数学思想方法系列：从整体考虑

数学思想方法系列：从整体考虑

有的同学在阅读课外读物的时候，或在听老师讲课的时候，书上的例题或老师讲解的例题他都能听懂，但一遇到没有见过面的问题就不知从何处入手。看来，要提高解决问题的能力，首先得提高分析问题的能力，这就需要学习一些重要的数学思想方法。先说说最基本最重要的：

从整体考虑

从整体上来考察研究的对象，不纠缠于问题的各项具体的细节，从而能够拓宽思路，抓住主要矛盾，一举解决问题。

例1右图是一个4×4的表格，每个方格中填入了数字0或1。按下列规则进行

“操作”：每次可以同时改变某一行的数字：1变成0，0变成1。问：能否通过若

干次“操作”使得每一格中的数都变成1？

解：我们考察表格中填入的所有数的和的奇偶性：第一次“操作”之前，它等于9，是一个奇数，每一次“操作”，要改变一行或一列四个方格的奇偶性，显然整个16格中所有数的和的奇偶性不变。但当每一格中所有数字都变成1时，整个16格中所有数的和是16，为一偶数。故不能通过若干次“操作”使得每一格中的数都变成1。

例2有三堆石子，每堆分别有1998，998，98粒。现在对这三堆石子进行如下的“操作”：每次允许从每堆中各拿掉一个或相同个数的石子，或从任一堆中取出一些石子放入另一堆中。按上述方式进行“操作”，能否把这三堆石子都取光？如行，请设计一种取石子的方案；如不行，请说明理由。

解：要把三堆石子都取光是不可能的。按“操作”规则，每次拿掉的石子数的总和是3的倍数，即不改变石子总数被3除时的余数。而1998+998+98=3094，被3除余1，三堆石子被取光时总和被3除余0。所以，三堆石子都被取光是办不到的。

例3要在一个圆周上标出一些数，第一次先把圆周二等分，在两个分

段圆弧分别二等分，在四个分点旁标上相邻两分点旁所标两数的和（如图3少？

分析与解：当第八次标完数以后，圆周上已标的数共有256个，考虑每一步增加的每一个数是很繁的。我们考虑每一步增加的数的总和，因为增加的每个数都是原来相邻两个数之和，所以每次增加数的总和恰好是原来所有数总和的2倍，也就是说每次标完数之后圆周上所有数的总和是前一步标完数后圆周上所有数的和的3倍。于是，第八次标完数后圆周上所

有数的总和是：

例4：自行车轮胎安装在前轮上，行驶5000千米报废；若安装在后轮上，只能行驶3000米。为了行驶尽可能多的路，如果采用当自行车行驶一定路程时前后轮胎调换的方法，那么安装在自行车上的一对轮胎，最多可以行驶多少千米？

分析与解：轮胎安装在前轮上，行驶5000千米报废,考虑每个轮胎的可使用量为单位1，那安装在前轮上每千米路的消耗为1/5000，安装在后轮上每千米路的消耗为1/3000，自行车每行驶1千米共消耗1/5000+1/3000，一对轮胎的总量为2，2÷（1/5000+1/3000）=3750 米， 答：最多可以行驶3750米。

这题是第八届华罗庚金杯赛的一道决赛题。

换一次的话，应在3750米的中途，即1875米处换轮胎。换二次较复杂，可在第一个四等分点的地方换一次，再在第三个四等分点的地方换一个

拓展：三轮摩托车(前面一个轮,后面并排两个轮)的三个轮胎从新安装到报废所行驶的千米数不同.安装在前轮上的轮胎行驶24000千米后报废；安装在左后轮和右后轮上的轮胎分别只能行驶15000千米和10000千米.为了使某摩托车行驶尽可能多的路程,采用行驶一定路程后将2个轮胎对调的方法,如果最多可对调2次,那么该摩托车用三条新轮胎最多可以行驶多少千米?

分析：此题是第八届华杯赛决赛试题的一个改编，原题是自行车只有两个轮胎，现在是三个轮胎，比原题更复杂些。还是可以从整体考虑。设每个轮胎可消耗物为“1”，则安装在前轮行每千米消耗轮胎的240001，在左后轮每行1千米消耗轮胎的150001

，在右后轮每行1千米消耗100001，因此这辆三轮摩托车每行驶1千米，共消耗一个轮胎的（240001＋150001＋100001）＝48001

，那么三条新轮胎里有多少个48001就可以行多少千米。3÷48001＝14400千米。因为这题只需填答案，因此不必纠缠于到底第一次在何时换，第二次在何时换。从整体考虑是一种用途极广的数学方法，请同学们做题要经常想得起来。

例5、甲、乙、丙三个容器中，各有一定量的酒精.如果先把甲容器中的酒精的31

倒入乙容器，再把乙容器中的酒精的31倒入丙容器,最后把丙容器中的酒精的31

倒入甲容器,那么三

个容器中各有酒精31

千克.问甲容器中原来有酒精多少千克?

分析：此题也可以列方程做，设甲，乙，丙的原有酒精量分别为甲，乙，丙。则根据题意可列方程：

（31甲+乙）×（1-31）=31

（1）

[（31甲+乙）×31+丙] ×（1-31）=31

（2）

[（31甲+乙）×31+丙]×31+23甲=31

（3）

别看上面这三个式子这么复杂，其实只要掌握一点小技巧，就很快能做出来的。这个小

技巧就是从整体考虑，把（31甲+乙）看作一个整体，通过（1）式可以求到（31甲+乙）=21

，

把（2）式中的（31甲+乙）用21来代替，则很容易求得丙=31

，

把（2）式中的[（31甲+乙）×31+丙]也看成一个整体，可根据第二个式子求得[（3

1

甲+乙）×31+丙]= 21，把它代入（3）式可求得甲=41，则乙=1-31-41=5

12

例6 ：有8只盒子，每只盒内放有同一种笔。8只盒子所装笔的支数分别为17支、23支、33支、36支、38支、42支、49支、51支。在这些笔中，圆珠笔的支数是钢笔支数的2倍，钢笔支数是铅笔支数的31

，只有1只盒里放的是水彩笔。这盒水彩笔共有多少支？

解：（1）余数分析，从整体考虑。设定钢笔的支数是1份，则圆珠笔的支数是2份，铅笔支数是3份，这三种笔总数是6份。那么笔的总数扣去水彩笔的数量要被6整除。把总数加起来则17＋23＋33＋36＋38＋42＋49＋51＝289。除以6的余数是1。而所有盒中的笔数，只有49除以6的余数是1。可见这盒水彩笔有49支。

例7 求下图中阴影部分的面积（单位：cm ）。