高中数学--必修4--(王后雄电子版)

第1章节 三角函数
1．1 任意角和弧度制
【例题1】下列命题正确的是（ ）
A. 终边相同的角一定相等
B. 第一象限角都是锐角
C. 锐角都是第一象限角
D.小于90°的角都是锐角
【例题2】给出下列四个命题：①﹣75°是第四象限角；②225°是第三象限
角；③475°是第二象限角；④﹣315°是第一象限角。

其中正确的命题有
（ ）。

A.1个
B.2个
C. 3个
D.4个
【例题3】如图，点A 在半径为1且圆心在原点的圆商，且∠＝45°。

点P 从点A 处出发，依逆时针方向匀速地沿单位圆旋转。

已知点P 在1秒钟内
转过的角度为θ（0°＜θ＜180°），经过2秒钟到达第三象限，经过14秒钟后又回到出发点A ，求θ，并判断其所在的象限
【例题4】设E ＝{小于90°的角}，F ＝{锐角}。

G ＝{第一象限的角}，M ＝{小于90°但不小于0°的角}，则有（ ）。

A ．
B ．
C ．（ ）
D ．
【例题5】在与角10030°终边相同的角中，求满足下列条件的角。

（1）最大的负角；（2）最小的正角；（3）360°~720°的角。

【例题6】与﹣457°角终边相同的角的集合是（ ）
A ．{}00360457,k k Z αα=⋅+∈
B ．{}0036097,k k Z αα=⋅+∈
C ．{}00360263,k k Z αα=⋅+∈
D ．{}
00360263,k k Z αα=⋅-∈ 【例题7】下列各命题中，假命题是（ ）
例题3
B. 一度的角是周角的，一弧度的角是周角的
C. 根据弧度的定义，180°一定等于π的弧度
D. 不论是用角度制还是用弧度制度量角，它们均与圆的半径长短有关。

【例题8】若两角的和是1弧度，此两角的差是1°，试求这两个角的大小。

【例题9】若角α是α一象限角，问2α、3
α是第几象限角？ 【例题10】 如图所示，（1）分别写出终边落在OA 、OB 位置上的角的集合；
（2）写出终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合。

【例题11】已知角β的终边在如图中阴影所表示的范围内（不包括边界），那么β∈ 。

【例题12】(1)设集合A ＝{}180150,k k Z αα=+∈∪{}180,k k Z αα=∈。

集合B ＝{}18090,k k Z ββ=+∈则（ ）
A. A ⊃≠B
B. B ⊆≠
A C. A ∩
B ＝∅ D. A ＝B （2）设集合M ＝{}90,k k Z αα=∈∪{}18045,k k Z αα=+∈, N ＝{}45,k k Z ββ=∈，则集合M 与集合N 的关系是（ ）
A. M ⊃≠N
B. M ⊆≠
N C. M ＝N D. M ∩N ＝∅ 【例题13】用弧度表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合（不包括边界，如图）
例题10
象限角。

【例题15】已知⊙O的一条弧的长等于该圆内接正三角形的边长，则从OA顺时针旋转到OE所形成的角α的弧度数是.
【例题16】将钟表上的时针作为角的始边,分针作为终边,那么当钟表上显示8点5分时,时针与分针构成的角度是.
【例题17】今天是星期一,
（1）7k（k∈Z）天后的那一天是星期几？7k（k∈Z）天前的那一天是星期几？
（2）158天后的那一天是星期几？
【例题183dm，宽为1dm的长方体木块在桌面上做无滑动的翻滚，翻滚到第三面时被一小木板挡住，使木块底面与桌面成30°的角，问点A走过的路程及走过的弧对应的扇形的总面积。

速效基础演练
1. 下列命题中正确的是（）
A. 第一象限角一定不是负角
B. 小于90°的角一定是锐角
C. 钝角一定是第二象限角
D. 终边和始边都相同的角一定相等
2. 与405°角终边相同的角一定相等（）
A. k·360°－45°，k∈Z
B. k·360°－405°，k∈Z
C. k·360°＋45°，k∈Z
D. k·180°＋45°，k∈Z
4.下列各式不正确的是（ ）
A.终边在x 轴上的角的集合是{/,}ααk πk z =∈
B. 终边在y 轴上的角的集合是{/,}2
πααk πk z =
+∈ C. 终边在坐标轴上的角的集合是{/,}2
πααk k z =⋅∈ D. 终边在y=X 上的角的集合是{/2,}4πααk πk z =+∈ 5.射线OA 饶端点O 逆时针旋转270°到达OB 位置，由OB 位置顺时针旋转270°到达OC 位置，则∠AOC=
6.扇形的圆心角是72°，半径为5cm ，它的弧长为 ，面积为 .
知能提升突破
1.将-885°化为360αk +⋅°（0°≤α≤360°，k z ∈）的形式是（ ）
A.-165°+(-2)×360°
B. 195°+(-3)×360°
C.195°+(-2)×360°
D. 165°+(-3)×360°
2.已知一扇形的弧所对的圆心角为54°，半径r=20cm,则扇形的周长为（ ）
A.6πcm
B.60cm
C.(40+6π)cm
D.1080cm
3.若3α=-，则角α的终边在（ ）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限 D 第四象限
4. 将-1485°化成2(02,)k k Z απαπ+≤<∈的形式是（ ）。

A. 84π
π-- B. 784ππ-- C. 104ππ-- D. 7104
ππ- 5. 已知集合}{}{|2(21),,|44,A k k k Z B απαπαα=≤≤+∈=-≤≤则A B ⋂=（ ）。

A. ∅
B. {}|0ααπ≤≤
C. {}|44αα-≤≤
D. {|4ααπ-≤≤-或}0απ≤≤
6. 时钟经过一小时，时针转过了（ ）。

A.6rad π
B. 6rad π
- C. 12rad π
D. 12rad π
-
7.下列四个命题中正确的是（ ）。

A. α是第一象限的角，则2
α必为第一象限的角 B.360()k k Z α+︒∈表示与α终边相同的角，则α是锐角
8.终边经过点(,)(0)a a a ≠的角α的集合是（ ）。

A. 4π⎧⎫⎨⎬⎩⎭ B. |2,4k k Z πααπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭ C.5,44ππ⎧⎫⎨⎬⎩⎭ D. |2,4k k Z πααπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭
9.与角-1 560°终边相同的角的集合中，最小正角是__________，最大负角是____________。

10.α为第四象限角，则2α在_____________。

11.在直径为10cm 的轮上有一长为6cm 的弦，P 为该弦的中点，轮子以每秒5弧度的角的速度旋转，则经过5秒后点P 转过的弧长是__________。

12.（1）写出与-1 840°终边相同的集合M=______________________________。

（2）把-1 840°的角写成360(0360)k αα︒+︒≤<︒的形式为________________。

（3）若角M α∈，且[]360,360α∈-︒︒，则角α=_______________。

13.已知角α是第二象限角，试判断角2
a 和2α各是第几象限。

14.解答下列各题：
（1）已知扇形的同长为10cm ，面积为4cm 2,求扇形圆心角的弧度数；
（2）已知扇形圆心角是72°，半径等于20cm,求扇形的面积；
（3）已知一扇形的周长为40㎝，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？
15. 若角β1）的直线上，写出β的集合；当β∈（﹣360°，360°）时，求β。

最新5年高考名题诠释
【考题1】已知α为第三象限，则2
α所在的象限是（ ） A.第一或第二象限 B.第二或第三象限 C.第一或第三象限 D.第二或第三象限
【考题2】集合A={a/a=60°+K ·360°,K ∈Z},
【考题3】如图1-1-15，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB.小区
的两个出入口设置在点A及点C处，且小区里有一条平行与BO的小路CD.已知某
人从C沿CD走到D用了10分钟.，从D沿CD走到D用了10分钟，若此人步行的
速度为每分钟50米，求该扇形的半径OA的长（精确到1米）
任意角的三角函数
【例题1】有下列命题：①终边相同的角的同名三角函数的值相同：②：终边不同的角的同名三角函数的值不等：③若sinα＞0,则α是第一、二象限的角：④：若α是第二象限的角。

且P（X,y）是其终边上
.其中正确的命题的个数是（）
的一点。

则
22
+
x y
A.1
B.2
C.3
D.4
π的正弦、余弦和正切值.
【例题2】求5
3
【例题3】如图1-2-7，已知角α的终边经过点P(4，-3),求α的正弦、余弦、正切函数值。

【例题5】若sin θ＜且tan θ＞0.则θ是第 象限角.
【例题6】若sin θcos θ＞0,则θ在（ ）
A.第一或第二象限
B.第一或第三象限
C.第一象限或第四象限
D.第二或第四象限
【例题7】已知sin sin ,cos cos ,θθθθ=-=-且sin cos 0θθ•≠，判断点(tan ,sin )P θθ在第几象限。

【例题8】已知
cos cot sin tan 0sin cos tan cot αααααααα+++=，确定sin(cos )tan(sin )2αα的符号。

【例题9】利用正弦线、余弦线、正切线研究各象限内角的三角函数的符号。

【例题10】利用三角函数线比较下列各组数的大小：
（1）2sin 3π与4sin 5π； （2）2tan 3π与4tan 5π； （3）2cos 3π与4cos 5
π。

【例题11】若02πα<<
，证明：（1）sin cos 1αα+>；（2）sin tan ααα<<。

【例题12】确定tan(672)-的符号。

【例题13】求sin(1200)cos1290cos(1020)sin(1050)tan945-+--+的值
【例题14】已知sin-53
，并且α是第四象限角，求cos ,tan αα.
【例题15】化简：sec sec 1a a ⎛+ -⎝.
【例题16】已知
sin 1tan 1
αα=--，求下列各式的值. （1）sin 3cos sin cos αααα-+； （2）2sin sin cos 2ααα++.
【例题17】化简下列各式：
（1）2220sin(1350)tan 405()cot 7652cos(1080);b b ab αα-+----
（2）sin(-
116π)+cos 1213tan 4sec 53
πππ⋅-.
【例题18】化简下列各式：
（1 （2
【例题19】化简：
1sin cos 2sin cos 1sin cos αααααα+++++
【例题20】已知sin cos m θθ+=，求23sin cos θθ+的值.
【例题21】求证：
cos 1sin 1sin cos x x x x +=-。

【例题22】证明：
cos sin 2(cos sin )1sin 1cos 1sin cos αααααααα
--=++++。

【例题23】已知22tan 2tan 1αβ=+，求证：22sin 2sin 1βα=-.
【例题24】已知cot=-3，求tan α、sin α、cos α的值.
【例题25】求下列函数的定义域：
cos()28+
【例题26】求函数tan()cot()44y x x ππ=+++的定义域.
【例题27】已知32π-
＜X ＜π-
.
【例题28】证明：（sinA+secA ）2+(cosA+cesA`cecA)2
【例题29】已知tan α=2,求222sin 3sin cos 2cos αααα--的值.
【例题30】已知sin θ、cos θ是关于x 的方程20x ax a -+=的两个根 （1）求33sin cos θθ+的值； （2）求tan θ+cot θ的值
【例题31】如图1-2-12，ABCD 是一块边长为100m 的正方形地皮，其中AST 是半径为90m 的扇形小山，其余部分都是平地.一开发商想在平地上建一矩形停车场，使矩形一个顶点O 在ST 上，相邻两边CQ 、CR 落在正方形的边BC 、CD 上.求矩形停车站PQCR 面积的最大值和最小值.
4.能力题型设计
1.若600°角的终边上有一点（-4，a ），则a 的值是你（ ）.
A. B. - C.±3
4
D.
2.若角α的终边在直线2y x =上，则sin α等于（ ）
A.15±
B.
C.
D.1
2
±
3.sin tan cos sin cos tan x x
x Y x
x x
=
+
+的值域是（ ）. A.{1,-1} B.{-1,1,3} C{-1,3} D.{1,3}
4.已知4
sin ,(0,),5
ααπ=∈则tan α等于（ ）
A.±15
B. 34
C.±34
D. ±43
5.角α的终边经过点p(4m,6m)(m ≠0),则cos α的值是 .
6.cos 1
sin αα
-成立的α的范围是
知识提升突破
1. 有下列命题，其中正确的个数是（ ）
①终边相同的角的三角函数值相同 ②同名三角函数的值相同的角也相同
③终边不相同，它们的同名三角函数值一定不相同 ④不相等的角，同名三角函数值也不相同 A. 0 B. 1 C. 2 D.3
2.若角α的终边与直线3y x =重合且sin 0α<，又(,)P m n 是α终边上一点，且OP =m n -等于（ ）
A. 2
B. -2
C. 4
D.-4 3.已知角α的正弦线和余弦线是符号相反、长相等的有向线段，则α的终边在（ ） A.第一象限角平分线上 B.第四象限角平分线上 C. 第二.四象限角平分线上 D 第一、三象限角平分线上.
4.在[0,2π]上满足1
sin 2
≥的α的取值范围是（ ） A[0,
6
π] B.[5,66
ππ
] C. 2[,]63ππ
D. 5[
,]6
π
π
5.1sin cos 8αα+=,且4π＜α＜2
α
，则cos sin αα-的值为（ ）
B.-
C. 34
D.- 34
6.设sin cos αα+=tan cot αα+的值为（ ） A.±2 B.-2 C.1
D.2
7.已知1
tan ,2
α=-那么22sin 2sin cos 3cos αααα+-的值是（ ）
A.-75
B. -5
9
C.3
D.-3 8.在△ABC 中，已知2
2tan ,1m
A m =-则cosA 为（ ） Ａ．2
21m
m
+ Ｂ．2211m m -+ Ｃ．2121m m -+ Ｄ． ±2211m m -+
９．已知点ｐ（１，ｙ）是角α终边上一点，且cos α=，则Ｙ＝ ．
１０．若函数ｆ（ｘ）的定义域是你（－１,０），则函数()sin f x 的定义域是 ．
１１．式子
1sin cos αα+α的取值范围是 。

１２．若2sin 4
2cos 1θθ+=+，则()()cos 3sin 1θθ++= 。

１３．判断下列三角函数值的符号。

（1）sin3cos4tan5cot6； （2）已知θ在第二象限，试确定sin(cos )
cos(sin )
θθ的符号。

14.求下列涵数的定义域。

（1）2
lg(2)y x x =+-;
（2）y =
15.已知1
sin cos ,(0,)5
θθθπ+=∈，求值：
（1）tan θ；（2）sin cos θθ-；（3）33sin cos θθ+。

16.（1）已知tan 3α=，求2221
sin cos 34
αα+的值；
（2）已知11tan 1α=-，求
1
1sin cos αα+的值。

最新5年高考名题诠释
【考题1】若sin cos tan (0)2
π
αααα+=<<，则α∈（ ）
A.(0,)6π
B.(,)64ππ
C.(,)43ππ
D. (,)32ππ
【考题2】已知cos tan 0θθ<，那么角θ是（ ）
A. 第一或第二象限角
B.第二或第三象限角
C.第三或第四象限角
D.第一或第四象限角
【考题3】若tan 2,θ=则
2sin cos sin 2cos θθ
θθ
-+的值为（ ）
A. 0
B. 34
C. 1
D.5
4
【考题4】α是第四象限角，5
tan 12
α=-，则sin α=（ ）
A.15
B. 15-
C.513
D. 513- 【考题5】若sin α＜0且tan α＞0，则α是（ ）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限 【考题6】()2tan cot cos x x x +=（ ）
A. tanx
B. sinx
C.cosx
D.cotx 【考题7】已知函数f （x ）是定义域在R 上的偶函数，且在区间[0,+∞]上是增函数，令a=f(sin 27π), b=f(cos 57
π
) c=f(tan
57
π
),则（ ） 【考题８】若cos 2sin 5αα+=-，则tan α＝（ ）
Ａ．12 Ｂ．２ Ｃ．－1
2 Ｄ．－２
【考题９】已知tan 2θ=则的值为（ ）
Ａ．－43
Ｂ．54 Ｃ. 34-
Ｄ．45
【考题10】若sin θ=-4
5
,tan ＞0, 则cos θ=
1.3三角函数的诱导公式
【例题1】求下列三角函数值.
（1）); (2)cos ; (3)tan(-855°)
【例题2】计算：（1）cos+cos+cos+ cos
【例题3】已知sin(3+)=lg,求cos(2的值.
【例题5】化简：+
【例题6】在中，你能由诱导公式得到哪些公式？
【例题7】对任何实数X和整数n，已知f(sinx)=sin[(4n+1)x],求f(cosx)
【例题8】求sin(2+的值（n∈z）
【例题9】化简：（1）sin(-870°)·cos930°+cos(-1380)°·sin(-690°);
(2)(180°＜x＜270°）
（3）··
【例题10】已知cos(75其中为第三象限角，求cos(105
【例题11】设tan(，求
【例题12】已知sin(
【例题13】化简；
【例题14】化简cos(其中(K∈Z)
【例题15】已知
()
()()
sin()cos
tan cot(),
cos[(1)]2
n n x n
f x x n x n z
n x
πχππ
π
π
⎛-+⎫
=⋅-⋅+∈
⎪
+-
⎝⎭
求7
6
f
π
⎛⎫
⎪
⎝⎭。

【例题16】已知函数 ()sin()cos(),
f x a x b x παπβ=+++ 其中都是非零实数，又知
f(2003)=-1,求f(2004)的值。

4能力·题型设计
1.sin(-1920°)的值是（ ）
A. B.- C.- D.
2.下列三角函数中，与sin 数值相同的是（ ）
①4sin()3n ππ+ ②cos(2)6n ππ+ ③sin(2)3n ππ+ ④cos[(21)]6n ππ+ ⑤()sin 213n ππ⎡
⎤+-⎢⎥⎣
⎦ （n
）
A.①②
C.
C.②③⑤
D.①③⑤
3.已知()4
sin ,5
πα+=且α是第四象限角，则()cos 2απ- 的值是（ ）
A.- 35
B. 35
C.±35
D. 45
4.已知tan100°=k,则sin 80的值是（ ） 2
1K
+ 2
1K
+ C.
2
1K + 2
1K + 5.已知α为锐角，且2tan(πα-)-3cos(
2
π
β+)+5=0,tan(πα+)+6sin(πβ+)1=0,则sin α的值是
6.2sin 1+2sin 2+sin3+ … +22sin 88sin 90+的值等于
知识提升突破
1.已知f(x)=sinx,下列式子成立的是（ ）.
A.()sin f x πχ+=
B. ()2sin f X πχ-=
C. cos 2f X πχ⎛
⎫-=- ⎪⎝
⎭ D. ()()f X f x π-=-
2.若cos(πα+)=13-,那么3sin 2πα⎛⎫
-
⎪⎝⎭等于（ ）
A.13-
B. 1
3
C.
D.-
3.在△ABC 中，下列各式为常数的是（ ）
A.()sin sin A B C ++
B. ()sin cos B C A +-
C.tan
tan 22
A B c
+⋅ D. sec 22
B C A
COS
+ 4.若cot130a =，则cos50为（ ）
B. C. D.
5.已知sin(360)cos(180)a a m ---=，则sin(180)cos(180)a a +-等于（ ）
A.212m -
B. 212m +
C. 212m -
D. 21
2m +-
6.设
()cot sin A παπα+=
+-A 当α是第一、第三象限角时，A=2cos α B. 当α是第二、第三象限角时，A=0 C. 当α是第一、第四象限角时，A=0 D.α是第三、第四象限角时，A=-2cos α
7.设()tan 5παα+=，则()()()()
sin 3cos sin cos ααπααπα-++--+的值是（ ）
A.11a a +-
B. 1
1
a a -+ C.
1
1a a -++ D.
1
1
a a -+-
8.若()()1
sin cos 2παα---=则()()33sin cos 2παπα++-的值是（ ） A 316
-
B 1116 . C.- 1116 . D.-516
. 9.求值16sin 3π
⎛⎫
-
= ⎪⎝⎭
，cos(-945°)= , 23tan()6π-= .
10.已知()sin()cos(),f x a b πχαπχβ=+++其中，a.b..αβ均为非零实数，且(2005)1f =，则(2006)f = . 11.若3
sin ,3
θ=
则()()
()cos cos 233cos [sin 1]cos sin sin 222πθπθπππθθπθθθ--+⎛⎫⎛⎫⎛⎫
--++-+ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
的值为
12.已知cos100°=m,则tan80°=
13.计算：
14(1)已知f(cosx)=cos17x,求证：f(sinx)=sin17x ；
（2）对于怎样的整数n ，才能有f(sinx)=sin17x;
15.已知tan 是关于x 的方程
-3=0的实数根，且3，求
的值.
16.已知：sin cos(-求
的值.




















以上三个论断的个数是（）
A.0
B.1
C.2
D.3
考题4 设0a<2,若sina>cosa,则a的取值范围是（）
A.(，)
B.(，)
C.(，)
D.(，)
考题5 如图1-4-17，四位同学在同一个人坐标系中分别选定了一个适当的区间，各自作出三个函数
y=sin2x,y=sin(x=y=sin(x-)的图象如下，结果发现其中有一位同学作出的图象有错误，那么有错误的图象是（）
考题6. 已知函数f(x)=(sinx-cosx)sinx,x R,则f(x)的最小正周期是
考题7 下列关系正确的是（）
A.sin11°<cos10°<sin168°
B. sin168°< sin11°<cos10°
C. sin11°< sin168°<cos10°
D. < sin168°<cos10°< sin11°
考题8 已知函数f(x)=sin(x-)(x R),下面结论错误的是（）
A.函数f(x)在最小正周期为2
B. 函数f(x)在区间[0,]上是增函数
C. 函数f(x)的图象关于直线x=0对称
D. 函数f(x)是奇函数
考题9 若将函数y=tan()(向右平移个单位后，与函数y=tan(小值为（）
A. B. C. D.
1.5函数y=Asin(的图像
A. 向左平移
3π个单位 B. 向右平移3π
个单位 C. 向左平移6π个单位 D. 向右平移6
π
个单位
例题2 把函数)4
2sin(π+=x y 的图象向右平移8π
个单位，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的
2
1
，则所得图象的函数解析式是（ ）。

A. ⎪⎭⎫ ⎝
⎛+
=834sin πx y B. ⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+=84sin πx y C. x y 4sin = D. x y sin =
例题3 已知函数)(),(x f x f y =图象上每个点的纵点标保持不变，将横坐标伸长到原来的2倍，然后再将整个图象沿x 轴向左平多2π个单位，得到的曲线与x y sin 2
1
=的图象相同，则)(x f y =的函数表达式为（ ）。

A. ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=
221sin 21πx y B. ⎪⎭⎫ ⎝⎛
+=22sin 21πx y C. ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=
221sin 21πx y D. ⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=22sin 21πx y 例题4 下列命题正确的是( )。

A. x y cos =的图象向右平多
2π
个单位得到x y sin =的图象 B. x y sin =的图象向右平移2
π
个单位得到x y cos =的图象
C. 当0<ϕ时，x y sin =向左平移ϕ个单位可得)sin(ϕ+=x y 的图象
D. ⎪⎭⎫
⎝
⎛+
=32sin πx y 的图象由x y 2sin =的图象向左平移3π
个单位得到 例题5 函数⎪⎭
⎫
⎝
⎛+=32sin 3πx y 表示一种简谐振动，求它的振幅、周期、频率、相位、初相。

例题6 求函数的相位和初相：)0(32sin 2≥⎪⎭
⎫
⎝
⎛+-=x x y π。

例题7 用“五点法”画出函数⎪⎭
⎫
⎝
⎛+=32sin 3πx y 的图象，并求出单调区间、最大值与最小值、对称轴、对称中心。

例题8 已知函数⎪⎭
⎫
⎝
⎛+
=52sin 3πx y ，R x ∈，为了得到⎪⎭
⎫
⎝
⎛-
=52sin 3πx y 的图象，需要将⎪⎭⎫ ⎝⎛+=52sin 3πx y 的图象作怎样的变换而得到呢？若要分别得到⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+=5sin 3πx y 和
122sin 32+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=
πx y 的图象，需将函数⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+=52sin 3πx y 作怎样的变换呢？
例题9 函数⎪⎭
⎫
⎝
⎛
+=32sin 3πx y 的图象，可由函数x y sin =的图象经过下述哪项变换而得到？ A. 向右平移
3π个单位，横坐标缩小到原来的21
，纵坐标扩大到原来的3倍 B. 向左平移3π个单位，横坐标缩小到原来的21
，纵坐标扩大到原来的3倍
C. 向右平移6π个单位，横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标缩小到原来的3
1
D. 向左平移个单位，横坐标缩小到原来的2
1，纵坐标缩小到原来的31
例题10 图1-5-9是函数()ϕω+=x A y sin 的图象，确定函数的解析式。

π
则)(x f 的表达式为（ ）。

A. )6
2sin()(π
+=x x f B. )12
2sin()(π
+=x x f
C. )6
2sin()(π
-=x x f D. )12
2sin()(π
-
=x x f
例题12 已知函数)2tan(21ϕ+=x y 的图象的一个对称中心为)0,6
(π
-，求满足条件的绝对值最小的ϕ。

例题13 函数x y 3cos =的图象经过怎样的变换可得到函数x y sin =的图象?
例题14 已知函数x y 2sin 3=的图象0C ，问需要经过怎样的平移变换得到函数)4
72cos(3π-=x y 的图象C ，并使平移的路程最短？
例题15 已知正弦函数)0,0)(sin(>>+=ωϕωA x A y 的图象如图1-5-11所示。

（1）求此函数的解析式)(1x f ；
（2）求与)(1x f 的图象关于8=x 对称的函数的解析式)(2x f ； （3）作出函数)()(21x f x f y +=的图象的简图。

例题16 简述将x y sin =的图象变换为)3
2sin(π
+=x y 的图象的过程。

例题17 函数4
5
)62sin(21++=πx y 的图象可由)(sin ℜ∈=x x y 的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？
例题18 如图1-5-13所示是函数κϕω++=)sin(x A y 在一个周期内的图象，那么这个函数的解析式应为（ ）。

A. 1)6
2
sin(2-+
=π
x y B. 1
)6
2sin(2-+=π
x y
C. 1)3
2sin(3-+=π
x y D. 1)6
2sin(3-+
=π
x y
例题19 关于函数))(3
2sin(4)(ℜ∈+
=x x x f π
，
有下列命题 ①由0)()(21==x f x f 可得21x x -必是π的整数倍；②)(x f y =的表达式可改写成);62cos(4π
-
=x y ③)(x f y =的图象关于点⎪⎭
⎫
⎝⎛-0,6π对称；④)(x f y =的图象关于直线6
π
-
=x 对称。

例题20 若方程]2,0[cos sin 3π在a x x =+上有两个不同的实数根，求a 的取值范围。

例题21 已知函数)0,0)(cos()sin(2)(><<+-+⋅=
ωπϕϕωϕωx x x f 为偶函数，且函数)(x f y =的
图象两相邻对称轴间的距离为2
π。

（1）求)8
(π
f 的值；
（2）将函数)(x f y =的图象向右平移
6
π
个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原 来的4倍，纵坐标不变，得到函数)(x g y =的图象，求)(x g 的单调递减区间。

4能力·题型设计 1. 函数)3
sin(2π
+=x y 的图象的一条对称轴是（ ）。

A. 2
π
-
=x B. 0=x C. 6
π
=
x D. 6
π
-
=x
2. 一正弦曲线的一个最高点为)3,41
(，从相邻的最低点到这个最高点的图象交x 轴于)0,4
1(-，最低点的纵坐标为-3，则这一正弦曲线的解析式为（ ）。

A. )4
sin(3π
π+
=x y B. )4
sin(3π
π-
=x y C. )82sin(3π
π+
=x y D. )8
2sin(3π
π-=x y 3. 函数)6
2sin(π
+-=x y 的单调递增区间是（ ）。

A. z k k k ∈⎥⎦⎤
⎢⎣⎡++-
,23,26ππππ B.
z k k k ∈⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡++,265,26ππππ C. z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-
,3,6ππππ D. z k k k ∈⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡++,65,6ππππ
A. 1)62
sin(2-+
=π
x y B. 1)32sin(2-+=π
x y
C. 1
)3
2sin(2-+=π
x y
D. 1)6
2sin(2-+
=π
x y
5. )6cos(3π
ω+
=x y 的最小正周期是π，则a =________________。

6. 要得到)32sin(π+=x y 的图象，需将函数2
sin x
y =至少向左平移__________个单位长度。

知能提升突破 1. 要得到)3
2sin(π
-=x y 的图象，只要将x y 2sin =的图象（ ）。

A. 向左平移
3π个单位 B. 向右平移3π个单位 C. 向左平移6π个单位 D. 向右平移6
π
个单位 2. 为了得到4
sin x
y =的图象，只需把x y sin =的图象上的所有点（ ）。

A. 横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变
B. 横坐标缩短到原来的41
，纵坐标不变
C. 纵坐标伸长到原来的4倍，横坐标不变
D. 纵坐标缩短到原来的4
1
，横坐标不变
3. 将函数x y sin =的图象上所有点向左平移3
π
个单位，再把所得图象上各点的横点标扩大到原来的2
倍，则所得图象的解析式为（ ）。

A. )32sin(π-=x y
B. )
62sin(π+=x y C. )32sin(π+=x y D. )32sin(π
+=x y 4. 要得到2sin x y =的图象，只需将函数)42cos(π
-=x y 的图象（ ）。

A. 向左平移4π
B. 向右平移4π
C. 向左平移2π
D. 向右平移2
π
5. 设B x A x f ++=)sin()(ϕω的定义域为R ，周期为32π，初相为6
π
，值域为[-1，3]，则其函数式的最
简形式为（ ）。

A. 1)6
3sin(2++
=π
x y B. 1)6
3sin(2-+=π
x y C. 1)6
3sin(2-+
-=πx y D. 1)6
3sin(2+-
=π
x y
6. 函数B x A y ++=)sin(ϕω在同一周期内的图象的最高点为)3,12
(π
，
最低点为)5,12
7(-π
，
则其中ϕω、的值分别为（ ）。

A.
321π， B. 2，6π C. 32π， D. 3
1π， 7. 方程],0[012)3
sin(2ππ
在=-++a x 上有两个不等的实根，则实数a 的取值范围是（ ）。

A.
(
)2,3 B.
[
)
2,3 C. ⎪⎫
⎢⎡--31,
1 D. ⎥⎤
⎛+-13,1
8. 已知函数)2
0)(cos(2π
ϕϕω<
<+=x y 在一个周期内的图象如图1-5-16所示，设其周期为T ，则有
（ ）。

A. 4,56π
ϕπ==
T B. 4
,23πϕπ==T
C. 4
,3π
ϕπ-==T
D. 4
,3π
ϕπ=
=T
9. )3
3sin(2π
-
-=x y 的振幅为_________，周期为_________，初相ϕ=__________。

10. 函数)22
3,
0,0)(sin(πϕπωϕω<<>>+=A x A y 的最小值是-3，周期为3π
，且它的图象经过点（0，
2
3
-
），则这个函数的解析式是___________。

11. 方程x x sin 4sin =在区间（0，2π）内解的个数是____________。

12. 函数)3
2
sin(2π
+
=x y 的单调减区间为_________________。

13. 已知电流I 与时间t 的关系式为)sin(ϕω+=t A I .
（1）如图1-5-17所示是)2
,0)(sin(π
ϕωϕω<
>+=t A I 在一个
周期内的图象，根据图中数据求)sin(ϕω+=t A I 的解析式；
（2）如果t 在任意一段150
1
秒的时间内，电流)sin(ϕω+=t A I 都能取得最大值和最小值，那么ω的最小正整数值是多少？
14. 若函数)(x f y =的图象上每点的纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2倍，然后再将整个图象沿x
15. 已知a R a a x x x f ,(,2sin 3cos 2)(2∈++=常数） （1）若R x ∈，求)(x f 的单调增区间； （2）若⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡∈2,
0πx 时，)(x f 的最大值为4，求a 的值，并指出此时)(x f 的图象是由x y sin =的图象经过怎样的变换而得到的。

16. 若方程上有两个根。

在],0[cos sin πk x x =+ （1）求k 的取值范围；
（2）若两根为βαβα+，求、的值。

考题1 如果函数)2(3y ϕ+=x cox 的图象关于点⎪⎭
⎫
⎝⎛0,34π中心对称，那么ϕ的最小值为（ ）。

A.
6π B. 4π C. 5π D. 2
π
考题2 已知函数)(),0(cos sin 3)(x f y x x x f =>+=ωωω的图象与直线2=y 的两个相邻交点的距离等于π，则)(x f 的单调递增区间是（ ）。

A. z k k k ∈+
-
],125,12[πππ
π B. z k k k ∈+-],1211,125[π
πππ
C. z k k k ∈+-],6,3[ππππ
D. z k k k ∈++],3
2,6[π
πππ
考题3 已知函数)0,)(4
sin()(>∈+
=ωπ
ωR x x x f 的最小正周期为π，为了得到函数x x g ωcos )(=的
图象，只要将)(x f y =的图象（ ）。

A. 向左平移8π个单位长度
B. 向右平移8π
个单位长度 C. 向左平移4π个单位长度 D. 向右平移4
π
个单位长度
考题4 若函数)2
,0(),sin(2)(π
ϕωϕω<>∈+=其中R x x x f 的最小正周期是π，且3)0(=f ，则
（ ）。

A. 6,21πϕω==
B. 3
,21π
ϕω== C. 6
,2π
ϕω=
= D. 3
,2π
ϕω=
=
考题5 已知函数)0)(3
sin()(>+=ωπ
ωx x f 最小正周期为π，则该函数的图象（ ）。

A. 关于点)0,3
(π
对称 B. 关于直线4
π
=x 对称 C. 关于点)0,4
(
π
对称 D. 关于直线3
π
=
x 对称
考题6 下面有五个命题：
①函数x x y 22cos sin -=的最小正周期是π。

②终边在y 轴上的角的集合⎭
⎬⎫⎩
⎨⎧
∈=
Z k k ,2|παα ③在同一坐标系中，函数x y sin =的图象和函数x y =的图象有三个公共点. ④把函数)3
2sin(3π
+=x y 的图象向右平移
6
π
个单位长度得到x y 2sin 3=的图象. ⑤函数],0[)2
sin(ππ
在-
=x y 上是减函数.
考题7 图1-5-22是函数]6
5,6[))(sin(π
πϕω-∈+=在区间R x x A y 上的图象。

为了得到这个函数的图象，只要将)(sin R x x y ∈=的图象上所有的点（ ）。

A. 向左平移3π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的21
，纵坐标不变 B. 向左平移3π
个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
C. 向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的21
，纵坐标不变
D. 向左平移6
π
个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
考题8 在同一平面直角坐标系中，函数[]2
12,0),232cos(=∈+=y x x
y 的图象和直线ππ的交点个数是（ ）。

A. 0
B. 1
C. 2
D. 4
考题9 已知函数]2,0[)0)(sin(2πωϕω在区间>+=x y 内的图象如图1-5-24所示：那么=ω（ ）。

A. 1
B. 2
C.
21
D. 3
1
考题10 已知)3
,6()(),3()6(),0)(3sin()(π
πππωπ
ω在区间且x f f f x x f =>+=内有最小值，无最大值，
则ω=_____________。

考题11 若函数)0)(6
cos(>-
=ωπ
ωx y 的最小正周期为
5
π
，则ω=_____________。

考题12 已知函数，其图象经的最大值是1
),0,0)(sin()(R x A x A x f ∈<<>+=πϕϕ)2
1
,3(πM 过点
（1）求)(x f 的解析式； （2）已知)2,
0(,π
βα∈，且13
12
)(,53)(==βαf f ，求)(βα-f 的值。

[]βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-
1.6 三角函数模型的简单应用
例题1 摩天轮中的数学问题。

如图1-6-5，游乐场中的摩天轮匀速旋转，其中心O 距地面40.5m ，半径40m 。

若从最低点处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间变化，5min 后到达最高点。

在你登上摩天轮时开始计时，请解答下列问题：
（1）能求出你与地面的距离y 与时音t 的函数解析式吗？ （2）当你登上摩天轮8min 后，你与地面的距离是多少？ （3）当你第1次距地面30.5m 时，用了多少时间？ （4）当你第4次距地面30.5m 时，用了多少时间？
例题2 某港口的水深y （米）是时间t(024≤≤t ，单位：小时)的函数，下面是水深的数据： t （时） 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y (米)
10.0
13.0
9.9
70.
10.0
13.0
10.1
7.0
10.0
根据上述数据描出的曲线如图1-6-7所示，经拟合，该曲线可近试地看成正弦函数y=Asin ω+b 的图像. （1）试根据以上数据，求出y=Asin ω+b 的表达式； （2）一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离不 少于4.5米时是安全的，如果某船的吃水深度（船底与 水面的距离）为7米，那么该船在什么时间段能够安全 进港？若该船欲当天安全离港，则在港内停留的时间最 多不能超过多长时间（忽略进出港所用的时间）？
例题3 如图1-6-8所示，是一个半径为10个单位长度的水轮，水轮的圆心离水面7个单位长度.已知水轮每分钟转4圈，水轮上的点到p 到水面的距离d 与时间t 满足的函数关系是正弦曲线，其表达式为
a
h
t b k d -=-sin
（1）求正弦曲线的振幅； （2）正弦曲线的周期是多少？
（3）如果从p 点在水中浮现时开始计算时间，写出其有关d 与t 的关系式； （4）p 点第一次到达最高点大约要多少秒？
例题4 弹簧振子以O 点为平衡位置在BC 间做简谐运动，B 、C 相距20cm ，某时刻振子处在B 点，经0.5s 振子首次达到C 点，求： （1）振子的周期与频率
（2）振子在5s 内通过的路程及这时位移的大小.
例题5 估计某一天白昼时间的小时数D （t ）的表达式是：12)79(365
2sin 2)(+-=
t k t D π其中t 表示每天的序号，t=0表示1月1日，依次类推，常数k 与某地所处的纬度有关. （1）在波士顿，k=6，试画出当0365≤≤t 时的函数图象； （2）在波士顿哪一天白昼时间最长？哪一天最短？
（3）估计在波士顿一年中有多少天的白昼时间超过10.5小时？
例题6 下表是芝加哥1951年到1981年的月平均气温（华氏） 月份 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
平均
气温
21.4
26.0
36.0
48.8
59.1
68.6
73.0
71.9
64.7
53.5
39.8
27.7
（1）以月份为x 轴，x=月份-1，一平均气温为y 轴，描出散点图； （2）用正弦曲线去拟合这些数据； （3）这个函数的周期是多少？
（5）下面四个函数模型中哪一个最适合这些数据？（ ）
A.
)6cos(x a y π=； B. )6cos(47x a y π=-; C. )6cos(47x a y π=--; D. )6
cos(26x a y π=-
例题7 如图1-6-11所示，有一条河MN ，河岸的一侧有一很高的建筑物AB ，一人位于河岸另一侧P 处，手中有一个测角器（可以测仰角）和一个可以测量长度的皮尺（测量长度不超过5m ），请你设计一咱测量方案（不允许过河），并给出计算建筑物的高度AB 及PA 的距离公式，希望在你的方案中被测量数据的个数尽量少。

能力·题型设计 1.初速度为0v ，发射角为θ，则炮弹上升的高度y 与0v 之间的关系式（t 为飞行时间）为（ ）
A.t v y •=0
B. t v y ••=θsin 0
C. 202
1
sin t g t v y -
••=θ D.t v y ••=θcos 0 2.当两人提起重为G 的书包时,夹角为θ,用力各为F ,则F 最小时θ为( ) A.
2π B.3
2π C.π D.0 3.如图1-6-14为一半径为3的水轮,水轮的圆心O 距离水面2米,已知水轮每分钟旋转4圈,水轮上的点P 到水面的距离y (米)与时间t (秒)满足关系式2)sin(++=ϕwx A y ,则有( ) A.
3,215==
A w π B.3,152==A w π
C. 5,152==A w π
D. 5,215
==A w π
4.一树干被台风折成60°角，树干底部与树尖着地处相距20米，则树干原来的高度为（ ） A.310米 B. 320米 C. 330米 D. 340米
5.如图1-6-15,单摆从某点开始来回摆动,离开平衡位置O 的距离s （cm ）和时间)(s t 的函数关系式为：
)6
2sin(6π
π+
=t s ，那么单摆来回摆动一次所需的时间为____________.
6.如图1-6-16是一个单摆的振动图象根据图象回答下面问题: (1)单摆的振幅为____________. (2)振动频率为_____________.
知能提升突破 1.图1-6-17中哪一个图象准确地描述了某物体沿粗糙斜面滑下时其加速度和斜面倾角θ之间的关系(摩擦因数不变)?( )
2.如图1-6-118所示为一简谐振动的图象,则下列正确的是( )
A.该质点的振动周期为0.7s
B.该质点的振幅为5cm
C.该质点在0.1s 和0.5s 时振动速度最大
D.该质点在0.3s 和0.7s 时振动速度为零
3.如图1-6-19所示是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图,经过2
1
周期后,乙点的位置将移至
（ ） A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
4.如图1-6-20所示,有一广告气球,直径为6m,放在公司大楼上空,当行人仰望气球中心的仰角
30
=∠BAC 时,测得气球的视角为
1=β,若θ很小时,可取θθ≈sin ,试估算该气球的高BC 的值约为( )
A.70m
B.86m
C.102m
D.118m
5.一个弹簧振子的振幅为2cm,在6s 内振子通过的路程是32cm,由此可知该振子振动的( )
A.频率为1.5Hz
B.周期为1.5s
C.周期为6s
D.频率为6Hz 6.在200米高的山顶上,测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°，则塔高为（ ）
A.3400米
B. 33400米
C. 33200米
D. 3
200
米
7.一个弹簧振子做简谐振动的周期为0.4s,振幅为5cm,则该振子小球在2s 内通过的路程为( )
A. 0.2m
B. 0.5m
C. 1m
D. 2m 8.一钟表时针长5cm ，经过8小时，时针端点所转过的弧长为（ ） A.
310πcm B. 320πcm C. 330πcm D. 3
40π
cm 9.用作调频无线电信号的载波以)1083.1sin(8
t a y π⨯=为模型，其中t 的单位是秒，则此载波的周期为
______________,频率为_______________. 10.某星星的亮度变化周期为10天,此星星的平均亮度为3.8星等,最高亮度距离平均亮度0.2星等,则可近似地描述此星星的亮度与时间之间关系的一个三角函数式为______________. 11.如图1-6-21所示,从相距165米的A,B 两观察站测C,D 两个目标的视角都是30°,同时知道A 在C 的正南,B 在D 的正东,则C,D 两个目标间的距离为__________米.
12.如图1-6-22,是一弹簧振子做简谐运动的图象,横轴表示振动的时间,纵轴表示振子的位移,则这个振子振
动的函数解析式是___________. 13.如图1-6-23,挂在弹簧下方的小球做上下振动,小球在时间)(s t 时相对于平衡位置(即静止时的位置)的高度为)(cm h ,由下列关系式决定:),0[),4
sin(2+∞∈+
=t t h π
.
(1)小球开始振动)0(=t 时位置在哪里?
(2)小球位于最高,最低位置时h 的值是多少?
(3)经过多少时间小球振动一次(即周期是多少)? (4)小球1s 能往复振动多少次(即频率是多少)?
14. 如图1-6-24，为一个观览车示意图，该观览车半径为4.8m ，圆上最低点与地在面距离为0.8m ，60秒转动一圈，图中OA 与地面垂直，以OA 为始边，逆时针转动θ角到OB ，设B 点与地面的距离为h. (1)求h 与θ之间关系的函数解析式; (2)设从OA 开始转动,经过t 秒到达OB,
求h 与t 之间关系的函数解析式;
(3)填写下列表格:
θ
0° 30° 60° 90° 120° 150° 180° h(m) f(s) 0 5 10 15 20 25 30 h(m)
15.已知某海滨浴场的海浪高度y (米)是时间t (小时)的函数,记作)(t f y =.下表是某日浪高数据:
t
0 3 6 9 12 15 18 21 24 y
1.5
1.0
0.5
1.0
1.5
1.0
0.5
0.99
1.5
经长期观察, )(t f y =的曲线可近似地看成是函数b wt A y +=cos .。