解析几何复习系列之五(直线和圆)

直线和圆

【复习要点】

1、直线与圆的位置关系：相交、相切、相离

判断方法：

（1）代数法；把直线方程与圆方程联立方程组，消去一个未知数，转化成关于x （或y ）的二元一次方程，再利用“∆”来判断.

0∆>⇔直线与圆相交；0∆=⇔直线与圆相切； 0∆<⇔直线与圆相离. （2）几何法：比较圆心到直线的距离d 与圆半径r 的大小.

d r <⇔直线与圆相交；d r =⇔直线与圆相切； d r >⇔直线与圆相离. 2、直线与圆相交时，圆的弦长的求法：

常用弦心距d 、弦长的一半2

l 、圆的半径r 所构成的直角三角形来解.

3、点与圆的位置关系：

已知点00(,)M x y 与圆C ：222()()x a y b r -+-=（0r >）

点M 在圆外⇔22200()()x a y b r -+->；点M 在圆上⇔222

00()()x a y b r -+-=；

点M 在圆内⇔222

00()()x a y b r -+-<

4、圆与圆的位置关系的判定，利用两圆的圆心距与两半径的关系

5、两圆相交弦所在的直线方程：

若圆1C ：221110x y D x E y F ++++=与圆2C ：22

2220x y D x E y F ++++=相交，则相交弦

所在的直线方程为：121212()()()0D D x E E y F F -+-+-=

提醒：研究直线与圆、圆与圆的位置关系的时候，要充分发挥平面几何知识的作用. 【强化训练】

1、直线2y kx =+与圆22

(2)(3)1x y -+-=有两个不同的交点，则实数k 的取值范围是 2、圆22

4460x y x y +-++=截直线50x y --=所得的弦长为

3、已知点00(,)P x y 在圆222

x y r +=内且不与圆心重合，则直线200x x y y r +=与圆的位置关系是

4、圆2

2

44100x y x y +---=上点到直线140x y +-=的最大距离为

5、过点)1,1(-的直线被圆0222=-+x y x 截得的弦长为2，则此直线的方程为

6、圆4)2(22=+-y x 与圆122=+y x 的公共弦所在的直线方程是

7、圆034222=-+++y x y x 上到直线01=++y x 的距离为2的点共有 个

8、过圆054222=--++y x y x 与直线042=++y x 的两个交点，且面积最小的圆的面积是 9、过圆0126422=-+-+y x y x 内一点)2,4(-A 作圆的弦，则这些弦的中点的轨迹方程是

10、曲线1y =+

(－2≤x ≤2)与直线(2)4y k x =-+有两个公共点时，则实数k 的取值范

围是 11、设圆上的点)3,2(-A 关于直线02=+y x 的对称点仍在这个圆上，且与直线01=+-y x 相交的弦长为22，求圆的方程。

12、自点(3,3)A -发出的光线l 射到x 轴后反射，其反射光线正好与圆224470x y x y +--+= 相切，求光线l 所在的直线方程.

13、已知直线l ：)(47)1()12(R x k y k x k ∈+=+++和圆25)2()1(22=-+-y x . 求证：（1）直线l 恒过定点(3,1)；（2）对任何实数，直线l 与C 恒相交于不同的两点；（3）若直线与圆的两个交点为

P 、Q ，则当k 为何值时O P O Q ⊥ ；（4）求l 被圆C 截得的线段的最短长度及相应的k 的值.