中国科学技术大学量子力学考研真题2014年

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《跨考考研专业课通关宝典·历年真题》中国科学技术大学量子力学考研真题2014年

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中国科学技术大学

2014年硕士学位研究生入学考试试题

——跨考教育所有试题答案写在答题纸上,答案写在试卷上无效

☐需使用计算器☑不使用计算器

量子力学

1、(20分)质量为μ的粒子被限制在宽为a 的无限深方势肼中运动,a x 0<<。

(a)(10分)在开始时刻t=0,测量到粒子处于基态的概率是1/2,处于第一激发态的概率也为1/2。写出t 时刻系统波函数的一般形式。

(b)(10分)若上问中,开始时刻粒子的平均位置2a x

x /ˆ>=且偏离势肼中心最远,求此时的波函数。

2、(20分)金属内部含有传导电子。对于这类物理体系,作用于传导电子的势场可用平均的势场来模拟,即

()⎩⎨⎧><-=0x 00x V x V 0()

0V 0>(a)(10分)若导体内(0x <)传导电子的能量0E >,计算接近金属表面的传导电子穿过金属表面进入真空的穿透系数;

(b)(10分)若导体内传导电子的能量0E <,讨论金属表面外附近能否找到电子?

3、(25分)设ˆa

、†ˆa 分别为吸收算符和发射算符。今定义新算符†ˆˆˆb=+a a αβ,其中α、β为复常数。

(a)(5分)若ˆb

及其厄米共轭†ˆb 构成新的一组吸收发射算符,则α、β应满足什么条件?(b )(20分)利用ˆb 、†ˆb 来求哈氏量†††ˆˆˆˆˆˆˆ++H a a Aaa Aa a ω⎡⎤=⎣⎦ 的本征值,其中4

12

(a )(10分)若这些粒子可分辨,求体系的能量;

(b )(10分)若这些粒子不可分辨,求体系的能量。

5、(20分)粒子处于状态()()()()⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎣⎡ϕθ+ϕθ=ψ-,Y S ,Y S 11z 2110z 21x x 231

,问测量总角动量平方2j ˆ 及其投影z j ˆ的可能值与相应概率,其中21

x ±为电子的自旋波函数。

6、(25分)在一维定态束缚态问题中,系统哈氏量为

()x V p 2μ

1V T H 2+=+=ˆˆˆ能量本征方程m E m H m

=ˆ,m=0,1,2...(a)(5分)计算[][]?,,=H x

x ˆˆˆ(b)(10分)证明()μ

2n x

m E E 22n m n /ˆ =∑-(c)(10分)证明不等式()0

014E E ><≤-T ˆ这里01E ,E 分别为系统第一激发态和基态的能量本征值,0>

7、(20分)设一质量为m 的粒子在势场

()()

⎩⎨⎧>><∞=0g 0z mgz 0z z V 中运动。请用变分法来计算基态能量的近似值,试探函数取为⎩

⎨⎧><=ψλ-0z z 00z e z ,其中λ为实的变分参数。

来源:跨考教育

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