数字信号处理WD-6-Z变换性质、解差分方程、频域特征

z 1
如果单位圆上，X(z)无极点，则x(∞)=0。
2.5.9
有限项累加特性
z n ZT x(m) X ( z ) , z max[ Rx ,1] m 0 z 1
n n n ZT x(m) x(m) z m 0 n 0 m 0
表征系统的复频域特性。
H ( e j ) H ( z )
z e j
收敛域包含单位圆
H(z)收敛域包含单位圆IzI=1，则
H ( e j ) H ( z )
z e j
H (e j ) 表征系统对特征序列 e jn 的响应特性
jn 如果系统的输入信号为 x(n) e
则系统输出信号为 y (n) h(n) * x(n)
x+>R x->R y+>R y-时，则M(z)不存在。
2.5.2 序列的移位
设
ZT [ x(n)] X ( z ),
R
x-<|z|<R x+
m 则 ZT [ x(n m)] z X ( z ) ，R
x-<|z|<R x+
2.5.3 乘以指数序列 设X(z)=ZT［x(n)］, R

1
y (k ) z k ]
z m [Y ( z )
k m

1
y (k ) z k ]

k 0
N
ak y (n k ) bk x(n k )
k 0
M

k 0
N
a k z [Y ( z ) y (l ) z ] bk X ( z ) z
W(z)的收敛域就是X(z)和Y(z)的公共收敛域。
证明：
W ( z ) ZT [ x(n) * y (n)]

n
[ x(n) * y (n)] z n
n

n m
[ x ( m) y ( n m)] z
n m
ZT [ y ( n m )u (n )] y ( n m ) z n

移位序列的单边Z变换
n 0
z z
m

n 0 k m

y (n m) z ( n m ) y (k ) z k
m


z m [ y (k ) z k
k 0
k m
n *
* n x(n)( z ) n X * ( z* ) , Rx z Rx
2.5.6 翻转序列
设 X ( z ) ZT [ x(n)] , ZT [ x(n)] X ( z ) ,
1
Rx z Rx ，则
1 1 W (1) X (v)Y * ( ) v 1dv 2j c v W (1)
n *
按照假设，z=1在收敛域中，将其带入W(z)
x ( n) y ( n) z
*

n z 1

n
x ( n) y ( n)
* *

1 * * 1 x ( n) y ( n) X (v)Y ( ) v 1dv 2j c v n j 如果x(n)和y(n)都满足绝对可和，即单位圆上收敛，满足 v e 1 x ( n) y * ( n) X (e j )Y * (e j )d 2j c n 1 2 j 2 x(n) 2j c X (e ) d 与傅里叶变换中的帕斯维尔定理相同 若x(n)=y(n) n
Rx
1
z Rx
1
2.5.7 初值定理 设x(n)是因果序列，X(z)=ZT［x(n)］
x(0) lim X ( z )
z
X ( z ) x (n ) z n x (0) x (1) z 1 x (2) z 2
n 0
证明
单频复指数信号

m
h ( m) x ( n m)
h ( m ) e j ( n m )
jn

e jn 通过频率响 应函数为 H (e j )
的系统后，输出 仍为单频复指数 序列，其幅度放 H (e j ) 倍，相 大 移为 ( ) 。
m
z dv W ( z) c X (v)Y ( v ) v 2 j
Rx R y z R x R y
1
W(z)的收敛域 式中v平面上，被积函数的收敛域为
max( Rx , z Ry v min( Rx , z Ry )
证明：
W ( z)
n
m
x(m)[ y (n m)z n ]
( n m )
m
x(m) z [ y(n m)z
n
]
X ( z )Y ( z )
2.5.11
复卷积定理 R R
x-<|z|<R x+ y-<|z|<R y+
如果ZT［x(n)］=X(z)， ZT［y(n)］=Y(z), w(n)=x(n)y(n) 则
Y ( z ) ZT y (n), Ry z Ry Rx Ry 1, Rx Ry 1
1 dv 那么 x(n) y (n) 2 j c X (v)Y v* v n
*
X ( z ) ZT x(n), Rx z Rx
设x(n)为因果序列，X ( z ) ZT x(n), z Rx ，则
证明：

zm n x ( m) z x ( m) 1 z 1 m 0 nm m 0 z X ( z) , z max[ Rx ,1] z 1
则
证明
dX ( z ) dz
dX ( z ) d d n n [ x(n) z ] x(n) [ z ] dz dz n dz n
nx ( n ) z n 1 z 1 nx (n ) z n
n n


z 1ZT [nx ( n )] dX ( z ) ZT [nx ( n )] z dz
N
ak y (n k ) bk x(n k )
k 0
M

k 0
N
ak Y ( z ) z
k
bk X ( z ) z k
k 0
M
Y ( z)

k 0 N k 0 N
N
bk z k X ( z) ak z k
Y ( z) H ( z) X ( z)
式中
H ( z)

k 0 k 0 N
bk z k ak z k
y (n) Z 1T [Y ( z )]
2、求暂态解 （已知N个初始条件y(-1),y(-2)…y(-N)，设x(n)是因 果序列，对差分方程做单边z变换。）
Y ( z ) y (n) z n
n 0
2.5.5 复序列的共轭
设 X ( z ) ZT [ x( n)] , ZT [ x * ( n)] X * ( z * ) ,
* 证明： ZT [ x (n)]
Rx z Rx ，则 Rx z Rx

n
x* (n) z n ( x(n)( z * ) n )*

因此
lim X ( z ) x(0)
z
2.5.8 终值定理
若x(n)是因果序列，其Z变换的极点，除 可以有一个一阶极点在z=1上，其它极点均在 单位圆内，则
lim x(n) lim ( z 1) X ( z )
n z 1
终值定理也可用X(z)在z=1点的留数，因为
lim ( z 1) X ( z ) Re s X ( z ), 1 x () Re s X ( z ), 1
x ( n) y ( n) z n 1 X (v)v n 1dv] y (n) z n 2j c
n

n
[
收敛域：
1 z c X (v)n y(n)( v ) 2j 1 z dv c X (v)Y ( v ) v 2j
dv v
Rx v Rx
e
m
h ( m ) e j m
H (e j )e jn
y (n) H (e j )e jn H (e j ) e j[n ( )]
幅频特性函数
相频特性函数
k l i k k 0
1
M
k
Y ( z)

k 0 k 0 N
M
bk z k ak z k
X ( z)

k 0
N
ak z k y ( l ) z l
i k
1

k 0
N
ak z k
2.7
利用Z变换分析信号和系统的频域特性
2.7.1
传输函数与系统函数
2.5
Z 变换的性质和定理
2.5.1 线性 设X(z)=ZT［x(n)］,Rx-<|z|<Rx+ Y(z)=ZT［y(n)］, Ry- <|z|< Ry+ m(n)=a x(n)+b y(n) 则 M(z)=ZT[m(n)]= aX(z)+bY(z), R 当 R
m-<|z|<R m+
Rm+=max［ Rx+,Ry+］, Rm-=max［ Rx,Ry-］
max( Rx ,
z Ry v z Ry
z Ry
) v min( Rx ,
z Ry
)
z Ry Ry v
Rx R y z R x R y
2.5.12 帕斯维尔(Parseval)定理 利用复卷积定理可以证明重要的帕斯维尔定理。
2.6 利用z变换解差分方程
N阶线性常系数差方程为

k 0
N
ak y (n k ) bk x(n k )
k 0
M
1、稳态解（无初始条件下的解，直接利用z变换）
2、暂态解（已知N个初始条件y(-1),y(-2)…y(-N)）
1、求稳态解
无初始条件下的解，直接利用z变换。

k 0
1
*
v平面上，c所在的收敛域为
1 1 max( Rx , ) v min( Rx , ) Ry Ry
证明：
w(n) x(n) y * (n)
ZT [ y * (n)] Y * ( z * )
Rx R y
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1 * z * 1 W ( z ) ZT [ w(n)] c X (v)Y ( v ) v dv 2j z Rx R y Rx Ry 1, Rx Ry 1 已知
x-<|z|<R x+
y(n)=anx(n), a为常数
则Y(z)=ZT［anx(n)］=X(a-1 z)
|a|R
x-<|z|<|a|R x+
2.5.4 序列的线性加权
设
X ( z ) ZT [ x (n )] ZT [nx (n )] z Rx z R x Rx z Rx
2.5.10 序列卷积 设 (n) x(n) y (n)
X ( z ) ZT [ x (n)], Y ( z ) ZT [ y (n)],
则
Rx z Rx Ry z Ry R z R
W ( z ) ZT [ (n)] X ( z ) Y ( z ), R min[ Rx , Ry ] R max[ Rx , Ry ]
H(n)系统的单位取样响应（单位脉冲响应）：设系统的初始 状态为零，系统对输入为单位采样序列δ（n）的响应输出。 （输入为δ（n）的零状态响应）
H (e )
j
n


h(n )e j n
频率响应函数，表征系统 的频率响应特性。
H ( z)
n
h( n) z n