 推断，再对这种推断进行实验验证。
空间函数 =时间函数 =常量（与x、t 无关） 令这个常数为E，则由方程左边得：
h2 2 ( x ) E E p ( x ) 0 2 2 8 m x
由方程的右边可得
f (t ) e
i
2 Et h
此式与时间无关, 称为势场中粒子的定态薛定谔方程。 E具有能量的量纲，实际上是粒子的总能量。 定态薛定谔方程不是由任何原理导出的，而是 由自由粒子含时薛定谔方程推广而得，其正确性要 由实验验证。
4. 三维定态薛定谔方程[了解]
若粒子在三维力场中运动，且其势能Ep与时间无
关, 仅是坐标的函数。则定态薛定谔方程可写为
h2 2 ( x, y, z ) 2 ( x, y, z ) 2 ( x, y, z ) E E p ( x, y, z ) 0 2 2 2 2 8 m x y z
En (2n 1) E1 36 （ 2n 1 ）eV
量子效应很明显 若 a = 10-2m 则
a 2 104 m 2 E1 3.6 1015 eV 0
E1
2
2
En (2n 1) E1 0
量子效应不明显
③粒子在阱中的分布 经典力学的结果：均匀分布 P ( x ) 1/ a a a P ( x)dx P ( x) dx P ( x)a 1
P ( x, t ) ( x, t ) ( x )
2
2
因此，当粒子所在的势场不随时间变化时，粒子 在空间出现的概率也不随时间变化，而且力学量的测 量值的概率分布和平均值都不会随时间变化。 粒子的这种状态称为定态。 本章后面所讨论的问题都属于定态情形。定态薛 定谔方程的每一个解就代表粒子的一个稳定状态。玻 尔假设中的氢原子定态实际上就是定态薛定谔方程在 氢原子情形中的一系列解。
两边同时除以 ( x ) f (t ) ,得到
1 h2 2 ( x ) h 1 f (t ) 2 E p ( x ) i 2 ( x ) 8 m x 2 f (t ) t
1 h2 2 ( x ) h 1 f (t ) E ( x ) i p 2 2 ( x) 8 m x 2 f (t ) t
一维无限深势阱中的粒子 I. 物理背景 金属中的电子、原子中的电子、原子核中的质 子及中子等粒子的运动都有一个共同的特点，即粒 子的运动被限制在一定的空间范围内。 或者说，粒子处于束缚态。 为了便于分析，可以对束缚态的粒子提出一种 比较简化的理想模型。 例如，电子在金属晶格中的运动。
第一次简化： 对于各向同性的晶体， 三维可作一维研究。
要使由定态薛定谔方程解出的Φ(x)合理，必须 满足单值、有限、连续和归一化条件。
在一般情况下， ( x )的具体函数形式取决于势场 的性质，只要势场不随时间变化，粒子的波函数总具 有以下形式 i Et (x ) ─定态波函数 ( x , t ) ( x )e 粒子在空间的概率密度

V(x)
边界条件：
(0) (a ) 0
由标准条件，波函 数在阱内外不能突变。
( x) 0
0 a
( x) 0
x
这样就把粒子限制在0→a 范围内了
IV. 求解方程、确定常数 在 0 < x < a 区域，定态薛定谔方程为
令
d x 8 2 m 2 E x 0 2 dx h 2 8 m 2 k E 2 h d 2 x 2 k x 0 2 dx
一维无限深势阱中定态薛定谔方程的通解为：
( x) Ae ikx Be ikx
或 ( x) C cos kx D sin kx
2 Et h
如果考虑随时间的演化，应求解含时的薛定谔方程
则
( x, t ) ( x )e
i
通解就是两列反向行波的叠加，结果应形成驻波。 与经典的一维驻波方程比较 2 2 1 2 1 y ( x , t ) 2 A cos( x )cos( t ) 2 2
1. 自由粒子的一维含时薛定谔方程 考虑非相对论状况(u<<c)下一维空间中质量为m, 能量为E，动量为p的自由粒子，其波函数为
( x , t ) 0e
i 2 ( Et px ) h
2 i ( Et px ) 2 2 h ＝-i E 0e ＝-i E t h h