离散数学-集合论基础
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• 也就是说, A∩B={x | (x∈A ∧ x ∈B)}.
集合论基础
集合交运算的性质
• 幂等律: A∩A=A • 零一律: A∩Φ= Φ • 同一律: A∩E=A • 交换律: A∩B=B∩A • 结合律: (A∩B) ∩C=A∩ (B∩C)
集合论基础
集合的并
• 集合A和集合B中所有属于A或属于B的元 素组成的集合,记作A∪B.
• 也就是说, ~A={x | x A}.
集合论基础
集合补运算的性质
• 对合律: ~(~A)=A • De Morgan律:
~(A∪B)=~A∩~B, ~(A∩B)= ~A∪~B • 否定律: ~E= Φ, ~ Φ=E
A∪~A=E, A∩~A= Φ
集合论基础
集合的差
• 所有属于集合A而不属于集合B的元素组 成的集合. 记作A-B. 也就是说, A-B={x|(x∈A ∧ x B)}.
集合论基础
集合的概念
注意：集合无法精确定义！
说明 • 集合：把具有共同性质的一些组成一个
整体，通常用大写字母表示，A，B，S • 有限集与无限集
集合论基础
元素与集合
• 元素：组成集合的单个事物，通常用小 写字母表示，a, b, c
• 若一个元素 a 在集合A内，称a属于A， 记作 a∈A。
• 若一个元素 a 不在集合A内，称a不属于 A，记作 a A。
即, A⊕B= (A-B) ∪ (B-A)
集合论基础
集合对称差运算的性质
• 交换律: A⊕B= B⊕A • 同一律: A⊕Φ=A • 零一律: A⊕A= Φ • 结合律: (A⊕B)⊕C= A⊕(B⊕C) • A⊕B= (A∩~B) ∪ (~A∩B)
集合论基础
集合运算的其它性质
分配律: • A∩(B∪C)= (A∩B)∪(A∩C) • A∪(B∩C)= (A∪B)∩(A∪C) • A∩(B-C)=(A∩B)-(A∩C) 吸收律: • A∪(A∩B)=A • A∩(A∪B)=A
• 也就是说, A∪B={x|(x∈A ∨ x ∈B)}.
集合论基础
集合并运算的性质
• 幂等律: A∪A=A • 同一律: A∪Φ=A • 零一律: A∪E=E • 交换律: A∪B=B∪A • 结合律: (A∪B)∪C=A∪(B∪C)
集合论基础
集合的补
• E是全集, A是一个集合,属于E而不属于A 的元素所组成的集合.记作~A.
• 若|A|=n, 则Þ(A)={Ai |i ∈J}, J={j | j是 n 位 二进制数,000…0≦j ≦111…1}. 为什么?
集合论基础
集合的运算
• 集合的交 • 集合的并 • 集合的补 • 集合的差 • 集合的对称差
集合论基础
集合的交
• 集合A和集合B的所有共同元素所组成的 集合.记作A∩B.
注: 可以推广到n个集合的情形.
集合论基础
序偶
• 具有固定次序 • 表示两个个体之间的关系 • 记作<a, b>. 显然, <a, b>≠<b, a>. • 比较: 序偶与集合的关系
(序偶也称为有序集)
• 注意: 可以推广到n元情形.
集合论基础
笛卡尔积
• 给定集合A和集合B, 定义这样的序偶,其 第一个元素属于A, 第二个元素属于B.
集合论基础
子集
• 子集: 集合A的每一个元素都是集合B的 元素,则称A是B的子集. 记作A B. 也就是说, Vx (x∈A→ x ∈B).
回忆:两个集合相等的充要条件是互为子
集!
集合论基础
真子集
集合 A是集合B的子集, 且A与B不相等,则 称A是B的真子集.
也就是说, (Vx) (x∈A→ x ∈B) ∧ (y) (y ∈B ∧ y A)
• 注意:全集的概念是相对的.
集合论基础
幂集
• 给定任意一个集合A,由A的所有子集作为 元素所组成的集合 记作Þ(A).
• 显然: (1) Φ和A是Þ(A)中的元素; (2) 如果|A|=n, |Þ(A)|=2n.
集合论基础
基于幂集的二进制编码
• 把集合A中的元素按出现的次序作为二进 制数的位,而各元素在A的每个子集中的 出现编为1, 不出现则为0. 这样每个子集 唯一地对应着一个二进制数编码.
• 上述序偶组成的集合称为集合A和B的笛 卡尔积. 记作A X B.
• 也就是说, A X B={<x, y>| (x∈A) ∧(y∈B)}
集合论基础
笛卡尔积的性质
• AXB ≠ BXA • 若A=Φ或B=Φ, 则AXB=Φ. • (AXB)XC ≠AX(BXC) • AX(B∪C)=(AXB)∪(AXC) • AX(B∩C)=(AXB)∩(AXC) • (A∪B)XC=(AXC)∪(BXC) • (A∩B)XC=(AXC)∩(BXC)
• 比较(1)A-B和B-A; (2)差运算和补运算.
集合论基础
集合差运算的性质
• A-B=A∩~B • A-B=A-(A∩B)
集合论基础
集合的对称差
• 或者属于集合A, 或者属于集合B, 但不能 同时属于A和B. 记作A⊕B.
• 也就是说, A⊕B={x| (x∈A ∧x B) ∨ (x∈B ∧x A)},
集合论基础
空集
不包含任何元素的集合称为空集. 记作Φ. 也就是说, Φ={x | P(x) ∧ ¬P(x)}
• 注意:空集是任意集合的子集. • 比较:Φ和{Φ}
集合论基础
全集
• 在一定范围内,如果所有集合都是一个集 合的子集,那么此集合可作为全集,记作E. 也就是说, E={x | P(x) ∨ ¬P(x)}.
集合论基础
思考
• 集合运算有最小运算符集合吗? • 如果有,是什么? A: {~, ∩} 或{~, ∪}
集源自文库论基础
集合的计数
• 包含与排斥原理: A和B是有限集, 其元素 个数分别为|A|和|B|, 则 |A∪B|=|A|+|B|-|A∩B|. 特别地, 当A和B不相交时, 有 |A∪B|=|A|+|B|.
集合论基础
集合的表示
• 枚举法 把集合中的所有元素列举出来 例: A={1,2,3,…N}
• 叙述法 把集合中元素的共同性质刻划出来 例: A={x | P(x)}, P为一谓词.
集合论基础
外延性原理
两个集合相等,当且仅当它们有相同的成员. 记作A=B.
也就是说, Vx ( x∈A ↔x ∈B)
集合论基础
集合交运算的性质
• 幂等律: A∩A=A • 零一律: A∩Φ= Φ • 同一律: A∩E=A • 交换律: A∩B=B∩A • 结合律: (A∩B) ∩C=A∩ (B∩C)
集合论基础
集合的并
• 集合A和集合B中所有属于A或属于B的元 素组成的集合,记作A∪B.
• 也就是说, ~A={x | x A}.
集合论基础
集合补运算的性质
• 对合律: ~(~A)=A • De Morgan律:
~(A∪B)=~A∩~B, ~(A∩B)= ~A∪~B • 否定律: ~E= Φ, ~ Φ=E
A∪~A=E, A∩~A= Φ
集合论基础
集合的差
• 所有属于集合A而不属于集合B的元素组 成的集合. 记作A-B. 也就是说, A-B={x|(x∈A ∧ x B)}.
集合论基础
集合的概念
注意：集合无法精确定义！
说明 • 集合：把具有共同性质的一些组成一个
整体，通常用大写字母表示，A，B，S • 有限集与无限集
集合论基础
元素与集合
• 元素：组成集合的单个事物，通常用小 写字母表示，a, b, c
• 若一个元素 a 在集合A内，称a属于A， 记作 a∈A。
• 若一个元素 a 不在集合A内，称a不属于 A，记作 a A。
即, A⊕B= (A-B) ∪ (B-A)
集合论基础
集合对称差运算的性质
• 交换律: A⊕B= B⊕A • 同一律: A⊕Φ=A • 零一律: A⊕A= Φ • 结合律: (A⊕B)⊕C= A⊕(B⊕C) • A⊕B= (A∩~B) ∪ (~A∩B)
集合论基础
集合运算的其它性质
分配律: • A∩(B∪C)= (A∩B)∪(A∩C) • A∪(B∩C)= (A∪B)∩(A∪C) • A∩(B-C)=(A∩B)-(A∩C) 吸收律: • A∪(A∩B)=A • A∩(A∪B)=A
• 也就是说, A∪B={x|(x∈A ∨ x ∈B)}.
集合论基础
集合并运算的性质
• 幂等律: A∪A=A • 同一律: A∪Φ=A • 零一律: A∪E=E • 交换律: A∪B=B∪A • 结合律: (A∪B)∪C=A∪(B∪C)
集合论基础
集合的补
• E是全集, A是一个集合,属于E而不属于A 的元素所组成的集合.记作~A.
• 若|A|=n, 则Þ(A)={Ai |i ∈J}, J={j | j是 n 位 二进制数,000…0≦j ≦111…1}. 为什么?
集合论基础
集合的运算
• 集合的交 • 集合的并 • 集合的补 • 集合的差 • 集合的对称差
集合论基础
集合的交
• 集合A和集合B的所有共同元素所组成的 集合.记作A∩B.
注: 可以推广到n个集合的情形.
集合论基础
序偶
• 具有固定次序 • 表示两个个体之间的关系 • 记作<a, b>. 显然, <a, b>≠<b, a>. • 比较: 序偶与集合的关系
(序偶也称为有序集)
• 注意: 可以推广到n元情形.
集合论基础
笛卡尔积
• 给定集合A和集合B, 定义这样的序偶,其 第一个元素属于A, 第二个元素属于B.
集合论基础
子集
• 子集: 集合A的每一个元素都是集合B的 元素,则称A是B的子集. 记作A B. 也就是说, Vx (x∈A→ x ∈B).
回忆:两个集合相等的充要条件是互为子
集!
集合论基础
真子集
集合 A是集合B的子集, 且A与B不相等,则 称A是B的真子集.
也就是说, (Vx) (x∈A→ x ∈B) ∧ (y) (y ∈B ∧ y A)
• 注意:全集的概念是相对的.
集合论基础
幂集
• 给定任意一个集合A,由A的所有子集作为 元素所组成的集合 记作Þ(A).
• 显然: (1) Φ和A是Þ(A)中的元素; (2) 如果|A|=n, |Þ(A)|=2n.
集合论基础
基于幂集的二进制编码
• 把集合A中的元素按出现的次序作为二进 制数的位,而各元素在A的每个子集中的 出现编为1, 不出现则为0. 这样每个子集 唯一地对应着一个二进制数编码.
• 上述序偶组成的集合称为集合A和B的笛 卡尔积. 记作A X B.
• 也就是说, A X B={<x, y>| (x∈A) ∧(y∈B)}
集合论基础
笛卡尔积的性质
• AXB ≠ BXA • 若A=Φ或B=Φ, 则AXB=Φ. • (AXB)XC ≠AX(BXC) • AX(B∪C)=(AXB)∪(AXC) • AX(B∩C)=(AXB)∩(AXC) • (A∪B)XC=(AXC)∪(BXC) • (A∩B)XC=(AXC)∩(BXC)
• 比较(1)A-B和B-A; (2)差运算和补运算.
集合论基础
集合差运算的性质
• A-B=A∩~B • A-B=A-(A∩B)
集合论基础
集合的对称差
• 或者属于集合A, 或者属于集合B, 但不能 同时属于A和B. 记作A⊕B.
• 也就是说, A⊕B={x| (x∈A ∧x B) ∨ (x∈B ∧x A)},
集合论基础
空集
不包含任何元素的集合称为空集. 记作Φ. 也就是说, Φ={x | P(x) ∧ ¬P(x)}
• 注意:空集是任意集合的子集. • 比较:Φ和{Φ}
集合论基础
全集
• 在一定范围内,如果所有集合都是一个集 合的子集,那么此集合可作为全集,记作E. 也就是说, E={x | P(x) ∨ ¬P(x)}.
集合论基础
思考
• 集合运算有最小运算符集合吗? • 如果有,是什么? A: {~, ∩} 或{~, ∪}
集源自文库论基础
集合的计数
• 包含与排斥原理: A和B是有限集, 其元素 个数分别为|A|和|B|, 则 |A∪B|=|A|+|B|-|A∩B|. 特别地, 当A和B不相交时, 有 |A∪B|=|A|+|B|.
集合论基础
集合的表示
• 枚举法 把集合中的所有元素列举出来 例: A={1,2,3,…N}
• 叙述法 把集合中元素的共同性质刻划出来 例: A={x | P(x)}, P为一谓词.
集合论基础
外延性原理
两个集合相等,当且仅当它们有相同的成员. 记作A=B.
也就是说, Vx ( x∈A ↔x ∈B)