非线性交互效应面板数据模型的估计

不同个体效应的差异。近年来，带交互效应模型备 受关注（Ｐｅｓａｒａｎ，２００６∞１；Ｂａｉ，２００９ｐ１；Ｂａｉ，２０１３¨１； Ａｈｎ、Ｌｅｅ和Ｓｃｈｍｉｄｔ，２０１３＂ｏ），广泛应用于宏观、微 观、金融学等领域。 对于带交互效应面板数据模型的理论研究通常 基于线性设定，无法反映经济变量在不同背景下的 变动特征。在现实中，很多经济变量的动态调整在 不同环境下存在机制转换，如深度萧条时，政府采取 的刺激政策比轻度萧条时强烈得多。Ｇｍｎｇｅｒ和 Ｔｅｒａｓｖｉｒｔａ（１９９３）＂１认为，微观经济主体在不同时期 对通胀的预期非一致。低通胀时期，由于存在价格 调整成本，微观经济主体往往对前期通胀反应不敏 感；在高通胀时期，不同主体通常以不同的速度调整 现金持有量。如果忽视这种行为的内生变化所产生 的非线性，可能会导致结论产生偏差。因此，在线性
第３１卷第２期 ２０１４年２月
统计研究
Ｓｔａｔｉｓｔｉｃａｌ Ｒ髂ｅａｒｃｈ
Ｖ０１．３１．Ｎｏ．２ Ｆｅｂ．２０１４
非线性交互效应面板数据模型的估计＋
叶小青
内容提要：带交互效应的线性面板数据模型广泛应用于宏观、微观、金融等领域，考虑经济变量的动态调整过 程在不同经济环境下会发生机制性转换，本文在带交互效应的面板数据模型中引入非线性平滑转换，对静态模型 提出了非线性迭代０Ｌｓ估计量；对动态模型构建了非线性迭代ＧＭＭ估计量，两类估计量均具有一致性。仿真结果 显示估计量的有限样本性质良好。 关键词：面板数据模型；交互效应；非线性平滑转换 中图分类号：Ｆ２２２．３ 文献标识码：Ａ 文章编号：ｌ００２—４５６５（２０１４）０２—００９６—０６
万方数据
第３ｌ卷第２期
升小青：非线性交互效应面板数据模型的估计
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面板数据模型的基础上，有必要引入非线性平滑转 换机制，以更准确地揭示经济动态变化特征。 平滑转换模型是平滑转换自回归模型的改进和
发展。Ｇｒａｎｇｅｒ和Ｔｅｒａｓｖｉｒｔａ（１９９３）＂。；ｖａｎＤｉｊｋ、
用差分ＧＭＭ估计。Ｂａｉ（２０１３）＂Ｊ在动态面板模型 中引入交互效应，并提出了准完全信息极大似然 （ＦＩＭＬ）和迭代广义最小二乘估计（ＧＬｓ）的估计 思想。
孝“＝Ａ’。Ｆ，＋弘ｉ＋ｕ。 （３）
的估计。吴吉林（２０１２∥纠运用非线性平滑转换动
态面板模型研究了通货膨胀对经济增长的门槛效 应，基于网格搜索以广义矩估计（ＧＭＭ）目标函数最 小确定转换参数后，运用差分ＧＭＭ实现菲线性模 型的估计。 对带交互效应面板数据模型的估计，Ａｈｎ、Ｌｅｅ 和Ｓｃｈｍｉｄｔ（２００１）¨刮研究了只含有一个共同因子的 模型，给出了ＧＭＭ估计。Ｐｅｓａｒａｎ（２００６）…６。针对带 交互效应的因子误差结构模型，提出了采用解释变 量和被解释变量的截面平均作为代理变量的估计方 法，但其一致性收敛速度依赖于数据生成过程。Ｂａｉ （２００９）＂３提出了更具一般性的带交互效应的面板 数据模型，回归元可以与共同因子与载荷系数相关， 放松了截面、序列无关的假设，且共同因子与载荷系 数的形式可以未知，运用主成分分析与ＯＬＳ迭代算 法得到参数的一致估计量。但是，Ｂａｉ（２００９）ｐ。构 建的是一个没有带个体效应的静态模型。对类似的 交互效应模型，Ａｈｎ、Ｌｅｅ和Ｓｃｈｍｉｄｔ（２０１３）二副建议采
ｙ。＝Ｘ。卢＋ＦＡ，＋ｓ； （６）
定一组估计值ｉ＞０，÷，则基于模型（１）的，０￡Ｓ估计 量，对Ⅳ一∞，丁一∞，有Ｅ（Ｒ．ｓＳ；二）≥Ｅ（Ｒ５５。）。 证明： 记ｕ。＝ｙ。一届’ｘ。一卢’Ｉ Ｇ。（石。，ｉ÷）戈。一Ａ’。Ｆ，
一肛。；ｕ¨，＝ｙ。，一卢’戈。一卢’ｌＧ。（ｘ。，ｒ，ｃ）ｚ。一Ａ
７。Ｆｒ一肛。；
ｅｎｖｉｒｏｎｍｅｎｔ．
Ｉｎ ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ，ｗｅ
ｐｍｐｏｓｅ ｔｈｅ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ０ＬＳ ｅｓｔｉｍａｔｏｒｓ ａｎｄ ｃｏｎｓｔｍｃｔ ｔｈｅ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ＧＭＭ ｅｓｔｉｍａｔｏｒｓ ｆｏｒ ｔｈｅ ｄｙｎａｍｉｃ ｍｏｄｅｌ．Ｔｈｅ ｔｗｏ ｋｉｎｄｓ ｏｆ
ｅｓｔｉｍａｔｏｒｓ
万方数据
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统计研究
２０１４年２月
Ｌｏｇ如￡ｉｃ函数：Ｇ，，＝｛１＋ｅｘｐ（一ｒ（ｓ。，一ｃ））｝“（４） Ｅ印函数：Ｇ。＝１一ｅｘｐ（一ｒ（ｓ。，一ｃ）２）
（５）
其中，ｙ。，是方括号中矩阵的前ｒ个特征值所构 成的对角矩阵，元素顺序从大到小，通过式（８）和（９） 迭代，直至收敛，可得届、Ｆ的一致估计值卢、Ｆ，最后通
其中，ｉ＝１，２，…，Ⅳ；ｔ＝１，２，…，ｒ。Ｇ。为非线 性调节函数，其取值在０～ｌ之间，ＴｅｒａｓＶｉｎａ （１９９４）‘引；ｖａｎＤｉｉｋ、Ｔｅｒａｓｖｉｒｔａ和Ｆｒａｎｓｅｓ（２００２）¨１；
Ｇｏｎｚ丘ｌｅｚ、Ｔｅｒａｓｖｉｒｔａ和ｖａｎＤｉｊｋ，２００５”１；Ｈｕｂｒｉｃｈ和
Ｔｅｒａｓｖｉｎａ（２０１３）¨２１等建议采用如下两种非线性平 滑转换函数：
Ｅｓｔｉｍａｔｏｒ ｆｏｒ ＮｏｎＨｎｅａｒ Ｐａｎｅｌ Ｄａｔａ Ｍｏｄｅｌ ｗｉｔｈ Ｉｎｔｅｒａｃｔｉｖｅ Ｆｉｘｅｄ Ｅｆｆｅｃｔｓ
Ｙｅ Ｘｉａｏｑｉｎｇ Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｌｉｎｅａｒ ｐａｎｅｌ ｄａｔａ ａｎｄ ｆｉｎａｎｃｅ
ｅｔｃ．
ｍｏｄｅｌ ｗｉｔｈ ｉｎｔｅｒａｃｔｉｖｅ ｆｉｘｅｄ ｅｆｆｅｃｔｓ ｉｓ ｗｉｄｅｌｙ ａｐｐｌｉｅｄ ｉｎ ｍａｃｍｅｃｏｎｏｍｉｃ、ｍｉｃｒｏｅｃｏｎｏｍｉｃ
二、带交互效应的面板数据模型
通常的带交互效应面板数据模型为：
ｙ。＝ｐ’ｚ。＋手打；ｆ打＝Ａ’，Ｆ，＋肛。＋ｚ上打 （１）
其中，ｉ＝ｌ，２，…，Ⅳ；￡＝１，２，…，ｒ。），为被解释 变量，戈（Ｋ×１）为解释变量，口（Ｋ×１）是系数向量， Ｆ，（ｒ×１）为共同因子，Ａｉ（ｒ
ｘ
１）为因子载荷，Ａ’，，
为交互项，揭示共同因子对不同个体的具体效应。肛。 为个体效应，反映个体的异质性特征。孝。＝Ａ’。Ｆ。＋肛ｉ ＋ｕ。称为因子误差结构。Ａｉ，Ｆ。，肛ｉ，ｕ。均为不可观测 变量，且Ｅ（ｕ。Ⅱｋ）＝０，ｉ≠ｆ，ｆ≠训，对任意ｉＪ，ｓ≤ ￡有：Ｅ（Ａｉｕ“）＝Ｏ，Ｅ（Ｆ，ｕ自）＝０，Ｅ（戈。ｕｎ）＝０。 传统固定效应模型是方程（１）的特殊情况，对 任意的ｉ，如果Ａ，＝０，则模型（１）就退化为通常的固 定效应模型；如果Ａ。＝ｌ，则模型变为含个体效应和 时间效应的双向固定效应模型。如果解释变量向量 中含有被解释变量的滞后项，即为动态模型。 值得注意的是，如果共同因子Ｆ或因子载荷Ａ 与解释变量ｘ无关，那么对于模型（１），传统的Ｇ￡ｓ 或￡ＳＤｙ估计量具有无偏性、一致性。反之，如果解 释变量菇与Ｆ或Ａ相关，即： 石‘ｆＰ＝肛咖＋ｙ’垆Ｆ，＋妒’巾Ａｉ＋６ｉ，ＰＡ’ｉＦｔ＋ｔ，ｉ巾（２） 其中，ｐ＝ｌ，２，…，Ｋ。贝０ Ｅ（ｚｆ）≠０，ｃ￡Ｓ或 ＬｓＤｙ估计量有偏且非一致。共同因子Ｆ不随个体变 化只随时间变化，影响着经济系统中的所有变量，与 被解释变量及解释变量可能相关。因此，本文将在解 释变量算与Ｆ或Ａ相关的框架下研究模型（１）的估 计方法。 在模型（１）中引入非线性平滑转换机制，即得 到带交互效应的非线性模型： ｙ。＝卢７戈打＋ｐ’ｌ Ｇ。菇。＋手打；
ｈａｖｅ ｃｏｎｓｉｓｔｅｎｃｙ． Ｔｈｅ ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎｓ ｓｈｏｗ ｔｈａｔ ｔｈｅ ６ｎｉｔｅ ｓａｍｐｌｅ ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ
Ｄａｔａ
ｏｕｔｐｅｒｆ０肿ｗｅｌｌ．
Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：Ｐａｎｅｌ
Ｍｏｄｅｌ；Ｉｎｔｅｒａｃｔｉｖｅ Ｆｉｘｅｄ Ｅｆ亿ｃｔｓ；Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ Ｓｍｏｏｔｈ Ｔｒａｎｓｉｔｉｏｎ
＋本文获国家自然科学基金面上项目“平衡／非平衡交互效应 面板ｓＶＡＲ模型的估计量与应用研究”（７１２７１０９６）；中央高校基本 科研业务专项资金“面板数据结构ＶＡＲ模型的估计量与应用研究”
（ｃｚＱｌ２０１７）资助。
Ｍａｒｋｏｖ区制转移模型只能推断出区制转换概率，无 法给出转换的非线性形式，应用存在局限性，而非线 性平滑转换模型基于转移变量的连续缓慢调整，能 有效揭示区制转移行为和捕捉变量在转移阶段的动 态特征，从而更准确地描述经济现实。因此，非线性 平滑转换模型更具有研究意义。 在传统面板数据模型中，通常以可加形式引入 个体效应和时间效应，来反映个体异质性与不随个 体变化的时间效应的影响，忽略了对所有个体产生 不同影响的共同因子的存在，致使模型应用受到限 制。Ｂａｉ（２００９）”ｏ将个体效应和时间效应以交互项 的形式引入到面板数据模型中，以反映共同因子对
ｕ¨，＝届’ｆＧ。，（茗。，ｒ．ｃ）戈。，一卢’ＪＧ☆（互。，ｉ÷）戈“，则有：
尺ｓＪｓ；．；＝∑∑Ｍ：＝∑∑（“。．。＋ｕ：．。）（“．，。＋Ｍ：．。）
＝∑∑断。＋２∑∑嵋尥＋∑∑屯≥∑∑毛 ＋２∑∑ｕ，，。Ｍ：．。＝ＲＪｓｓ，，。＋２∑∑Ｈ．，。ｕ：．。
Ｔｅｒａｓｖｉｒ￡ａ和Ｆｒａｎｓｅｓ（２００２）¨ｊ等发展了时间序列平 滑转换模型框架，估计方法主要是非线性最小二乘 （ＮＬｓ）法。当转换函数和转换变量确定后，模型能 通过ＮＬＳ法估计，而且非规非线性最优化过程都可 以用于对ＮＬＳ的估计。Ｈａｎｓｅｎ和Ｓｅｏ（２００２）¨…； ｓｅｏ（２０１１）。“１等基于格点搜索法，以残差平方和最 小确定转换参数估计值，然后直接用最后二乘 （ＯＬＳ）估计。Ｇｏｎｚａｌｅｚ、Ｔｅｒａｓｖｉｒｔａ和ｖａｎＤｉｊｋ，２００５一。 等在面板门槛模型基础上提出了面板平滑回归模 型，其估计思想是平减个体均值以消除个体效应，在 此基础上，采用ＮＬｓ法估计。Ｈｕｂｒｉｃｈ和Ｔｅｒａｓｖｉｒｔａ （２０１３）。１ ２‘等在向量自回归（ＶＡＲ）模型中引入非线 性平滑转换机制，基于离散格点，将非线性模型转化 为线性问题，以残差平方和最小估计转换参数。 国内对非线性平滑转换模型的理论研究较少， 如杨继生（２０１１）¨３。对非线性平滑转换结构ＶＡＲ模 型提出了参数、半参数估计方法。应用研究如彭方 平、连玉君（２０１０）¨４１采用非线性静态平滑转换模型 研究了货币政策的成本效应，以ＯＬｓ残差平方和最 小确定转换参数估计值，并基于此实现非线性模型
一、引言
非线性模型是捕捉经济变量非线性及结构变化 特征的有效工具，主要包括Ｍａｒｋｏｎ区制转移模型 （Ｈａｍｉｌｔｏｎ，１９８９…）与平滑转换自回归模型两类
（Ｔｅｒａｓｖｉｎａ，ｌ ９９４‘２｜；ｖａｎＤｉｊｋ、Ｔｅｒａｓｖｉｒｔａ和Ｆｒａｎｓｅｓ， ２００２…；Ｇｏｎｚ丘ｌｅｚ、Ｔｅｒａｓｖｉｒｔａ和ｖａｎＤｉｊｋ，２００５‘４ ３）。
（２０１３）＝１２１等的格点搜索思想，给定转换参数的格 点，非线性模型转换为线性，以残差平方和最小先确 定转换函数参数的估计值，然后依据线性模型估计 方法得到其他参数的估计。 命题１ 如果非线性参数真值为ｒ，ｅ，的识别与估计 在模型（１）中，如果解释变量戈与共同因子Ｆ， 及因子载荷Ａ，相关，从而Ｅ（戈。，亭。）≠０，此时，￡５Ｄｙ 或ＧＬＳ会导致非一致估计量。因此，本文参照Ｂａｉ （２００９）一。，采用迭代０￡．ｓ（简称，０ＬＳ）进行估计， 迭代估计思想为：若给定公共因子Ｆ，采用Ｄ￡５估 计其他参数；若已知届，采用主成分分析方法提出共 同因素Ｆ。 参照Ｂａｉ（２００９）”。，模型（１）可表示为：
其中，ｓ，，是机制转换的引导变量，ｃ是引导变量 的阈值，ｒ为速度参数。由于状态转换函数是非线 性的，且取值连续，Ｌｏｇｉｓｔｉｃ型和Ｅｘｐ型的表现形式 不同，因此，二者能够刻画不同经济状态的非线性平 滑转换特征。
过人’＝ｒ。Ｐ’（，，一邱）可得因子载荷估计Ａ。
（二）非线性模型的估计思想
基于Ｓｅｏ（２０１１）¨…、Ｈｕｂｒｉｃｈ和Ｔｃｒａｓｖｉｒｔａ
Ｃｏｎｓｉｄｅｒｉｎｇ ｔｈｅ ｄｙｎａｍｉｃ ａｄｊｕｓｔｍｅｎｔ ｏｆ ｅｃｏｎｏｍｉｃ ｖａｄａｂｌｅｓ ｍａｙ ｂｅ ｔｒａｎｓｆｂｒｍｅｄ ｕｎｄｅｒ ｄｉｆｋＩ℃ｎｔ ｅｃｏｎｏｍｉｃ ｄｅｖｅｌｏｐ ｔｈｅ ｌｉｎｅａｒ ｍｏｄｅｌ ｗｉｔｈ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｓｍｏｏｔｈ ｔｒａｎｓｉｔｉｏｎ ｒｅｇｉｍｅｓ． Ｔｏ ｔｈｅ ｓｔａｔｉｃ ｍｏｄｅｌ，ｗｅ